У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Реферат- Элементарная теория сумм Гаусса

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Элементарная теория сумм Гаусса

Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :

где D – целое положительное и (a, D)=1.

Покажем,  что значение суммы будет одним и тем же,  если  х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.

Действительно,  пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда                х=qD+k      , где  k =0, 1, …, D-1  ,     q є Z

Будем иметь :

что и требовалось.

Лемма 1.

Пусть (a, D)=1. Тогда:

Доказательство:

По свойству модуля комплексного числа :

Имеем:

Сделаем замену      x = x + t  . Когда  х  и  х пробегают полную систему вычетов по модулю  D ,  от  х  и  t  пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно,  пусть  х  и  х  пробегают полную систему вычетов по модулю D . Тогда                       х = qD + k              k=0, 1, …, D-1   , q є Z

                                            х = pD + i              i=0, 1, …, D-1    , p є Z

Следовательно,  t = x – x = (q – p)D +  (k – i) = l D + m , где m=0, 1, …, D-1 ,  l є Z

а) Пусть D – нечетное,  т.е. (2а, D)=1

если D делит t.

Если же D не делит t,  то последнюю сумму можно записать в виде :

Получили :

Тогда

Отсюда

б) Пусть D делится на  4, т.е. возможно представление :  D = 2D , где   D – четное  и  ( a, D )=1 .

Получим :

Так как D  четное,  то

Следовательно

в) Пусть D = 2 (mod 4) ,  т.е. D = 4q + 2    , q є Z

Тогда из предыдущего случая имеем : D = 2 (2q+1)= 2D ,  D  - нечетное. Имеем :

Что и требовалось.

Лемма 2.

Если D  и  D взаимно простые числа,  то

S ( aD1 , D2 ) S ( aD2  , D1 ) = S  ( a , D1 D2 )

Доказательство:

В этих суммах  t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 ,  а  t2   пробегает полную систему вычетов по модулю D2.  При этом  D1t1 + D2t2  пробегает полную систему вычетов по модулю  D1D2 .  Действительно ,  всего членов в сумме  D1D2   и никакие два несравнимы между собой. Действительно,  предположим противное : пусть  D1t1 + D2t2 = D1t1 + D2t2 ( mod D1D2 )

Отсюда  D1 (t1 – t1)  = D2 (t2 – t2 ) (mod D1D2)        Тогда

             D1 (t1 – t1)  = D2 (t2 – t2 ) (mod D2)         А так как    D2 (t2 – t2 ) = 0 (mod D2)

То по свойству сравнений имеем           D1 (t1 – t1)  = 0 (mod D2)  Отсюда  так как  (D1, D2)=1 ,  то     t1 – t1  = 0 (mod D2)   Аналогично получим  t2 – t2 = 0 (mod D1)

Т.е. имеем      t1 = t1  (mod D2)        и             t2 = t2 (mod D1) . Но это противоречит тому,  что   t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 ,  а  t2   пробегает полную систему вычетов по модулю D2,  так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1t1 + D2t2  пробегает полную систему вычетов по модулю  D1D2 .

Поэтому

Лемма 3.

Пусть  p  простое нечетное число и не делит a . Тогда

Доказательство:

 

что и требовалось доказать.

-6-

Лемма 4.

Если  р  простое  нечетное число , то

Доказательство :

Из леммы 3. получим

Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля,  то

Лемма 5.

Если  р  и  q  различные простые числа ,  то

Доказательство :

Так как  ( р, q )= 1  ,  мы можем воспользоваться  леммой 2 : в нашем случае

Итак ,  мы показали,  что

что и требовалось доказать.




1.  липня 2013 р Звіт про проходження практики курсантом 3 курсу 32 навчальної групи факультету громадсь
2. Религиозный туризм и путешествия в средневековье
3. Тема- Память Студентки 1 курсагруппы 100заочного обученияШатон Галины ВладимировныПреподаватель-Галуза А
4. тема Административное право отрасль российской правовой системы представляющая собой совокупн
5. Nch dem Fll der Muer 1989 und nch der Wiedervereinigung 1990 wurde Berlin wieder Huptstdt des Lndes
6. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 по предмету ldquo;Цифровые устройства и микропроцессорыrdquo; Вариант 8
7. Тематика контрольних робіт рефератів з дисципліни Фінанси Сучасна політика України у сфері міжна
8. Инородцы в Российской империи.html
9. Механизм разрешения споров в международном праве
10. ПО ТЕМЕ- ПОНЯТИЕ МЕР ОБЕСЕЧЕНИЯ УГОЛОВНОГО ПРОИЗВОДСТВА И ИХ ВИДЫ Меры обеспечения уголовного производс