1.  32. Малі коливання частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії.

, оскільки U(x) розглядається поблизу екстремуму. Тому функція набуває вигляду:

. Іншими доданками нехтуємо, оскільки коливання малі.

Вважаємо x0 початком відліку і отримуємо: , де введено позначення . Тоді на частинку діє сила . Це рух під дією квазипружної сили, звідки його період:

34.   Зіткнення частинок.  Пружні та непружні зіткнення. Аналіз лобових абсолютно пружних та абсолютно непружних зіткнень.

Під  зіткненням  двох частинок  розуміють  такий  процес,  що  відбувається  за  відсутності  впливу  інших  матеріальних об’єктів,  результатом якого є зміна початкових швидкостей частинок, які вони мали перебуваючи на великій відстані одна від одної, внаслідок взаємодії частинок між собою.

Розрізняють так звані абсолютно пружні зіткнення, при яких зберігається повна механічна

енергія  E   системи  двох  частинок,  тобто  повна  механічна  енергія  системи  після  зіткнення

E′ дорівнює  повній  механічній  енергії  до  зіткнення,  E ′  = E,  та  непружні  зіткнення,  внаслідок

яких повна механічна енергія зменшується,  E′ < E . Граничним випадком непружного зіткнення

є абсолютно непружне  зіткнення, при якому частинки не «відскакують» одна від одної, а після

якого рухаються разом.   

Найпростішим  є  випадок   так  званих  лобових  зіткнень,  коли  до  і  після  зіткнення  обидві

частинки рухаються по траєкторіям, що повністю лежать на одній прямій.  

Розглянемо  спочатку  випадок  абсолютно  непружного  лобового  зіткнення

Скористаємося законом збереження імпульса у формі

де  враховано,  що  за  означенням  абсолютно  непружного  зіткнення  обидві  частинки  після

зіткнення рухаються разом, тобто з однаковою швидкістю υ′, яку знаходимо з

Легко бачити, що знайдена швидкість дорівнює швидкості центру мас системи , яка для

замкненої  системи  частинок  є  сталою.  Це  є  відображенням  того  простого  факту,  що  після

абсолютно непружного зіткнення внутрішній рух системи частинок припинився. Повні механічні

енергії системи двох частинок до і після зіткнення є, відповідно,

та

енергія не зникає і не з'являється знову, а лише переходить з однієї форми в іншу. Закон збереження імпульсу постулює незмінність імпульсу замкнутої системи з плином часу. Закон збереження моменту імпульсу стверджує, що момент імпульсу замкнутої системи залишається незмінним з часом. Закони збереження є наслідком симетрії, тобто інваріантності, незмінність структури матеріальних об'єктів щодо перетворень, або зміни фізичних умов їх існування. Отже, закони збереження енергії та імпульсу пов'язані з однорідністю часу і простору, закон збереження моменту імпульсу - з симетрією простору щодо обертань.

40.  Зв’язок між вектором момента імпульса і вектором кутової швидкості абсолютно твердого тіла. Тензор інерції.

Компоненти вектора власного імпульсу абсолютно твердого тіла можна подати у вигляді

;  . Тоді за означенням

37.  Рух абсолютно твердого тіла як поступальний рух центру мас та обертання навколо осі, що проходить  через центр мас.  

   Як  відзначалося  раніше,  абсолютно  тверде  тіло  можна  означити   як  систему  частинок

нерухомих одна відносно одної в процесі руху цієї системи. Отже, для твердого тіла як для всякої

системи частинок можна записати два векторних рівняння, а саме рівняння руху системи як цілого

під дією зовнішніх сил

, де

Та рівняння моментів, записане в системі центру мас

, де

 Дійсно, два векторних рівняння  (6._1) та (6._2) еквівалентні  шести скалярним рівнянням

для проекцій, що  відповідає шести  ступеням  свободи  абсолютно  твердого  тіла,  серед  яки   є  три

поступальних  і  три  обертальних.  При  цьому  рівняння  (6._1)  описує  поступальний  рух

абсолютного твердого тіла. Його можна подати у вигляді рівняння руху центру мас абсолютного

твердого тіла  

41.  Основні властивості тензора інерції та обчислення його компонент. Приклад обчислення компонент тензора інерції однорідного прямого паралeлепіпеда.  

  1. Якщо всі три головні моменти інерції абсолютно твердого тіла різні, тобто І1≠І2≠І3 то про таке тіло кажуть, що воно за своїми інерційними властивостями щодо обертання являє собою несиметричну дзигу;

2. Якщо два з трьох головних моментів інерції абсолютно твердого тіла однакові, наприклад, І1≠І2≠І3, то про таке тіло кажуть, що воно за своїми інерційними властивостями щодо обертання являє собою симетричну дзигу;

3. Якщо всі три головні моменти інерції абсолютно твердого тіла однакові, тобто І1≠І2≠І3, то про таке тіло кажуть, що воно за своїми інерційними властивостями щодо обертання являє собою сферичну дзигу.

Наприклад, момент інерції відносно осі ОХ є    Аналогічно обчислюються і моменти інерції відносно І2=Іуу та  І3=Іzz.

