Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Комунальний вищий навчальний заклад
«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»
Херсонської обласної ради
|
Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 1 Семестр: V Кількість годин: 2 |
ЛЕКЦІЯ № 4 (25-26)
Тема: Ряд натуральних чисел, його властивості.
Способи запису цілих невід’ємних чисел
|
Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко |
м. Берислав
Тема лекції: Ряд натуральних чисел, його властивості. Способи запису цілих невід’ємних чисел
Студенти повинні знати:
Студенти повинні вміти:
Тип лекції: тематична
Ключові поняття: натуральний ряд, натуральні числа, цифра, клас, розряд, кількісне натуральне число, порядкове натуральне число.
План
Основна література
С. 43-46.
Інтернет-ресурси
Структура лекції
1. Ряд натуральних чисел і його властивості
Натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів (Н.: 1,2 3, 4, 5, …, 11, 12, …, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001, …).
Натуральні числа, які розміщені у порядку зростання, починаючи з 1 і до нескінченності, утворюють числовий (натуральний) ряд (N). Натуральний ряд чисел починається з найменшого натурального числа 1. Найбільшого натурального числа не існує, так як ряд натуральних чисел нескінченний. Число 0 натуральним числом не являється, так як означає повну відсутність чого-небудь.
Для того щоб записувати числа, використовують спеціальні знаки – цифри. Цифри в математиці виконують таку саму роль, як і букви в мові. Усього цифр десять – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За їх допомогою можна записати будь-яке число.
Цифри, якими ми користуємося, називаються арабськими, але, як це не дивно, писати їх почали в Індії у VI столітті. Назву ж свою вони дістали від арабів, які, взявши ці цифри від індійців, привезли їх до Європи.
Властивості натуральних чисел:
Отже, натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів. Найменше натуральне число 1, найбільшого числа не існує. Цифри – спеціальні графічні знаки, які використовують при записі числа.
Питання для узагальнення
2. Класи і розряди натуральних чисел
Система числення, якою ми користуємося, називається десятковою, оскільки для запису різних чисел використовують лише десять цифр (знаків): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Н.: для запису чисел 123, 231, 321, 132 використовують ті самі цифри, але самі числа, що побудовані з цих цифр, розрізняються.
Позицію цифри в запису числа називають розрядом. Найменший із розрядів – розряд одиниць. Ним закінчується будь-яке число.
Числа читають зліва направо.
Запис натурального числа розбивається на групи справа наліво по три цифри в кожній групі. Кожна з цих груп називається класом, а розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.
Таблиця розрядів і класів чисел
|
Класи |
Розряди |
||
|
1-й клас |
одиниць |
1-й розряд |
одиниць |
|
2-й розряд |
десятків |
||
|
3-й розряд |
сотень |
||
|
2-й клас |
тисячі |
4-й розряд |
одиниць |
|
5-й розряд |
десятків |
||
|
6-й розряд |
сотень |
||
|
3-й клас |
мільйонів |
7-й розряд |
одиниць |
|
8-й розряд |
десятків |
||
|
9-й розряд |
сотень |
||
|
4-й клас |
мільярдів |
10-й розряд |
одиниць |
|
11-й розряд |
десятків |
||
|
12-й розряд |
сотень |
Число 127 432 706 408 – дванадцяти розрядне і читається так: 127 мільярдів 432 мільйона 706 тисяч 408. Це багатозначне число 4-го класу.
Кожне натуральне число можна записати як суму розрядних доданків.
Приклад
7 205 379 = 7 000 000 + 200 000 + 5000 + 300 + 70 +9.
Отже, десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Позицію цифри в записі числа називають розрядом.
Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.
Питання для узагальнення
3. Порядкові і кількісні натуральні числа
Відрізком натурального ряду Nа називається множина натуральних чисел, що не перевищують натурального числа а.
Н., відрізок N4 є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4.
Із визначення випливає, що відрізок Nа натурального ряду складається із всіх таких натуральних чисел х, що х ≤ а. Крім того, будь-який відрізок Nа при а > 1 містить 1.
Введене визначення відрізка натурального ряду дозволяє уточнити поняття рахунку елементів множини. Відмітимо, під час лічби кожному елементи множини А={k, l, m, r} буде відповідати одне єдине число із відрізка N4. Тобто встановлена взаємо однозначна відповідність між множиною А і відрізком N4 натурального ряду.
Лічбою елементів множини А називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною А та відрізком натурального ряду N.
Число а називається числом елементів у множині А і пишеться n (А)=а. Це число єдине і є кількісним натуральним числом.
Аналіз рахунку показує – для того, щоб рахувати, необхідно раніше мати достатній запас чисел, причому числа повинні володіти рядом властивостей: знаходитися у визначеному порядку, повинно існувати перше число і т.д.
Натуральні числа використовують не тільки для лічби предметів, але й для характеристики порядку предметів: перший (будинок), п’ятий (учень), десятий (місяць).
Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.
Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предметів в даній групі?» – дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» – відповідь дається порядковим натуральним числом.
Питання для узагальнення
4. Множина цілих невід’ємних чисел, теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше» на цій множині
З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.
Нехай дано два цілі невід’ємні числа а і в. З теоретико-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а = n(А), в = n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а = в.
Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:
а=в<=>А~В, де n(А)=а, n(В)=в
Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.
Якщо множина А рівнопотужна своїй підмножині множини В та n(А) = а, n(В) = в, говорять, що число а менше числа в, та пишуть а < в .В цій же ситуації говорять, що в більше а, та пишуть: в > а
а<в<=>А~В1, де В1 В та В1≠В, В1≠Ø
Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3, 3 < 4 і т.д.
Наприклад, при введенні запису 3 = 3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.
При вивченні відношення 3 < 4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3 < 4.
Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо)та а < в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, приложеням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а < в.
Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов’язаний з безпосереднім порівнянням двох груп предметів.
Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в
Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3 < 7. 3 < 7 – оскільки існує таке число 4, що 3 + 4 = 7.
Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5 + 1 = 6, 6 > 5, 7 + 1 = 8, 8 > 7.
Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду Nа являється власною підмножиною відрізка цього ряду Nв.
а < в <=> NаNв та Nа ≠ Nв
Н., справедливість нерівності 3 < 7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1,2,3} {1,2,3,4,5,6,7}.
Дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.
Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.
Отже, множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним. Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.
Питання для узагальнення
Загальний висновок
Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінченні множини між собою.
Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.
Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.
Запитання для узагальнення студентам
Повідомлення домашнього завдання
Р. 2, п. 45-47, впр.1, 2 (С. 126).