Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Сәулеленуге байланысты есептер толқындық теңдеулер арқылы шығады. және векторларына байланысты формулалардағы теңдіктің оң жағы қиын болады және оның шешілуін қиындатады. Оны шешу үшін электродинамикалық потенциалдарды қолданамыз.
Максвелдың 4 теңдеуіне байланысты
Жоғары математикадан екені белгілі. Бұл векторы қандай да бір элементтің роторы екенін білдіреді.
Максвелдың екінші теңдеуіне байланысты
екені белгілі, яғни
- векторлық электродинамикалық потенциал,
U – скаляр электродинамикалық потенциал.
Тербелісті гармоникалық деп есептеп, жазық толқын кезіндегі х функциясын табамыз.
Х осі толқын тарату бағытымен сәйкес келетіндей етіп координат осін бағыттамыз. Сонда толқындық бет х осіне перпендикуляр болады. Толқындық беттің барлық нүктелері бірдей тербелгендіктен, х орын ауыстыруы (смещение) тек х пен байланысты. жазықтығында жатқан нүктелер тербелісі, келесі түрде болады(бастапқы фазада):
Х-тің ерікті мәніне сәйкес келетін жазықтықтағы бөлшектер тербелісінің түрін табайық. Х жолды жүру үшін, уақыт қажет.
Жазық толқынның теңдеуі:
Жалпы түрде жазық толқынның теңдеуі келесі түрде жазылады:
немесе
Толқын жалдамдығы барлық бағыттарда тұрақты, ал қорек көзі нүктелік болғанда, толқын сфералық болады.
Қорек көзінің фаза тербелісі wt (яғни ) тең деп есептейік. Онда радиусы r толқындық бетте жатқан нүктелердің фазасы Мұнда тербеліс амплитудасы толқын ортамен жұтылмаса да тұрақты болмайды, заңы бойынша кемиді. Яғни сфералық толқын теңдеуі келесідей:
немесе
Бірдей ортада тарайтын жазық электромагниттік толқында , және векторлары бір-біріне перпендикуляр, олардың әрбіреуі толқын тарату бағытына перпендикуляр екенін көрсету. Жазық электромагниттік толқында екенін көрсету.
Шешуі: х осі бойынша жүретін жазық электромагниттік толқында
(1)
мұнда - толқын тарату жылдамдығы.
және векторларының толқын тарату бағытына перпендикуляр екенін дәлелдеу үшін келесі теңдеуге жүгінейік:
және
немесе болғандықтан,
осыдан Ех =const және Нх =const. Бірақ алынған қорытынды шындыққа жанаспайды, себебі электромагниттік өріс толқыны айнымалы өріс болу керек. Сондықтан біз Ех =0 және Hx =0 қоюымыз керек, бірақ бұл және векторларының жазық толқын тарату векторына перпендикуляр екенін дәлелдеді.
Енді у осін Ну =H болатында таңдап, келесі теңдеуге жүгінеміз:
(2)
болғандықтан (2) формуланы екі теңдеу түрінде көрсетуге болады:
және
немесе
және
осыдан және
болатын жазық электромагниттік толқын х=0 болғанда, оңға шексіздікке дейін жайылып жатқан жазық өткізгіш бетіндегі х осіндегі нормальға құлайды. Шағылуды ескермей, электромагниттік толқыннан пайда болатын жарық қысымын анықтау.
Шешуі. YOZ координат жазықтығынан оңға шексіздікке дейін жайылған өткізгіш, жоғарыда көрсетілген рұқсат етуге байланысты жарық толқын бетіне құлайтын электромагниттің энергияны толығымен жұтады. Бұл абсолют қара беттің классикалық мысалы. Сондықтан, өткізгіш бетіне толқынмен көрсетілген жарық қысымының мөлшері тең:
мұндағы - толқын периодындағы Пойтинг векторының орташа мәні, х=0 кезінде алынған. Бұдан
және, осыдан
бұдан жарық қысымы шығады:
Табу керек:
Шешуі:
Вакуумдағы толқынның ұзындығы:
Жауабы: -50 м
Табу керек: Н-? t=0
Шешуі:
t=0,
Жауабы:
Егер толқын вакуумда таралса, электромагниттік толқынның Пойтинг векторын табу керек.
, .
Электромагниттік толқын үшін Максвелл теңдеуінің дифференциалдық түрі:
Егер,
Жауабы:
Бағытталған жүйелер.
Негізгі формулалар:
Кабель сымының катты байлау коэффициенті:
(1.1)
мұндағы: D-катты байлаудың орташа диаметрі, мм; h-катты байлау қадамы, мм;
Әр түрлі топ санындағы орталық орамның диаметрі:
, мм, (1.2)
мұндағы: d-топ диаметрі, мм; n-орталық орамдағы топ саны;
Айнымалы токқа симметриялы кабельдің активті кедергісі:
, Ом/км, (1.3)
мұндағы: R0-айнымалы ток кедергісі, Ом/км; Rm-көрші металл элементтердегі кедергі; -катты байлау коэффициенті; -сым центрлерінің арасындағы қашықтық; d-сым диаметрі; р-катты байлау турін есепке алатын коэффициент (катты байлауда р=1, жұлдыздықта~ р=5, екі жұпта р=2); F(kr), G(kr), H(kr)-Басселей функциясын қолдану арқылы алынған арнайы функция; k-металдың ысырап коэффициенті;
Симмериялық сым кабелінің индуктивтілігі:
, Гн/км, (1.4)
L1-сымдағы сыртқы индуктивтілік, Гн/км; L2-сымдағы ішкі индуктивтілік, Гн/км; r-салыстырмалы магнит өтімділігі; Q(kr)-Бассел фукциясын қолдану арқылы алынған арнайы функция;
Көрші жұптардың есепке алынбаған кездегі симметриялық кабельдің сыйымдылығы:
, Ф/км, (1.5)
мұндағы: -сым центрлерінің арасындағы қашықтық, мм; r-сым радиусы; -салыстырмалы диэлектрик өтімділігі;
Көрші жұптардың есепке алынған кездегі симметриялық кабельдің сыйымдылығы:
, Ф/км, (1.6)
Катты байлау кадамы 100 мм. Қанша процентке сым ұзындығы ерекшеленеді, егер ТГ100х2 кабельдегі 2 және 4 орамдардындағы ток откізгіш сым диаметрі 0,5 мм болса, телефон парағының стандарт лентасымен капталған.
Шешуі:
Жауабы: 4 орамдағы сым ұзындығы 2 орамдағы сым ұзындығын 1%-ға үлкейтеді.
Есеп №2
МКС-7х4х1,2 кабеліндегі сым центрлерінің арасындағы қашықтықты , жұлдыздық топтың диаметрін табыңыз. (=0,8 мм-кордель диаметрі, =0,05 мм-лента калыңдығы)
Шешуі:
Жауабы: Центр арасындағы қашықтық 4,09 мм, жұлдыздық топтың диаметрі 6,99 мм тең.
МКГС-4х4 кабеліндегі идеалды симметриялық сымның сыйымдылығы реалды симметриялық сымның сыйымдылығынан қаншаға ерекшеленеді? Егер идеалды және реалды симметриялық сымның параметрлері сәйкес болса.
Шешуі:
Жауабы: С=4,4 нФ/км.
және Максвелл теңдеуінің үйлесімді екенін көрсету қажет, яғни біріншісі екіншісіне үйлесімсіз болмауы керек.
Шешуі:
Дивергенцияны аламыз:
Демек, , үйлесімсіз емес.
Екі жұқа қабырғалы коаксиалды металды цилиндрі бар кабельдің ұзындық бірлігінің индукциясын табу керек, егер сыртқы цилиндр радиусы ішкі радиустан ɳ=3,6 есе үлкен болса. Цилиндрлер арасындағы ортаның магниттік өткізгіштігін бірге тең деп есептейміз.
Шешуі:
Тікбұрышты көлемді резонатор мына өлшемдерге ие: а=20мм, b=25мм, l=30мм.
Резонансты толқынның ұзындығын 2 төменгі түрлі тербелісте табу керек? Олар қалай белгіленеді?
Шешуі. Тікбұрышты резонаторда индекстерінің біреуі 0-ге, калған екеуі 1-ге тең болатын Н101, Н011 және Е110 тербелістері түрі төменгі бола алады. Осы түрдегі тербелістердің резонансты ұзындығын табамыз.
Резонансты толқынның ұзындығының формуласын жазып аламыз:
- жарық жылдамдығы.
Осы қорытылып алынған формуланы қолданамыз:
Берілген тербелістердің түрінің сандық мәліметтерін қоя отырып, резонансты толқынның ұзындығын табайық:
см,
см,
см.
Сонымен, Н011 тербелісі басты болып келеді, себебі оның мәні көбірек, ал одан кейін Н101 тербелісі.
Диаметрі 6 см және ұзындығы 5 см цилиндрлі резонатор параметрлері =2,5; =210-4 болатын диэлектрикпен толтырылған. Қабырғалардын материалы - жез. Резонатордың төзімділігін (добротность) анықта?
осы формуланы қолдана отырып Q=3680 екеніне көз жеткіземіз.
с помощью теоремы Гаусса-Остроградского доказать соотношения (p-постоянный вектор, V-объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностю S):
а)
в)
д)
= =
применяя теорему Гаусса-Остроградсткого, вычислите поток векторного поля:
а) a=(x-y)i+(z-y)j+(z-x)k , б) a=(z+1)k
через сферу x2+y2+z2=1 в сторону внешней нормали.
а) a=(x-y)i+(z-y)j+(z-x)k, x2+y2+z2=1, R=1.
Ф=
Ф=
V=4/3πR3, R=1
V=4/3π, Ф=4/3π
б) а=(z+1)k, x2+y2+z2=1, R=1
Ф=
Ф=
V=4/3πR3, R=1
V=4/3π, Ф=4/3π
показать по теореме Гаусса, что любой заряд, вносимый в проводник, может распологаться лишь на его поверхности.
Доказательство: если поместить проводник во внешнее ЭС поле, то на заряды проводника будет действовать ЭС поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов продолжается до тех пор пока не установится равновесное распределение зарядов, при которых ЭС поле внутри проводника обращается в нуль. Напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю.
Если проводнику сообщить некий заряд, то некомпенсированные заряды распологаются на поверхности проводника. Это следует из теоремы Гаусса, согласно которой заряд, находящийся внутри проводника в некотором объеме ограниченном произвольной замкнутой поверхности равен нулю.
Задача 3.2. выразить линейную плотность заряда, τ(х) появляющегося на неоднородном проводнике при прохождении по нему тока I, если проводимость вдоль проводника изменятся по закону λ=λ0+ax
,
(, divj=0
,
при
Через сферу 1
Табу керек:
(сфера үшін)
Жауабы:
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле в напряженностью
Жауабы: болмайды себебі 0-ге тең емес
Выразить линейную плотность заряда , появляющегося на неоднородном проводнике при прохождении по нему тока , если проводимость вдоль проводника изменяется по закону
(так как ток постоянный)
Жауабы:
при
Через сферу 1
Табу керек:
(сфера үшін)
Жауабы:
Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого кольца радиуса равномерно заряженного зарядом
Табу ерек:
Жауабы: ,
Выразить линейную плотность заряда , появляющегося на неоднородном проводнике при прохождении по нему тока , если проводимость вдоль проводника изменяется по закону
(так как ток постоянный)
Жауабы:
Доказать следующие векторные дифференциальные тождества, содержащие радиус-вектор r= xi+yj+zk;
e) div=0, при r≠0;
div= (++)*+r(i+j+k) =
=+ r(i+j+k) =
=+ r(i()+ j()+ k()) =
=+(-*( r*r))= - (+)= -=0
Применяя теорему Гаусса- Остроградского, вычислите поток векторного поля:
а) а=(x-y)+(z-y)j+(z-x)k;
б) а=(z+1) k;
через сферу +=1 в сторону внешней нормали.
∫AdS=∫ divA dV=∫()dV
Q=-1
R=1
∫()dV=∫(1-1+1)dV=1V
V=;
R=1;
V=.
Q=0
R=1
∫()dV=∫(0+0+1)dV=1V
V=;
R=1;
V=.
Ответ : V=;V=.
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напряженностью:
rot[a×r]==
a(i+ j+k)*(xi+yj+zk) -r(i+ j+k)*(i+j+k)=
3a-(xi+yj+zk) (+ +)= 3a-(i+j+k)=3a-a=2a
Ответ: нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен от нуля: rotE=2a.
В шаре радиуса R2 равномерно заряжен с объемной плотностью ρ внешний шаровой слой. Внутренний радиус слоя R1. Найти распределение напряженности поля во всех точках пространоства.
Шешуі:
1-жағдай: r ≤ R1
Гаусс заңы бойынша: n, d)=4q
Шар ішінде заряд болмағандықтан =>
n, d)=0 =>
2-жағдай: R1 < r ≤ R2
n, d) = 4dV =>
E • 4r2 = 4ρ (r3 – R13) =>
= • ((r3 – R13)/r2) = • ((r3 – R13)/r3) •
3-жағдай: r > R2
n, d) = 4dr =>
E • 4r2 = 4ρ (R23 – R13) =>
= • ((R23 – R13)/r2) = • ((R23 – R13)/r3) •
Жауабы: r ≤ R1 =>
R1 < r ≤ R2 => = • ((r3 – R13)/r3) •
r > R2 => = • ((R23 – R13)/r3) •
Показать, что при действии на функции на функции, зависящие только от модуля радиуса-вектора оператор можно заменить на r d/dr, где r = единичный вектор в радиальном направлении. Доказать следующие векторные тождества:
а) grad r = r
• r = ( + + ) • () =
= ( + + ) =
= + + = = =
1.7 есеп
Остроградский-Гаусс теоремасын қолдана отырып өрістің векторлық ағынын табыңдар.
а) а=(х-у)і+(z-y)j+(z-x)k
x2+y2+z2=1 сферасы арқылы сыртқы нормаль жағына қарай
Шешуі:
=
=(x-y)
=(z-y)
=(z-x)
-1 1 -1
=1-1+1
=
Сфераның көлемі: V=
Радиусы:
болғандықтан,
Яғни, V=
Сондықтан:
Жауабы:
Біртекті q зарядпен зарядталған радиусы а жіңішке сақинаның осіндегі электрлік өрістің потенциалы мен кернеуін табыңдар.
=q – сақинаның жалпы заряды
болғандықтан,
-дан бойынша туынды аламыз:
Сонда:
Жауабы:
Ұзындығы шексіз тік дөңгелек цилиндрдің радиусы R болатын қимасы көлемдік тығыздықпен зарядталған. Жазықтықтың барлық нүктесіндегі Е электр өрісінің кернеулігін табыңдар. сызықтық тығыздықпен зарядталған шексіз тізбекті өріс үшін табу.
Шешуі:
шексіз тізбек
++=++=++=3
Берілгені:
1, 2, 1, 2,
Табу керек: С
d=1+ 2
C1=
C2=
=+=+= =>C=
Жауабы: C=
Доказать следующие векторные дифференциальные тождества, содержащие радиус-вектор r = xi+yj+zk:и) .
Решение:
Доказать следующие равенства, содержащие постоянные векторы p = const и q = const:а) grad(p r) = p;
Решение:
p-тұрақты вектор;
r-радиус вектор.
Выразить линейную плотность заряда, появляющего-
ся на неоднородном проводнике при прохождении по нему тока I, если
проводимость вдоль проводника изменяется по закону.
Решение:
++=++=++==
++++++=++==
Шаровой конденсатор обкладкаларының (обкладка радиустары r1 және r2 ) арасы λ электрөткізгіштігі бар өткізгіштік ортамен толтырылған.Егер оның обкладкаларында тұрақты потенциалдар айырымы бар болса, конденсатор арқылы өтетін ток күшін табу керек. Шардық қабаттың обкладкаларының арасындағы R кедергіні анықтау керек?
Шешімі:
Обкладка арасындағы өрістің кернеулігі
E = Er =a/r2
Конденсатор обкладкаларының тұрақты потенциалдар айырымы:
(1/r1-1/r3)
Осыдан тұрақты шама а-ны табамыз:
a=r1r2/(r2-r1)
Ток күші:
πr2=
Кедергі:
R=
Біртекті q зарядпен зарядталған радиусы а жіңішке сақинаның осіндегі электрлік өрістің потенциалы мен кернеуін табыңдар.
=q – сақинаның жалпы заряды
болғандықтан,
-дан бойынша туынды аламыз:
Сонда:
Жауабы:
Остроградский-Гаусс теоремасын қолдана отырып өрістің векторлық ағынын табыңдар.
а) а=(х-у)і+(z-y)j+(z-x)k
x2+y2+z2=1 сферасы арқылы сыртқы нормаль жағына қарай
Шешуі:
=
=(x-y)
=(z-y)
=(z-x)
-1 1 -1
=1-1+1
=
Сфераның көлемі: V=
Радиусы:
болғандықтан,
Яғни, V=
Сондықтан:
Жауабы:
Ұзындығы шексіз тік дөңгелек цилиндрдің радиусы R болатын қимасы көлемдік тығыздықпен зарядталған. Жазықтықтың барлық нүктесіндегі Е электр өрісінің кернеулігін табыңдар. сызықтық тығыздықпен зарядталған шексіз тізбекті өріс үшін табу.
Шешуі:
шексіз тізбек
сфералық координаталар жүйесінде проекцияларын жазып көрсетіңіз. Келесі негіздемелерге сүйеніп:
Сфералық координаталар жүйесі үшін:
Жауабы:
Көлемдік тығыздық:
Жауабы:
div=0; rot;
div = + =
grad Үстіңгі есепте шығарғаннан белгілі: ;
grad grad
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напреженностью:
а) E =
a и b постоянные вектора.
rot;
Жауабы: Болмайды. Өйткені rotE, rotE = 2a
Тежеуші біртекті Е электр өрісінде релятивистік зарядталған бөлшектің е заряды мен m массасы және бастапқы энергиясы ξ арқылы бөлшектің бастапқы жылдамдығына параллель жүрген жолын l анықтау керек.
Шешуі:
Үш өлшемді формадағы қозғалыс теңдеуі және энергияның сақталу заңы:
Осы формула бөлшектің туынды жылдамдығы үшін қолданылады.
Мұндағы - бөлшектің кинетикалық энергиясы.
Екі теңдеуді өзара теңестіріп, мәнін аламыз.
Осыдан , онда
Қорыта келе,
Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему с плотностью .
Найти потенциал ?
Решение:Пуассон теңдеуінен формуласы:
х=0 нүктесінде =0+0+C; C=0
пластина ішіндегі потенциал.
Жауабы:
Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра r по закону (r)=0a2/r2 . Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью 0 , у которого площадь обкладки 4a2, расстояние между обкладками b – a (краевым эффектом пренебречь).
Шешуі:
(r)=0a2/r2 s= 4a2
Өйткені, сондықтан Dn=D
D*42=
D=q/r2
E== Dr2/ 0a2 =qr2/r20a2=q/0a2
0a2 dr =q/0a2(b-a) C=0a2/q(a-b)
D*42=
D=q/a2 E=q/0a2
(b-a) C= 0a2 /q(a-b)
Жауабы: C= 0a2 /q(a-b)
Плоскость z = 0 заряжена с плотностью меняющейся по периодическому закону , где , , – постоянные. Найти потенциал этой системы зарядов.
Қазақша:
Берілгені:
z = 0 жазықтығы тығыздығы болатын периодтық заңымен өзгереді. Осы зарядтар жүйесінің потенциалын табу керек. Мұндағы , , – тұрақтылар.
Шешуі:
потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады:
(1)
Зарядтадған жазықтықта электр өрісінің нормаль құраушысы:
(2)
көлемдік тығыздығы әрқайсысы x және y координаталарына тәуелді болатын екі функцияның туындысы болғандықтан, (1) теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:
(3)
(3) функциясын (1) теңдеуге қойып, әр қосылғышты -ға бөлеміз:
(4)
(4) теңдеуі барлық координатасын қанағаттандыру үшін әр қосылғыш үшін тұрақты шама енгіземіз. Яғни,
болсын. Берілген теңдеудің жалпы шешімі мына функция болып табылады:
ұмтылғанда, шексіздікке ұмтылмауы қажет, себебі өріс айнымалы таңбалы зарядтардан құралады. Бұл шартпен мына шешімді қанағаттандыра аламыз:
.
, .
Бұл екі теңдеудің шешімі – гармоникалық функциялар. (2) гармоникалық шартты қанағаттандыру үшін, былай алуымыз керек:
, ; ,
Сонда, . Сонымен:
.
Электр өрісінің нормаль құраушысы . Сондықтан
,
.
Осы мәнді (2) теңдеуге қойып, екенін табамыз. Соңында потенциал айырымы мына түрге келеді:
,
мұндағы .
Жауабы:
Бірінші ортада векторының күш сызықтары нормаль бағытымен θ1 бұрыш құрайды. Екінші ортадағы өрісінің күш сызықтарының бағдарын табыңыз.
Шешуі:
Шекаралық шарттарды пайдаланайық.
,
немесе
,
Бірінші теңдеуді екіншіге бөлейік:
яғни,
.
Егер ε2 → ∞, онда θ2 → π/2, яғни бірінші ортадағы электр өрісінің бағытына тәуелсіз екенін айта кеткені жөн.
Жауабы: .
Интеграл по обьему преобразовать интеграл по поверхности.
бұдан Остр-Гаусс теоремасы бойынша
б) через сферу
(сфера үшін )
Найти функцию удовлетворяющую условию .
Шешуі:
бұл жерде,
шыққан нәтижені -дің орнына қоямыз, сонда
Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд . Найти потенциал и напряженность электрического поля .
Зарядтың көлемдік тығыздығы
Гаусстың электростатикалық теоремасы бойынша:
немесе
Үзіліссіздік шарты, яғни болғанда мына өрнектен алуға болады және
Жауабы: ,
,
Бесконечная плоская плита толщиной ɑ равномерно заряжена по объему с плотн2остью ρ. Найти потенциал ϕ и напряженность Е электрического поля.
Решение:
Найдем потенциал ϕ из уравнения Пуассона
В точке :
Так как:
А с другой стороны
Так как: и
То в точках : и
Тогда потенциал в точке за границей пластин:
Ответ :
Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому диполю с моментом P в поле точечного заряда q.
Дано:
Найти:
Решение:
Ответ: =
=