тематика для экономических специальностей Саратов 2010г

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И.Вавилова»

Факультет агропромышленного рынка

Функции нескольких переменных.

Типовой расчёт №5

Методические указания и задания по курсу «Математика» для экономических специальностей

Саратов 2010г.

Составители: Цолан Н.А.; Хучраева Т.С.; Кириллова Т.В.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти область определения функции z=  и её частные производные.

Решение.

Областью определения функции z=  является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6.

Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.

z’x=

При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const

z’y=

Задание 2.

Дана функция z=ху+х. Показать, что х

Решение.

Найдём частные производные функции z.

Подставим найденные производные в заданное выражение.

Х

x(у+е+у(х+е

ху+хе

2ху+хе

2ху+хе

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg 

Решение.

Найдём частные производные:

;

Найдём частные дифференциалы.

dz=

dz

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f' f’, f’в точке М(1; для функции

f'==-

f’;

f’;

f'(М;

f'(М;

f'(М

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)

Решение.

Полный дифференциал функции определяется формулой

dz=

Найдём частные производные функции

 

Полный дифференциал

dz=

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=, где х=е; у=2-е, при t=0.

Решение.

Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле

Найдём все производные:

Тогда                  

Найдём значение производной  в точке t

     

        

Задание7.

Вычислить значения частных производных неявной функции

е  в точке М(;

Решение.

Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:

    ;

Нам задана неявная функция

е

F  F F

Следовательно

Найдём производные в точке М(;

Задание 8.

1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

S: z=  в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид

z-.

Уравнение нормали

Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М

f                            (f

f                      (f

Отсюда, применяя формулы, будем иметь

z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и

- уравнение нормали.

1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

 в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид

Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М

                   

                                    

      

Следовательно уравнение касательной плоскости:

-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0   или   х+z+2=0

Уравнение нормали

  или    

Задание 9.

Найти градиент функции Z= в точке М

Решение.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.

=

Найдём частные производные функции z и их значения в точке  М

                         

                            = 1

Следовательно, gradz=2

Задание 10.

Исследовать на экстремум функцию  z=

Решение.

Найдём частные производные:

Используя необходимое условие экстремума:

Составим систему уравнений

Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.

                              

Стационарные точки М(-2;-1); М(2;1); М(-1;-2); М(1;2)

Найдём производные второго порядка

     =6у;      

И составим дискриминант ∆=А для каждой стационарной точки

1.  Для точки М: А=;   В=;   С=

∆=А.

В точке М функция имеет максимум, равный z=-8-6+30+12=28

1.  Для точки М: А=12;   В=6;   С=12;

∆=144-36>0;   А>0.

В точке М  функция имеет минимум, равный z=8+6-30-12=-28

1.  Для точки М: А=-6;   В=-12;   С=-6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

1.  Для точки М: А=6;   В=12;   С=6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

Расчетные задания.

Задание 1.

Найти область определения указанных функций и частные производные.

1.  z=                                                                   2. z=arcsin (x-y)

3.  z=                                                              4. z=

5. z=                                                                 6. z=

7. z=arccos (x+y)                                                            8. z=

9. z=                                                       10. z=

11. z=                                                          12. z=

13. z=                                                                    14. z=arcsin

15. z=                                                        16. z=

17. z=arccos (x+2y)                                                      18. z= arcsin (2x-y)

19. z=                                                20. z=

21. z=                                                             22. z=

23. z=                                                                  24. z=

25. z=                                            26. z= arcsin (3x-y)

27. z=                                                                  28. z=

29. z=                                                                  30. z=

Задание 2.

1.  Дана функция z= . Показать, что  =
2.  Дана функция z=х. Показать, что =z
3.  Дана функция z=(tg. Показать, что =2z
4.  Дана функция z=arcsin. Показать, что =0
5.  Дана функция z=. Показать, что =-z
6.  Дана функция z=. Показать, что =
7.  Дана функция  Показать, что =3(
8.  Дана функция z. Показать, что                       =
9.  Дана функция Показать, что =0
10.   Дана функция . Показать, что =0
11.   Дана функция Показать, что 3у=0
12.   Дана функцияtgПоказать, что 3у=0
13.   Дана функция . Показать, что =z
14.   Дана функция  Показать, что =
15.   Дана функция  Показать, что =2
16.   Дана функция . Показать, что =0
17.   Дана функция . Показать, что =0
18.   Дана функция . Показать, что =-z
19.   Дана функция  Показать, что =1
20.   Дана функция arc. Показать, что =-
21.   Дана функция  Показать, что =0
22.   Дана функция Показать, что =1
23.   Дана функция ). Показать, что =2
24.   Дана функция у. Показать, что =z+2у
25.   Дана функция tg . Показать, что =2z
26.   Дана функция Показать, что =4(
27.   Дана функция . Показать, что =0
28.   Дана функция . Показать, что =0
29.   Дана функция . Показать, что =0
30.   Дана функция . Показать, что =2(

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций

1.  

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f, f, f для данной функции f(х,у,z) в точке

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18.  
19.  
20.  
21.  
22.  
23.  
24.  
25.  
26.  
27.  
28.  
29.  
30.  

Задание 5.

Найти полные дифференциалы указанных функций

1.

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=z(х,у) где

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18.  
19.  
20.  
21.  
22.  
23.  
24.  
25.  
26.  
27.  
28.  
29.  
30.  

Задание 7.

Вычислить значения частных производных функции z(х;у), заданной неявно, в данной точке

1.  =4                                                 
2.  =2                                                      
3.  3х-2у+z=хz+5                                                                    
4.                                                         
5.  =0                                                 
6.  +3у=7                                           
7.  х+у+z=    
8.  ху+1                                                      
9.  =0                                                       
10.   ху=                                                                          
11.   =2                                          
12.                                                    
13.   х                                        
14.   3
15.                                   
16.   х+у+z+2=хуz                                                                       
17.                                                     
18.   
19.                            
20.          
21.                                                  
22.                
23.                         
24.  =                                                                   
25.  =    
26.  
27.            
28.   cos (ху)+ cos (хz)-sin (уz)=1                                                 
29.   (+=2                                                                   
30.                                           

Задание 8.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке

1.  S:                                 
2.  S:                                                  
3.  S:                                         
4.  S:                                         
5.  S:                                       
6.  S:                                 
7.  S:                                             
8.  S:                                                  
9.  S:                               
10.   S:       
11.   S:                                        
12.   S:                                                
13.   S:                                        
14.   S:                                   
15.   S:                                   
16.   S:                                  
17.   S:                                   
18.   S:                                     
19.   S:                                        
20.   S:                                     
21.   S:                                      
22.   S:                                             
23.   S:                                               
24.   S:                                                                     
25.   S:                                                                   
26.   S:
27.   S:хуz=8                                                                                  
28.   S:                                                      
29.   S:                                                                   
30.   S:                                                

Задание 9.

Найти градиент следующих функций в данной точке )

1.                                                                 
2.  ;                                                                        
3.                                                                     
4.    ;                                                                            
5.   ;                                                                               
6.                                                                              
7.   ;                                                                   
8.                                                                  
9.  ;                                                                         
10.                                                                      
11.     ;                                                                            
12.    ;                                                                               
13.                                                                             
14.    ;                                                                   
15.    ;                                                                   
16.    ;                                                                                     
17.   ;                                                                      
18.    ;     
19.                                                                
20.   z=2ху-4х-2у ;                                                                           
21.   ;                                                                     
22.    ;                                                                                  
23.    ;                                                                    
24.    ;                                                                               
25.   z=3 - ;                                                                           
26.   z=у ;                                                                                     
27.   z= ;                                                                               
28.    ;                                                                   
29.   z= ;                                                                      
30.   z=ctg  ;                                                                                     

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции

1.  -2-х+14у
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  +2
13.  +
14.  
15.  
16.   --у+6х+3
17.  +2
18.  (12-х-у)
19.  +9
20.  
21.  +20
22.   --х+6у
23.  
24.  
25.  z= 
26.  
27.  2у+8
28.  
29.  
30.  2

1. Противоправное безвозмездное обращение имущества вверенного лицу в свою пользу или пользу других лиц при
2. оттепели 19551964 Проводившиеся в эти годы преобразования были хотя и многочисленны но непоследователь
3. Сварка путем плавления
4. Роман Перевод с англ
5. Статья- Принцип работы маршрутизатора
6. документах. Существуют две большие группы PRдокументов- внутренние и внешние.
7.  До якої групи пестицидів належить дихлофос а хлорорганічних; б нітрофенолів; в фосфо
8. искусствоведа Ивана Владимировича Цветаева 18471913 основателя Московского музея изобразительных искусств и
9. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю РАСПИСА
10. ИННОВАЦИОННАЯ ПОЛИТИКА
11. Записка какаято а я очки забыла
12. Определение скорости выбросов серы на спутнике Юритера Ио
13. Триумф воли8 Заключение15 Список литературы17 Введение Пропаганда проводимая Нац
14. Аксельрод Любовь Исааковна
15. 5500С и в присутствии катализатора.html
16. вступні випробування конкурсний відбір та зарахування на навчання вступників на основі повної загальної
17. Робота з текстовими файлами Криптографія Закодувати введений текст помінявши всі символи на наст
18. варианты образы мышление эмоции внимание память личность характер темперамент
19. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата наук з фізичного виховання і спорту
20. Судовой двигатель внутреннего сгорания L2131

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе