Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Математические основы финансового менеджмента.
Четкое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий – процентные деньги (далее проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчетов.
Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредит и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки.
Наращение (рост) первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход).
Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существуют две концепции, и соответственно два способа определения и начисления процентов.
Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или ссудный процент, представляет собой выраженной в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выражение в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
2.1 Простые ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операциях сторон.
Введем следующие обозначения:
i(%) – простая годовая ставка ссудного процента;
i – относительная величина годовой ставки процентов;
Iг – сумма процентных денег, выплачиваемых за год;
I – общая сумма процентных денег за весь период начисления;
P – величина первоначальной денежной суммы;
S – наращенная сумма;
kн – коэффициент наращения;
n – продолжительность периода начисления в годах;
д – продолжительность периода начисления в днях;
К – продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.
В зависимости от способа определения продолжительность финансовой операции рассчитываются либо точный, либо обыкновенный процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:
Вариант1. используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, Где показаны порядковые номера каждого года; из номера соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня.
Вариант2. берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Применяя последовательно формулы 1.4,1.3, 1.2 и 1.6 получаем основную формулу для определения наращенной суммы:
(1.7)
(1.8)
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной величиной суммы S.
Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S – компаундингом.
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
При N интервалах начисления наращенная сумма составит:
(1.13)
Для множителя наращения имеем
(1.14)
Пример1. Ссуда в размере 50 000руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение. По формуле 1.7 S=50 000(1+0.5*0.28)=57 000руб.
Пример2. кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение.
По формуле 1.8 получаем S=10 000 000(1+284/366*0.3)=12 327 868 руб.
2. для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем
S=10 000 000(1+284/360*0.30)=12 366 666 руб.
3. для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (д=280) по формуле 1.8 получаем
S=10 000 000 (1+280/360*0.30)=12 333 333 руб.
Пример3. кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определите множитель наращения и наращенную сумму.
Решение.
По формуле 1.14: kн=1+0,3+0,5(0,29+0,28+0,27+0,26+0,25)=1,975
По формуле 1.13: S=20 000 000*1,975=39 500 000 руб.
Пример4. определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.
Решение:
По формуле 1.10 получаем
n=(40 000 000 – 25 000 000)/25 000 000*0,28=2,14 года
Пример5. определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.
Решение.
По формуле 1.12 получаем i=(30 000 000 – 24 000 000)/24 000 000*1=0,25=25%
Пример6. кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000руб.
Решение.
По формуле 1.9 (операция дисконтирования) имеем Р=40 000 000/(1+250/365*0,260)= 33 955 857 руб.
Из формулы 1.4 получаем I=40 000 000 – 33 955 857= 6 044 143 руб.
2.2 Простые учетные ставки
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.
Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, т.е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.
d(%) – простая годовая учетная ставка;
d – относительная величина учетной ставки;
Dг – сумма процентных денег, выплачиваемая за год;
D – общая сумма процентных денег;
S – сумма, которая должна быть возвращена;
Р – сумма, получаемая заемщиком.
Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
преобразуя последнее выражение, получаем формулу для определения наращенной суммы:
(2.5)
Из этой формулы легко видеть, что отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля.
На практике учетные ставки применяются главным образом при учете векселей и других денежных обязательств.
Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:
(2.6)
(2.7)
Пример7. кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30000000 руб.
Решение.
По формуле 2.4 получаем:
P=30 000 000(1 - 0.5*0.2)=27 000 000 руб.
Далее
D=S – P=30 000 00 – 27 000 000=3 000 000 руб.
Пример8. кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определите срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.
Решение.
Расчет проводится по формуле 2.6:
n=(40 000 000 – 35 000 000)/40 000 000*0,25=0,5
Пример9. рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.
Решение.
По формуле 2.7:
d=(10 000 000 – 9 000 000)/10 000 000*0,5=0,2=20%
2.3 Сложные ставки ссудных процентов
Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;
kн.с – коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.
Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма составит
S1=P(1+ic).
Еще через год это выражение применится уже к сумме S1:
S2=S1(1+ic)=P(1+ic)^2 и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит
(3.1)
Множитель наращения соответственно равен
(3.2)
При начислении простых процентов он составил бы по формулам 1.5 и 1.7:
kн=(1+ni).
Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.
Эту разницу наглядно можно представить с помощью графиков.
Если срок ссуды не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
(3.3)
где n=na+nb;
na – целое число лет;
nb – оставшаяся дробная часть года;
На практике часто предпочитают пользоваться формулой 3.1 с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь ввиду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.
Предположим теперь ,что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.
Пусть n1,n2,…,nN – продолжительность интервалов начисления в годах; i1,i2,…,iN – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:
(3.4)
Если все интервалы одинаковы (как и бывает обычно на практике) ставка процентов одна и та же, формула 3.4 принимает вид:
. (3.5)
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле 3.1, получаем выражение для определения наращенной суммы:
(3.6)
где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn – целое число интервалов начисления, l – часть интервала начисления), то выражение 3.6 принимает вид:
(3.7)
для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части – формула простых процентов.
В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное. Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью называются дискретными.
В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m – к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:
(3.8)
для расчетов можно использовать известную в математике формулу:
из этой формулы следует;
тогда для наращенной суммы получаем
(3.9)
(3.10)
Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (при одинаковых n,j,P).
Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того что известно и что требуется найти.
Так из формулы 3.1 получаем
(3.11)
также из формулы 3.1 имеем
(3.12)
из формулы 3.6
(3.13)
применяя к обеим частям формулы 3.1 операцию логарифмирования, получаем
(3.14)
подобным же образом из формулы 3.6 получаем
(3.15)
Пример10. первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.
Решение.
По формуле 1.7 для простых процентных ставок имеем:
S=200 000 (1+5*0.28)=480 000 руб.
По формуле 3.1 для сложных процентов
S=200 000 (1+0,28)^5= 687 194,7 руб.
По формуле 3.6 для начисления по полугодиям:
S=200 000 (1+0,14)^10= 741 444,18 руб.
Из той же формулы для поквартального начисления:
S=200 000(1+0,07)^20=773 936,66 руб.
По формуле 3.9 для непрерывного начисления
S=200 000e^1.4=811 000 руб.
Пример11.
Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.
Решение.
По формуле 3.3 получаем
S=50 000 000(1+0,25)^2(1+0.125)= 87 890 625 руб.
Для второго способа начисления используем формулу 3.1 с нецелым показателем степени
S=50 000 000(1+0.25)^2.5=87 346 390 руб.
Пример 12.
Определить современную величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.
Решение.
Воспользуемся формулой 3.11
P=100 000 000/(1+0.24)^3=52 449 386 руб.
Пример 13.
За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увеличится до 200 000 000руб., если:
А) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых;
Б) проценты будут начисляться ежеквартально?
Решение.
По формулам 3.14 и 3.15 имеем:
А) n=ln(200 000 000/50 000 000)/ln(1+0.28)=5.6 года
Б) n=ln(200 000 000/50 000 000)/4ln(1+0.07)=5.1 года
Пример 14.
Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.
Решение.
По формулам 3.12 и 3.13 вычисляем:
ic=
2.4 Сложные учетные ставки
Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов
Пусть
- сложная годовая учетная ставка;
- относительная величина сложной учетной ставки;
kну – коэффициент наращения для случая учетной ставки;
f – номинальная годовая учетная ставка.
Тогда по прошествии n лет наращенная сумма S в соответствии с формулой 2.5 составит
(4.1)
отсюда для множителя наращения имеем
(4.2)
сравнивая формулы 3.1 и 4.1, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.
Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный – для кредитора.
Для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем
(4.3)
при учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма превращается в
(4.4)
для начисления процентов m раз в году формула имеет такой вид:
(4.5)
или
(4.6)
при этом mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления, l – часть интервала начисления.
При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:
(4.7)
из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключении составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления n.
Таблица 1. величина наращенной суммы в зависимости
от вида процентной ставки
Р=10 000 ам.долл., величина процентной ставки – 10%.
|
Величина наращенной суммы |
n=1 |
n=3 |
n=6 |
|
S=P(1+in) простые проценты |
11 000 |
13 000 |
16 000 |
|
S=P(1+i)^n сложные проценты |
11 000 |
13 310 |
17 716 |
|
S=Pe^jn непрерывное начисление |
11 052 |
13 499 |
18 222 |
|
S=P/(1-dn) простые учетные ставки |
11 111 |
14 286 |
25 000 |
|
S=P/(1-d)^n сложные учетные ставки |
11 111 |
13 717 |
18 816 |
Пример 15.
Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.
Решение.
По формулам 3.1 и 4.1 получаем
S1=25 000 000(1+0.25)^3=48 828 125 руб.
S2=25 000 000/ (1-0.25)^3= 59 255 747 руб.
Пример 16.
Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Решение
Производим расчет по формуле 4.8
Р=120 000 000 (1-0,2)^2= 76 800 000 руб.
9