У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика для экономических специальностей Саратов 2010г

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 19.2.2025

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И.Вавилова»

Факультет агропромышленного рынка

Функции нескольких переменных.

Типовой расчёт №5

Методические указания и задания по курсу «Математика» для экономических специальностей

Саратов 2010г.

Составители: Цолан Н.А.; Хучраева Т.С.; Кириллова Т.В.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти область определения функции z=  и её частные производные.

Решение.

Областью определения функции z=  является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6.

Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.

z’x=

При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const

z’y=

Задание 2.

Дана функция z=ху+х. Показать, что х

Решение.

Найдём частные производные функции z.

Подставим найденные производные в заданное выражение.

Х

x(у+е+у(х+е

ху+хе

2ху+хе

2ху+хе

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg 

Решение.

Найдём частные производные:

;

Найдём частные дифференциалы.

dz=

dz

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f' f’, f’в точке М(1; для функции

f'==-

f’;

f’;

f'(М;

f'(М;

f'(М

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)

Решение.

Полный дифференциал функции определяется формулой

dz=

Найдём частные производные функции

 

Полный дифференциал

dz=

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=, где х=е; у=2-е, при t=0.

Решение.

Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле

Найдём все производные:

Тогда                  

Найдём значение производной  в точке t

     

        

Задание7.

Вычислить значения частных производных неявной функции

е  в точке М(;

Решение.

Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:

    ;

Нам задана неявная функция

е

F  F F

Следовательно

Найдём производные в точке М(;

Задание 8.

  1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

S: z=  в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид

z-.

Уравнение нормали

Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М

f                            (f

f                      (f

Отсюда, применяя формулы, будем иметь

z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и

- уравнение нормали.

  1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

 в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид

Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М

                   

                                    

      

Следовательно уравнение касательной плоскости:

-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0   или   х+z+2=0

Уравнение нормали

  или    

Задание 9.

Найти градиент функции Z= в точке М

Решение.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.

=

Найдём частные производные функции z и их значения в точке  М

                         

                            = 1

Следовательно, gradz=2

Задание 10.

Исследовать на экстремум функцию  z=

Решение.

Найдём частные производные:

Используя необходимое условие экстремума:

Составим систему уравнений

Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.

                              

Стационарные точки М(-2;-1); М(2;1); М(-1;-2); М(1;2)

Найдём производные второго порядка

     =6у;      

И составим дискриминант ∆=А для каждой стационарной точки

  1.  Для точки М: А=;   В=;   С=

∆=А.

В точке М функция имеет максимум, равный z=-8-6+30+12=28

  1.  Для точки М: А=12;   В=6;   С=12;

∆=144-36>0;   А>0.

В точке М  функция имеет минимум, равный z=8+6-30-12=-28

  1.  Для точки М: А=-6;   В=-12;   С=-6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

  1.  Для точки М: А=6;   В=12;   С=6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

Расчетные задания.

Задание 1.

Найти область определения указанных функций и частные производные.

  1.  z=                                                                   2. z=arcsin (x-y)

3.  z=                                                              4. z=

5. z=                                                                 6. z=

7. z=arccos (x+y)                                                            8. z=

9. z=                                                       10. z=

11. z=                                                          12. z=

13. z=                                                                    14. z=arcsin

15. z=                                                        16. z=

17. z=arccos (x+2y)                                                      18. z= arcsin (2x-y)

19. z=                                                20. z=

21. z=                                                             22. z=

23. z=                                                                  24. z=

25. z=                                            26. z= arcsin (3x-y)

27. z=                                                                  28. z=

29. z=                                                                  30. z=

Задание 2.

  1.  Дана функция z= . Показать, что  =
  2.  Дана функция z=х. Показать, что =z
  3.  Дана функция z=(tg. Показать, что =2z
  4.  Дана функция z=arcsin. Показать, что =0
  5.  Дана функция z=. Показать, что =-z
  6.  Дана функция z=. Показать, что =
  7.  Дана функция  Показать, что =3(
  8.  Дана функция z. Показать, что                       =
  9.  Дана функция Показать, что =0
  10.   Дана функция . Показать, что =0
  11.   Дана функция Показать, что 3у=0
  12.   Дана функцияtgПоказать, что 3у=0
  13.   Дана функция . Показать, что =z
  14.   Дана функция  Показать, что =
  15.   Дана функция  Показать, что =2
  16.   Дана функция . Показать, что =0
  17.   Дана функция . Показать, что =0
  18.   Дана функция . Показать, что =-z
  19.   Дана функция  Показать, что =1
  20.   Дана функция arc. Показать, что =-
  21.   Дана функция  Показать, что =0
  22.   Дана функция Показать, что =1
  23.   Дана функция ). Показать, что =2
  24.   Дана функция у. Показать, что =z+2у
  25.   Дана функция tg . Показать, что =2z
  26.   Дана функция Показать, что =4(
  27.   Дана функция . Показать, что =0
  28.   Дана функция . Показать, что =0
  29.   Дана функция . Показать, что =0
  30.   Дана функция . Показать, что =2(

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций

  1.  

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f, f, f для данной функции f(х,у,z) в точке

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27.  
  28.  
  29.  
  30.  

Задание 5.

Найти полные дифференциалы указанных функций

1.

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=z(х,у) где

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27.  
  28.  
  29.  
  30.  

Задание 7.

Вычислить значения частных производных функции z(х;у), заданной неявно, в данной точке

  1.  =4                                                 
  2.  =2                                                      
  3.  3х-2у+z=хz+5                                                                    
  4.                                                         
  5.  =0                                                 
  6.  +3у=7                                           
  7.  х+у+z=    
  8.  ху+1                                                      
  9.  =0                                                       
  10.   ху=                                                                          
  11.   =2                                          
  12.                                                    
  13.   х                                        
  14.   3
  15.                                   
  16.   х+у+z+2=хуz                                                                       
  17.                                                     
  18.   
  19.                            
  20.          
  21.                                                  
  22.                
  23.                         
  24.  =                                                                   
  25.  =    
  26.  
  27.            
  28.   cos (ху)+ cos (хz)-sin (уz)=1                                                 
  29.   (+=2                                                                   
  30.                                           

Задание 8.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке

  1.  S:                                 
  2.  S:                                                  
  3.  S:                                         
  4.  S:                                         
  5.  S:                                       
  6.  S:                                 
  7.  S:                                             
  8.  S:                                                  
  9.  S:                               
  10.   S:       
  11.   S:                                        
  12.   S:                                                
  13.   S:                                        
  14.   S:                                   
  15.   S:                                   
  16.   S:                                  
  17.   S:                                   
  18.   S:                                     
  19.   S:                                        
  20.   S:                                     
  21.   S:                                      
  22.   S:                                             
  23.   S:                                               
  24.   S:                                                                     
  25.   S:                                                                   
  26.   S:
  27.   S:хуz=8                                                                                  
  28.   S:                                                      
  29.   S:                                                                   
  30.   S:                                                

Задание 9.

Найти градиент следующих функций в данной точке )

  1.                                                                 
  2.  ;                                                                        
  3.                                                                     
  4.    ;                                                                            
  5.   ;                                                                               
  6.                                                                              
  7.   ;                                                                   
  8.                                                                  
  9.  ;                                                                         
  10.                                                                      
  11.     ;                                                                            
  12.    ;                                                                               
  13.                                                                             
  14.    ;                                                                   
  15.    ;                                                                   
  16.    ;                                                                                     
  17.   ;                                                                      
  18.    ;     
  19.                                                                
  20.   z=2ху-4х-2у ;                                                                           
  21.   ;                                                                     
  22.    ;                                                                                  
  23.    ;                                                                    
  24.    ;                                                                               
  25.   z=3 - ;                                                                           
  26.   z=у ;                                                                                     
  27.   z= ;                                                                               
  28.    ;                                                                   
  29.   z= ;                                                                      
  30.   z=ctg  ;                                                                                     

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции

  1.  -2-х+14у
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  +2
  13.  +
  14.  
  15.  
  16.   --у+6х+3
  17.  +2
  18.  (12-х-у)
  19.  +9
  20.  
  21.  +20
  22.   --х+6у
  23.  
  24.  
  25.  z= 
  26.  
  27.  2у+8
  28.  
  29.  
  30.  2




1. модуль 3- Основи діагностики лікування та профілактики основних хвороб органів дихання
2. C-DC
3. вариант демо При выполнении заданий А1 ~ А7 в строке ответов отметьте номер который соответствует номеру в
4. Понятие Договор займа кредитный договор и договор факторинга оформляют единые экономические кредитные о
5. Контрольная работа по дисциплине Отечественная история ВОПРОС 1
6. Міжнародне перестрахування
7. т~пкілікті ж~не те~
8. Стиль красота и ухоженность тождественны
9. й Осия13-716 ~ Осия14 ; День 68й
10. Содержание и задачи Международных стандартов финансовой отчетности. Правила подготовки и представления финансовой отчетности по МСФО

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе