Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Экономикалық айнымалылардың алдыңғы мәндері арқылы өзгерісін көрсететін қарапайым модельдердің болжау кезінде теңдеулер жүйесі мен сипатталатын үлкен модельдермен салыстырғанда жақсы нәтиже береді. Әрбір шама кездейсоқ болатын дейін реттелген тізбек дискретті Стохастикалық процесс деп аталады. Осы процесс үшін математикалық үміт = E () және дисперция . T уақыт мерзіміне байланысты болады, ал автоковариация = cov ( k уақыт мерзімінің айырмасына ғана тәуелді. Стохастикалық процесстің ақырлы жүзеге асырымды уақыттық қатар деп аталады. Бұл жерде Стохастикалық процесспен одан туындаған уақыттық қатар үшін түрлі белгілеулер енгіземіз. Уақыттық қатардың кез келген мүшесін көрсету арқылы белгілейміз. Уақыттық қатар негізінде бір ғана байқауды көрсетеді. Қатар оның ағымдық жағдайы едәуір мөлшерде уақыттың алдыңғы мерзімдеріндегі жағдайлармен анықтау үшін белгілі бір жүйелік қасиеттерге ие болуы керек.
уақыттық қатары әлсіз стационарлы деп аталады. Егер:
1) Математикалық үміт Е = ()=М< t уақытқы тәуелсіз болса;
2) Дисперсиясы var ()= уақытқа тәуелсіз болса;
3) Автоковариация cov( t уақытқа тәуелсіз болып тек к уақыт мерзімдерінің айырмасына тәуелді болса.
Көптеген стационарлық емес уақыттық қатарлар стационарлыққа айырмасын табу жолымен түрлендіріле алады. Егер yt–стационарлық емес уақыттық қатар болса, ал ∆ ytстационарлық уақыттық қатар болса, онда yt 1-ретті интеграцияланған уақыттық қатар болып табылады. Әрі қарай, егер ∆ ytстационарлық емес, ал стационарлық уақыттық қатар болса, онда yt 2-ретті интеграцияланған уақыттық қатар деп аталады. Жалпы жағдайда, егер yt стационарлық емес уақыттық қатар үшін 1, 2, . . .,d-1 ретті айырмалар стационарлық емес, ал d-ретті айырма стационарлы болса, онда yt уақыттық қатар d-ретті интеграцияланған уақыттық қатар болып табылады. Стационарлық уақыттық қатар 0-ретті интеграцияланған уақыттық қатар деп саналады. ал процесі, яғни . Онда жылжымалы орташаның ARMA (p,d,q) авторегрессиялық интеграцияланған уақыттық қатарыдеп аталады.
Демек, стационарлы уақыттық қатарда тренд болмайды. Дисперцияның жүйелі өзгерісі жоқ уақыттық қатар мәндерінің арасындағы қайталанатын жүйелі б/ң тербелістер периодттылығы байқалмайды.
және арасындағы дербес автокорреляция аралық мүшелерімен сызықтық түсідірілетін бөлігін алып тастағанда, және арасындағы қарапайым автокорреляция ретінде табылады.
Анықтама бойынша дербес автокорреляциялық функция , яғни және арасындағы аралық мүшелер жоқ болған жағдайда .
еңдеумен берілген авторегрессиялық функция болсын.
Автокорреляциялық теңдеу
= = =
Авторегрессиялық процесс келесі қасиеттерге ие:
AR(k) процесінің Юл- Уолкер жуйесін жазайық:
(6)
6-сызықтық теңдеулер жуйесінің анықтауышы нөлге тең еместігін тексеруге болады. Оның шешімін табу үшін Крамер әдісі қолданылады.
Мұндағы анықтауыш анықтаушының k-шы тік жолы теңдеулер жүйесінің сол жағындағы тік жолымен алмастырылады.
Айнымалылардың алдыңғы мәндеріне тәуелділігін сипаттайтын модельдер ондаған, жүздеген теңдеулерді қамтитын үлкен экономикалық модельдерменн салыстарғанда сенімдірек болжамдар жасауға мүмкіндік береді. Демек, бұл айнымалының болашақ мәндерін анықтайды. Маңызды ақпарат оның өткен динамикасына байланысты екенін көрсетеді. Осындай модельдер теориясына үлес қосқандар Г.Бокс пен Г.Дженкинс.
Авторегрессиялық модельді қарастырайық
+…+ (1)
айнымалысы үшін стационарлық шарт орындалсын. Авторегрессиялық процестердің қасиеттерін зерттеп, олардың автокорреляциялық функциясын саламыз. AR (1)
(2)
Бұл теңдеудің екі жағының математикалық үмітін табайық. Стационарлық процесс анықтамасы мен шартын ескере отырып табатынымыз:
Екі жағының дисперсиясын зерттесек:
Ковариацияның қасиетін пайдаланайық:
1-сурет жағдайындағы AR(1) процесінің корреллограммасы.
Осы түрлендіруді k рет қайталай отырып, келесі қатынасты аламыз:
k=1, 2, … үшін
шарты қажетті, әйтпесе процесс стационарлы болмайды. Егер теріс болса, оның мағынасы жоқ.
ACF автокорреляциялық функциясын келесі формуламен анықтаймыз:
Корреллограмма түрі коэфициентінің таңбасына байланысты болады.
2-сурет. болған жағдайда AR(1) процесінің корреллограммасы.
Екі жағдайда да бағаналар биіктігі лагтың өсуіне қарай төмендейді.
AR(2) – 2-ретті автокоррелляциялық процесс
(3)
Бұл жағдайда параметрлері қалыпты үлестіру заңымен таралады.
Математикалық үміті:
k=1,2,…
(4)
,
Юл-Уолкер жүйесі
(5)
3-сурет. Характеристикалық теңдеудің кешенді түбірлері жағдайында AR(2) авторегрессиялық процесінің корреллограммасы.
k=1,2,… үшін басқа мәндері 2-ретті айырмалық теңдеу болып табылады. 4-теңдеуден тізбекті түрде анықталады. Егер характеристикалық теңдеулердің түбірлері нақты сан болса, AR(2) стационарлық процесс үшін автокорреляциялық функция графигі 1 және 2 суреттегідей авторегрессиялық болу керек. Ал егер характеристикалық теңдеулер түбірі комплекті сандар болса, онда графигі экспоненциалды, амплитудасы кемімелі, sin болады.
AR(1) процесі үшін аталған қасиетті тексереміз. Ол процесс үшін автокорреляциялық функция: = i=1,2… =1 шартына бағынады. анықтауышының соңғы тік жолы оның алғашқы тік жолын мәніне көбейткішіне тең болатыны анық. Бұл анықтауышың тік жолдары, сызықтық тәуелді, сондықтан Демек, кез келген k>1 =0. AR(2) процесін қарастырайық. Бұл процесс үшін ,(14,4) қатынас ақиқат болатындықтан, анықтауышындағы соңғы тік жол бірінші және екінші тік жолдарының сызықтық комбинациясы болып табылады. Демек, анықтауыштың тік жолдары сызықтық тәуелді, ал анықтауыш . Крамер ережесін сәйкес кез келген k>2 үшін =0. AR(p) процесі үшін анықтауышының соңғы тік жолы оның алғашқы p тік жолдарының сызықтық комбинациясы болып табылады. Соның салдарынан және =0, яғни кез келген k> p үшін . Тәжірибе барысында y1,y2,…yt уақыттық қатары қандай стохастикалық процестен туындайтыны белгісіз. Мыс: ол қандай да бір авторегрессиялық процестен туындады делік. Оның p ретін анықтау керек. Оны k=p+1 мәнін бастап дербес автокорреляциялық функцияның мәнін нөлге дейін «үзіледі» деген қасиетіне сүйене отырып жүзеге асыруға болады. Таңдамалы дербес автокор.функция үшін аталған қасиет дәл орындала қоймайды. Бірақ, ол жуықпен орындалады санауға болады. k=p+1 нөмірінен бастап таңдамалы PACF мәні:
және ,.. ,сәйкес және регрессия аз болады. Таңдамалы автокорреляция функцияның мәні, ең кіші квадраттар әдісі б/ша, келесә авторегр.процесс теңдеуінің соңғы коэф/ң бағасы ретінде анықталады.
– ретті авторегр/қ процесс болсын. Өте үлкен Т үшін ЕККӘ б/ша бағасы жуықпен k> p үшін
Авторегр/н ретін бағалау үшін келесі статист/ы қолдануға болады:
=
Оның көмегімен мына гипотезалар тексеріледі:
=0 және
14.4-сурет. Автокор/қ процестің таңдамалы ACF коррелограммасы ( өзің сызып жіберші).
14.4-суреттегі жатық үзік сызықтар және деңгейінде жүргізілген, мұндағы - стандартты қалыпты үлестірудің критикалық мәні.
үшін бірінші қосылғыш iкезде нөлге ұмтылады. Алған теңдеу шексіз MA процесті анықтайды. Сонымен, 1-ретті жылжымалы орташа процесін шексіз авторегрессиялық процесс түрінде сипаттауға болатынын көрсетейік. MA (1) процесі бар болсын: (15.4)
(15.4)теңдеуін t-1 мерзім үшін: және ондағы мәнін (15.4)теңдеуіне қоямыз: (15.5) Енді (15.4)теңдеуін t-2 мерзім үшін жазамыз және ондағы мәнін (15.5)қатынасқа қойып, келесі теңдеуге келеміз: - Осы прцедураны қайталай отырып ( деп есептейміз), соңында алатынымыз: (15.6) Бұл шексіз авторегрессиялық процесс. Экономикада авторегрессиялық процесс моделінде көрсетілген байланыстар құрылымынан басқа бір айнымалылы уақыттық қатарлардағы басқа да байланыстар құрылымы кездеседі. Мыс: қор нарығындағы акция бағаларының өзгерісі келесі тәуелділікпен сипатталады: yt=Et . Мұндағы, Et - нөлдік матем.үміті бар тәуелсіз, кездейсоқ шамалар. Бұл модельдің жалпы түрі:
МА (q) =-
( параметрлері 0 және болатын қалыпты үлестіру заңымен таралады). МА (q) - жылжымалы орташа процестің моделі б.т. yt -ағымдық және алдыңғы ауытқулардың салмақталған қосындысына тең.
E() = E () - . Әр түрлі мерзімдегі мәндерінің тәуелсіздігін ескере отырып дисперсияны анықтаймыз.
Бірінші ретті жылжымалы орташа процсін қарастырайық:
Осы процестің дисперссиясы:
Коварияциясын анықтайық:
=cov()=cov()=E= -
=cov()=E= 0
k2
Автор\корреляциялық функциясы:
=0
Автокорреляциялық функ.корреллограммасы болғанда ғананөлдік емес бағана болады.
k
болғанда МА(1) процесінің коррелограммасы
Экономикада авторегрессиялық процесс моделінде көрсетілген байланыстар құрылымынан басқа бір айнымалылы уақыттық қатарлардағы басқа да байланыстар құрылымы кездеседі. Мыс: қор нарығындағы акция бағаларының өзгерісі келесі тәуелділікпен сипатталады: yt=Et . Мұндағы, Et - нөлдік матем.үміті бар тәуелсіз, кездейсоқ шамалар. Бұл модельдің жалпы түрі:
МА (q) =-
( параметрлері 0 және болатын қалыпты үлестіру заңымен таралады). МА (q) - жылжымалы орташа процестің моделі б.т. yt -ағымдық және алдыңғы ауытқулардың салмақталған қосындысына тең.
E() = E () -
Әр түрлі мерзімдегі мәндерінің тәуелсіздігін ескере отырып дисперсияны анықтаймыз.
