Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика для экономических специальностей Саратов 2010г

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 6.11.2024

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И.Вавилова»

Факультет агропромышленного рынка

Функции нескольких переменных.

Типовой расчёт №5

Методические указания и задания по курсу «Математика» для экономических специальностей

Саратов 2010г.

Составители: Цолан Н.А.; Хучраева Т.С.; Кириллова Т.В.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти область определения функции z=  и её частные производные.

Решение.

Областью определения функции z=  является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6.

Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.

z’x=

При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const

z’y=

Задание 2.

Дана функция z=ху+х. Показать, что х

Решение.

Найдём частные производные функции z.

Подставим найденные производные в заданное выражение.

Х

x(у+е+у(х+е

ху+хе

2ху+хе

2ху+хе

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg 

Решение.

Найдём частные производные:

;

Найдём частные дифференциалы.

dz=

dz

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f' f’, f’в точке М(1; для функции

f'==-

f’;

f’;

f'(М;

f'(М;

f'(М

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)

Решение.

Полный дифференциал функции определяется формулой

dz=

Найдём частные производные функции

 

Полный дифференциал

dz=

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=, где х=е; у=2-е, при t=0.

Решение.

Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле

Найдём все производные:

Тогда                  

Найдём значение производной  в точке t

     

        

Задание7.

Вычислить значения частных производных неявной функции

е  в точке М(;

Решение.

Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:

    ;

Нам задана неявная функция

е

F  F F

Следовательно

Найдём производные в точке М(;

Задание 8.

  1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

S: z=  в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид

z-.

Уравнение нормали

Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М

f                            (f

f                      (f

Отсюда, применяя формулы, будем иметь

z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и

- уравнение нормали.

  1.  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

 в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид

Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М

                   

                                    

      

Следовательно уравнение касательной плоскости:

-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0   или   х+z+2=0

Уравнение нормали

  или    

Задание 9.

Найти градиент функции Z= в точке М

Решение.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.

=

Найдём частные производные функции z и их значения в точке  М

                         

                            = 1

Следовательно, gradz=2

Задание 10.

Исследовать на экстремум функцию  z=

Решение.

Найдём частные производные:

Используя необходимое условие экстремума:

Составим систему уравнений

Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.

                              

Стационарные точки М(-2;-1); М(2;1); М(-1;-2); М(1;2)

Найдём производные второго порядка

     =6у;      

И составим дискриминант ∆=А для каждой стационарной точки

  1.  Для точки М: А=;   В=;   С=

∆=А.

В точке М функция имеет максимум, равный z=-8-6+30+12=28

  1.  Для точки М: А=12;   В=6;   С=12;

∆=144-36>0;   А>0.

В точке М  функция имеет минимум, равный z=8+6-30-12=-28

  1.  Для точки М: А=-6;   В=-12;   С=-6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

  1.  Для точки М: А=6;   В=12;   С=6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

Расчетные задания.

Задание 1.

Найти область определения указанных функций и частные производные.

  1.  z=                                                                   2. z=arcsin (x-y)

3.  z=                                                              4. z=

5. z=                                                                 6. z=

7. z=arccos (x+y)                                                            8. z=

9. z=                                                       10. z=

11. z=                                                          12. z=

13. z=                                                                    14. z=arcsin

15. z=                                                        16. z=

17. z=arccos (x+2y)                                                      18. z= arcsin (2x-y)

19. z=                                                20. z=

21. z=                                                             22. z=

23. z=                                                                  24. z=

25. z=                                            26. z= arcsin (3x-y)

27. z=                                                                  28. z=

29. z=                                                                  30. z=

Задание 2.

  1.  Дана функция z= . Показать, что  =
  2.  Дана функция z=х. Показать, что =z
  3.  Дана функция z=(tg. Показать, что =2z
  4.  Дана функция z=arcsin. Показать, что =0
  5.  Дана функция z=. Показать, что =-z
  6.  Дана функция z=. Показать, что =
  7.  Дана функция  Показать, что =3(
  8.  Дана функция z. Показать, что                       =
  9.  Дана функция Показать, что =0
  10.   Дана функция . Показать, что =0
  11.   Дана функция Показать, что 3у=0
  12.   Дана функцияtgПоказать, что 3у=0
  13.   Дана функция . Показать, что =z
  14.   Дана функция  Показать, что =
  15.   Дана функция  Показать, что =2
  16.   Дана функция . Показать, что =0
  17.   Дана функция . Показать, что =0
  18.   Дана функция . Показать, что =-z
  19.   Дана функция  Показать, что =1
  20.   Дана функция arc. Показать, что =-
  21.   Дана функция  Показать, что =0
  22.   Дана функция Показать, что =1
  23.   Дана функция ). Показать, что =2
  24.   Дана функция у. Показать, что =z+2у
  25.   Дана функция tg . Показать, что =2z
  26.   Дана функция Показать, что =4(
  27.   Дана функция . Показать, что =0
  28.   Дана функция . Показать, что =0
  29.   Дана функция . Показать, что =0
  30.   Дана функция . Показать, что =2(

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций

  1.  

