Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 7
Условная компиляция
Рекурсивные алгоритмы (продолжение)
Пример. Задача о ходе коня.
Требуется организовать обход конём всех полей шахматной доски (), начиная с заданного поля. Каждое поле конь должен посетить только один раз. Постановка на первое заданное поле, для удобства, считается первым ходом.
Существует два эвристических принципа выбора очередного хода коня.
1. Не ставить коня на заблокированное поле при каждом ходе, кроме последнего (64-го). Заблокированным называется поле, на которое конь, казалось бы, может встать, но выйти из него не сможет, поскольку все возможные для последующего хода поля уже посещены.
2. Критерий Варнсдорфа. Из всех полей, на которые конь может перейти из текущего поля, следует выбирать то, из которого есть наименьшее количество вариантов последующего хода. Это количество положительно, поскольку постановка коня на заблокированное поле исключена. Если полей с одинаковыми наименьшими количествами последующих ходов несколько, следует испытать каждое из них. Если испытать только одно, «любое» поле (как рекомендовал Варнсдорф), есть опасность зайти в тупик (найдены примеры). Действенность критерия Варнсдорфа строго не доказана, но проверена на практике.
Замкнутым называется маршрут, при котором последнее, 64-е посещенное поле находится в одном ходе коня от начального поля маршрута. Количество всех замкнутых маршрутов коня без учёта направления обхода равно 13267364410532 (количество замкнутых маршрутов с учётом направления в два раза больше). В то же время задача подсчёта всех возможных незамкнутых маршрутов значительно сложнее и не решена до сих пор. Известно, что количество незамкнутых маршрутов не превышает числа сочетаний .
Реализация решения поставленной задачи содержится в проекте KnightTurns (архив KnightTurns.rar).
В основе проекта лежит процедура
NextTurn(iRow, iCol, iNumber: integer),
которая вызывается рекурсивно. iRow, iCol – координаты поля, на которое ставится конь при совершении хода с номером iNumber.
Пример. Найти наиболее «дешевый» путь от элемента матрицы размера до элемента . Все элементы матрицы неотрицательны. В отличие от предыдущей постановки родственной задачи, в данном случае разрешено на каждом шаге двигаться и вправо, и вниз, и влево, и вверх. Таким образом, оптимальный путь может иметь вид «змейки». На рисунке этот путь проложен по единичкам.
Метод динамического программирования к этой задаче неприменим.
Приходится вернуться к рекурсивной функции
function BestPathRecoursive(i, j: integer): integer;
Каждый следующий экземпляр функции совершает ход на элемент с координатами (i, j), а затем пытается выбрать направление для очередного хода по элементам матрицы. Поскольку возможных направлений дальнейшего движения может быть до четырёх, приходится выбирать из них одно, лучшее, самое дешевое.
В функции BestPathRecoursive предусмотрено недопущение циклических путей. Действительно, оптимальный путь не может содержать цикла (петли), так как устранение петли из пути как минимум укорачивает путь, как максимум, удешевляет его (если петлевой участок проходит через положительные элементы матрицы).
Проект, реализующий решение поставленной задачи, содержится в архиве OptPatrRDLU.arj.