Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 17
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Лекція 1
Тема: " Метричні простори. Загальні означення.Нерівності Мінковського і Гельдера".
Дисципліна : "Функціональний аналіз"
Викладач Гусарова І. Г.
Харків,2014
Вступ. Функціональний аналіз(ФА), частина сучасної математики, головним завданням якої є вивчення безконечномірних просторів і їх відображень. Найбільш вивчені лінійні простори і лінійні відображення. Для ФА характерне поєднання методів класичного аналізу, топології і алгебри. Абстрагуючись від конкретних ситуацій, удається виділити аксіоми і на їх основі побудувати теорії, що включають класичні завдання як окремий випадок і що дають можливість вирішувати нові завдання. Сам процес абстрагування має самостійне значення, прояснюючи ситуацію, відкидаючи зайве і відкриваючи несподівані зв'язки. В результаті удається глибше проникнути в суть математичних понять і прокласти нові дороги дослідження.
Розвиток ФА відбувався паралельно з розвитком сучасної теоретичної фізики, при цьому з'ясувалося, що мова ФА найадекватніше відображає закономірності квантової механіки, квантової теорії поля і т.п. У свою чергу ці фізичні теорії зробили істотний вплив на проблематику і методи ФА.
Виникнення функціонального аналізу. ФА як самостійний розділ математики склався на рубежі 19 і 20 вв.(століття) Велику роль у формуванні загальних понять ФА зіграла створена Р. Кантором теорія безлічі. Розвиток цієї теорії, а також аксіоматичній геометрії привело до виникнення в роботах М. Фреше і Ф. Хаусдорфа метричною і загальнішою т.з. теоретико-множинній топології, що вивчає абстрактні простори, тобто безліч довільних елементів, для яких встановлено тим або іншим способом поняття близькості.
Серед абстрактних просторів для математичного аналізу і ФА виявилися важливими функціональні простори (тобто простори, елементами яких є функції — звідки і назва «ФА»). У роботах Д. Гильберта по поглибленню теорії інтегральних рівнянь виникли простори l 2 і L 2 ( а , b ) (див. нижче). Узагальнюючи ці простори, Ф. Рис вивчив простори l p і L p ( а , b ), а С.Банах в 1922 виділив повні лінійні нормовані простори (банахови простори). У 1930—40-х рр. в роботах Т. Карлеману, Ф. Рису, американських математиків М. Стоуна і Дж. Неймана була побудована абстрактна теорія самосопряжених операторів в Гільбертовому просторі.
В СРСР перші дослідження по ФА з'явилися в 30-х гг., це роботи: А. Н. Колмогорова (1934) по теорії лінійних топологічних просторів; Н. Н. Боголюбова (1936) по інваріантних заходах в динамічних системах; Л. С. Канторовіча (1937) і його учнів по теорії напіввпорядкованих просторів, вживанням ФА до обчислювальної математики і др.; М. Г. Крейна і його учнів (1938) по поглибленому вивченню геометрії Банахових просторів, опуклої безлічі і конусів в них, теорії операторів і зв'язків з різними проблемами класичного математичного аналізу і др.; І. М. Гельфанда і його учнів (1940) по теорії нормованих кілець (Банахової алгебри) і ін.
Для сучасного етапу розвитку ФА характерне посилення зв'язків з теоретичною фізикою, а також з різними розділами класичного аналізу і алгебри, наприклад теорією функцій багатьох комплексних змінних, теорією диференціальних рівнянь з частинними похідними і т.п.
Тема: Метричні простори. Загальні означення.Нерівності Мінковського і Гельдера
1 Метричні простори
Означення: Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини (простору) елементів (точок) та відстані, тобто однозначної, невід’ємної, дійсної функції , що визначена для будь-яких та з і задовольняє наступним трьом аксіомам:
1) тоді і тільки тоді, коли ,,
2) (аксіома симетрії): ,,
3) (аксіома трикутника): , .
Ці аксіоми називаються аксіомами метрики.
Сам метричний простір, тобто пару , будемо позначати, як правило, однією буквою:
.
У випадках, коли непорозуміння виключені, будемо позначати метричний простір тим же символом, що і множину точок .
Наведемо приклади метричних просторів:
1. Покладемо для елементів довільної множини
Таким чином, отримаємо метричний простір, який можна назвати простором ізольованих точок або дискретним простором.
2. Множина дійсних чисел з відстанню
утворює метричний простір .
3. Множина впорядкованих груп з дійсних чисел
з відстанню, що задається наступною формулою:
(1)
називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .
Перевіримо виконання аксіом метрики.
Аксіома 1): Нехай
.
Аксіома 2): .
Покажемо, що в виконується і аксіома трикутника.
Нехай , та . Тоді аксіома трикутника запишеться у вигляді:
. (2)
Нехай , , одержимо , і нерівність приймає вигляд
. (3)
Ця нерівність є наслідком нерівності Коші—Буняковського:
. (4)
Дійсно, в силу цієї нерівності маємо
;
Таким чином нерівність (3), а звідси і (2), доведені.
Нерівність Коші—Буняковського випливає з тотожності
,
яка безпосередньо перевіряється.
4. Розглянемо ту ж саму множину впорядкованих наборів з дійсних чисел , але відстань в них визначимо формулою
. (5)
Справедливість аксіом 1)-3) очевидна. Позначимо цей метричний простір символом .
5. Розглянемо ту ж саму множину, що і в прикладах 3. та 4., і визначимо відстань між його елементами як
. (6)
Справедливість аксіом 1)-3) очевидна. Позначимо цей метричний простір символом .
Останні три приклади показують, що іноді важливо мати різні позначення для самого метричного простору та для множини його елементів, так як одна і та ж множина точок може бути по-різному метризована.
6. Множина всіх неперервних функцій, що задані на сегменті з відстанню
(7)
також утворює метричний простір. Аксіоми 1)-3) перевіряються безпосередньо. Цей простір грає дуже важливу роль в аналізі. Будемо позначати простір тим же символом , що і множину його точок. Замість зазвичай пишеться просто .
7. Позначимо через метричний простір, точками якого служать всілякі послідовності
дійсних чисел, які задовольняють умові
,
а відстань задається формулою
. (8)
З елементарної нерівності
слідує, що функція має зміст для усіх , тобто ряд збігається, якщо
та .
Покажемо, що функція відстані (8) задовольняє аксіомам метричного простору. Аксіоми 1) та 2) очевидні, а аксіома трикутника набуває вигляду
. (9)
В силу сказаного вище кожен з трьох написаних рядів збіжний, крім того, при будь-якому справедлива нерівність
(див. приклад 3). Перейшовши до границі при , отримуємо нерівність трикутника (9) в .
8. Розглянемо простір функцій, неперервних на сегменті , що інтегруються з квадратом:
.
Відстань визначимо наступним чином:
. (10)
Такий метричний простір позначимо і назвемо простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Аксіоми 1) та 2) тут очевидні, а аксіома трикутника безпосередньо випливає з нерівності Коші—Буняковского
.
9. Розглянемо множину всіх обмежених послідовностей дійсних чисел, тобто таких, що
.
Візьмемо
. (11)
Отримаємо метричний простір, який позначимо через . Справедливість аксіом 1)-3) очевидна.
10. Множина впорядкованих груп з дійсних чисел з відстанню
, (12)
де - будь-яке фіксоване число , представляє собою метричний простір, який позначимо як . Покладемо
, ,
тоді нерівність
,
справедливість якої маємо встановити, прийме вигляд
. (13)
Це – нерівність Мінковського. При нерівність очевидна (модуль суми не більше за суму модулів), тому вважаємо .
Якщо доведемо нерівність Мінковського, то буде виконана аксіома трикутника у просторі .
Розглянута в цьому прикладі метрика перетворюється у евклідову метрику (приклад 3) при і в метрику приклада 4 при . Можна показати, що метрика , яка розглянута у прикладі 5, є граничним випадком метрики , а саме
.
11. Вкажемо ще один цікавий приклад метричного простору. Його елементами є всілякі послідовності чисел
,
такі, що
,
де - деяке фіксоване число, а відстань визначається формулою
. (14)
Цей метричний простір позначимо .
В силу нерівності Мінковського маємо при будь-якому
.
Так як, за припущенням, ряди
та
збігаються, то, здійснивши перехід до границі при , отримаємо
(15)
Таким чином, доведено, що формула (14), яка визначає відстань в , дійсно має зміст для будь-яких . Одночасно нерівність (15) показує, що в виконана аксіома трикутника. Інші аксіоми очевидні.
2 Нерівність Гельдера
Доведення нерівності (13) засноване на нерівності Гельдера:
, (16)
де числа та пов’язані умовою
, тобто . (17)
Нерівність (16) однорідна, а це означає, що якщо вона виконується для будь-яких векторів та , то вона виконується й для векторів та , де і - довільні числа. Тому цю нерівність достатньо довести для випадку, коли
. (18)
Нехай виконана умова (18). Доведемо, що
. (19)
Розглянемо на площині криву, що визначена рівнянням , або .
Рис. 1
З рис. 1 ясно, що при будь-якому виборі додатних значень і буде . Обчислимо площі і :
; .
Таким чином, справедлива числова нерівність
.
Замінивши на , на , і знайшовши суми по від 1 до , одержимо, врахувавши (17) та (18), , а звідси і нерівність Гельдера доведено. При нерівність Гельдера (16) переходить в нерівність Коші—Буняковського (4).
3 Нерівність Мінковського
Тепер перейдемо до доведення нерівності Мінковського. Для цього розглянемо тотожність
.
Замінивши на , на , і підсумувавши по від 1 до , одержимо
.
Тепер застосуємо нерівність Гельдера, і, прийнявши до уваги, що , маємо
.
Поділивши обидві частини нерівності на
,
отримаємо
,
звідки відразу випливає нерівність (13). Тим самим встановлена аксіома трикутника у просторі .
З нерівності
,
встановленої вище, легко виводиться і інтегральна нерівність Гельдера
,
справедлива для будь-яких функцій та , для яких інтеграли, що стоять справа, мають зміст. Звідси в свою чергу маємо інтегральну нерівність Мінковського
.
Індивідуальні завдання.
1. Довести, що множина всіляких послідовностей чисел
,таких, що , а відстань визначається формулою є метричним простором .
2. Навести приклад відстані між елементами множини всіх студентів групи СА-13-1 , щоб зробити цю множину метричним простором.
3. Довести, що множина всіх дійсних чисел з відстанню є метричним простором.
4. Знайти відстань між елементами і в просторах , , , , якщо
1).,,; 2). ,,;
3).,,; 4).,,;
5).,,; 6). ,,;
7). ,,; 8) ,,.
МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ТА РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1.1 Базова література
1.2 Допоміжна література
1.3 Методичні вказівки до різних відів занять
1.3 .1 Підручник або навчальний посібник
1.Тевяшев А.Д.,Головко Н.А. Функціональний аналіз у прикладах та задачах: Навч.посібник. -Харків:ХТУРЕ,1998-140С(100 прим.).
1.3 .2 Методичні вказівки до самостійної роботи студентів
1. Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни “ Функціональний аналіз ” для студентів денної форми навчання напрямів бакалаврської підготовки 6.040301 “Прикладна математика” та 6.040303 “Системний аналіз” галузі знань 0403 “Системні науки та кібернетика” [Електронне видання] / Упоряд. І.Г. Гусарова. – Харків: ХНУРЕ, 2013. –21с.
2. Тевяшев А.Д.,Головко Н.А. Функціональний аналіз у прикладах та задачах:Навч.посібник.-Харків:ХТУРЕ,1998-140С(100 прим.).
1.3.3 Методичні вказівки до практичних та семінарських занять
1. Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “ Функціональний аналіз ” для студентів денної форми навчання напрямів бакалаврської підготовки 6.040301 “Прикладна математика” та 6.040303 “Системний аналіз” галузі знань 0403 “Системні науки та кібернетика” [Електронне видання] / Упоряд. І.Г. Гусарова. – Харків: ХНУРЕ, 2013. –22с.
2. Тевяшев А.Д.,Головко Н.А. Функціональний аналіз у прикладах та задачах:Навч.посібник.-Харків:ХТУРЕ,1998-140С(100 прим.).