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f, f, f для данной функции f(х,у,z) в точке

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27.  
  28.  
  29.  
  30.  

Задание 5.

Найти полные дифференциалы указанных функций

1.

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=z(х,у) где

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27.  
  28.  
  29.  
  30.  

Задание 7.

Вычислить значения частных производных функции z(х;у), заданной неявно, в данной точке

  1.  =4                                                 
  2.  =2                                                      
  3.  3х-2у+z=хz+5                                                                    
  4.                                                         
  5.  =0                                                 
  6.  +3у=7                                           
  7.  х+у+z=    
  8.  ху+1                                                      
  9.  =0                                                       
  10.   ху=                                                                          
  11.   =2                                          
  12.                                                    
  13.   х                                        
  14.   3
  15.                                   
  16.   х+у+z+2=хуz                                                                       
  17.                                                     
  18.   
  19.                            
  20.          
  21.                                                  
  22.                
  23.                         
  24.  =                                                                   
  25.  =    
  26.  
  27.            
  28.   cos (ху)+ cos (хz)-sin (уz)=1                                                 
  29.   (+=2                                                                   
  30.                                           

Задание 8.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке

  1.  S:                                 
  2.  S:                                                  
  3.  S:                                         
  4.  S:                                         
  5.  S:                                       
  6.  S:                                 
  7.  S:                                             
  8.  S:                                                  
  9.  S:                               
  10.   S:       
  11.   S:                                        
  12.   S:                                                
  13.   S:                                        
  14.   S:                                   
  15.   S:                                   
  16.   S:                                  
  17.   S:                                   
  18.   S:                                     
  19.   S:                                        
  20.   S:                                     
  21.   S:                                      
  22.   S:                                             
  23.   S:                                               
  24.   S:                                                                     
  25.   S:                                                                   
  26.   S:
  27.   S:хуz=8                                                                                  
  28.   S:                                                      
  29.   S:                                                                   
  30.   S:                                                

Задание 9.

Найти градиент следующих функций в данной точке )

  1.                                                                 
  2.  ;                                                                        
  3.                                                                     
  4.    ;                                                                            
  5.   ;                                                                               
  6.                                                                              
  7.   ;                                                                   
  8.                                                                  
  9.  ;                                                                         
  10.                                                                      
  11.     ;                                                                            
  12.    ;                                                                               
  13.                                                                             
  14.    ;                                                                   
  15.    ;                                                                   
  16.    ;                                                                                     
  17.   ;                                                                      
  18.    ;     
  19.                                                                
  20.   z=2ху-4х-2у ;                                                                           
  21.   ;                                                                     
  22.    ;                                                                                  
  23.    ;                                                                    
  24.    ;                                                                               
  25.   z=3 - ;                                                                           
  26.   z=у ;                                                                                     
  27.   z= ;                                                                               
  28.    ;                                                                   
  29.   z= ;                                                                      
  30.   z=ctg  ;                                                                                     

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции

  1.  -2-х+14у
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  +2
  13.  +
  14.  
  15.  
  16.   --у+6х+3
  17.  +2
  18.  (12-х-у)
  19.  +9
  20.  
  21.  +20
  22.   --х+6у
  23.  
  24.  
  25.  z= 
  26.  
  27.  2у+8
  28.  
  29.  
  30.  2




1. 2012г
2. Личность~ это человек взятый в системе таких его психологических характеристик которые социально обусло
3. Методы ценообразования в рыночной экономике
4. і Елементи такого формату відомі як строкові дані і можуть бути як символьними так і числовими
5. Профілактика та лікування анемії вагітних у жінок, які багато народжують
6. а самоутверя самоуважения каждого ее члена
7. Паскаль Pascal Блез
8. Вариант 2753096 B 1 26616
9. ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибкеТема- Оценка и калькуляцияК прямым расходам относятся
10. сть Браун Дэн Ангелы и демоны 2005 АСТ Бр
11. Тема 18 Самоменеджмент и формирование имиджа руководителя В настоящее время для успешной деятельности ор
12. Тема 1. Введение в специальность
13. Розробка екскурсійного маршруту в межах Волинської області 1
14. реферату- Електронна пошта
15. Война за польское наследство 1733-1735 гг
16. 1 Краткая геолога ~ промысловая характеристикаЕрсубайкинского месторождения Ерсубайкинское местор
17. Хор это такое собрание поющихв звучности которого есть строго уравновешенный ансамбльточно выверенный ст
18. Умисне тяжке тілесне ушкодження (ст 121 КК України)
19. Основные черты античной модели
20. More News Первые три части объединены в нулевую таинственное и зловещее название не так ли а четвертая и п

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе