тема являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной физической системы

Работа добавлена на сайт samzan.net:

PAGE 15

EMBED Photoshop.Image.5 \s

ЛЕКЦИЯ №2

ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

В физике, даже называя некий конкретный объект его собственным именем – автомобиль, электрон, поезд – мы все равно подразумеваем некоторую модель. Вообще в науке моделью называется абстрактная система, являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной физической системы.

В разделе “механика” применяются две основные модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой или частицей называется тело в тех случаях, когда изучается только поступательное движение тела как целого, при условии, что размеры, форма и другие его структурные свойства, а также протекающие в нем процессы в пределах точности измерений не влияют на движение тела.

При учете размера тела его можно принимать за материальную точку при соотношении величин r/h < 0,1%, где r – размер тела, а h – длина траектории его движения. Например, движение огромной Земли (диаметр > 12 тысяч км) вокруг Солнца можно рассматривать как движение материальной точки, т.к. расстояние Солнце – Земля достигает 150 миллионов км. В сравнении с Землей материальными точками являются огромные корабли и самолеты, да и каждый из нас – людей.

Когда рассматривается вращение тела вокруг какой-либо оси, проходящей через это тело, то применяют модель абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым называется физическое тело в тех случаях, когда его отдельные части остаются неподвижными друг относительно друга.

Системы отсчета. Принцип инерции.

Движение материи интуитивно означает перемещение в пространстве и времени. Но понятие перемещения имеет определенное содержание только при указании, относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект или материальная точка. В этом заключается фундаментальное свойство природы, состоящее в том, что всякое движение относительно.

В кинематике причины (силы), вызывающие движение, не рассматриваются. Основным понятием кинематики является понятие системы отсчета.

Системой отсчета называется совокупность тел, по отношению к которым рассматривается движение, и прибора для отсчета времени (часов), неподвижного относительно тел отсчета.

Опытным фактом для человека является трехмерность мирового пространства и его эвклидовость на расстояниях, малых по сравнению с радиусом кривизны Вселенной (~ 1026 м). Поэтому очень часто систему отсчета изображают трехмерной прямоугольной «декартовой» системой координат, оси которой жестко связаны с набором тел образующих совместно с неподвижными относительно них часами систему отсчета (такие часы обозначают как t в кружке, рис.2.1.).

z Начало координат О “привязывают” к

t телу отсчета, движущемуся или

неподвижному.

O x

Рис.2.1. Прямоугольная система координат с неподвижными относительно её часами.

В некоторых случаях более удобными являются системы координат цилиндрической или сферической симметрии. Тогда вместо набора (x,y,z) используются наборы (r,x,) или (r,,) – радиус, координату линейную или угловую. Путем математических преобразований пересчитать координаты точки в любую из этих систем координат.

Системы координат можно связывать с различными телами – это дело творческое, определяемое конкретной задачей и выбором метода ее решения. Но особо важный класс тел составляют свободные тела.

Свободным называется тело, настолько удаленное от всех остальных тел, что их воздействие на движение данного тела пренебрежимо мало.

Вот для таких тел и справедлив принцип инерции Галилея, иначе называемый первым законом Ньютона.

Он является просто обобщением известных в настоящее время опытных фактов и утверждает, что

существуют системы отсчета, в каждой из которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета называются инерциальными.

Иная формулировка:

Тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, если влияние внешних сил на него взаимно компенсировано.

Таким образом, состояние покоя ( в рассматриваемой системе координат) является частным случаем покоя. Поскольку любую инерциальную систему можно связать с некоторой совокупностью покоящихся друг относительно друга свободных тел, все инерциальные системы равноправны.

Необходимо учитывать, что, например, вращение планеты Земля вокруг Солнца характеризуется ускорением 610-3 м/с2, а вращение Земли вокруг своей оси – ускорением в 310-2 м/с2 - и поэтому система координат, связанная с поверхностью Земли или ее центром (геоцентрическая), строго говоря, не может быть признана инерциальной. Она неприменима для расчета траекторий космических кораблей типа «Венера», «Пионер», «Вояджер» и т.п. Здесь более применима гелиоцентрическая система координат с началом в центре Солнца и с осями, направленными на «неподвижные» звезды.

Вращение Земли приходится учитывать при расчете движения спутников, самолетов, морских судов, даже при анализе состояния берегов рек, текущих вдоль меридианов.

Принцип относительности. Преобразования координат ГАЛИЛЕЯ.

Вышеизложенное свидетельствует о том, что инерциальные системы являются выделенными из ряда других, чаще всего - неинерциальных. Но для инерциальных систем выполняется один из самых фундаментальных принципов природы – принцип относительности.

Все законы физики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

Другими словами: все инерциальные системы физически эквивалентны друг другу и понятия абсолютного движения и абсолютного покоя лишены смысла.

Этот фундаментальный закон выражает тот опытный факт, что два любых опыта, поставленных одинаковым образом в двух разных инерциальных системах, дают одни и те же результаты, т.е. являются объективным отражением природы.

Поскольку физические законы обычно формулируются как количественные соотношения между различными физическими величинами и записываются в виде математических уравнений, принцип относительности утверждает неизменность (инвариантность) уравнений относительно перехода из одной инерциальной системы координат в другую.

Очевидно, что в физике должны существовать величины как относительные, так и абсолютные.

Рассмотрим последнее утверждение на примере преобразования координат Галилея. Пусть имеются две прямоугольных системы координат (x,y,z,t) и (x`,y`,z`,t`), причем система (x`,y`,z`,t`) движется с постоянной скоростью V вдоль оси х системы (x,y,z,t), как на рис 1.2.

t z`  M t`

x x`

O O`

y y`

Рис. 2.2. К выводу преобразований координат Галилея.

Определим координаты точки М в движущейся и неподвижной системах координат. Этот набор уравнений учитывает возможность движения подвижной системы как в положительном, так и в отрицательном направлении оси х, а также тот факт, что в классической механике время во всех системах движется одинаково – длительность секунды везде одинакова.

Продифференцируем этот набор уравнений по t.

По определению, - скорость движения точки М относительно системы координат (x,y,z,t), а - скорость движения т.М относительно системы координат (x`,y`,z`,t`).

Таким образом,

, то-есть скорость поступательного движения точки (тела) есть величина относительная.

Продифференцируем последнее соотношение еще раз:

Поскольку по определению - ускорению т.М в неподвижной системе координат, и - ускорению т.М в подвижной системе координат и

а = а`, то, очевидно, следует считать, что ускорение является величиной абсолютной.

Поскольку в классической механике масса тела – также величина абсолютная, то абсолютной является и величина силы:

Понятно, что и уравнения движения, обязанного этим силам, будет одинаковым в любых инерциальных системах координат.

Не трудно показать, что абсолютной величиной в классической физике является также длина отрезка, пространственного промежутка. Пусть в неподвижной системе координат находится прямой абсолютно твердый стержень с координатами концов (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2). Его длина L равна

Используя преобразования координат Галилея, можно показать, что

(x`1,y`1,z`1 и x`2,y`2,z`2, - координаты концов стержня в подвижной системе координат, все члены, содержащие произведение vt, сократятся).

Перечислим без особых доказательств возможные варианты инерциальных систем. Если установлено, что какая-то система координат инерциальна, то инерциальными будут системы со следующими отличиями от исходной:

а) начало координат сдвинуто на любое расстояние в любом направлении;

б) начало отсчета времени сдвинуто на любой промежуток;

в) тройка координатных осей повернута на любой угол относительно любой оси (координатной или произвольной);

г) начало отсчета движется равномерно и прямолинейно с любой скоростью (меньшей скорости света «с» в вакууме) в любом направлении.

Кинематика поступательного движения материальной точки (тела).

1. Положение материальной точки в пространстве однозначно определяется 3-мя координатами (x,y,z) по отношению к системе отсчета с прямоугольной системой координат. Однако чаще положение частицы описывается радиус-вектором (рис. 2.3).

t  M

z M

O x

y xM yM

Рис. 2.3. К определению понятия радиус-вектора.

Радиус-вектором называется вектор, начинающийся в начале координат О и заканчивающийся в описываемой точке, проекции которого на оси координат системы отсчета равны координатам x,y,z.

Используется параметрическая форма записи

2. Число степеней свободы физической системы. Описать движение физической системы – значит в каждый момент времени указать положение всех её частей в пространстве по отношению к выбранной системе отсчета. Для этого необходимо задать некоторое количество параметров.

Минимальное число i параметров, задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется ее числом степеней свободы.

Для одной частицы это, естественно, набор x,y,z ее координат (i=3).

Если система (тело) состоит из N частиц и все они могут перемещаться друг относительно друга во всех направлениях, то оно обладает 3N степенями свободы. Если на взаимное перемещение частиц наложены ограничения, называемые связями, то число степеней свободы будет уменьшаться.

Так, для определения в пространстве положения абсолютно твердого тела необходимо указать положения трех его частиц (точек), не лежащих на одной прямой. В силу жестких связей и недеформируемости положения всех остальных частей тела будут определены автоматически.

На рис.2.4 выделены 3 точки А,В,С. Если их положения определены, определено и положение любой точки Д.

Д Рис.2.4. О степенях свободы.

А   С

 В

O x

Вообще-то положение группы из трех несвязанных точек определяется 9-ью координатами. Но так как есть 3 жестких связи АВ, ВС и АС, то число степеней свободы такой системы (и любого абсолютно твердого тела) равно i=6.

Это понятие – число степеней свободы – особенно важно при описании движения молекул. В этом случае под числом степеней свободы понимают число независимых видов движения молекул.

Тогда для идеального и одноатомного газа i=3 (равновероятно возможно поступательное движения вдоль осей координат x,y,z).

Двухатомную молекулу можно представить как жесткую гантель – отрезок стержня с двумя материальными точками на концах. Тогда число степеней свободы равно i=5 (3 степени свободы описывают поступательное движение центра масс, а 2- вращательное движение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, не совпадающих с внутренней связью молекулы).

Трех- и многоатомную молекулу можно представить как кусочек жесткой плоскости или маленькое абсолютно твердое тело. Тогда число степеней свободы i=6 (3 поступательных и 3 вращательных степени свободы). Вращательные степени свободы иногда называют ротационными.

Каждый дополнительный вид движения создает дополнительную степень свободы. Так, повышение температуры приводит к возникновению колебательного движения внутри молекулы и отражается введением дополнительных – вибрационных - степеней свободы.

3. Характеристики движения – перемещение, траектория, путь.

При движении точки радиус-вектор изменяется. Его изменения описываются функцией координат и времени

Линия, описываемая в пространстве концом радиус-вектора, называется траекторией. На рис. 2.4 траектория – линия 1-3-2.

Перемещение – вектор, соединяющий точки, соответствующие начальное и конечное положения точки. На рис.2.4 перемещение это вектор , связывающий точки 1и 2.

Путь – это длина траектории, величина скалярная. На рис. 2.4 путь длина кривой 1-3-2.

Отметим, что путь и перемещение совпадают лишь при поступательном прямолинейном движении.

Рис.2.4. Движение точки в пространстве.

4. Скорость мгновенная и средняя.

Линейная скорость является величиной, характеризующей быстроту изменения положения тела в пространстве.

Мгновенная скорость – скорость точки в данный момент времени есть первая производная радиус-вектора по времени

Из свойств производной следует, что при криволинейной траектории в любой момент времени мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Скорость может быть представлена через проекции вектора

Изменение проекций вектора скорости также можно вычислить:

Широко применяются понятия векторная средняя скорость и скалярная средняя путевая скорость <v>пут.

есть вектор коллинеарный вектору Он показан как vср на рис.2.4.

, где S – длина всего пройденного за время t пути.

5. Ускорение.

Ускорение есть мера изменения скорости во времени.

Следовательно,

Естественно эту величину, так же как скорость, можно представить в виде проекций скорости и радиус-вектора:

Величина мгновенной скорости при равнопеременном движении может быть найдена из известного соотношения

Vt=V0at.

В достаточно общем случае криволинейного движения на плоскости ускорение может иметь как проекцию в направлении движения – касательную а, - так и перпендикулярную ей нормальную или центростремительную аn составляющую (рис.2.5).

Рис.2.5. Ускорения при криволинейном движении

Тангенциальное ускорение есть проекция вектора полного ускорения на касательную к траектории, на направление вектора скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости (её модуля). По величине сонаправлено с, при равноускоренном движении направлено так же, как и v, при равнозамедленном направлено противоположно .

Нормальное ускорение есть проекция полного ускорения на направление, перпендикулярное , характеризует быстроту изменения положения вектора в пространстве и по величине равно где R – радиус кривизны траектории в данной её точке.

Очевидно, что

Особо интересен случай движение тела в поле силы тяжести. В этом случае полное ускорение постоянно равно g – ускорению свободного падения, независимо от формы траектории. Так, например, если тело брошено горизонтально с какой-то башни (рис.2.6), то легко по рисунку понять, что есть тангенциальное и нормальное ускорения и как они связаны с соответствующими проекциями . Естественно, если сопротивление воздуха не учитывается, то сохраняется величина горизонтальной составляющей скорости V0=Vx, а вертикальная составляющая растет по закону Vy =gt.

Рис. 2.6. Движение тела, брошенного горизонтально.

6. Вычисление пути.

Величина пройденного телом пути является важнейшей практической характеристикой, вычисление которой зависит от вида движения: равномерное, равнопеременное, неравномерное… На рис. 2.7 а,б,в представлены графики зависимостей V=V(t) для этих видов движения.

V V V Vi

V=const V=Vo+at V=V(t) Si

at1 ti

S Vo S S

O t O t O t

t1 t2 t1 t1 t2

a) б) в)

Рис.2.7. Графики V=V(t) при равномерном (а), равнопеременном (б) и неравномерном движениях.

Поскольку путь представляет собой графически площадь фигуры под графиком зависимости V=V(t), то при равномерном движении путь, пройденный в интервале времени (t2 - t1) просто численно равен площади прямоугольника

S = Vt = V(t2 –t1).

При равноускоренном движении аналогично путь равен площади трапеции, которую можно определить двумя способами.

