Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 3. Игры с “природой”
Задача 3. Торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получаемая от их возможных сочетаний величина прибыли представлена в виде матрицы выигрышей в следующей таблице (смысл величины будет объяснен позже):
= 0,6
|
План продажи |
Состояние конъюнктуры рынка и спроса |
|||
|
150 |
150 |
150 |
150 |
|
|
100 |
300 |
300 |
300 |
|
|
50 |
250 |
450 |
450 |
|
|
0 |
200 |
400 |
600 |
Определить оптимальный план продажи товаров.
Решение. Задачи такого типа относятся к играм с “природой”. Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с “природой”. Под “природой” понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Иногда при этом имеются некоторые вероятностные характеристики состояний “природы”.
Игра с “природой” отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием “природы” к выигрышу. “Природа” может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний “природы” неизвестны и когда они известны.
Для решения игры с “природой” был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих допущениях. Для выбора наилучшего решения следует использовать тот критерий, который в большей степени отвечает субъективному понятию риска конкретного игрока. Другой подход заключается в применении по очереди всех критериев, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.
1 случай. Вероятности состояний “природы” неизвестны.
Максиминный критерий Вальда. С точки зрения этого критерия, игра с “природой” ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш:
, (1)
где аij – элемент матрицы выигрышей.
Сначала из каждой строки матрицы выбираем минимальный элемент, а затем среди полученных значений выбираем максимальное. Таким образом, получаем:
W = = 150,
что соответствует стратегии. Таким образом, согласно критерию Вальда, наилучшей является стратегия, гарантирующая выигрыш, равный 150.
Критерий минимального риска Сэвиджа. Это также крайне пессимистический критерий, однако, в отличие от критерия Вальда, ориентируется не на выигрыш, а на риск проигрыша:
, (2)
где rij – элемент матрицы рисков.
Матрица рисков имеет ту же размерность, что и матрица выигрышей, и формируется по столбцам матрицы выигрышей. Элементы её го столбца получаются из матрицы выигрышей по формуле:
rij =,
где = - максимальный элемент го столбца матрицы выигрышей.
Таким образом, в данной задаче получаем:
и матрица рисков имеет вид:
.
Теперь применяем формулу (2):
Как видим, минимум дают сразу две стратегии - и , которые и являются наилучшими с точки зрения критерия Сэвиджа.
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Согласно этому критерию оптимальной считается стратегия, определяемая из соотношения:
, (3)
где– коэффициент пессимизма, который принимает значения в диапазоне: .
В случае, когда , получается критерий Вальда, т.е. крайний пессимизм. При возникает ситуация крайнего оптимизма, когда в матрице выигрышей по формуле (3) отыскивается самый большой элемент. Обычно принимают , и конкретное значение коэффициента задается из субъективных соображений. Здесь в условиях задачи указано = 0,6. Применим формулу (3):
=240.
Согласно критерию Гурвица, оптимальной следует считать стратегию. Как видим, эта стратегия появляется в качестве оптимальной второй раз.
Критерий максимума математического ожидания выигрыша. Поскольку вероятности состояний природы нам неизвестны, принимаем все состояния равновероятными, т.е..
Отсюда средний выигрыш от применения i –й стратегии находим по формуле:
, . (4)
Для нашего случая:
М1 = ¼ ( 150 + 150 + 150 + 150) = 150;
М2 = ¼ ( 100 + 300 + 300 + 300) = 250;
М3 = ¼ ( 50 + 250 + 450 + 450 ) = 300;
М4 = ¼ ( 0 + 200 + 400 + 600 ) = 300.
Среди этих средних выигрышей выбираем максимальный:
= М3 = М4 = 300.
Имеем две оптимальные стратегии - и .
Критерий минимального среднего риска. Решение по этому критерию эквивалентно решению по предыдущему критерию, однако анализу подвергается матрица рисков:
. (5)
Из этих средних значений рисков выбираем наименьшее.
Применив формулу (5), получим:
R1 = ¼ ( 0 + 150 + 300 + 450 ) = 225; R2 = ¼ ( 50 + 0 + 150 + 300 ) = 125;
R3 = ¼ ( 100 + 50 + 0 + 150 ) = 75; R4 = ¼ ( 150 + 100 + 50 + 0 ) = 75.
Отсюда = R3 = R4 = 75. Здесь также имеем две оптимальные стратегии - и .
Таким образом, по совокупности критериев наилучшей следует принять стратегию. Это и есть решение задания.
2 случай. Вероятности состояний “природы” известны.
Вновь рассмотрим приведенное выше задание, но с известными вероятностями состояний “природы”, указанными в последней строке таблицы:
|
План продажи |
Состояние конъюнктуры рынка и спроса |
|||
|
150 |
150 |
150 |
150 |
|
|
100 |
300 |
300 |
300 |
|
|
50 |
250 |
450 |
450 |
|
|
0 |
200 |
400 |
600 |
|
|
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
Выполнение задания в этих вариантах имеет следующие особенности:
1. Применение критериев Вальда, Гурвица и Сэвиджа не отличается от прежнего случая.
2. Формулы (4), (5) примут следующий вид:
(или), (6)
(или). (7)
Таким образом, для рассматриваемых исходных условий задачи 2-го случая имеем:
М1 = 150 0,3 + 150 0,2 + 150 0,4 + 150 0,1 = 150,
М2 = 100 0,3 + 300 0,2 + 300 0,4 + 300 0,1 = 240,
М3 = 50 0,3 + 250 0,2 + 450 0,4 + 450 0,1 = 290,
М4 = 0 0,3 + 200 0,2 + 400 0,4 + 600 0,1 = 260.
По критерию максимума математического ожидания выигрыша находим:
,
что соответствует наилучшей стратегии А3.
Определим средние риски для разных планов продаж:
R1 = 0 0,3 + 150 0,2 + 300 0,4 + 450 0,1 = 195,
R2 = 50 0,3 + 0 0,2 + 150 0,4 + 300 0,1 = 105,
R3 = 100 0,3 + 50 0,2 + 0 0,4 + 150 0,1 = 55,
R4 =150 0,3 + 100 0,2 + 50 0,4 + 0 0,1 = 85.
Отсюда
,
что также соответствует наилучшей стратегии А3.
По совокупности критериев в данном случае оптимальной следует принять стратегию А3.
Задачи для контрольной работы
Варианты 1,2. Розничное торговое предприятие разработало несколько вариантов продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся структуры рынка и спроса покупателей. Получающаяся от их возможных сочетаний величина прибыли представлена в виде матрицы выигрышей. Определить оптимальный план продажи товаров.
1. = 0,7
|
Величина прибыли, тыс.руб. |
||||
|
План |
Состояние конъюнктуры рынка и спроса |
|||
|
продажи |
||||
|
5,0 |
4,5 |
5,1 |
4,0 |
|
|
4,2 |
5,6 |
3,9 |
4,3 |
|
|
3,6 |
4,1 |
4,7 |
4,0 |
|
|
3,5 |
3,9 |
4,6 |
3,8 |
2. = 0,6
|
Величина прибыли, тыс.руб. |
||||
|
План |
Состояние конъюнктуры рынка и спроса |
|||
|
продажи |
||||
|
5 |
2 |
1 |
2 |
|
|
4 |
2 |
3 |
3 |
|
|
1 |
5 |
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
4 |
1 |
Варианты 3-5. Экономисты оптового торгового предприятия на основе возможных вариантов поведения поставщиков П1, П2, П3, П4, разработали несколько своих хозяйственных планов О1, О2, О3, О4, а результаты всех возможных исходов представили в виде матрицы прибыли (выигрышей). Определить оптимальный план оптового торгового предприятия.