38.  Рівняння руху твердого тіла. Про можливість введення рівнодіючої сили.

      Отже,  ,  то  систему  сил,  що  прикладені  до  окремих  певних  точок  абсолютно  твердого  тіла, можна  замінити  так  званою  рівнодіючою  силою,  яка  дорівнює  результуючій  силі

,  причому   рівнодіюча  сила  може  бути  прикладена  до  будь-якої  точки  твердого

тіла, що лежить на прямій, що проходить на відстані

від центру мас тіла C  в  площині,   в  якій  лежить  центр  мас  тіла  і  яка  перпендикулярна   моменту   зовнішніх  сил .

35.  Застосування законів збереження імпульсу та енергії до абсолютно пружного зіткнення двох частинок. Діаграма імпульсів.   

Для  випадку  абсолютно  пружного  лобового  зіткнення використаємо  як  закон

збереження імпульса так і закон збереження енергії  

Оскільки рух обох частинок відбувається вздовж однієї прямої, спроектуємо рівняння (● на напрям швидкості першої частинки  

Отже, маємо систему двох рівнянь з двома невідомими 1 υ′  та 2 υ′ . Перепишемо рівняння (●● та (● у вигляді

і після підстановки в рівнянняотримуємо та

42.  Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент інерції тіла відносно осі обертання.Теорема Гюйгенса-Штейнера.  

Оскільки єдиною характеристикою такого руху є вектор кутової швидкості ω r, який направлений вздовж осі обертання, будемо спочатку вважати, що вісь обертання проходить через центр мас твердого тіла .  або  Гюйгенса-Штейнера:  момент  інерції  твердого  тіла  відносно  довільної  осі  є  сума  момента

інерції  тіла відносно паралельної осі, що проходить через центр мас тіла, та добутка маси тіла на квадрат відстані між цими осями.  

39.  Умови рівноваги твердого тіла. Приклад: рівновага балки. Необхідність врахування деформацій в невизначено-статичних задачах.

  Для абсолютно твердого тіла, що знаходилося в рівновазі, тобто

не рухається, виконуються умови таЦі  умови  є  необхідними,  але  недостатніми  для  того,  щоб  тіло  знаходилось  у  рівновазі,  оскільки вони припускають рівномірний рух центру мас  і рівномірне обертання тіла навколо осі,  що  проходить  через  його  центр  мас.  Їх  треба  доповнити  відповідними  початковими  умовами.

;де m – маса балки, та - сили реакції, що діють на балку з боку опор, та - радіуси вектори точок прикладення цих сил, визначені відносно центра мас балки.

33. Застосування законів збереження до аналізу руху частинки в полі центральної сили: загальні характеристики руху та траєкторії, умова замкненості траєкторії.  

Момент імпульсу частинки в полі центральної сили, визначений відносно центра поля

зберігається:   

Оскільки напрям вектора L є незмінним у просторі, а радіус-вектор частинки та вектор її імпульсу , а отже і вектор швидкості, перпендикулярні до , траєкторія частинки повністю лежить в одній площині, перпендикулярній до вектора . Рівняння цієї площини є (∙) = 0, тобто ця площина проходить через центр поля (силовий центр).

де через ϕ0 позначено сталу інтегрування.

Таким  чином,   ми   отримали  ,  тобто  рівняння  траєкторії  у  явному  вигляді,  що

залежить від конкретного виду потенціальної енергії  .  Ясно, що при наявності  залежності

1.  можна, в принципі, знайти й обернену залежність .Таким  чином,  траєкторія  частинки  буде  замкненою,  якщо   відношення є  раціональне  число.

43. Вільні осі обертання тіла та головні моменти інерції твердого тіла. Головні моменти інерції кільця, диска, циліндра та кулі.

Віссю вільного обертання твердого тіла або вільною віссю називають таку вісь, навколо якої

можливе вільне (тобто без прикладання зовнішніх сил) обертання твердого тіла, при якому напрям

осі залишається незмінним. Нехай деяке тверде тіло обертається з кутовою швидкістю  навколо нерухомої осі, напрям якої в просторі фіксований підшипниками A і A’ (Рис.6.12), причому центр мас тіла C  не лежить на осі обертання.

Рівняння руху такого тіла можна записати у вигляді:

 Необхідні умови вільного обертання: = 0 та = 0. 

36.  Зв’язок між законами збереження та фундаментальними властивостями простору і часу.

Важливу роль у розумінні механізмів взаємодії елементарних частинок, їх утворення і розпаду зіграли закони збереження. Кожен закон збереження пов'язаний з якою-небудь симетрією в навколишньому світі. У фізиці під симетрією розуміється інваріантність, незмінність системи щодо її перетворень, тобто щодо змін ряду фізичних умов. Було встановлено зв'язок між властивостями простору і часу і законами збереження класичної фізики. Фундаментальна теорема математичної фізики, звана теоремою Нетер, свідчить, що з однорідності простору слідує закон збереження імпульсу, з однорідності часу - закон збереження енергії, а з ізотропності простору - закон збереження моменту імпульсу. Ці закони носять фундаментальний характер і справедливі для всіх рівнів існування матерії. Закон збереження і перетворення енергії стверджує, що