Тема 10. Построение пересечения фигур
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Тема 10. Построение пересечения фигур
.
|
10.1 Пересечение поверхности плоскостью частного положения Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью. Отсюда следуют два варианта построения сечения: 1. выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью; 2. выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью. Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности. Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций и некоторые другие. После этого определяют промежуточные точки сечения. Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна. Пример 1. Построить проекции сечения конической поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью Σ. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 10.1 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось i параллельна П2) и фронтально проецирующие плоскости Σ2. На рис. 10.2 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения. В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 10.1, а). Рис. 10.1 Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 10.1, б). Плоскость Σ2 параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 10.1, в). Плоскость Σ2 параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение - гипербола) (рис. 10.1, г). Плоскость Σ2 проходит через вершину конической поверхности (сечение - две пересекающиеся прямые) (рис. 10.1, д). Рис. 10.2 Решение. Заданная плоскость Σ пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности (см. рис. 10.3). Проекцию эллипса на плоскости П1 можно построить также по его большой A1B1 и малой С1D1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C2 = D2) находится на середине отрезка А2В2. Рис. 10.3. Пересечение конуса плоскостью Пример 2. Построить пересечение многогранника плоскостью (рис. 10.4). В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Многоугольник сечения может быть построен двумя способами: 1. Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью; 2. Стороны многоугольника находятся как линии пересечения граней (плоскостей)многогранника с секущей плоскостью. Рис. 10.4. Пересечение пирамиды плоскостью Σ Секущая плоскость является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом Σ2 плоскости Σ. Следовательно фронтальная проекция 122232 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом Σ(Σ2). Горизонтальные проекции точек 1(11), 2(21) и 3(31) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды плоскости Σ. Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью Σ(Σ 2) (рис. 10.5). Решение. Вначале находим опорные точки А(А1, А2), В(В1, В2), С(С1, С2) и D(D1,D2). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости Σ (вначале определяем А2 и В2, а затем по линиям проекционной связи – А1 и В1). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости Σ. На П2 горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П1 является очерком. Тогда вначале строим С2 и D2, а затем С1 и D1. Рис. 10.5. Пересечение цилиндрической поверхности вращения плоскостью Σ Точки 1(11, 12), 2(21, 22),..., 8(81, 82) — это промежуточные точки сечения. Они построены введением промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П2, например, через точки 12,22 (образующие - фронтально конкурирующие). На П3 эти образующие проецируются в точки 13 и 23. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 10.5, отложив соответствующие значения координаты у. ВОПРОС: Эллипс получится при пересечении конуса плоскостью ... Г |
10.2 Пересечение поверхности плоскостью общего положения
Пример 1. Построить линию пересечения сферы плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α(h∩f) (рис. 10.6).
1. Произведем замену плоскостей проекций таким образом, чтобы плоскость αстала проецирующей, т.е. переведем плоскость общего положения в частное. h — горизонталь, f — фронталь, чтобы перевести плоскость αв положение проецирующей плоскости необходимо выбрать новую плоскость проекций, либо перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1, либо перпендикулярно фронтальной проекции фронталь —f2 (рис. 10.6).
2. Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче.
Рис. 10.6. Пересечение сферы плоскостью общего положения
10.3 Пересечение линии и поверхности
Линия и поверхность пересекаются в общем случае в нескольких точках А, В, ... .
Алгоритм их определения может быть построен на тех же рассуждениях, что и при построении точки пересечения прямой и плоскости. Действительно, точки А, В, ... пересечения линии m и поверхности Θ принадлежат также линиям, проходящим через эти точки и лежащим на заданной поверхности.
Кривую n можно рассматривать как проекцию линии m на поверхность Θ. Тогда, в случае параллельного проецирования,линии n и m будут располагаться на одной цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а образующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия прямая, то n и m находятся в одной плоскости Σ (рис. 10.7).
Если направление проецирования будет перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, линии n и m будут конкурирующими относительно соответствующей плоскости проекций.
Рис. 10.7
Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой и поверхности, (рис. 10.8)
Решение
1. Выбираем на заданной поверхности линию n, например, фронтально конкурирующую с заданной прямой m.
Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально-проецирующей плоскости.
Рис. 10.8
2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n1), исходя из условия принадлежности ее поверхности.
3. Находим точки А и В пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.
4. Устанавливаем видимость проекций прямой. Так, как участок АВ прямой m, расположен внутри поверхности, то он невидим на П1 и П2. Кроме этого, на П2 невидим отрезок прямой m правее точки В2 до точки на очерке поверхности, а на П1 — левее точки 51, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью — находятся за контурами поверхности.
Пример 2. Даны прямая n и коническая поверхность. Построить точки пересечения прямой и поверхности (рис. 10.9).