3. = 0,8
|
Хозяйствен- |
Прибыль по каждому варианту, тыс.руб. |
|||
|
ный план |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
|
О1 |
2,3 |
3,4 |
3,0 |
3,4 |
|
О2 |
3,0 |
2,9 |
2,6 |
3,7 |
|
О3 |
2,8 |
3,8 |
3,6 |
3,0 |
|
О4 |
4,0 |
2,9 |
4,0 |
4,2 |
4. = 0,7
|
Хозяйствен- |
Прибыль по каждому варианту, тыс.руб. |
|||
|
ный план |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
|
О1 |
3 |
6 |
8 |
4 |
|
О2 |
9 |
7 |
5 |
2 |
|
О3 |
10 |
2 |
7 |
6 |
|
О4 |
4 |
8 |
1 |
11 |
5. = 0,6
|
Хозяйствен- |
Прибыль по каждому варианту, тыс.руб. |
||||
|
ный план |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
|
О1 |
0,8 |
1,4 |
3,2 |
2,6 |
2,2 |
|
О2 |
4,2 |
0,1 |
1,6 |
2,2 |
3,4 |
|
О3 |
2,6 |
3,8 |
0,2 |
0,4 |
3,2 |
|
О4 |
1,4 |
4,0 |
2,0 |
5,2 |
0,6 |
Варианты 6,7. Розничное предприятие торговли формирует заявку на новые товары Н1, Н2, Н3, заменяющие старые товары, хорошо известные покупателям. Методы изучения спроса позволили составить матрицу условных вероятностей (вторые цифры в клетке мелким шрифтом) продажи старых товаров С1, С2, С3 при наличии конкурирующих новых товаров в торговой сети.
Составить план-заказ на товары, чтобы обеспечить оптимальное соотношение между их продажей.
6. =0,6
|
Старые |
Новые товары |
||
|
товары |
Н1 |
Н2 |
Н3 |
|
С1 |
9 0,6 |
6 0,3 |
4 0,1 |
|
С2 |
8 0,2 |
3 0,7 |
7 0,1 |
|
С3 |
5 0,1 |
5 0,4 |
8 0,5 |
7. =0,4
|
Старые |
Новые товары |
||
|
товары |
Н1 |
Н2 |
Н3 |
|
С1 |
6 0,7 |
7 0,1 |
5 0,2 |
|
С2 |
7 0,6 |
5 0,2 |
8 0,2 |
|
С3 |
5 0,6 |
3 0,3 |
6 0,1 |
Варианты 8-10. Предприятие общественного питания планирует выпуск трех партий новых, ранее не производимых полуфабрикатов , , , в условиях неясной рыночной конъюнктуры. Относительно последней известны лишь отдельные возможные состояния , , , , а также возможные объемы товарооборота по каждому варианту, и их условные вероятности , которые представлены в виде матрицы (вторые цифры в клетке мелким шрифтом). Определить предпочтительный план выпуска полуфабрикатов.
8. =0,7
|
Партии полу-фабрикатов |
Объем товарооборота при различных состояниях рыночной конъюнктуры и условные вероятности |
|||
|
2,2 0,4 |
3,8 0,1 |
2,8 0,2 |
3,2 0,3 |
|
|
2,6 0,3 |
2,4 0,2 |
3,1 0,1 |
3,3 0,4 |
|
|
3,0 0,2 |
2,0 0,3 |
1,8 0,2 |
2,5 0,3 |
9. =0,4
|
Партии полу-фабрикатов |
Объем товарооборота при различных состояниях рыночной конъюнктуры и условные вероятности |
|||
|
2,4 0,2 |
0,9 0,3 |
1,7 0,2 |
1,2 0,3 |
|
|
1,4 0,3 |
1,8 0,2 |
1,3 0,1 |
1,6 0,4 |
|
|
1,2 0,4 |
2,0 0,1 |
1,8 0,2 |
1,3 0,3 |
10. =0,8
|
Партии полу-фабрикатов |
Объем товарооборота при различных состояниях рыночной конъюнктуры и условные вероятности |
|||
|
1,2 0,3 |
2,1 0,2 |
1,7 0,1 |
2,0 0,4 |
|
|
1,5 0,4 |
1,3 0,1 |
1,6 0,2 |
1,8 0,3 |
|
|
1,7 0,2 |
1,6 0,3 |
1,9 0,2 |
1,4 0,3 |
Литература
1. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. Мн.: Высш. Школа, 1994.
2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.
3. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
4. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Киев: Вища школа, 1975.
Правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последней цифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», то выполняется вариант номер 3, если - «0», то - вариант номер 10).
2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кроме красного) в тонкой тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы, учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименование дисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.
3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписывать обязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписывании общие условия заменяют конкретными данными.
4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится список использованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставится подпись исполнителя.