Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
№68. Метод Хорд. Основные характеристики метода(без вывода).Критерии завершения алгоритма. Идея этого метода состоит в том, что можно (с некоторой точностью) допустить, что функция на достаточно малом участке [а, b] изменяется линейно. Тогда кривую у = f(х) на участке [а, b] можно заменить хордой, и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс (см. Рис. 2). В отличии от метода дихотомии, в методе хорд длина отрезка локализации [а, b] может не стремиться к нулю: это произойдет в случае, если на отрезке [а, b] функция f(х) строго выпукла или строго вогнута: Поэтому для окончания процесса используются следующие критерии: - по значению функции - |f(x)|<e; - по значению аргумента - |xn+1-xn|<e (здесь, как и ранее, e – требуемая точность, xn – корень вспомогательного линейного уравнения, связанного с построенной хордой). |
№69.Метод секущих.Основные характеристики метода(без вывода).Критерии завершения алгоритма. Метод секущих. Одной из наилучших модификаций метода Ньютона считается метод секущих. Итерационная формула этого метода получается посредством замены производной в формуле Ньютона на приближенное значение – конечную разность, полученную на основе двух последовательных приближений. В итоге имеем: Из формул видно, что данный метод является «двухшаговым», то есть для расчета текущего приближения необходимо наличие двух предыдущих. ризнаком окончания процесса считается малое отличие значений последовательных приближений к корню, т.е. выполнение неравенства |xn+1-xn|<e По сравнению с методом Ньютона метод секущих ничуть не теряет в скорости, тем не менее, он исключает все негативные моменты, которые могут возникнуть в связи с необходимостью вычисления производной. Единственное, в чем он уступает своему прародителю, так это в том, что чуть больше становится ограничений на выбор начальных приближений – оба приближения должны быть расположены достаточно близко друг к другу и находиться на одном интервале убывания-возрастания с корнем уравнения. Этот метод также называют методом линейной интерполяции. |
№70. Метод Ньютона. Основные характеристики метода(без вывода).Критерии завершения алгоритма. Метод Ньютона — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном. Он основан на уравнении касательной y=f’(x)*x+b, из которого в результате алгебраических преобразований выводится итерационная формула: . Как правило, в окрестности корня метод сходится «квадратично», т.е. за каждый шаг УДВАИВАЕТСЯ число верных знаков в оценке значения корня. Однако, метод может расходится. Для начала процесса необходимо задать начальное приближение. Признаком окончания процесса считается малое отличие значений последовательных приближений к корню, т.е. выполнение неравенства |xn+1-xn|<e Одним из ключевых преимуществ метода Ньютона является его простое обобщения на системы нелинейных уравнений. |
№71.Понятие порядка метода. Численная оценка порядка Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи. Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности , если его остаток равен нулю для любого полинома степени , но не равен нулю для полинома степени . |