Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
волны между двумя плоскими паркллельными зеркалами
Рассмотрим составляющие некоторых волн между зеркалами.
1) Для- волн:
(4.7)
Приведённые выражения показывают, что волны с индексом не существует. Так, например, для волны Огибающие составляющие поля этой волны приведены на рис.4.7.
22) Для между двумя плоскими параллельными зеркалами
(4.8)
Заметим, что волна нулевого порядка с может существовать между зеркалами. При этом замечаем, что , т. е. эта волна отличается от парциальных и -волн () тем, что она полностью поперечная и может быть возбуждена источником любой частоты. Эта волна имеет наибольшую критическую длину волны и называется основной волной. Таким образом, при волна типа вырождается в волну типа .
Рис. 4.7
При работе системы из двух зеркал часто требуется, чтобы существовал одномодовый режим(могла распространяться только одна волна). Такой режим встречается при передаче электромагнитной энергии. Поэтому выбирают основную волну, имеющую наибольшую критическую длину волны. В этом случае . Следовательно, , т. е. волна падает касательно идеально проводящей плоскости. Для того чтобы данная волна могла распространяться в такой системе, необходимо взять Чтобы не возникли другие волны с индексами , необходимо выполнить условие (для ). Так, при для волн типа и . Следовательно, условие одномодового режима при работе основной волны следующие:
(4.9)
При этом для волн более высших порядков это условие будет выполняться и подавно.
Рис. 4.8
Для других парциальных волн эти волны будут типа . Так при получаем -волну, у которой Огибающие составляющих поля этой волны приведены на рис. 4.8.
23) Общее решение задачи для идеального волновода
В дальнейшем будем рассматривать цилиндрические волноводы. Под цилиндрическими поверхностями понимаются, как известно, поверхности, образованные перемещением прямой линии по замкнутому контуру параллельно этой прямой.
По форме поперечного сечения волноводы бывают: прямоугольные, круглые и др. Наиболее широко в настоящие время применяются в радиотехнике прямоугольные волноводы.
На основании полученных результатов процесса распространения электромагнитных волн между двумя зеркалами естественно предположить, что для волновода этот процесс может быть так же интерпретирован, как результат наложения отражённых стенками волновода элементарных волн. Однако использование применённого для случая двух зеркал наглядного метода исследования в волноводе встречает трудности из-за сложности геометрических построений.
Поэтому решение задачи в волноводе основывается на применении или непосредственного решения уравнений Максвелла внутри волновода, или используются вспомогательные векторы: вектор-потенциал или вектор Герца.
Воспользуемся вектор-потенциалом. Будем рассматривать условия распространения электромагнитных колебаний в волноводе, считая, что: сторонние токи и заряды равны нулю; стенки волновода идеально проводящие; среда внутри волновода – идеальный диэлектрик.
В такой области вектор-потенциал как электрический, так и магнитный для периодически меняющихся процессов удовлетворяет уравнению
(4.10)
где – волновое число для случая идеального диэлектрика, заполняющего внутреннюю полость волновода.
Уравнение (4.10) имеет бесконечное множество решений и решать задачу можно двояко: можно брать частное решение и, используя граничные условия на стенках волновода, найти решение, которое нас удовлетворяет; сделать некоторые предвидения для ожидаемого решения для вектор-потенциала.
Рис. 4.9
Так как мы интересуемся электромагнитным процессом, распространяющимся вдоль оси (рис. 4.9), то распределение поля в поперечном сечении будет отличаться от распределения вдоль оси . В поперечном сечении будут стоячие волны. Вдоль оси характер поля зависит от нагрузки. Если волновод бесконечный, то будем наблюдать бегущую волну. Если же имеется нагрузка и она не согласована, то будет ещё и отражённая волна. Так как стенки идеально проводящие, то волна должна быть плоской и, следовательно, поверхность постоянной фазы будет плоскость. Поскольку волновод цилиндрический, то сечение вдоль оси одинаково и не зависит от .
Исходя из этого, вектор-потенциал будем искать в виде:
(4.11)
где – единичный вектор;
– вещественная функция поперечного распределения поля;
– постоянная распространения, в общем случае комплексное число.
Так как стенки волновода идеально проводящие и диэлектрик идеальный, то – чисто мнимое число.
Вспомним, что для неограниченной среды вектор-потенциал выбирался в виде , так как никаких ограничений по направлениям не было. Необходимо отыскать такую функцию , которая удовлетворяла бы граничным условиям на стенках волновода. Подставив (4.11) в (4.10) , получим:
или
(4.12)
где (4.13)
При выполнении граничных условий мы получим вполне определённые , которым будут соответствовать вполне определённые . Для того, чтобы волна распространилась, т. е. было чисто мнимым, необходимо выполнить условие:
(4.14)
Если условие (4.14) не выполняется, то волна затухает. Далее, если мы решим уравнение (4.11), затем выразим через вектор-потенциал вектора и, то мы решим поставленную задачу. Для облегчения решения задачи обычно принимают направление вектор-потенциала вдоль оси , т. е. . Следовательно,
где
Если за исходное возьмём электрический вектор-потенциал , т. е.
тогда векторы поля иопределятся по формулам:
(4.15)
уравнение связи.
Вычисления по (4.15) показывают, что
Таким образом, если за исходное берём электрический вектор-потенциал , то получаем решение, соответствующее волне типа , т. е. волне, у которой магнитное поле имеет только поперечные составляющие.
Если за исходное возьмём магнитный вектор-потенциал ,т. е.
,
тогда векторы поля иопределятся по формулам:
(4.16)
уравнение связи.
Вычисления по (4.16) показывают, что
Таким образом, если за исходное берём магнитный вектор-потенциал то получаем решение, соответствующее волне типа , т. е. волне, у которой электрическое поле имеет только поперечные составляющие.
В результате, проделав вычисления по формулам (4.15) или (4.16), мы решим поставленную задачу в общем виде. Опуская эти достаточно громоздкие вычисления, которые читатель при необходимости может проделать самостоятельно по приведённой схеме, приведём лишь основные физические выводы:
в любом поперечном сечении волновода, т. е. при , силовые линии электрического и магнитного полей ортогональны;
условие в сечении соответствует уравнению силовых линий в поперечном сечении волновода для вектора у-волны и для вектора у-волны;
для -волны составляющая пропорциональна электрическому вектор-потенциалу (или функции ). Остальные составляющие поля могут быть выражены через составляющую
для -волны составляющая пропорциональна магнитному вектор-потенциалу потенциалу (или функции ). Остальные составляющие поля могут быть выражены через составляющую
отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей для прямой и обратной волн порознь равно характеристическому сопротивлению:
-волны
-волны
где
24) Решение электродинамической задачи
для идеального прямоугольного волновода
Рассмотрим прямоугольный идеальный волновод (рис. 4.10) , наиболее часто применяемый в технике СВЧ [6].
1. Будем рассматривать волну типа , т. е. за исходный возьмём магнитный вектор-потенциал Воспользуемся ранее полученными результатами:
(4.17)
Рис. 4.10
(4.18)
Данное уравнение решается методом разделения переменных. Представим в виде произведения двух функций, из которых каждая зависит только от одной координаты:
Подставив (4.18) в (4.17) , получим:
(4.19)
где – вещественное число, не зависящее от координат.
Правая часть уравнения (4.19) будет вещественным постоянным числом. Обозначим его , тогда имеем:
(4.20)
где , т. е..
Решения данных уравнений будут иметь вид:
где , – произвольные постоянные;
– начальные фазы.
Вид выбранных решений объясняется тем, что мы ищем в поперечном сечении волновода стоячие волны. Следовательно,
(4.21)
В (4.21) неизвестны: Величина характеризует амплитуду и определяется условиями возбуждения. Определим
Для этого необходимы четыре уравнения. Запишем их, исходя из граничных условий, на соответствующих идеально проводящих стенках. Так как мы рассматриваем волну типа , то у данной волны могут быть только поперечные составляющие вектора . Поэтому используем условие, при котором тангенциальная составляющая вектора на идеально проводящей поверхности равна :
Продолжаем решать задачу
В дальнейшем для сокращения письма будем записывать
Подставляя , получим:
Поэтому то
Найдём и . Подставляя выражение функции из (4.21), имеем:
Применим к данным уравнениям граничные условия:
(4.22)
Условия (4.22) выполняются тогда, когда
Эти равенства будут выполняться, когда
(4.23)
Используем теперь два других граничных условия :
(4.24)
Условия (4.24) выполняются тогда, когда
или
(4.25)
Только при найденных значениях будут выполняться граничные условия, т. е. существовать электромагнитные волны в волноводе.
Запишем – функцию поперечного распределения:
(4.26)
Найдём – постоянную распределения. Но в соответствии с (4.20) . Следовательно,
(4.27)
где – постоянная распределения в волноводе.
Из (4.27) следует, что каждой паре чисел и волны типа будет соответствовать своя постоянная распространения.
25)-волны в прямоугольном волноводе.
Волны, определяемые парами чисел и , называются парциальными волнами и обозначаются -волны. В волноводе может существовать бесконечное число парциальных волн, которые будут характеризоваться своими числами и .
Найдём составляющие электромагнитного поля в прямоугольном волноводе:
(4.28)
Составляющие напряжённости магнитного поля определяются из выражения
Раскрывая это выражение, получим
(4.29)
Обозначим
(4.30)
где – характеристическое сопротивление для - волны.
Тогда
(4.31)
Найдём . Так как
следовательно,
Но функция удовлетворяет условию (4.17), поэтому
(4.32)
Формулы (4.28 – 4.29), (4.31 – 4.32) определяют электромагнитное поле в прямоугольном волноводе для - волны.
26)-волны в прямоугольном волноводе.
Аналогично можно получить выражения для составляющих электромагнитного поля типа . В качестве исходного необходимо взять электрический вектор-потенциал :
Для определения постоянных для данного типа волны используются следующие граничные условия: у данной волны, как известно, имеется составляющая вдоль оси волновода, поэтому необходимо потребовать, чтобы эта составляющая на всех стенках была равна нулю:
Сделав аналогичный вывод, получим:
Составляющие электромагнитного поля при этом запишутся:
(4.33)
где – характеристическое сопротивление для -волны . Формулы (4.33) определяют электромагнитное поле для -волны.
27)Условия распросранения ЭВМ в прямоугольном волноводе
1. Индексы и указывают на число стоячих полуволн, укладывающихся вдоль размеров и соответственно. Решение для составляющих электромагнитного поля, соответствующее определённым целым значениям пары чисел и , называются парциальными волнами и обозначаются - или -волнами.
2. В прямоугольном волноводе не может распространяться волна типа , так как поперечные составляющие , обращаются в ноль ).
3. В прямоугольном волноводе не могут существовать волны типа и , так как в этом случае вектор-потенциал равен нулю и составляющие поля пропадают.
4. Любой парциальной волне соответствует вполне определённая постоянная распространения:
где – волновое число волновода для данного типа волны.
Для того чтобы волна распространялась, необходимо, чтобы было действительным числом:
При этом должно выполняться условие:
Величина нызывается критической длиной волны в волноводе:
(4.34)
Замечаем, что если , то распространение волны в волноводе возможно. Если , то соответствующая волна не будет распространяться в волноводе, так как будет чисто вещественным числом, а это соответствует тому, что волна будет затухать по экспоненциальному закону от места её возникновения.
Волны, для которых , называются местными. При строгом решении задачи данные волны необходимо учитывать, особенно в местах неоднородностей и в месте возбуждения колебаний. Можем записать:
Найдём длину волны в волноводе, т. е. ,
(4.35)
Из (4.35) следует, что длина волны в волноводе не равна длине волны в свободном пространстве:
5. Характеристическое сопротивление для -волны
(4.36)
где – волновое сопротивление среды, заполняющей внутреннюю полость волновода.
Видим, что .
Характеристическое сопротивление для -волны
т. е. . Замечаем, что
Характеристические сопротивления в литературе называют волновым сопротивлением по полю.
Таким образом, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны:
Данные волны могут существовать и распространяться в волноводе, причём совместно, если выполняется условие для этих волн.
На практике стремятся, чтобы электромагнитная энергия передавалась на одной волне. Для этого необходимо, чтобы для данной волны выполнялось условие , а для остальных волн должно выполняться условие . В таблице приведены значения , рассчитанные в соответствии с формулой (4.34) .
|
Тип волны |
|||||
|
2a |
2b |
a |
b |
Из приведённой таблицы следует, что для существования в волноводе одной волны, например , должны быть выполнены условия:
Если же , что практически выполняется, то условие существования волны будет одно;
при -волна имеет наибольшую критическую длину волны, поэтому она называется основной волной прямоугольного волновода.