Решение. Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций П1 или П2. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:
Рис. 10.9
1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость П1 т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость П1. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций П1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на П1.
2. Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П1 при ее центральном проецировании.
3. Находим точки А и В пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки А и В — искомые.
4. Устанавливаем видимость проекций прямой n.
ВОПРОС:
Прямая линия и поверхность пересекаются ...в 2х точках
10.4 Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Способ концентрических сфер
Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую.
Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях.
Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:
1. выбирают на одной из поверхностей конечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью (рис. 10. 10);
2. выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.
Алгоритм решения задачи с использованием поверхностей посредников.
Этот способ заключается в следующем.
Пусть даны пересекающиеся поверхности Ф и Ψ (рис. 10.10). Введем вспомогательную секущую поверхность Θ1. Эта поверхность называется посредником. Она пересечет поверхности Ф и Θ по линиям m1 и k1, соответственно. Пересечение линий m1 и k1 даст точку М, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверхностям. Вводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.
Рис. 10.10
В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы.
В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:
а)способ секущих плоскостей;
б) способ сфер.
Посредники выбираются так, чтобы линии mi и ki можно было легко построить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).
Рис. 10.11
Задача упрощается, если одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая).
Одна из проекций искомой линии будет находиться на вырожденной проекции поверхности, а значит, известна. Вторая проекция линии находится из условия принадлежности ее поверхности.
На рис. 10.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П1, то на П1 поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проецируется и искомая линия.
Точки А, В, С, D, Е и F — опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е — фронтальному контуру цилиндрической поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности расположены точки В и С. Точка D —экстремальная.
Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, - промежуточные.
Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее конической поверхности.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.12, 10.13).
Рис. 10.12
Решение. Заданные поверхности —поверхности вращения. Оси заданных поверхностей параллельны П2 (любой диаметр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных поверхностях можно выделить два семейства окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций.
Это значит, что для решения данной задачи можно использовать в качестве посредников горизонтальные плоскости уровня.
Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки А, В и С, D. Точки А, В находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости симметрии поверхностей.
Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения.
Их построения выполнены в такой последовательности:
1. через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;
Рис. 10.13
2. построена горизонтальная проекция окружности радиуса R1, по которой плоскость Θ пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);
3. построена горизонтальная проекция окружности радиуса R1, по которой плоскость Θ пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);
4. определены точки C1,D1 пересечения окружности радиуса R1 с очерком сферы;
5. установлены фронтальные проекции точек С(С2), D(D2) из условия принадлежности их плоскости Θ.
Для построения промежуточных точек 1(11, 12), 2(21,22),..., 6(61,62) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости Σ21, Σ22, Σ23.
Полученные точки соединим плавной кривой линией.
Видимость линии пересечения определяется на каждой поверхности отдельно.
Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D, расположенные на горизонтальном очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.
Способ концентрических сфер
Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями.
В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумиридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения.
Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 10.14, а и рис. 10.14, б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 10.14, в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.
|
а |
б |
в |
Рис. 10.14
Способ вспомогательных концентрических сфер применяют при выполнении следующих условий:
Рис. 10.15
1. пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
2. оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
3. плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения. На рис. 10.15 показано наглядное изображение, а на рис. 10.16 - комплексный чертеж этих поверхностей. Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.
Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, К и L, а также Е, F, С и D — это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ2) и ∆(∆1).
Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θг) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П2 проецируются в отрезки т'(т'2) и п'(п'2) (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.
Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности mi на «вертикальной» конической поверхности. Точки 52 и 62 находятся по линии проекционной связи на mi(m1i).
Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь в виду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.
Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне
Rmax ≥ R ≥ Rmin
где Rmin — минимальный радиус сферы,
Rmax— максимальный радиус сферы.
Сфера минимального радиуса Rmin — это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 10.16 такая сфера касается «горизонтальной» конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 12=22 и 32=42. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.
Рис. 10.16
Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 9.16 - Rmax = |O2L2|.
Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей.
Так, относительно П1 видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и К, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П2.
Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 10.16 совпадают.
ВОПРОС:
При использовании способа секущих плоскостей вспомогательные плоскости выбирают...
|
так, чтобы при пересечении их с заданными геометрическими фигурами получались окружности или прямые |
10.5 Пересечение поверхностей. Способ эксцентрических сфер. Пересечение поверхностей второго порядка
Способ эксцентрических сфер
Способ эксцентрических сфер применяют при условии, что
1. одна из поверхностей — поверхность вращения, а другая —циклическая (имеет семейство окружностей);
2.поверхности имеют общую плоскость симметрии;
3.общая плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (в противном случае следует применить преобразование чертежа).
Пример. Построить фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей Σ и Θ, общая плоскость симметрии которых параллельна П2 (рис. 10.17).
Решение. Заданные поверхности и их расположение удовлетворяют условиям применимости способа эксцентрических сфер, который и применяем для решения поставленной задачи.
Опорными точками являются точки А(А2) и В(В2), расположенные в пересечении очерковых образующих.
Построение промежуточных точек выполняем в такой последовательности:
1. проводим на конической поверхности окружность, которая расположена в плоскости, параллельной ее основанию и на П2 проецируется в отрезок — m(m2);
2. проводим перпендикуляр к плоскости окружности m через ее центр О1 и находим центр О2 сферы-посредника;
3. проводим проекции сферы с центром в точке О2 посредством крайних точек окружности m(m2);
4. строим окружность n (n2), по которой сфера пресекает поверхность вращения Θ;
5. определяем точки 12=22 пересечения построенных окружностей.
Рис. 10.17
Проекции других точек линии пересечения определяют аналогично.
На П2 проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадут.
Пример. Построить проекции линии пересечения тора и конической поверхности вращения (рис. 10.18).
Решение. Исходные поверхности и их расположение удовлетворяют условиям применимости способа концентрических и эксцентрических сфер. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 построены способом концентрических сфер, а точки 5 и 6 - способом эксцентрических сфер.
Точки 5 и 6 построены по алгоритму, приведенному в предыдущем примере. Окружность на торе выделена введением фронтально-проецирующей плоскости Ω(Ω2)
Точки 1, 2, 3, 4 построены в следующей последовательности:
1. построены проекции сферы Θ(Θ1 Θ2) с центром в точке О(О1,О2);
2. определены проекции окружности n(n1; n2), по которой сфера пересекает коническую поверхность;
3. построены проекции окружностей m1 и m2, по которым сфера пересекает тор; сначала построены m11 и m21, а затем m12 и m22 (показано стрелками);
4. пересечение проекций окружностей m и n задает проекции точек 1,2, 3,4.
Рис. 10.18
Точки А, В, С, D, а также К, L, М, N являются опорными. Первые расположены в пересечении очерковых образующих поверхностей, а вторые — на сфере минимального радиуса (экстремальные).
Пересечение поверхностей второго порядка
В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка.
Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть пространственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые. Условия распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка формулируются в виде следующих теорем.
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой. Иллюстрацией этой теоремы является рис. 10.19, на котором показаны фронтальные проекции сферы и эллиптического конуса, пересекающихся по двум окружностям — m(m2) и n(n2). Окружность m параллельна основанию (плоскости окружности) конической поверхности, а окружность п построена в соответствии с теоремой 1.
Рис. 10.19
Теорема 2 (теорема о двойном соприкосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.
Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки касания. На рис. 10.20 показано построение линии пересечения конической поверхности вращения и эллиптического цилиндра (оси поверхностей пересекаются и параллельны П2). Линии пересечения — эллипсы — лежат во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через прямую АВ, соединяющую точки касания А и В, а также точки 1, 2 и 3, 4 (точки пересечения очерков поверхностей).
Рис. 10.20
Теорема 3 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Эта теорема является частным случаем теоремы 2. Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в отрезки прямых.
На рис. 10.21 приведен пример построения линии пересечения двух конических поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны П2. Исходные поверхности описаны вокруг сферы и имеют с ними касание по окружностям t(t2) и k(k2). Эти окружности пересекаются в точках 1 и 2. Плоскости линий пересечения проходят через прямую 12 и точки пересечения очерков поверхностей A, D, В и С.
Рис. 10.21
ВОПРОС:
Способ эксцентрических сфер применяют при условии, что ... одна из поверхностей — поверхность вращения, а другая — циклическая (имеет семейство окружностей)
2. Тема- Технологические этапы социальной работы и их краткая характеристика Социальная диагностика предст
3. социальнобиологические причины возраст род занятий вредные привычки условия жизни; 2 акушерскогинекол
4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Правительство в системе органов государственной власти в зарубежных странах.html
5. Единый орфографический режим
6. 1886 выдающийся индийский религиозный мыслитель святой и проповедник оказал огромное влияние на формирова
7. На тему- Закриті механічні пошкодження.html
8. Механизм усовершенствования принятия решений
9. Моросит. es tut ~ тает.
10. Д Важным преимуществом методики является возможность проводить рейды в независимости от графика работ
11. пекарні ldquo;Хлібний кошикrdquo;
12. шмель летать бы не должен
13. 1 Полномочия Президента Российской Федерации как гаранта Конституции Российской Федерации
14. Примерный перечень вопросов для экзамена по дисциплине. Делопроизводство и режим секретности
15. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук КИЇ
16. Назовите особенности романского архитектурного стиля
17. Більше згоди у науковців щодо появи на українських землях людини у ашельську епоху 15 млн
18. Системы автоматического управления
19. Ford The fourth cr mnufcturer in the world in terms of production for the entire period of its existence now third of the U
20. Воскресение жизни Бессмертие души