Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 5
5. Аэродинамика малых дозвуковых скоростей
Малыми скоростями полета считаются скорости, существенно меньшие скорости распространения звука в воздухе, при которых можно не учитывать сжимаемость воздуха. Воздух, в отличие от воды, которая практически несжимаема, сжимаем. Звук – это акустическая волна сжатия – разрежения. Скорости распространения звука в различных средах различны и зависят от сжимаемости и плотности среды. Например, скорость распространения звука в воде достигает 1,5 км/с, а в металлах – 5 – 6 км/с.
Скорость распространения звука в воздухе в стандартных условиях (см. тему 3) составляет а = 340,3 м/с. Если число М = V/a не превышает величины 0,4…0,45, то сжимаемостью воздуха можно пренебречь. В этом случае скорости полета считаются малыми.
При больших числах М сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя – это может привести к значительным ошибкам.
5.1. Схема обтекания крыла потоком воздуха
Летательный аппарат самолетной схемы можно разделить на части, которые участвуют в создании аэродинамических сил и моментов – крыло, фюзеляж, оперение и другие части ЛА. Наибольшую долю подъемной силы создает крыло. Суммарные силы и моменты всего ЛА складываются из сил и моментов его составляющих частей с учетом взаимного влияния (интерференции).
В дальнейшем будем рассматривать картину обтекания ЛА воздушным потоком в обращенном движении, т.е. предполагая, что ЛА (или его часть) неподвижна, а воздух обтекает ЛА со скоростью полета. Такой подход общепринят в аэродинамике и соответствует картине обтекания модели ЛА в аэродинамической трубе.
Рассмотрим сначала теоретические основы и предположения (гипотезы), на основе которых можно вывести соотношения для сил и момента изолированного крыла.
Исторически аэродинамика малых скоростей основывалась на постулате двух русских ученых – Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина. Согласно этому постулату, точка схода воздушного потока, обтекающего крыло, фиксируется около задней кромки (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Схема обтекания крыла потоком воздуха
Это хорошо подтверждается экспериментально при плавном (безотрывном) ламинарном обтекании профиля крыла. С помощью этого постулата удалось аналитически определить значение подъемной силы крыла.
Вторая важная гипотеза и на ее основе теория пограничного слоя разработана немецким ученым А. Прандтлем. Согласно этой гипотезе, вязкость (внутреннее трение) воздуха проявляется только в тонком слое (пограничном слое), непосредственно примыкающем к поверхности обтекаемого крыла (рис. 5.2).
На рис. 5.2, 5.3 изображены картины обтекания крыла.
Рис. 5.2. Эпюра скоростей в пограничном слое
Пограничный слой может быть ламинарным или турбулентным, а также смешанным. В ламинарном пограничном слое (ПС) отдельные струйки воздуха не смешиваются друг с другом. В турбулентном ПС, напротив, наблюдается перемешивание струек воздуха. Как правило, вначале ПС крыла ламинарный, а затем, в зависимости от шероховатости поверхности крыла, переходит в турбулентный. Далее ПС может оторваться от поверхности крыла – произойдет отрыв пограничного слоя (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Картина обтекания крыла и характерные точки:
О- критическая точка ; А, В – точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
С – точка отрыва пограничного слоя.
Наименьшее сопротивление крыла обеспечивается при ламинарном ПС. Турбулизация ПС вызывает увеличение сопротивления трения и уменьшение подъемной силы.
Дополнительные потери возникают при отрыве пограничного слоя на верхней поверхности крыла, которые обычно появляются на больших углах обтекания.
5.2. Уравнение Бернулли
Рассмотрим уравнение (интеграл) Бернулли с целью объяснения причин изменения параметров воздушного потока при обтекании крыла. Бернулли, ученый швейцарского происхождения, состоявший членом Петербургской Академии Наук, применил закон сохранения энергии к двигающейся жидкости внутри трубопровода с переменным сечением (рис. 4.4).
