Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Определение вероятности.
Вероятностью Р(А) наз. числовая функция Р, определенная на сигма-алгебре множества F и удовлетворяющим следующим 3 аксиомам:
Примечание 3-я аксиома равносильна аксиоме непрерывности .
Классическое определение:
Вероятностью события А наз. отношение числа элементарных исходов m, благоприятствующих наступлению события А к общему числу возможных исходов n.
;1-ый недостаток: в этом определении число исходов конечно.
Геометрическое определение:
; отношение меры(длина, площадь, объём) к мере.
; (отношение длины к длине); ; (отношение площадей).
Статистическое определение:
; общее число испытаний;число опытов, в которых наступило событие А; относительная частота наступления события А.
Теорема о вероятности суммы событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – формула вероятности суммы произвольных событий.
Вероятность суммы несовместных событий
(АВ=; АiAj= ij).
P(A+B)=P(А)+Р(В)
Для попарно несовместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=P(А1)+P(А2)+…+ P(Аn);
Перестановки.
Перестановками наз. комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга лишь местоположением элементов.
n=2 - ab,ba; n=3 – abc, acb, bac, bca, cba, cab.
Pn=n!
Сочетания.
Сочетания из n элементов по m элементов наз. комбинации, отличающихся друг от друга лишь составом элементов.
Пример: Из 12 разведчиков в разведку надо отправить 3.
Размещения.
Размещениями наз. комбинации из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга не только составом элементов, но и их месторасположением.
Пример. На разведку минного поля из 12 разведчиков надо послать 3.
2. Условная вероятность. Независимое событие. Формула умножения вероятности.
Условная вероятность.
условная вероятность(вероятность события А при условии, что произошло событие В).
;
Пусть произведению событий А и В благоприятствуют m исходов, событию В – k исходов. Общее число возможных и равновозможных исходов = n.
; ;
.
Независимые события.
Событие А и В наз. независимыми, если P(AB)=P(A)P(B);
События наз. попарно независимыми, если для любой пары P(Ai,Aj)=P(Ai)P(Aj), .
События наз. A1,A2…An независимыми в совокупности, если P(A1,A2….An)=P(A1)P(A2)..P(An);
Вероятность наступления хотя бы одного события.
Пусть события А1,А2..Аn независимы в совокупности, тогда
ж
Если вероятность события обозначить , то вер-ть противоположного события обозн. .
P(A)=1-q1q2..qn.
Когда А1…Аn равновероятны, то .
3. Ф-ла полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть события Н1, Н2, … ,Нn, во-первых, попарно не совместны. , и во-вторых, они образуют полную группу событий.
, тогда Н1, Н2, … ,Нn наз. гипотезами. Пусть некоторое событие А может наступить одновременно с какой-то из гипотез Н1, Н2, … ,Нn. Поэтому А=АН1+АН2+…+АНn. P(A)=P(H1A+H2A+…+HnA)=P(H1A)+ P(H2A)+…+ P(HnA)=
P(H1)P(A/H1)+ P(H2)P(A/H2)+… P(Hn)P(A/Hn).
. (1)
Формула Байеса.
Событие А свершилось. В ф-ле (1) считается вероятность до опыта (априорная), в ф-ле Байеса происходит пересчет гипотезы после опыта (апосториорная).
.
4.Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Пуассона.
Пусть проводится серия из n одинаковых испытаний, в каждом из кот. событие А может произойти с одной и той же вероятностью р (в-ть успеха) и не произойти с одной и той же вероятностью q (в-ть неудачи) q=1-p. Наступление либо не наступление события А в n-ом испытании не зависит от исхода предыдущих испытаний.
Pn(m) из n испытаний событие произойдет ровно n раз.
— формула Бернулли.
Pn(0)+Pn(1)+ Pn(2)+…+ Pn(m)+…+ Pn(n)=(q+p)n=1.
При помощи этой формулы событие произойдет больше m раз: Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n).
Формула Бернулли применяется, когда n — невелико (не больше 10). Если n>10, то на практике применяют: локально-интегральную теорему Муавра-Лапласа, а также формулу Пуассона.
n- велико, порядка сотен и тысяч.
p- мало, порядка сотых и тысячных.
, где ; .
5.Наивероятнейшее число наступления события.
Вероятность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента m.
Существует такое значение аргумента , при котором эта функция принимает наибольшее значение
np-mp>mq+q
m(q+p)<np-q, где q+p=1
m<np-q
Вывод при таких m при таких m функция возростает.
И наоборот при
m>np-q
, то есть при таких m функция убывает, то есть действителен один при котором функция достигает max значения
По смыслу должны выполняться два неравенства
Распишем 2-е неравенство
6. Локальная теорема и интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Локальная теорема.
Применяется, когда 0<P<1 или не слишком близко к 0 или 1.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
, i=1,2,3,…
- функция Лапласа (интеграл ошибок, интеграл вероятностей)
Пример 300 дет. за смену
Р(1-ого сорта)=0.75 q=0.25
а) 225 штук б) от 210 до 240
а)
б) ; ;
7. СВ. Функции распределения и их свойства.
СВ наз. величины к-рые могут принимать те или иные значения заранее до опыта неизвестно какие именно. Различают дискретные и непрерывные СВ.
Дискретные СВ.
Значения обознач х1,х2,…,хn,…
Всякое описание значений, к-рые может принимать СВ и соответствующие этим значениям вероятности наз. законом распределения СВ.
Для дискретной СВ:
|
xi |
X1 |
X2 |
… |
xn |
|
pi |
P1 |
P2 |
… |
pn |
;
Пример:
Вер. Того что в библиотеке нужная ему книга свободна равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВХ – это число библиотек к-рое посетит студент. Составить з-н распределения СВ.
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Pi |
0.3 |
Ф-ция распределения СВ.
Ф-цией распределения или интегральной ф-цией наз. F(X)=P(X<x). Вер.того вер.Х меньше чем х:
|
xi |
X1 |
X2 |
… |
xn |
|
pi |
P1 |
P2 |
… |
pn |
Свойства:
1.
2.F(X)-функция неубывающая
X1 X2 X
Рассмотрим событие
;
;
-большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
3.
Замечание: если случ. Величина X непрерывна то вероятность того что СВХ примет значение х равна 0.
ж
8.Числовые хар-ки случайной величины.
Математическое ожидание:
На практике часто полное описание случайной величины не слишком важно, достаточно знать нек. параметры. Их называют числовыми характеристиками. Наиболее важная – мат. ожидание или её среднее значение (М(Х))
|
xi |
X1 – Xn |
|
pi |
P1 - Pn |
Дисперсия случайной величины:
Дисперсия характ. Разброс значений СВ около своего среднего значения (показатель рассеивания)
Дисперсия – мат. ожидание от квадрата отклонения СВ от своего мат. ожидания
;где
Среднее квадратичное отклонение:
Пример:и т.д.
9.Биномиальный закон распределения.
Говорят, что СВ распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …,n а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
0 - Pn(0), 1 – Pn(1), m – Pn(m), n – Pn(n)
; ;;; ;
В (1) положим t=1
;;;;
;
10.Распределение Пуассона. Равномерное распределение.
СВ распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, m,…,n, а соответсвующие вероятности по формуле Бернулли.
Равномерное распределение.
Непрерывная СВ распределена равномерно, если её плотность распределения вероятности имеет вид:
;
11. Показательное или экспоненциальное распределение.
12. Нормальный закон распределения. Числовые характеристики.
Непрерывная случ. величина распред. по нормальному з-ну, если плотность распределения или
13. Ф-ция Лапласа и ее связь с интегр. ф-цией нормального распределения.
(1)
Осн. св-ва ф-ции Лапласа.
½
-1/2
Вероятность попадания в интервал длиной в есть практически достоверное событие.
14.Многомерные случайные величины(СВ)
Рассмотрим двумерную СВ. Законом распределения наз-я соотношение, связывающее значение, которое принимает СВ с соответствующими вероятностями.
x x1 x2………….xn
y
y1 P11 P12 ……P1N
y2 P21 P22 ……P2N
ym Pm1 Pm2 ……Pmn
x x1 x2……….. ……xn
y y1 y2……….. ……ym
; i=1…n; j=1..m.
Интегральная ф-ия распределения СВ.
F(x,y)=P(X<x,Y<y);
F(x1,x2,….,xn)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn);
Основные св-ва интегральной ф-ии:
1. Значение ф-ии 0<F(x,y)<=1;
2.Функция неубывающая по любому из элементов;
3. Предельное соотношение
; ; ; .
Дифференциальная ф-ия распределения СВ.
P(x<X<x+∆x, y<Y<y+∆y)=F(x+∆x, y+∆y)-F(x, y+∆y)-(F(x+∆x,y)-F(x,y))=
Основные св-ва :
1. F(x,y)=;
2.Условие нормировки
3. Диффер. Ф-ия неотрицательна f(x,y)>=0
Числовые характеристики ДСВ.
Корреляционный момент двумерной СВ
Теорема: корреляционный момент 2-ух независимых СВ x и y равен 0.
Док-во: если независимы x,y , то независимы x-M(x) и y-M(y). По св-ву мат. ожидания Коэффициент корреляции: .
15.Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
Пусть СВ X принимает только неотрицательные значения и у неё есть матем. Ожидание M(x), то какова бы ни была положительная величина ξ той же размерности, что и X, всегда выполняется ;
Док-во: проведем док-во только для непрерывных СВ. P(X)=0,X<0; P(X)>=0,X>=0;
;
;
;; .
Неравенство Чебышева.
Какаво бы не было положительное число для любой СВ X, дисперсия которой конечна справедливо неравенство ;
.
16. Т.Чебышева. Т.Бернули.
Последовательность чисел наз. равномерно ограниченной, если сущ. такая константа M , . Если - последовательность попарно независимых СВ, у каждой из которых есть мат. ожидание и (дисперсии равномерно ограничены), то предел (6) -предел по вероятности.
Док-во. По условию последовательность дисперсии равномерно ограниченна, т.е. , .
Рассмотрим вспомогательные СВ . У нее есть мат. ожидание
удовл. требованиям неравенства Чебышева. Применяя неравенство (6)
(8)
(9)
Следствие из теоремы : если - последов независим. СВ имеющих одно и то же мат. ожидание и , то неравенство .(9). Примет вид (10)
Следствие из теоремы важно на практике, если нужно измерить некоторую величину, истинное значение которой , проводят измерений этой величины. Если при измерениях отсутствуют системные ошибки, то можно считать что дисперсии ограничены, тогда среднее арифм. значение рез-ов измерений с ростом n прибл. к истинному значепию измеряемой величины m . Можно положить, что .
Т.Бернули
(1) - относительная частота или частность (сходится к вер-ти)
Док-во: Пусть - число появления события A в первом испытании.
|
0 |
1 |
||
|
q |
p |
,
Мы находимся в условиях т.Чебышева
;
т.Бернули явл. статистическим определением вероятности.
17. Теорема Ляпунова:
Можно доказать что, если - нормально распределенные случайные величины, то их сумма также норм. распред. СВ с мат. ожиданием ,
Обобщением явл. т. Ляпунова :
Пусть - независимые СВ, у каждой из которых мат. ожидание
и, абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется , .(3). то для суммы выполняется следующее .(4).
Следствие: если все и одинаковые, тораспределена асимптотически по нормальному закону.
Физ. смысл условий, при кот. сумма будет распространяться практически по норм закону, сост. в том, что удельный вес каждого слаг. должен 0 при увеличении числа слагаемых.