Кроме этой особенности, волна обладает рядом других преимуществ по сравнению с другими типами волн:
имеет наиболее простую структуру поля и наиболее легко возбуждается в волноводе;
с помощью волны при данном поперечном сечении волновода можно передать максимальную мощность;
затухание мощности на единицу длины волновода меньше, чем для других волн.
В силу этих особенностей волна нашла наиболее широкое распространение в технике СВЧ.
Запишем составляющие воля волны . Для этого в выражениях (4.28 – 4.29) и (4.31 – 4.32) для
-волны положим . Получим:
(4.37)
(4.38)
Из (4.38) следует, что волна имеет только три компоненты .
Рис. 4.11
Для мгновенных значений составляющих вектора поля получим:
(4.39)
Формулы (4.39) показывают, что и изменяются в противофазе друг с другом, а составляющая сдвинута по фазе относительно и на четверть периода, причём в сторону отставания по отношению к . На рис. 4.11 приведены картины силовых линий поля волны в различных сечениях волновода при
29)Характеристические сопротивления Н и Е волн в прямоугольном волноводе
Характеристическое сопротивление для -волны
(4.36)
где – волновое сопротивление среды, заполняющей внутреннюю полость волновода.
Видим, что .
Характеристическое сопротивление для -волны
т. е. . Замечаем, что
Характеристические сопротивления в литературе называют волновым сопротивлением по полю.
Таким образом, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны:
Данные волны могут существовать и распространяться в волноводе, причём совместно, если выполняется условие для этих волн.
На практике стремятся, чтобы электромагнитная энергия передавалась на одной волне. Для этого необходимо, чтобы для данной волны выполнялось условие , а для остальных волн должно выполняться условие . В таблице приведены значения , рассчитанные в соответствии с формулой (4.34) .
|
Тип волны |
|||||
|
2a |
2b |
a |
b |
Из приведённой таблицы следует, что для существования в волноводе одной волны, например , должны быть выполнены условия:
Если же , что практически выполняется, то условие существования волны будет одно;
при -волна имеет наибольшую критическую длину волны, поэтому она называется основной волной прямоугольного волновода.
Кроме этой особенности, волна обладает рядом других преимуществ по сравнению с другими типами волн:
имеет наиболее простую структуру поля и наиболее легко возбуждается в волноводе;
с помощью волны при данном поперечном сечении волновода можно передать максимальную мощность;
затухание мощности на единицу длины волновода меньше, чем для других волн.
В силу этих особенностей волна нашла наиболее широкое распространение в технике СВЧ.
Запишем составляющие воля волны . Для этого в выражениях (4.28 – 4.29) и (4.31 – 4.32) для
-волны положим . Получим:
(4.37)
(4.38)
Из (4.38) следует, что волна имеет только три компоненты .
Рис. 4.11
Для мгновенных значений составляющих вектора поля получим:
(4.39)
Формулы (4.39) показывают, что и изменяются в противофазе друг с другом, а составляющая сдвинута по фазе относительно и на четверть периода, причём в сторону отставания по отношению к . На рис. 4.11 приведены картины силовых линий поля волны в различных сечениях волновода при
30) Поле излучения произвольно заданной системы токов
Если система токов в проводнике задана, то сначала находим выражение для вектор-потенциала, а потом уже определяем векторы поля и [5,6].
Пусть имеем объём и в нём известно распределение плотности тока проводимости , как показанно на рис. 6.1, где – точка в пространстве; – точка в объёме .
Рис. 6.1
Тогда выражение для электрического вектор-потенциала в соответствии с (1.87) будет:
(6.1)
В большинстве практических случаев необходимо найти поле в точках, значительно удалённых от излучающей системы, когда выполняется условие , а так же . Учитывая это, имеем
т. е.
Поэтому (6.1) можно записать в виде
(6.2)
где
(6.3)
Вектор замечателен тем, что зависит от распределения тока в объёме и от направления на точку наблюдения , но совершенно не зависит от расстояния . Поэтому вектор имеет большое значение в смысле оценки направленности излучения. Формулы (6.1) и (6.2) имеют фундаментальное значение при расчёте излучения антенн. Необходимо помнить, что применимы они для вычисления в точках, удалённых от антенны на достаточно большие расстояния по сравнению с линейными размерами антенны. Полезно иметь в виду следующую формулу:
(6.4)
где , и , – полярный и азимутальный углы точек и соответственно.
Когда определён электрический вектор-потенциал (6.2), то векторы поля и определяются по формулам:
(6.5)