Рис. 5.4. Схема трубопровода с переменным сечением
Обозначим:
dF1, dF2 – площади сечений 1, 2;
давления и массовые плотности жидкости в сечениях 1, 2;
массы в сечениях 1, 2.
Если пренебречь изменением внутренней тепловой энергии и внутренними потерями, то можно для несжимаемой жидкости записать сумму трех видов энергии и считать эту величину постоянной
, (5.1)
где: - потенциальная энергия,
- кинетическая энергия,
- потенциальная энергия (работа) сил давления.
Поделив и умножив на третью составляющую, будем иметь:
(5.2)
или, поделив на m, получим уравнение Бернулли (уравнение напоров)
. (5.3)
Рассмотрим уравнение (4.3) для двух расчетных сечений, умножив предварительно на
, (5.4)
где
- аэростатическое давление; p2 - статическое давление;
- динамическое давление (скоростной напор) .
Отсюда: . По гипотезе (постулату) Жуковского-Чаплыгина V2>V1 и q2>q1, т.е. >0, получаем >0 и p1>p2, т.е. на верхней поверхности крыла давление понижается по сравнению с давлением набегающего потока .
Пример 1
2 листа бумаги сходятся при выдувании воздуха между ними.
Пример 2
Пульверизатор (рис.5.5).
Рис. 5.5 Схема действия пульверизатора
Распределение давления на профиле крыла можно определить экспериментально, просверлив отверстия в различных точках крыла на нижней и верхней поверхности (дренировав) и поставив датчики давлений. Такие дренированные модели крыльев ЛА продуваются в аэродинамических трубах.
Рассмотрим физическую картину возникновения аэродинамических сил на прямоугольном крыле.
Рис. 5.6. Профиль прямоугольного крыла и векторные диаграммы распределения
давления
На векторных диаграммах рис. 5.6 в точках B, D – скорости потока равны , , . В точке A V=0, р = pmax .
Отметим, что разрежение (пониженное давление) на той или иной поверхности профиля – величины относительные, по отношению к давлению в невозмущенном потоке. На самом деле абсолютное давление, действующее на поверхность крыла (и верхнюю, и нижнюю), всегда положительное. Отрицательным оно просто не может быть. А вот быть меньше или больше давления в невозмущенном потоке – вполне может.
5.3. Аэродинамические силы и продольный момент изолированного крыла.
Перейдем от векторных к координатным диаграммам распределения давления по поверхности крыла.
Рассмотрим профиль крыла и схему элементарных действующих сил на него в связанной с носком профиля системе координат OXY (рис. 5.7).
Рис. 5.7. Схема элементарных сил, действующих на профиль крыла
Для прямоугольного крыла размаха выделим участки профиля с размерами dx и dy.Учитывая, что =dx определим элементарную нормальную силу от давления на элемент крыла dx)
dYp=(pн –pв)dx (5.5)
Аналогично для элементарной продольной силы от давления
dXр= (pп –pз )dy (5.6)
Интегрируя эти выражения соответственно от A до B вдоль оси OX и от yн до yв вдоль оси OY,получим формулы для нормальной и продольной сил без учета сил трения
(5.7)
Записав выражение для элементарного момента от нормальной силы (момент от продольной силы обычно пренебрежимо мал, в силу того что крыло обычно “тонкое”) относительно точки A
(5.8)
Определим продольный момент крыла от давления
(5.9)
Здесь знак минус принят ввиду того, что момент направлен против часовой стрелки, если смотреть вдоль 0Z, расположив ее от нас вдоль передней кромки.
В этих формулах целесообразно перейти от сил к их коэффициентам, учитывая, что площадь S прямоугольного крыла S = b, а также принимая, что (здесь формулы объединены в записи)
(5.10)
В частности для Y, полагая
; (5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
где:
(5.15)
В формулах (5.12) (5.15) и в дальнейшем индекс (∞) опущен в выражениях V∞ и q∞, если не оговаривается особо.
5.4. Средняя аэродинамическая хорда крыла (САХ)
На практике крылья ЛА, как правило, отличаются от прямоугольной формы, поэтому для удобства расчетов и сравнительного анализа крыльев ЛА вводят понятие средней аэродинамической хорды – САХ ( рис.5.8).
Рис. 5.8. Определение средней аэродинамической хорды (САХ)
Для крыла произвольной формы в плане подбирается такое эквивалентное прямоугольное крыло, момент МZ Э которого, силы YЭ, XЭ и площадь SЭ были бы равны исходным MZ.ИСХ, YИСХ, XИСХ,SИСХ.
MZ Э(xA, yA,bA, )= MZ КР ИСХ ;
YЭ(xA,yA,bA, )= YКР ИСХ ; (5.16)
XЭ(xA,yA,bA, )= XКР ИСХ;
SЭ=bA=SИСХ.
Из четырех уравнений определяются хA, yA, bA,
Здесь xA, yA- координаты эквивалентного прямоугольного крыла в системе осей OXY, связанной с носком исходного крыла; bA - значение САХ; - размах эквивалентного крыла. Остальные параметры профиля эквивалентного крыла можно оставить прежними и равными исходным.
5.5. Полная аэродинамическая сила и продольный момент крыла
В предыдущем разделе выведены формулы для нормальной и продольной сил и продольного момента изолированного крыла. Пересечение векторов этих сил происходит в “центре давления”, положение которого обозначим Хд в принятой системе координат.
Суммарный вектор (полная аэродинамическая сила) при симметричном обтекании крыла равен
(5.17)
В случае если происходит «боковая обдувка» профиля, появляется поперечная сила и полная аэродинамическая сила крыла выражается формулой
; (5.18)
где ;
CZ- коэффициент поперечной силы крыла.
При исследовании динамики полета всего ЛА удобнее ввести понятие центра тяжести (масс) ЛА и располагать его относительно плоскости хорд, как показано на рис. 5.9.
Продольный момент целесо образнее вычислять относительно оси OZ, проходящей через центр тяжести ЛА от нас, и его в этом случае называют моментом тан гажа. Тогда, принимая во внима ние (5.17) и (5.18)
Рис. 5.9. Расположение центра масс ЛА на
САХ крыла
(5.19)
Умножив и разделив на bA, получаем
, (5.20)
где: , ,
. (5.21)
5.6. Полная аэродинамическая сила всего ЛА
По аналогии, как это делается для изолированного крыла ЛА, можно вывести выражения для составляющих и полной аэродинамической силы фюзеляжа самолета, вертолета, корпуса ракеты, горизонтального и вертикального оперения и других частей ЛА. При этом чаще всего в аэродинамических испытаниях частей и всего ЛА используется скоростная (аэродинамическая) СК.
Для крыла полную аэродинамическую силу удобнее представлять в проекциях на скоростные оси. В этом случае после разложения по ОХа, OYа и OZа, получаем (рис.5.10):
Рис. 5.10. Полная аэродинамическая сила крыла
(5.22)
где:
– сила лобового сопротивления крыла;
– подъёмная сила крыла;
– боковая сила крыла (на рисунке обозначена крестиком, направленной от нас).
В качестве примера можно аналогичные выражения записать для изолированного фюзеляжа
; (5.23)
изолированного горизонтального оперения (г.о.)
; (5.24)
изолированного вертикального оперения вертолета (в.о.)
(5.25)
и так далее.
Полная аэродинамическая сила всего ЛА вычисляется суммированием всех составляющих сил с учетом интерференции
, (5.26)
где – полная аэродинамическая сила мотогондол,
– полная аэродинамическая сила подвесных баков,
– поправка на интерференцию частей ЛА.
Составляющие на скоростные оси координат
(5.27)
Здесь – сила лобового сопротивления ЛА;
– подъёмная сила ЛА;
– боковая сила ЛА.
При вычислениях обращается внимание на то, что часть составляющих сил малы. Например, при вычислении подъёмной силы , составляющей, обусловленной вертикальным оперением пренебрегают.
Примеры.
1. Для ракеты с оперением, расположенным позади крыла, подъемная сила может быть представлена в виде
(5.28)
При наличии газовых рулей или поворотного двигателя подъемная сила, создаваемая ими, добавляется к записанной сумме. Здесь и в дальнейшем будем опускать индекс “ЛА”, если это не требуется специально. Кроме того, составляющие, обусловленные интерференцией, также будут опускаться в целях упрощения выражений.
2. Для самолета силу лобового сопротивления можно представить следующим образом:
, (5.29)
где - обозначена составляющая силы лобового сопротивления, обусловленная “зализами” между крылом и фюзеляжем.
3. Для вертолета сила лобового сопротивления:
(5.30)
Здесь значения сил сопротивлений с индексами “ф”, “в.о”, “ш”, “в”, “п”, “хр” соответственно приняты для фюзеляжа, вертикального оперения, шасси, несущего винта, подвесок, хвостового (рулевого) винта.
Модули значений входящих в (5.30), также как и для изолированного крыла, определяются следующим образом:
Xа = Cха(α)qЅ;
Ya = Cya(α)qS; (5.31)
Zа = Cza(α, β )q S,
где Cxa, Сy a, Сza – являются безразмерными коэффициентами соответственно сил лобового сопротивления, подъемной и боковой силы ЛА, зависящей от указанных углов α и β при фиксированных отклонениях рулей.
5.7. Полный момент ЛА, обусловленный аэродинамическими силами
Для изолированного крыла произвольной формы в плане имеем выражение для продольного момента (5.19-5.21). После суммирования моментов, создаваемых аэродинамическими силами от всех частей ЛА, получаем:
, (5.32)
где:
; (5.33)
; (5.34)
. (5.35)
Здесь – полный момент ЛА, момент крена – , рыскания – и тангажа – определяются так же как и для изолированного крыла через безразмерные коэффициенты соответственно моментов крена – mх, рыскания - mу, и тангажа – mz, зависящие от углов атакии скольжения. Различие состоит лишь в том, что в формулах (5.33), (5.34) принят характерный линейный размер – , а в формуле (5.35) используется значение bA.
Если крылья отсутствуют, то принимается, например, для ракеты – ее длина корпуса, или другой характерный размер, а в качестве S принимается площадь максимального поперечного (миделева) сечения корпуса ракеты.
5.8. Аэродинамические характеристики самолета
Наиболее полное и достоверное представление об аэродинамических характеристиках самолета могут дать результаты испытаний его модели в аэродинамической трубе.
В отсутствие таких данных воспользуемся хорошо разработанными методами теоретических оценок аэродинамических характеристик летательных аппаратов самолетной схемы [1].
Воспользуемся методом детальной оценки аэродинамического сопротивления [1]. Профильное сопротивление включает сопротивление трения и сопротивление давления. Причем на малых углах атаки сопротивление давления таких удобообтекаемых частей самолета, как крыло, фюзеляж, оперение, мотогондола, составляет 5…10% от профильного сопротивления. Поэтому профильное сопротивление изолированных частей самолета определяется по методу аналогии с плоской пластиной. Сущность этого метода состоит в следующем.
1. Реальная форма основных частей самолета заменяется гладкими обтекаемыми телами, при этом выступы и неровности условно сглаживаются.
2. Рассчитываются омываемые поверхности. В площадь омываемой поверхности не включаются части крыла, фюзеляжа и оперения, которые не находятся в потоке воздуха.
3. Определяется коэффициент трения для гладкой тонкой пластинки с эквивалентной омываемой поверхностью и эквивалентной длиной по потоку. Для турбулентного пограничного слоя коэффициент трения плоской пластинки определяется по формуле Шлихтинга, а для ламинарного – по формуле Блазиуса.
4. Вводится коэффициент коррекции формы, который учитывает:
- отличия в развитии пограничного слоя на плоской пластинке и на реальном теле;
- отличия в скоростях вне пограничного слоя пластинки и реального тела;
- наличие сопротивления давления;
5. Для учета шероховатостей, уступов, щелей и т.п. на поверхности реальной части самолета вводятся экспериментальные или эмпирические поправки.