Бірінші ретті жылжымалы орташа процсін қарастырайық:
Осы процестің дисперссиясы:
Коварияциясын анықтайық:
=cov()=cov()=E= -
=cov()=E= 0
k2
Автор\корреляциялық функциясы:
=0
Автокорреляциялық функ.корреллограммасы болғанда ғананөлдік емес бағана болады.
k
болғанда МА(1) процесінің коррелограммасы
МА (q) процесінің авторегрессиялық функциясы k=q+1 мәнінен бастап үзілетіндіктен берілген уақыттық қатар үшін к мәнін анықтауға болады. К мәнін ACF шамасы сол мәннен кейін 0-ден мәнді түрде ерекшеленбейтіндей таңдалады. ACF таңдамалы авторегрессиялық функция келесі түрде таңдалады:
K>q T өте үлкен болған кезде таңдамалы автокорреляциялық функция мәні жуықпен қалыпты үлестіру заңымен таралады:
Келесі гипотезаларды құраймыз:
Таңдап алған мәнділік деңгейі үшін r критикалық мәні стандартты қалыпты үлестіру кестесінен алынады.
Z =
үлкен болса, мәнінің нөлге теңдігі жайлы гипотеза жоққа шығарылады, яғни қабылданбайды. болса, гипотеза қабылданады. Бұл жылжымалы орташа процесінің q ретін тәжірибе жөнінде анықтау әдісін көрсетеді.
Айнымалылардың алдыңғы мәндеріне тәуелділігін сипаттайтын модельдер ондаған, жүздеген теңдеулерді қамтитын үлкен экономикалық модельдерменн салыстарғанда сенімдірек болжамдар жасауға мүмкіндік береді. Демек, бұл айнымалының болашақ мәндерін анықтайды. Маңызды ақпарат оның өткен динамикасына байланысты екенін көрсетеді. Осындай модельдер теориясына үлес қосқандар Г.Бокс пен Г.Дженкинс.
Авторегрессиялық модельді қарастырайық
+…+ (1)
айнымалысы үшін стационарлық шарт орындалсын. Авторегрессиялық процестердің қасиеттерін зерттеп, олардың автокорреляциялық функциясын саламыз. AR (1)
(2)
Бұл теңдеудің екі жағының математикалық үмітін табайық. Стационарлық процесс анықтамасы мен шартын ескере отырып табатынымыз:
Екі жағының дисперсиясын зерттесек:
Ковариацияның қасиетін пайдаланайық:
1-сурет жағдайындағы AR(1) процесінің корреллограммасы.
Осы түрлендіруді k рет қайталай отырып, келесі қатынасты аламыз:
k=1, 2, … үшін
шарты қажетті, әйтпесе процесс стационарлы болмайды. Егер теріс болса, оның мағынасы жоқ.
ACF автокорреляциялық функциясын келесі формуламен анықтаймыз:
Корреллограмма түрі коэфициентінің таңбасына байланысты болады.
2-сурет. болған жағдайда AR(1) процесінің корреллограммасы.
Екі жағдайда да бағаналар биіктігі лагтың өсуіне қарай төмендейді.
AR(2) – 2-ретті автокоррелляциялық процесс
(3)
Бұл жағдайда параметрлері қалыпты үлестіру заңымен таралады.
Математикалық үміті:
k=1,2,…
(4)
,
Юл-Уолкер жүйесі
(5)
3-сурет. Характеристикалық теңдеудің кешенді түбірлері жағдайында AR(2) авторегрессиялық процесінің корреллограммасы.
k=1,2,… үшін басқа мәндері 2-ретті айырмалық теңдеу болып табылады. 4-теңдеуден тізбекті түрде анықталады.
Егер характеристикалық теңдеулердің түбірлері нақты сан болса, AR(2) стационарлық процесс үшін автокорреляциялық функция графигі 1 және 2 суреттегідей авторегрессиялық болу керек. Ал егер характеристикалық теңдеулер түбірі комплекті сандар болса, онда графигі экспоненциалды, амплитудасы кемімелі, sin болады.