Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Решение задач ЕГЭ по математике типа С4 различными способами.
Филистеева Вера Ивановна,
учитель математики
высшей категории
МОУ «Гимназия №1 г.Волоколамска»
Московской области
Задача 1
Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в токах А и В. Известно, что ∠АО1В=90°, ∠АО2В=60°, О1О2=а. найдите радиусы окружностей.
Решение:
1-ый случай. Центры окружностей О1 и О2 находятся в разных полуплоскостях относительно АВ.
1-ый способ.
Пусть r1 – радиус окружности с центром О1 , r2 – радиус окружности с центром О2 .
∆ АО2В – равнобедренный с основанием АВ (АО2 =О2В = r2). Тогда ∠О2АВ=∠О2ВА=60°; значит, ∆ АО2В – равносторонний следовательно АВ= r2.
Из прямоугольного ∆ АО1В по теореме Пифагора АО12=О1В2, тогда r2= r1.
Из прямоугольного ∆ А О1К О2К= АО2* =.
Из прямоугольного ∆ АО1К О1К= АО1* =.
Т.к. О1К+ О1К=О1О2, то + = a , откуда r1= . Тогда r2= r1 = .
2-ой способ.
Из ∆О1АО2 по теореме синусов = , т.е. =
= =
Подставляя, получим = 2r1
r1 = = = .
Аналогично = ; = , r2 = .
2-ой случай. Центры окружностей О1 и О2 находятся в одной полуплоскости относительно АВ.
1-ый способ.
Рассуждая аналогично первому случаю, получим, что
О1О2 = О2К - О1К или - = a , откуда
r1= , r2= .
2-ой способ.
∠О2АО1 = ∠О2АВ - ∠О1АВ = 60° - 45° = 15°
По теореме синусов =
= = , r1= ;
∠О2О1А=180°-45°=135°
=
= , откуда r2= .
Ответ: r1= , r2 = или r1= , r2= .
Задача 2
Решение:
Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.
1-ый случай. Треугольник АВС – остроугольный.
Найдем величину угла В. Это можно сделать двумя способами.
А) Угол В – вписанный, ему соответствует центральный угол АОС. Тогда ∠В = 30°.
В) ∆АОС – равносторонний, тогда ОС=R. Используя следствие из теоремы синусов получим:
или , тогда
и .
Т.к. т.М – центр окружности, вписанной в ∆АВС, то она находится в точке пересечения его биссектрис. Тогда ∠МАС+∠МСА = = = 75°. Значит ∠АМС = 180°-75°=105°.
2-ой случай. Треугольник АВС – тупоугольный (угол В - тупой).
Величину угла В можно также найти двумя способами.
А) ∠В – вписанный, его соответствующий центральный угол равен 360°-60°=300°. Тогда ∠В=150°
В) Из ∆АВС по следствию из теоремы синусов = , тогда ∠В = 150° (тупой).
∠МАС+∠МСА = = = 15°,
∠АМС = 180°-15°=165°
3-ий случай. Треугольник АВС – прямоугольный (угол С = 90°).
∆АОС – равносторонний, значит ∠А=60°.
∠СМА=180°-(45°+30°)=105°.
Если ∠А=90°, то решение аналогичное и ∠СМА=105°.
Если ∠В=90°, то ∠АОС=180° - не соответствует условию задачи.
Ответ: ∠АМС=165° или ∠АМС=105°
Задача 3
Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12. Известно, что АВ=6 и ВС=4. Найдите АС.
Решение:
1-ый случай. Угол В – острый.
Пусть точка О – центр окружности, описанной около ∆АВС. Из ∆СОВ по теореме косинусов имеем:
СО2 = СВ2 + ОВ2 - 2*СВ*ОВ* , тогда
= = ;
Аналогично из ∆АВО:
= ;
= = * + = .
Из ∆АВС по теореме косинусов АС2 = АВ2 + СВ2 – АВ*СВ* =50-10 =
АС = .
2-ой случай. Угол В – тупой.
Аналогично первому случаю
= = ;
= ;
= ,
тогда АС2 = 50+10 =
АС = .
3-ий случай. Угол В – прямой. Не удовлетворяет условию задачи (R).
Решим задачу другим способом.
Используем формулу
R = . (*)
Пусть АС = x , площадь треугольника S найдем по формуле Герона, получим:
S = = ,
подставляя в формулу (*), получаем уравнение:
12 =
= 4x2
x4 – 100x2 + 400 = 0
x2 = 50 + 10 = или x2 = 50 - 10 =
x = x =
Ответ: АС = или АС =
Список использованной литературы
1. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 55, [1]с.