Аналогия частей самолета с плоской пластинкой справедлива при условии, что относительная толщина профиля крыла , относительное удлинение крыла , стреловидность крыла , удлинение фюзеляжа .
Интерференция учитывается поправочными коэффициентами.
В методе не учитываются:
- балансировочное сопротивление;
- работа силовой установки;
- аэроупругость конструкции.
5.8.1. Коэффициент сопротивления самолета .
Коэффициент сопротивления самолета вычисляется при по формуле
(5.36)
где - коэффициенты минимального лобового сопротивления (при ) крыла, фюзеляжа, оперения, гондол двигателей, шасси, хвостовых балок соответственно. Расчетные формулы приведены ниже.
Крыло
Минимальный коэффициент сопротивления крыла с учетом интерференции с фюзеляжем определяется по формуле
(5.37)
Здесь коэффициент учитывает увеличение сопротивления комбинации
«крыло+фюзеляж» вследствие аэродинамической интерференции. При схеме самолета с высоким расположением крыла (высокоплан) .
Отношение площади надфюзеляжной части крыла ко всей площади крыла учитывает тот факт, что при наличии фюзеляжа часть крыла, занятая фюзеляжем, не омывается потоком и не создает сопротивления трения.
Для учета интерференции крыла и мотогондол участки площади крыла, занятые мотогондолами, из общей площади крыла не вычитают, поскольку принимается, что снижение лобового сопротивления из-за уменьшения площади крыла, обтекаемой потоком, полностью компенсируется ухудшением обтекания в стыке мотогондолы с крылом.
Величина учитывает дополнительные источники сопротивления. Можно считать, что если крыло оснащено предкрылками, то =0,0007, если есть закрылки щелевые или Фаулера, то = 0,0004.
Коэффициент трения эквивалентной плоской пластинки зависит от числа Рейнольдса и от положения на крыле точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
Для чисел Рейнольдса до точка перехода лежит в в зоне 15…20% хорды крыла от передней кромки. Вблизи зон стыка крыла с фюзеляжем, крыла с гондолой и в зоне струи от винта точка перехода от ламинарного к турбулентному погранслою находится на расстоянии 5…10% хорды. При можно считать, что точка перехода находится на расстоянии 5% хорды. Для крыла с мягкой обшивкой или при низком качестве поверхности жесткой обшивки пограничный слой можно считать полностью турбулентным. Таким образом, в большинстве случаев для легких самолетов и беспилотных ЛА можно принять, что пограничный слой крыла будет полностью турбулентным. Тогда коэффициент трения определится по формуле Шлихтинга
(5.38)
Здесь число Рейнольдса крыла определяется для расчетной высоты и скорости полета
(5.39)
или (5.40 )
Оперение
Коэффициент сопротивления горизонтального оперения (ГО) относится к площади ГО и определяется по формуле
(5.41)
где коэффициент вычисляется по формуле (5.38) для средней аэродинамической хорды ГО; , если рули высоты без аэродинамической компенсации; - если рули высоты имеют аэродинамическую компенсацию.
Коэффициент сопротивления ВО определяется аналогичным способом.
Фюзеляж
Коэффициент сопротивления фюзеляжа относится к площади его миделя. Для легких ЛА коэффициент сопротивления фюзеляжа можно найти по формуле
(5.42)
где коэффициент вычисляется по формуле (3.3) при числе Рейнольдса, определяемого для длины фюзеляжа.
Коэффициент учитывает дополнительное сопротивление от различного рода обтекателей антенн и т.п.
Омываемая площадь фюзеляжа определяется по приближенной формуле
(5.43)
где - площадь проекции фюзеляжа в плане; - площадь проекции фюзеляжа
сбоку.
Мотогондолы
Коэффициент лобового сопротивления всех мотогондол в общей сумме сопротивлений самолета учитывается слагаемым
, (5.44)
где - коэффициент лобового сопротивления мотогондолы, определяемый по таблице.
Шасси
Коэффициент лобового сопротивления шасси определяется по формуле
(5.45)
где - коэффициент лобового сопротивления колеса, определяемый по таблице.
Коэффициент учитывает отличие аэродинамического сопротивления шасси от сопротивления колес.
5.8.2. Несущая способность и аэродинамическая поляра самолета
Несущая способность самолета определяется зависимостью коэффициента подъемной силы от угла атаки . Предполагается, что подъемная сила фюзеляжа в первом приближении равна подъемной силе центроплана при отсутствии фюзеляжа. Другими составляющими подъемной силы пренебрегают. Следовательно, считается, что подъемная сила создается крылом с полной площадью.
В линейной области зависимости коэффициент подъемной силы крыла определяется по формуле
(5.46)
где - угол атаки крыла; - угол нулевой подъемной силы.
Производная [1/рад] рассчитывается по формуле
(5.47)
где - относительное удлинение и относительное сужение крыла.
Точка критического угла атаки:
(5.48)
где угол = 2…3 градуса.
Используя традиционную аналитическую модель аэродинамической поляры летательного аппарата
(5.49)
можно определить значение наивыгоднешего коэффициента подъемной силы
(5.50)
и соответствующую ему величину максимального аэродинамического качества
(5.51)
Здесь - минимальное значение коэффициента сопротивления ;
- значение коэффициента подъемной силы , соответствующее ;
– коэффициент индуктивности («отвала») поляры;
. - эффективное удлинение крыла
5.9. Теорема Н.Е. Жуковского о подъемной силе
Утверждение, что тело произвольной формы, обтекаемое идеальной несжимаемой жидкостью, не испытывает никакого сопротивления, нарушается, если имеется неравная нулю циркуляция по контуру, охватывающему тело.
В применении к плоскопараллельному потоку, обтекающему крыло бесконечного размаха, Н.Е. Жуковский доказал теорему (1906 г.) о том, что на такое тело при наличии циркуляции Г вокруг него действует подъемная сила Y (рис. 5.11, 5.12).
Рис. 5.11. Циркуляция скорости Г по замкнутому контуру, охватывающему
профиль крыла.
Математически циркуляция скорости Г определяется интегралом по замкнутому
контуру L, охватывающему профиль крыла:
(5.52)
Не рассматривая доказательство этой теоремы, заметим только, что оно основано на применении закона количества движения к массам жидкости, обтекающей крыло.
Теорема Жуковского формулируется следующим образом: если поток, имеющий в бесконечности скорость и плотность , обтекает цилиндрическое тело (крыло) и циркуляция скорости вокруг этого тела равна Г, то на тело со стороны жидкости будет действовать подъемная сила Y, перпендикулярная направлению скорости и равная произведению циркуляции на плотность и скорость потока в бесконечности.
Для определения направления силы Y при любом сочетании направлений и Г достаточно повернуть вектор скорости на 900 в сторону, обратную циркуляции; повернутый вектор укажет направление подъемной силы.
Математически теорема Жуковского может быть записана формулой
, (5.53)
где - длина той части крыла бесконечного размаха, подъемную силу которой хотят определить.
Из теоремы Стокса следует, что циркуляция Г есть величина, присущая вихрю, не зависящая от контура, по которому она вычисляется, лишь бы он охватывал рассматриваемый вихрь (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Вихревая поверхность, моделирующая крыло.
Это дало основание Н.Е. Жуковскому рассматривать всякое несущее крыло как ядро некоторого воображаемого присоединенного вихря, вызывающего появление в потоке циркуляции Г, без которой, согласно теореме Жуковского, подъемная сила возникнуть не может. Такое представление о крыле связано с тем, что оно при обтекании потоком жидкости газа вызывает такой же эффект в смысле деформации струек жидкости и изменения скоростей, плотностей и давлений, какой вызвал бы помещенный в поток вместо крыла вихрь. Это представление оказалось чрезвычайно полезным, так как оно не только позволило объяснить причины возникновения подъемной силы, но и получить расчетные методы для ее вычисления.