как сумму площадей прямоугольника и треугольника:

S = S + S = Vot1+

по средней линии трапеции (выделена на рис.2.7.б красным цветом)

S = <V>t1 =

Следует заметить, что приведенный способ определения средней скорости применим лишь при равнопеременном движении.

Если скорость в зависимости от времени изменяется каким-то сложным образом, зачастую не описываемым простыми функциями, то путь вычисляется как сумма, складывающаяся из элементов Viti (см. рис.2.7,в, выделено светло-зеленым цветом), в пределах каждого из которых скорость можно полагать постоянной

где N – число разбиений в интервале времени t1 – t2.

Если вид функции V(t) достаточно прост и интегрируем, то

7. Каноническое уравнение прямолинейного движения.

В общем случае равнопеременного движения, воспользовавшись обозначением обобщенной координаты  (дзета), можно записать соотношение, называемое каноническим уравнением поступательного движения:

Из этого соотношения методом приравнивания коэффициентов канонического уравнения и численного уравнения. Описывающего конкретное движение, можно определить величины пути (S = t -0), начальной скорости Vo и ускорения a.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

При описании вращательного движения интересуются обычно не длиной пути и величинами линейной скорости и ускорения, а величинами углов поворота, угловой скорости (или частоты вращения), углового ускорения.

Для определения положения в пространстве вращающегося тела задают положение оси вращения, а величину угла поворота  обозначают

«псевдовектором», направленным вдоль оси вращения по «правилу буравчика» – правого винта (см. рис.2.8)

Рис.2.8. К определению угла поворота.

Для количественной характеристики быстроты вращения введена величина мгновенной угловой скорости или [c-1]. Абсолютное значение вектора равно производной по времени от угла поворота

Средняя угловая скорость за время t равна

Рис. 2.9. К определению направления вектора угловой скорости.

Очевидно, что векторы по направлению совпадают (рис. 2.9).

При неравномерном вращении используется векторная величина углового ускорения или [c-2], по величине равная

Угловая скорость при равнопеременном вращении можно найти из выражения, очень похожего для формулы прямолинейного равнопеременного движения

t = 0  t.

Среднюю угловую скорость при равнопеременном вращении можно найти из выражения, аналогичного выражению средней скорости при прямолинейном равнопеременном движении:

Таким образом, каноническое уравнение движения при вращении может быть представлено в виде:

Угловой путь  [рад] может быть найден из выражений, «симметричных» полученным при описании прямолинейного движения:

 = t - равномерное вращение ( =const,  = 0);

- равнопеременное вращение ( = оt,  = const);

- неравномерное вращение ( = (t) – функция, описывающая зависимость угловой скорости от времени.

Применение единицы СИ «радиан» далеко не всегда удобно при описании вращения. Широко применяются понятия частоты n Используются соотношения, связывающие  и n,  и N:

 = 2n,  = 2N, N – число оборотов, совершенное точкой (телом).

Связь угловых и линейных характеристик движения.

Наличие таких связей можно совершенно естественно предположить. Действительно, связь угловой и линейной скоростей подчиняется векторному произведению, в котором присутствует еще и радиус-вектор , связывающий центр вращения с вращающейся точкой

Направления всех этих векторов образуют правовинтовую тройку (рис.2.10).

Рис. 2.10. Направления векторов , r, V.

Выполняются, естественно, и соотношения, связывающие угловые и линейные величины для ускорений:

an = 2r.

1. капитан Позин роясь в позвякивающих мешочках
2. 1lmin cribros 2 cnlis opticus 3
3. Магнитогорский государственный технический университет им
4. Задание 1 Раскройте сущность понятия основные средства
5. ювентология от 11 до 20 акмеология от 20 до 60 психогеронтология
6. Реферат- Мировая валютная система- сущность и тенденции
7. звёздочка Йод зеленка Перекись водорода нашатырный спирт Мазь от ушибов и отеков троксевазин
8. Революционное народничество в 70-80-х годах XIX века
9. тема КлиентБанк1
10. летие Поразительно конечно но за полтора года мне удалось сделать множество открытий
11. Реферат- Политические мифы и сферы их распространения
12. реферата Используй слова и фразы в своем рефератепо указанной выше структуре
13. Российский университет кооперации Факультет предпринимательства и таможенного дела Кафедра коммерц
14. Современная политическая карта мира- многообразие стран современного мира их основные типы
15. Вариант 13 Выполнил- ст.
16. Предмет философии
17. Ответственность за вред, причиненный актами власти
18. 1995 Беккер В Вернер Беккер Сообщество и общество Об основных понятиях социальной философии и неко
19. и взаимопомощи а также в медицинском пункте в следующей последовательности- срочный вывод пострадавш
20. Автоматизация производства гранулированных комбикормов

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе