тематики Модуль ’ 1 Семестр- V Кількість годин- 2 ЛЕКЦІЯ ’ 4 2526 Те

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки України

Комунальний вищий навчальний заклад

«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»

Херсонської обласної ради

Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 1 Семестр: V Кількість годин: 2

ЛЕКЦІЯ № 4 (25-26)

Тема: Ряд натуральних чисел, його властивості.

Способи запису цілих невід’ємних чисел

Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко

м. Берислав

 Тема лекції: Ряд натуральних чисел, його властивості. Способи запису цілих невід’ємних чисел

Студенти повинні знати:

1. поняття натурального ряду, натурального числа;
2.  різницю між числом і цифрою;
3.  класи і розряди натуральних чисел;
4.  теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля;
5.  теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше».

Студенти повинні вміти:

1.  визначати клас і розряд натурального числа;
2.  ілюструвати зміст кількісного натурального числа, відношень «рівно», «менше».

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: натуральний ряд, натуральні числа, цифра, клас, розряд, кількісне натуральне число, порядкове натуральне число.

План

1.  Ряд натуральних чисел і його властивості.
2.  Класи і розряди натуральних чисел.
3.  Порядкові і кількісні натуральні числа.
4.  Множина цілих невід’ємних чисел, теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше» на цій множині.

Основна література

1.  Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст] : навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К. : Вища школа, 1987. – С. 164-167.
2.  Основи початкового курсу математики [Текст] : навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 43-46.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 124-128.

Інтернет-ресурси

1.  Десятичная система счисления, классы и разряды натуральных чисел [Электронный ресурс] : теоретические материалы // сайт shkolo.ru. – Режим доступа: http://shkolo.ru/desyatichnaya-sistema-schisleniya-klassyi-i-razryadyi-naturalnyih-chisel. – Название с экрана.
2.  Натуральні числа [Електронний ресурс] // Вікіпедія : Вільна енциклопедія. – Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Натуральні_числа. – Назва з екрана.
3.  Натуральні числа [Електронний ресурс] // Енциклопедія online. – Режим доступу: http://www.macsanomat.com/index.php/term/1-entsiklopediya,3558-natural-ni-chisla.xhtml. – Назва з екрана.

 Структура лекції

1.  Вступна частина:
2.  Оголошення теми, мети і завдань лекції.
3.  Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.
4.  Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції)

1. Ряд натуральних чисел і його властивості

Натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів (Н.: 1,2 3, 4, 5, …, 11, 12, …, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001, …).

Натуральні числа, які розміщені у порядку зростання, починаючи з 1 і до нескінченності, утворюють числовий (натуральний) ряд (N). Натуральний ряд чисел починається з найменшого натурального числа 1. Найбільшого натурального числа не існує, так як ряд натуральних чисел нескінченний. Число 0 натуральним числом не являється, так як означає повну відсутність чого-небудь.

Для того щоб записувати числа, використовують спеціальні знаки – цифри. Цифри в математиці виконують таку саму роль, як і букви в мові. Усього цифр десять – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За їх допомогою можна записати будь-яке число.

Цифри, якими ми користуємося, називаються арабськими, але, як це не дивно, писати їх почали в Індії у VI столітті. Назву ж свою вони дістали від арабів, які, взявши ці цифри від індійців, привезли їх до Європи.

Властивості натуральних чисел:

1.  Кожному числу відповідає одне і тільки одне натуральне число.
2.  Кожному натуральному числу відповідає один клас рівно потужних скінчених множин.
3.  Кожному натуральному числу а відповідають різні рівнопотужні множини одного класу еквівалентності.

Отже, натуральні числа – це цілі додатні числа, які використовують для рахування предметів. Найменше натуральне число 1, найбільшого числа не існує. Цифри – спеціальні графічні знаки, які використовують при записі числа.

Питання для узагальнення

1.  Які числа називаються натуральними?
2.  Яке найменше натуральне число? Найбільше?
3.  Яка різниця між числом і цифрою?
4.  Як називається сучасна нумерація, якою ми користуємося?

2. Класи і розряди натуральних чисел

Система числення, якою ми користуємося, називається десятковою, оскільки для запису різних чисел використовують лише десять цифр (знаків): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Н.: для запису чисел 123, 231, 321, 132 використовують ті самі цифри, але самі числа, що побудовані з цих цифр, розрізняються.

Позицію цифри в запису числа називають розрядом. Найменший із розрядів – розряд одиниць. Ним закінчується будь-яке число.

Числа читають зліва направо.

Запис натурального числа розбивається на групи справа наліво по три цифри в кожній групі. Кожна з цих груп називається класом, а розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

 Таблиця розрядів і класів чисел

Класи	Розряди
1-й клас	одиниць	1-й розряд	одиниць
2-й розряд	десятків
3-й розряд	сотень
2-й клас	тисячі	4-й розряд	одиниць
5-й розряд	десятків
6-й розряд	сотень
3-й клас	мільйонів	7-й розряд	одиниць
8-й розряд	десятків
9-й розряд	сотень
4-й клас	мільярдів	10-й розряд	одиниць
11-й розряд	десятків
12-й розряд	сотень

Число 127 432 706 408 – дванадцяти розрядне і читається так: 127 мільярдів 432 мільйона 706 тисяч 408. Це багатозначне число 4-го класу.

Кожне натуральне число можна записати як суму розрядних доданків.

Приклад

7 205 379 = 7 000 000 + 200 000 + 5000 + 300 + 70 +9.

Отже, десяткова система числення позиційна, оскільки від позиції цифри в складі числа залежить її значення. Позицію цифри в записі числа називають розрядом.

Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Питання для узагальнення

1.  Як називається система числення, якою ми користуємося?
2.  Які існують розряди чисел?
3.  Які класи натуральних чисел ви знаєте?

3. Порядкові і кількісні натуральні числа

Відрізком натурального ряду Nа називається множина натуральних чисел, що не перевищують натурального числа а.

Н., відрізок N4 є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4.

Із визначення випливає, що відрізок Nа натурального ряду складається із всіх таких натуральних чисел х, що х ≤ а. Крім того, будь-який відрізок Nа при а > 1 містить 1.

Введене визначення відрізка натурального ряду дозволяє уточнити поняття рахунку елементів множини. Відмітимо, під час лічби кожному елементи множини А={k, l, m, r} буде відповідати одне єдине число із відрізка N4. Тобто встановлена взаємо однозначна відповідність між множиною А і відрізком N4 натурального ряду.

Лічбою елементів множини А називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною А та відрізком натурального ряду N.

Число а називається числом елементів у множині А і пишеться n (А)=а. Це число єдине і є кількісним натуральним числом. 

Аналіз рахунку показує – для того, щоб рахувати, необхідно раніше мати достатній запас чисел, причому числа повинні володіти рядом властивостей: знаходитися у визначеному порядку, повинно існувати перше число і т.д.

Натуральні числа використовують не тільки для лічби предметів, але й для характеристики порядку предметів: перший (будинок), п’ятий (учень), десятий (місяць).

Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.

Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предметів в даній групі?» – дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» – відповідь дається порядковим натуральним числом.

Питання для узагальнення

1.  Що називається відрізком натурально ряду чисел?
2.  Що є лічбою елементів множини?
3.  Які бувають натуральні числа?

4. Множина цілих невід’ємних чисел, теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше» на цій множині

З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.

Нехай дано два цілі невід’ємні  числа а і в. З теоретико-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а = n(А), в = n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а = в.

Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:

а=в<=>А~В, де n(А)=а, n(В)=в

Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.

Якщо множина А рівнопотужна своїй підмножині множини В та n(А) = а, n(В) = в, говорять, що число а менше числа в, та пишуть а < в .В цій же ситуації говорять, що в більше а, та пишуть: в > а

а<в<=>А~В1, де В1   В та В1≠В, В1≠Ø

Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2 = 2, 3 = 3, 2 < 3, 3 < 4 і т.д.

Наприклад, при введенні запису 3 = 3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.

 

При вивченні відношення 3 < 4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3 < 4.

Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо)та а < в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, приложеням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а < в.

Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов’язаний з безпосереднім порівнянням двох груп предметів.

Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в

Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3 < 7. 3 < 7 – оскільки існує таке число 4, що 3 + 4 = 7.

Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5 + 1 = 6, 6 > 5, 7 + 1 = 8, 8 > 7.

Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду Nа являється власною підмножиною відрізка цього ряду Nв.

а < в <=> NаNв  та   Nа ≠ Nв

Н., справедливість нерівності 3 < 7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1,2,3}   {1,2,3,4,5,6,7}.

Дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.

Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.

Отже, множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним. Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.

Питання для узагальнення

1.  Які відношення між числами ви знаєте?
2.  Коли числа рівні між собою?
3.  Коли число а менше числа в?

1.   Заключна частина

Загальний висновок

Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінченні множини між собою. 

Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.

Кожне число має класи, розміщені вони справо наліво в такому порядку: клас одиниць, клас тисяч, клас мільйонів, клас мільярдів, клас трильйонів, клас квадриліонів, клас квінтиліонів, клас секстиліонів, клас септиліонів і т.д. Кожний клас має три розряди: одиниці, десятки, сотні.

Запитання для узагальнення студентам

1.  Який ряд чисел називається натуральним?
2.  Які числа називаються натуральними?
3.  Яка різниця між числом і цифрою?
4.  Як називається сучасна нумерація, якою ми користуємося?
5.  Яке найменше натуральне число? Найбільше?
6.  Назвіть класи і розряди натуральних чисел.

Повідомлення домашнього завдання

1. Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст] : навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К. : Вища школа, 1987. – С. 164 -169 (конспект).
2. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 123-127.

Р. 2, п. 45-47, впр.1, 2 (С. 126).

1. Африканский банк развития
2. Классификация кооперативов
3. Место и центр затрат, критерии их образования, методы группировки издержек
4. Мезенцефалический очаговый центр
5. Осевое время Мир в VIV вв
6.  История возникновения и развития учета Зародился бухгалтерский учет в XIII в
7. Славянский миллиард
8. НП от 27.11.2013 101 ПЛАН мероприятий по проведению процедуры сокращение штата в ООО НП Планируем
9. і Липидтерге жатады
10. Московский государственный юридический университет имени О.
11. в колхозницы В моду вошли спорт и массажи убиравшие объем
12. тема лечебнопрофилактических мероприятий по охране здоровья 3
13. Тема 11 ДЕРЖАВНИЙ КРЕДИТ І ДЕРЖАВНИЙ БОРГ Державний кредит являє собою доволі специфічну ланку державних фі
14. Контрольная работа ~ самостоятельная работа представляющая собой письменный ответ на вопрос рассматриваем
15. Тема 7 Рабочее время
16. Возрастные особенности воображения
17. Ярославская государственная медицинская академия Федерального агентства по здравоохранению и социаль
18. 1911гг Он считал необходимым беспощадное подавление революции
19. Контрольна робота з дисципліни Державне та регіональне управління Підготувала студен
20. структурная и функциональная единица организмов всех царств живой природы

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе