Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова”
Прикладная механика
Учебное пособие
Саратов 2011
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова”
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Д.А. СКОТНИКОВ, А.В. АНИСИМОВ А.А. МАРЬИНА
Прикладная механика
Учебное пособие
для студентов очной и заочной форм обучения специальностей:
260301 – «Технология мяса и мясных продуктов»
260303 – «Технология молока и молочных продуктов»
260501 – «Технология продуктов общественного питания»
240901 – «Биотехнология»
и направлений подготовки:
260800 – «Технология продукции и организация общественного питания»
260100 – «Продукты питания из растительного сырья»
260200 – «Продукты питания животного происхождения»
240700 – «Биотехнология»
Саратов
ООО Издательский Центр «Наука»
2011
УДК 539.3/.6(075,8)
ББК 30.121.73
С 64
Скотников Д.А., Анисимов А.В., Марьина А.А.
С 64 Детали машин: Учеб. пособие. – Саратов: ООО Издательский Центр
«Наука», 2011. - 303 с.
ISBN
В учебном пособии представлены: полный курс лекций по дисциплинам входящим в курс «Прикладная механика» - «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов» и «Детали машин» для студентов технологических специальностей, методика проведения лабораторных работ, задания и примеры решения расчетно-графических работ, а также тестовые вопросы к выходному контролю по данным дисциплинам. Пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения для подготовки к сдаче рубежных и выходного контролей.
УДК 539.3/.6(075,8)
ББК 30.121.73
ISBN © Скотников Д.А., 2011
© Анисимов А.В., 2011
© Марьина А.А., 2011
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Основные понятия.
Теоретическая механика – это наука, изучающая взаимодействие материальных тел и их поведение в результате этого взаимодействия.
Принято различать два основных состояния материальных тел: покой и движение.
Состояние покоя – сохранение каждой точкой тела своего положения в выбранной системе координат с течением времени.
Состояние движения – изменение каждой точкой тела своего положения в выбранной системе координат с течением времени. Состояния покоя и движения относительны, поскольку тело может покоиться в выбранной системе координат, но двигаться вместе с системой.
Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения материальных тел или их частей в пространстве.
Теоретическую механику принято делить на три основных раздела: статику, кинематику и динамику.
Статика – это раздел теоретической механики, изучающий условия сохранения материальными телами состояния покоя, или другими словами, изучает равновесие тел под действием сил.
Кинематика изучает движение материальных тел, без учета действующих на них сил и их инертности, а также основные характеристики движения тел и взаимосвязь этих характеристик.
Динамика изучает движение материальных тел под действием сил.
1.1.Статика
1.1.1. Понятия и определения. Аксиомы статики
Основная задача статики – изучение условий равновесия тел.
Силой в теоретической механике называют величину, являющуюся количественной мерой взаимодействия материальных тел.
Сила характеризуется тремя величинами:
- численным значением (модулем);
- направлением действия;
- точкой приложения.
Система сил – вся совокупность сил, принятых к рассмотрению и действующих на рассматриваемую систему тел.
Внешними называются такие силы, которые действуют на рассматриваемое тело со стороны других материальных тел.
Внутренними называют силы, которые возникают только от действия частиц одного и того же тела.
По характеру действия силы различают:
1) Сосредоточенные – действующие в точке.
2) Распределенные – действующие на определенной длине.
3) Поверхностные – действующие по некоторой площади.
АКСИОМА №1. (закон действия и противодействия). Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Эта аксиома предполагает дальнодействие, т. е. возможность действия материальных тел друг на друга на расстоянии, что характерно для классической механики.
Если точка А с массой mА действует на точку В с силой FB, а точка В с массой mВ действует на точку А с силой FA (рис.1.1 ), причем точки А и В получают от действия этих сил ускорения, соответственно равные аA и аВ то имеем: FB = -FA и FA = FB или mА·аА=mВ·аВ ; следовательно, ускорения, сообщаемые материальным точкам силами взаимодействия, обратно пропорциональны массам точек.
АКСИОМА №2 (закон независимости действия сил). Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других и сообщает точке ускорение, равное этой силе, деленной на массу точки. Следовательно, система нескольких сил F1, F2,… Fn действует на материальную точку так же, как одна сила F, равная сумме F1, F2,… Fn, т. е.
, (1.1)
Это следствие представляет обобщенный закон параллелограмма сил.
АКСИОМА №3 Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рис. 1.2).
Эти две силы называются уравновешивающимися. Силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в состоянии покоя.
АКСИОМА №4 Не нарушая состояния твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешенные системы сил.
Следствие: не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна данной системе сил.
АКСИОМА №5 Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали (рис. 1.3).
По модулю равнодействующая равна:
R=, (1.2)
Система сил – вся совокупность сил, принятых к рассмотрению и действующих на рассматриваемую систему тел.
Линия действия вектора силы – бесконечная прямая, проходящая через данный вектор.
Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, воздействие которых на данную систему тел приводит к одному и тому же поведению этих тел.
Уравновешенная система сил - это такая система сил, действие которой на данную систему тел эквивалентно отсутствию всякого действия (т.е. действие равно нулю).
Связанный вектор - вектор, приложенный к определенной точке пространства и не допускающий переноса в другие точки.
Скользящий вектор - вектор, который можно располагать в любой точке на линии его действия.
Свободный вектор - вектор, который можно располагать в любой точке пространства.
Абсолютно твердое (жесткое) тело - материальное тело, деформациями которого в процессе его нагружения или взаимодействия с другими телами мы пренебрегаем (тело сохраняет свою форму).
1.1.2. Связи
Если каждая из точек системы может занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, то система называется свободной.
Условия, которые налагают ограничения на движение системы, называются связями.
Так, для лампы, подвешенной на шнуре, связью является шнур; для книги, лежащей па столе, связью является стол; для лестницы, приставленной к стене, связями являются пол и стена. Для шара, катящегося по бильярдному столу, связью является поверхность стола и его борта.
Реакция - это сила взаимодействия опоры и рассматриваемого тела.
Свободное тело - такое материальное тело, которое не связано с другими материальными телами и которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве.
Сила, с которой тело действует на связь, называется силой давления.
Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции.
Сила, давления и сила реакции связи по модулю равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны.
Методика определения реакций связей при решении задач статики:
1. Несвободное тело условно изображают как свободное с помощью принципа освобождаемости – всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями связей.
2. В результате применения этого принципа мы получаем тело свободное от связей и находящееся под действием некоторой системы сил.
3. Направление реакции связи противоположно направлению перемещения, уничтожаемого данной связью.
1.1.3. Основные виды связей и их реакции
1) Абсолютно гладкая поверхность.
Реакция всегда направлена перпендикулярно поверхности контакта (рис. 1.4).
Примечание. Если поверхность криволинейна, то реакция всегда направлена перпендикулярно касательной к поверхности.
Рис.1.4
2) Шероховатая поверхность.
Реакция имеет две составляющие - одну перпендикулярно поверхности контакта (нормальная реакция) и другую вдоль поверхности контакта (сила трения) (рис. 1.5)
Рис. 1.5
Стержень - тело, способное выдерживать как сжимающую, так и растягивающую нагрузку.
Нить - тело, способное выдерживать только растягивающую нагрузку.
Балка - тело, способное выдерживать растягивающую, сжимающую и изгибающую нагрузки.
3) Стержень (нить).
Реакция всегда направлена вдоль стержня или нити (рис. 1.6).
Рис. 1.6
4) Подвижный шарнир.
Шарнир - это такое соединение двух жестких тел, при котором тела не могут разъединиться, но могут поворачиваться друг относительно друга. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности (рис. 1.7).
Рис.1.7
5) Неподвижный шарнир.
Реакции две и направлены они так, чтобы не лежать на одной прямой (рис. 1.8).
Рис.1.8
6) Жёсткая заделка.
Две реакции и один реактивный момент (рис. 1.9).
Рис.1.9
1.1.4. Плоская система сходящих сил
Сходящиеся силы - это силы, линии, действия которых пересекаются в одной точке. Пусть на тело действует система сходящихся сил 1…n, то есть сил, линии действия которых сходятся в одной точке (рис. 1.10). Такая система сил будет иметь главный вектор , приложенный в точке пересечения их линий действия и определяемый аналитически по формуле:
. (1.3)
Рис.1.10
Различают плоскую систему сходящихся сил – когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости и пространственную, когда линии действия лежат в различных плоскостях.
Кроме аналитического способа нахождения главного вектора существует геометрический способ называемый правилом многоугольника (рис.1.11). Он заключается в следующем: в масштабе согласно (рис.1.10) откладывается величина вектора 1, из его конца откладывается величина вектора 2 под углом образованным силами 1 и 2, далее аналогично
Рис.1.11 откладываются силы 3 и n. Конец последней слагаемой силы соединяется с началом первой главным вектором R. Результирующий (главный) вектор направлен из начала F1 к концу Fn.
Вывод: система сходящихся сил имеет равнодействующую равную геометрической сумме этих сил, приложенную в точке пересечения их линий действия.
Уравнение равновесия плоской системы сходящихся сил: плоская система сходящихся сил находится в равновесии, когда алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух координатных осей равна 0.
(1.4)
Или когда геометрическая сумма всех сил системы равна 0 или , т.е. когда силовой многоугольник замкнут.
Закон параллелограмма сил – 2 силы, приложенные в одной точке, имеют равнодействующую (главный вектор) приложенную в этой точке (рис.1.12).
Рис.1.12 R=. (1.5)
1.1.5. Проекции силы на координатную ось
Проекция силы на ось есть скалярная величина равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси (рис.1. 13).
Рис.1.13 Fx = F·cosα = AB. (1.6)
Частные случаи проекции силы на оси координат.
а) б) в)
Рис.1.14
Если сила 1 перпендикулярна оси х (рис.1.14 а), то ее проекция на ось х равна F1x = 0; если сила 2 находится под углом α к оси х (рис. 1.14 б), то ее проекция равна F2x =F2 cosα; если сила 3 лежит на оси х и ее направление совпадает с направлением оси (рис. 1.14 в), то проекция равна F3x = F3.
1.1.6. Момент силы относительно точки (центра)
Моментом силы М относительно центра О называется вектор, модуль которого равен произведению силы F на плечо h (рис.13)
M=F·h, (1.7)
где h – плечо, кратчайшее расстояние (перпендикуляр)
Рис.1.15 от линии действия силы до выбранной точки.
В дальнейшем будем руководствоваться следующим правилом определения знака момента: момент считается положительным, если сила пытается повернуть конструкцию относительно центра момента против хода часовой стрелки.
Два вектора называются коллинеарными, если их линии действия параллельны.
Теорема Вариньона: сумма моментов сил относительно выбранной точки (центра) равна моменту равнодействующей этих сил относительно той же точки.
, (1.8)
1.1.7. Условия равновесия произвольной плоской системы сил
Первое условие
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекции всех сил на каждую из двух координатных осей, и сумма их моментов относительного любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.
∑Fix=0
∑Fiy=0, (1.9)
∑Мо=0
где ∑Мо – сумма моментов относительно точки О.
Второе условие
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-либо центров А и В и сумма проекций сил на ось х (не перпендикулярную к прямой АВ) были равны нулю.
∑МА=0
∑МВ=0, (1.10)
∑Fix=0
Третье условие
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых центров А,В,С не лежащих на одной прямой были равны нулю.
∑МА=0
∑МВ=0 (1.11)
∑МС=0
Задача статики может быть решена только в том случае, когда для нее число неизвестных реакций связей не превышает числа уравнений равновесия, которые содержат эти неизвестные реакции. Такие задачи называются статически определимыми, а системы тел в этих задачах называют статически определимыми системами.
1.1.8. Пара сил
Парой сил называют две силы, равные по модулю, противоположные по направлению и лежащие на параллельных прямых (рис. 1.16).
Расстояние между линиями действия сил есть плечо пары сил.
Момент пары сил - это сумма моментов каждой из сил составляющих пару.
Две пары сил будут эквивалентными, если равны их моменты.
Рис. 1.16
Теорема. Момент пары сил есть величина постоянная и равная моменту одной из сил, составляющих пару, относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы.
, (1.12)
Правило знаков: условимся считать момент пары положительным, если он стремится вращать тело против хода часовой стрелки.
Свойства пар сил:
1. Пару сил можно свободно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия.
2. Пару сил можно переносить из данной плоскости в любую другую плоскость твердого тела, сохраняя параллельность плоскостей действия пар.
3. Пару сил всегда можно заменить другой парой сил, изменив обратно пропорционально расстояние между силами.
4. Две пары называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не изменяя состояния тела.
1.1.9. Условие равновесия произвольной плоской системы сил
Теорема (лемма Пуансо). Силу, действующую на данное тело можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.
Доказательство: рассмотрим силу , действующую на тело в точке А (рис. 1.17.а). Добавим в некоторой другой точке тела, например в точке В, две силы и , такие, что и линии действия сил параллельны (рис. 1.17.б). Очевидно, что и представляют собой уравновешенную систему сил и, следовательно, состояние покоя тела не нарушится. Но силы и образуют пару сил и мы получаем систему, у которой имеется сила , приложенная в точке В, и пара сил с некоторым моментом m (рис. 1.17.в), а равновесие тела сохраняется, ч. т. д.
Рис. 1.17
Главный вектор - это сумма всех сил, действующих на рассматриваемую систему тел.
Главный момент системы относительно центра - это сумма моментов всех сил, действующих на рассматриваемую систему тел, относительно выбранного центра.
Теорема о приведении сил к данному центру: Любую плоскую систему сил, действующих на данное тело, можно свести к действию одной силы (главный вектор системы), приложенной в любой выбранной точке тела, и одной пары сил (главный вектор системы).
Доказательство: рассмотрим тело, на которое действует произвольная система сил ,,…, и пары сил с моментами ,,…, (рис. 1.18. а). Выбираем любую точку этого тела, например точку О. Перенесем все силы в эту точку. Согласно лемме Пуансо, при этом необходимо добавить соответствующее количество пар сил с моментами ,,…, (рис. 1.18. б). Поскольку все силы собраны теперь в одной точке, их можно векторно сложить. В результате получим главный вектор системы:
, (1.13)
Также, используя свойства пар сил, можем сложить все действующие моменты пар сил и получить главный момент (рис. 1.18. в):
, (1.14)
Рис.1.18
Плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда главный момент и главный вектор равны 0:
, (1.15)
Это означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы должен быть замкнутым, следовательно, и алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух координатных осей x и y должна быть равна 0.
Это выражение означает, что алгебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любого центра приведения равна 0.
Вывод: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись 0 и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялись 0.
1.1.10. Система параллельных сил
Система сил, линии действия которых параллельны, называется системой параллельных сил.
Теорема: Система параллельных сил всегда имеет равнодействующую.
Равнодействующая приложена к определенной точке, называемой центром параллельных сил.
Координата центра параллельных сил.
Рассмотрим систему , , ..., параллельных сил (рис. 1.19). Заметим, что силы могут быть направлены и в противоположные стороны. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей (ось X) была перпендикулярна линиям действия этих сил.
Рис. 1.19
Определим суммарный момент этих сил относительно начала координат (в приводимой формуле оперируем величинами сил):
. (1.16)
Но на основании теоремы о параллельных силах, мы знаем, что эти силы имеют равнодействующую, поэтому, согласно теореме Вариньона, этот момент должен быть равен моменту равнодействующей относительно начала координат:
, (1.17)
следовательно, приравняв эти моменты, получим
, (1.18)
По другим осям координат выражение получится точно таким же, только в правой части надо соответственно заменить х на у или z. Следовательно, можем записать полученную зависимость в векторной форме:
, (1.19)
Силу тяжести фактически можно считать системой параллельных сил, поэтому для нее применимы все выше приведенные формулы.
Если тело является однородным, т.е. плотность его в любой точке тела одинакова, получаем, что вес элементарного объема тела определяется по формуле:
, (1.20)
где - плотность тела,
- объем i-ой части тела.
Тогда координата точки С по оси Х (остальные координаты находятся аналогично):
, (1.21)
Если тело является плоским и однородным, то:
, (1.22)
где - площадь i-ой части тела.
1.1.11. Трение
Трение скольжения
В местах контакта реальных тел возникает сила, сопротивляющаяся взаимному смещению контактирующих поверхностей – сила трения. Она всегда направлена по касательной к контактирующим поверхностям и всегда стремится препятствовать суммарной внешней силе.
Важнейшее свойство сил трения - это то, что они не могут вызывать движения. При отсутствии внешних сил, сила трения всегда равна нулю. При достаточно малой суммарной внешней силе, сила трения будет в точности равна ей по модулю и противоположна по направлению. При возрастании внешних сил, сила трения может их компенсировать только до определенного момента, а затем состояние равновесия тела нарушается и оно приходит в движение.
Состояние тела, когда малейшее увеличение внешней силы вызовет нарушение равновесия тела называют предельным равновесием, а сила трения, действующая на тело в этот момент времени предельной силой трения.
Величина предельной силы зависит от многих факторов: от материала контактирующих тел, от чистоты обработки контактирующих поверхностей, от температуры окружающей среды и т.д., но примерно можно определить предельную силу трения, как:
, (1.23)
где - статический коэффициент трения, зависящий только от материала и состояния контактирующих тел, определяемый экспериментально;
- величина нормального давлении между контактирующими поверхностями.
Конус трения.
Рассмотрим предельное равновесие тела (пренебрегая его собственным весом), покоящегося на шероховатой поверхности и к которому приложена некоторая сила Р (рис. 1.20).
Рис. 1.20
Составим уравнения равновесия
, (1.24)
Учитывая определение предельной силы трения, найдем величину силы из уравнения (1.23) и подставим в уравнение (1.24):
, (1.25)
а поскольку и , то в случае предельного равновесия должно выполняться равенство
или . (1.26)
Угол, определяемый соотношением (1.26), называют предельным углом трения. Если к телу прикладывать какую угодно большую силу, но под углом меньшим предельного угла , то нарушить состояние покоя тела невозможно.
Если рассмотреть пространственную задачу, то получим предельный конус трения, показывающий, что, если сила действует внутри этого конуса, тело сохранит состояние покоя. В технике такое явление называется заклиниванием механизма.
Трение качения
Рассмотрим цилиндрическое тело, покоящееся на шероховатой поверхности к которому приложена некая внешняя сила Р (рис. 1.21. а).
Силы Р и Fтр образуют пару сил с моментом , который ничем не компенсирован и, следовательно, при любой малой силе Р должно начинаться движение тела. Но на практике это не так. Тело начнет движение только при определенном значении силы Р.
Рис. 1.21
Это объясняется тем, что у реальных тел контакт осуществляется не в точке, а всегда по определенной поверхности и поэтому реакцию N необходимо прикладывать не к середине поверхности контакта, а на ее краю (рис. 1.21. б). В этом случае силы N и G образуют пару сил, противодействующую паре сил Р и Fтр.
Момент пары сил N и G называют моментом трения качения, а в случае предельного равновесия это будет предельный момент трения качения:
, (1.27)
где - коэффициент трения качения, зависящий только от материала контактирующих тел, определяемый экспериментально.
Физический смысл коэффициента трения качения заключается в том, что он представляет собой полуширину поверхности контакта (рис. 1.21. б).
Также как и силы трения скольжения, силы трения качения всегда противодействуют суммарному моменту внешних сил.
Поскольку для материалов , то потери энергии при трении качения меньше, чем при скольжении поэтому желательно заменять скольжение качением.
При решении задач на трение после определения реакций связи, включающих Fтр и Мтр, необходимо дополнительно проверять выполнение условий:
и , (1.28)
Если эти условия не выполняются, то равновесие невозможно.
1.1.12. Пример решения задачи на использование условий равновесия
плоской системы сходящихся сил.
Определить реакции стержней, удерживающих грузы F1 и F2 (рис. 1.22). Массой стержней пренебречь. Выполним проверку полученных результатов графическим и аналитическим способами. Числовые данные варианта взять из приложения 1. Схему варианта из приложения 2.
Схема нагружения и исходные данные
F1 = 0,5 кН,
F2 = 0,8 кН
Рис. 1.22.
Решение
Составим расчетную схему, для чего избавимся от связей. Проведем оси координат, причем ось х проходит через неизвестную внутреннюю силу (рис. 1.23).
Рис. 1.23. Составим систему уравнений равновесия плоской
системы сходящихся сил и решим ее.
∑Fix=0 N1 + N2cos 300 + F1cos600 + F2cos600=0
∑Fiy=0 - N2cos 600 + F1cos300 - F2cos300=0
N1 = - N2cos 300 - F1cos600 - F2cos600
N2 = (F1cos300 - F2cos300)/cos 600
N1 = -N2∙0,866 - 0,5∙0,5 - 0,8 ∙ 0,5 N1= - 0,2 кН
N2 = (0,5∙0,866 - 0,8 ∙ 0,866)/0,5 N2= -0,5 кН
Знак «–» указывает на то, что стержни АВ и СВ сжаты.
Проверка аналитическим способом.
Рис. 1.24.
Выберем новую систему координат (рис. 1.24) и составим новую систему уравнений равновесия.
∑Fix=0 N1cos 300 + N2 + F2cos300 = 0 N2 = - N1cos 300 - F2cos300
∑Fiy=0 F1 - F2cos 600+ N1cos 600 = 0 N1 = (F2cos600 - F1)/cos600
N2 = -N1∙0,866 - 0,8∙0,866 N2 = - 0,5 кН
N1 = (0,8∙0,5-0,5)/0,5 N1 =- 0,2 кН
Ответы совпадают, следовательно, задача решена верно.
Проверка графическим способом. Построим силовой многоугольник (рис. 1.25), для чего из точки В, в масштабе отложим отрезок ВА соответствующий величине силы F2. Из конца отрезка ВА отложим под углом 600 отрезок АС соответствующий величине силы F1, вследствие того что угол между линиями действия сил F1 и F2 составляет 600. Так как величины сил N1 и N2 неизвестны, то построим прямые а и в, причем отложим прямую а под углом 900 к отрезку АС, прямую в по углом 1200 к отрезку ВА. Прямые а и в пересекутся в точке D. Длина отрезка CD соответствует силе N2, а длина отрезка DВ силе N1. Переведя в масштабе длины отрезков CD и DВ получим числовые значения искомых сил. N1=0,2 кН; N2=0,5 кН.
Рис. 1.25.
1.1.13. Пример определения реакций опор двухопорной балки.
На использование условий равновесия плоской произвольной системы сил.
Определить реакции опор двух опорной балки (рис. 1.26). Выполнить проверку. Числовые данные варианта взять из приложения 3. Схему варианта из приложения 4.
Схема нагружения и исходные данные.
q = 4,5 н/м.
F = 65 Н.
М = 45 Н∙м.
Рис. 1.26.
Решение.
Составим расчетную схему.
Рис 1.27.
Преобразуем распределенную нагрузку q в сосредоточенную силу Rq и определим ее величину: Rq = 4 ∙ 4,5 = 18 [Н].
Составим систему уравнений равновесия произвольной плоской системы сил и решим ее.
∑Fix = 0 RАХ + Fcos300 = 0
∑Fiy = 0 RАY - Fcos600 - Rq + RBY = 0
∑МА = 0 RBY∙10 + M - Fcos600 ∙ 7- Rq ∙ 2 = 0
RАХ = - 65 ∙ 0,866 RАХ = -56,29 Н
RАY = 65 ∙ 0,5 + 18 - RBY RАY = 28,65 Н
RBY = (- 45 + 65 ∙ 0,5 ∙7 + 18 ∙ 2)/10 RBY = 21,85 Н
Отрицательное значение реакции RАХ указывает на то, что ее направление было выбрано не верно, то есть необходимо на расчетной схеме направить ее в противоположную сторону.
Проверка.
Составим уравнение моментов относительно точки К.
∑МК = 0
RBY∙3 + М + Rq∙5 - RАY∙7 = 0
21,85 ∙ 3 + 45 + 18 ∙ 5 - 28,65 ∙ 7 = 0
0 = 0
Результат свидетельствует о том, что задача решена верно.
1.2. Кинематика
Кинематика определяет основные характеристики движения тел и взаимосвязь этих характеристик. В основу кинематики положены аксиомы геометрии и понятие векторного пространства.
Состояние движения – изменение точками тела своего положения в выбранной системе координат с течением времени. Состояние движения относительно, поскольку тело может покоиться в одной системе координат и двигаться в другой системе.
Характеризовать движение можно только после предварительного выбора системы координат. Используя разные системы координат, можно характеризовать движение одним из следующих способов:
1.2.1. Векторный способ задания движения
Рассмотрим плоское движение, определим характеристики движения.
Одной из основных задач механики является прогнозирование поведения тела при заданных начальных условиях, а это предполагает способность точно указать положение каждой точки тела в любой последующий момент времени.
Рассмотрим движущуюся материальную точку М (рис. 1.28).
Положение точки в любой момент времени можно определить вектором , проведенным из начала координат в ту точку пространства, в которой находится в настоящий момент времени рассматриваемая материальная точка. Такой вектор называется радиус-вектором. Радиус-вектор определяется координатами . Положению точки в любой момент движения соответствует определенный радиус-вектор.
Векторный закон движения материальной точки – это зависимость координат точки от времени (первая и основная характеристика движения).
Рис. 1.28
В процессе движения материальная точка последовательно переходит из одной точки пространства в другую. Если соединить эти точки, то получится плавная пространственная кривая (пунктирная линия на рис. 1.28).
Траектория – это пространственная кривая, на которой находится материальная точка в любой момент движения (вторая характеристика движения). Чтобы получить уравнение траектории необходимо из закона движения исключить время.
В некоторый момент времени t0 положение точки характеризует радиус-вектор , а через некоторое время в момент t1=t0+ (рис. 1.29). Если через концы векторов и провести новый вектор , то получим равенство
. (1.29)
Рис. 1.29
Средняя скорость движения - это изменение положения материальной точки за промежуток времени, в течение которого это изменение произошло:
(1.30)
Мгновенная скорость (в дальнейшем просто скорость) - это предел средней скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени наблюдения, т. е.:
. (1.31)
Таким образом, скорость – это первая производная от закона движения по времени (третья характеристика движения). Скорость является векторной величиной, и ее направление совпадает с направлением вектора в его предельном положении, т. е. вектор скорости всегда располагается на касательной к траектории движения и направлен в ту сторону, куда происходит движение. Чтобы определить, величину скорости (модуль), необходимо разложить вектора и на составляющие в выбранной системе координат, т.е. представить и . Тогда между компонентами скорости и радиус-вектора положение точки должно выполняться соотношение:
(1.32)
В этом случае модуль скорости можно определить как:
(1.33)
В некоторый момент времени t0 материальная точка находится в положении А и имеет скорость , а через некоторое время в момент t1 = t0 + - в положении В и имеет скорость (рис. 1.30). Если вектор перенести в точку А (обозначено пунктиром на рис. 1.30), а через концы векторов и провести новый вектор , то получим векторное равенство
. (1.34)
Рис. 1.30
Среднее ускорение движения - это изменение скорости материальной точки за промежуток времени, в течение которого это изменение произошло:
(1.35)
Мгновенное ускорение (в дальнейшем, просто ускорение) – это предел среднего ускорения при бесконечном уменьшении промежутка времени наблюдения, т. е.
. (1.36)
Таким образом, ускорение – это первая производная от скорости или вторая производная от закона движения по времени (четвертая характеристика движения). Ускорение является векторной величиной и ее направление совпадает с направлением вектора в его предельном положении, т. е. вектор ускорения всегда располагается с той стороны от касательной к траектории движения, что и сама траектория.
Аналогично скорости компоненты вектора ускорения можно представить через компоненты вектора скорости и компоненты радиус – вектора положения точки:
, (1.37)
В этом случае модуль ускорения можно определить как:
(1.38)
Движение материальной точки определяется четырьмя основными характеристиками: законом движения, траекторией, скоростью и ускорением.
1.2.2. Естественный способ задания движения
Данный способ применяется только в том случае, когда известна траектория движения.
Для задания движения применяется прямоугольная естественная система координат (рис. 1.31), которая характеризуется тем, что:
- начало координат всегда совпадает с положением материальной точки;
- первая ось (ось τ) всегда располагается на касательной к траектории движения и направлена в ту сторону, куда движется материальная точка (касательная);
- вторая ось (ось η) всегда располагается на нормали к траектории движения (всегда перпендикулярна касательной к траектории и находится в плоскости движения (если движение пространственное - то в соприкасающейся плоскости) и направлена в сторону вогнутости траектории (нормаль);
- третья ось (ось β) всегда располагается на бинормали к траектории (т.е. перпендикулярна и касательной, и нормали) и направлена так, чтобы образовывать с первой и второй осью правую систему координат (бинормаль).
Рис. 1.31.
Зависимость расстояния по времени от текущего положения точки до некоторого начального, измеренного вдоль траектории, S(t) является естественным законом движения.
В этом случае для скорости справедливо соотношение:
, (1.39)
Разложив по осям вектор скорости в естественной системе координат, получим:
, (1.40)
Вектор скорости проецируется только на одну ось – ось τ.
А вектор ускорения будет проецироваться только на две оси - ось τ и ось η, а третья проекция .
Величины проекций ускорения и определяются по системе уравнений:
, (1.41)
где - радиус кривизны траектории.
Связь между компонентами скоростей и ускорений
Поскольку вектора скорости и ускорения в каждый момент времени определяются равнозначно, то между их компонентами при разложении в различных системах координат будут иметь место следующие зависимости:
, (1.42)
, (1.43)
Дифференцируя первое из приведенных выражений получаем:
. (1.44)
Частные случаи движения
а) Прямолинейное движение.
В этом случае траекторией движения точки является прямая линия, причем ее радиус кривизны равен бесконечности (), следовательно:
. (1.45)
Векторы скорости и ускорения в этом случае располагаются на той же прямой, что и траектория, поэтому можно говорить, что они изменяются только численно, т. е. касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю.
б) Равномерное криволинейное движение.
Движение называется равномерным, если точка движется с постоянной по величине скоростью. Если скорость постоянная, то, следовательно, ее производная равна нулю, т. е.:
. (1.46)
Так как в этом случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
В этом случае определим закон движения, проинтегрировав выражение (1.39)
(1.47)
. (1.48)
где S0 – координата начального положения материальной точки.
Движение без ускорения () возможно лишь в случае равномерного прямолинейного движения.
в) Равнопеременное криволинейное движение.
Движение называется равнопеременным, если оно происходит с постоянным касательным ускорением. Если ускорение положительно, такое движение называют равноускоренным, а если отрицательно – равнозамедленным.
В этом случае:
, (1.49)
S=. (1.50)
где V0 – скорость точки в начальный момент времени.
1.2.3. Движение материальных тел
В теоретической механике рассматриваются только абсолютно твердые тела. Движение всех материальных тел можно определенным образом классифицировать и рассматривать, как ведут себя характеристики движения применительно к каждому типу движения. Причем будем считать движение тела определенным, только в том случае, если нами определены характеристики движения всех материальных точек, составляющих рассматриваемое тело.
Поступательное движение
Поступательное движение — это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок перемещается оставаясь параллельным самому себе.
Классическим примером такого движения является движение кабинок колеса обозрения (рис. 1.32.а). Этот пример наглядно показывает, что поступательное движение — совсем не обязательно прямолинейное. Число степеней свободы тела в этом случае равно трем, так как достаточно описать движение какой-нибудь одной точки тела (например, точки А на рис. 1.32.б). Траектории всех остальных точек (например, точки В на рис. 1.32.б) могут быть получены путем "параллельного" переноса.
а) б)
Рис. 1.32
Рассмотрим некоторое тело, которое движется поступательно в выбранной системе координат (рис. 1.32.б). Выберем некоторый отрезок АВ внутри тела. Положение точек А и В определяют радиус – вектора и . Пусть, закон движения точки А задан в виде
, (1.51)
Тогда закон движения точки В будет иметь вид:
. (1.52)
где rАВ — вектор, проведенный от точки А к точке В.
Скорость точки А:
. (1.53)
Скорость точки В:
. (1.54)
Так как rАВ — вектор, постоянный по величине (абсолютно твердое тело) и направлению (поступательное движение), ускорения точек А и В также равны между собой:
. (1.55)
Таким образом, при поступательном движении тела законы движения всех его точек отличаются на постоянную величину, траектории при наложении совпадают, скорости всех точек равны между собой и ускорения также равны между собой.
Вращательное движение
Движение тела называют вращательным, если при его движении существуют, по крайней мере, две (а если тело плоское и движется в своей плоскости – то одна) точки тела, которые остаются неподвижными все время движения.
Линия, проходящая через эти две точки (если движение плоское, то перпендикулярно плоскости движения), называется осью вращения.
С таким движением мы сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. В этом случае тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям, лежащим в плоскостях перпендикулярных оси вращения с центрами окружностей, лежащими на этой оси.
Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой вращающегося диска точила (рис. 1.33), чем дальше от оси, тем длиннее сноп искр — тем больше скорость соответствующей точки диска.
При этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой данной точкой диска. Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую характеристику — угловую скорость:
, (1.56)
где - угол поворота тела за время .
Рис.1.33 Рис.1.34
Зная , легко определить линейную скорость любой точки твердого тела. Введем радиус-вектор rА некоторой точки А твердого тела, поместив его начало в точку О на оси вращения (рис. 1.34). Вектор проведен в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно к оси. Вектор скорости VA можно связать с векторами rА и :
, (1.57)
При этом величина скорости:
, (1.58)
Очевидно, что точку О на оси вращения можно выбрать произвольно — значение r= rA sin α будет одним и тем же. Ускорение точки А:
(1.59)
Здесь угловое ускорение тела. Это вектор, направленный в ту же сторону, что и ω, если вращение ускоряется, и противоположно ему, если вращение замедляется.
Таким образом, ускорение аА является суммой двух величин:
, (1.60)
Причем все три вектора аА, аτ. и аn лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 1.35).
Тангенциальное ускорение:
, (1.61)
Центростремительное ускорение:
, (1.62)
Поскольку нормальное и касательное ускорения всегда перпендикулярны друг другу, то модуль полного ускорения:
Рис. 1.35.
. (1.63)
Таким образом, определены характеристики всех точек тела при его вращательном движении.
Плоскопараллельное движение
Движение тела называется плоскопараллельным, если траектория любой точки тела располагается в определенной плоскости все время движения и плоскости движения всех точек тела совпадают или параллельны между собой.
Рассмотрим тело, которое движется плоскопараллельно (рис. 1.36), т.е. заранее можно указать такую плоскость Р, что плоскости движения всех точек тела будут параллельны этой плоскости. Возьмем некоторую точку А тела и проведем ее плоскость движения Р1, а также перпендикуляр к этой плоскости АВ.
Все точки, которые лежат на АВ, должны иметь точно такие же характеристики движения, что и точка А. В противном случае расстояние между ними невозможно было бы сохранить, поскольку они двигаются в параллельных плоскостях, и была бы нарушена гипотеза абсолютно твердого тела.
Рис. 1.36
Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения плоского тела в своей плоскости (сечение тела плоскостью Р1 на рис. 1.36). Поэтому плоскопараллельное движение можно называть плоским.
Рассматриваем плоскую задачу о движении тела (рис. 1.37). Выберем произвольную точку этого тела А (на практике следует выбирать такую точку, характеристики движения которой заранее известны). Эту точку назовем полюс и рассмотрим как выражаются характеристики движения других точек тела через характеристики движения полюса. Проведем радиус-векторы точек А и В – и соответственно, а также вектор ,получим равенство:
, (1.64)
Продифференцировав равенство, получим:
. (1.65)
Поскольку вектор имеет постоянный модуль (расстояние между точками А и В должно сохранятся), то можно понимать как скорость чистого вращения точки В вокруг точки А и, следовательно, плоскопараллельное движение можно разложить на составляющие: поступательное движение тела вместе с полюсом и вращательное движение тела вокруг полюса. В этом случае будем иметь, основываясь на (1.58) и (1.65)
Рис. 1.37.
. (1.66)
При этом законом плоскопараллельного движения тела следует считать две зависимости: – перемещение полюса и - угол поворота тела относительно некоторого заранее выбранного направления (горизонтального на рис. 1.37).
Теперь выберем в качестве полюса точку С (рис. 1.37), а угол поворота будем характеризовать некоторым углом . Поскольку тело абсолютно твердое, то в любой момент времени должно выполняться соотношение
, (1.67)
где .
Дважды последовательно продифференцировав равенство, получим:
(1.68)
(1.69)
Следовательно, при плоскопараллельном движении поступательная часть движения зависит от выбора полюса ( и иначе движение было бы только поступательным), а вращательная часть – не зависит.
1.2.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Теорема: проекции скоростей двух точек тела на линию, их соединяющую, равны.
Доказательство: рассмотрим движущееся тело, у которого известны в некоторый момент времени скорости точек А и В соответственно и (рис. 1.38). Если выбрать за полюс точку А, то должно выполняться равенство:
(1.70)
Рис. 1.38
Поскольку - скорость чистого вращения точки В вокруг точки А, то она должна располагаться на касательной к соответствующей траектории (окружности радиусом АВ с центром в точке А), т.е. перпендикулярно линии АВ и, следовательно, ее проекция на линию АВ равна 0. Поэтому, если спроецировать вышеприведенное равенство на линию АВ, получим:
. (1.71)
1.2.5. Мгновенный центр скоростей
Мгновенный центр скоростей – это такая точка сечения плоского тела (или жестко связанная с ним), скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Теорема: при плоском непоступательном движении тела мгновенный центр скоростей всегда существует только один.
Доказательство: рассмотрим некоторое движущееся тело, имеющее в данный момент времени в точках А и В скорости и (рис. 1.39). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей в этих точках – они пересекутся в некоторой точке Р. Заметим, что проекция скорости точки А на линию АР и проекция скорости точки В на ВР равны нулю.
Рис. 1.39
Из теоремы о проекциях скоростей двух точек тела следует, что проекции скоростей всех точек, лежащих на линии АР также должны быть равны нулю, т. е. скорости этих точек должны быть либо перпендикулярны линии АР, либо быть равными нулю. Но, то же самое можно сказать и про точки, лежащие на ВР – их скорости либо равны нулю, либо перпендикулярны ВР. Тогда про скорость точки Р можно сказать, что она равна нулю, поскольку быть одновременно перпендикулярной двум пересекающимся прямым она не может. Точка Р и есть мгновенный центр скоростей.
Единственность мгновенного центра также следует из приведенного доказательства, так как ни для какой другой точки проекции скоростей и на линию, соединяющую их с этой точкой, будут равны нулю одновременно.
Следствия:
1. Для определения положения мгновенного центра скоростей необходимо знать направление скоростей двух точек тела. Мгновенный центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям, проведенным из этих точек.
2. Чтобы определить угловую скорость вращения тела, необходимо знать положение мгновенного центра и величину скорости какой-либо точки тела. Угловая скорость равна отношению скорости любой точки тела к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей. Если выбрать в качестве полюса мгновенный центр скоростей Р, то, поскольку его собственная скорость равна нулю, получим:
. (1.72)
3. Чтобы определить скорость любой точки тела достаточно знать положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость вращения тела. Скорость будет перпендикулярна линии, соединяющей рассматриваемую точку и мгновенный центр, а величина скорости равна произведению угловой скорости на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей. Направление скорости следует выбирать в соответствии направлением вращения.
4. Отношение скорости любой точки тела к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей есть величина постоянная для всех точек тела в данный момент времени. Поскольку угловая скорость не зависит от выбора полюса и одинакова для всех точек тела, то ее можно выразить через скорости различных точек:
(1.73)
5. Чтобы определить положение мгновенного центра в случае, когда перпендикуляры к скоростям двух точек тела слились в одну линию, необходимо дополнительно провести линию через концы векторов скоростей. Ее пересечение с перпендикуляром к скоростям и будет мгновенным центром скоростей (рис. 1.40).
Рис. 1.40.
6. Если перпендикуляры к скоростям двух точек тела оказываются параллельными прямыми (не пересекаются), а также линия АВ не перпендикулярна к VА, то это значит, что тело движется поступательно или мгновенно поступательно и говорят, что мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности.
1.2.6. Сложное движение точки.
Движение тела называется сложным, если оно регистрируется в подвижной системе координат. При этом движение тела относительно системы координат называется относительным, а движение самой системы координат – переносным.
Рассмотрим движение точки в подвижной системе координат (рис. 1.41). За малый промежуток времени точка переместится из положения А в положение В, но одновременно с этим ведь перемещалась и система координат. Следовательно фактически точка окажется в положении С, т. е.
Рис. 1.41.
Поскольку речь идет о малых перемещениях за малые промежутки времени, с незначительной погрешностью можно считать, что соответствует вектору абсолютной скорости , скорости относительного движения , скорости переносного движения , т. е.
Сложение скоростей.
При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (рис. 1.42).
аб = от + пер. (1.74)
Vаб = . (1.75)
Рис. 1.42.
Сложение ускорений (теорема Кориолиса).
При сложном движении ускорение точки равно сумме трех ускорений:
относительного, переносного, кориолисова.
аб=от+пер+кор (1.76)
Относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении.
от = . (1.77)
Переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном движении.
пер = . (1.78)
Кориолисово ускорение равно удвоенному произведению переносной угловой скорости на относительную скорость точки.
кор = 2 (·от). (1.79)
1.2.7. Пример расчета траектории движения точки.
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории. Для момента времени t = t1, [c] определить: а) Положение точки на траектории; б) скорость точки; в) полное, касательное и нормальное ускорения; г) радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Числовые данные варианта взять из приложения 5.
Исходные данные.
X = x (t) Y = y (t) t = 1 c.
-4t2 + 1 -3 t
Решение:
Определим положение точки М на заданной траектории в момент времени t = 1 [c]. Подставим значение t в уравнения.
x = -4 ∙ 12 + 1 = -3, y = -3 ∙ 1 = -3; М (-3;-3)
Данные уравнения являются параметрическими, то есть зависят от параметра t и характеризуют траекторию движения точки М. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме необходимо исключить время t.
x = - 4t2 + 1 y = - 3 t
4t2 = 1 - x t2 = (y / -3)2
t2 = (1 - x) / 4 t2 = y2/9
Так как равны левые части уравнений, то приравняем правые части:
(1 - x) / 4 = y2/9; 1 – x = (4 ∙ y2)/9; x = - (4 ∙ y2)/9 + 1.
Полученное уравнение является уравнением траектории движения точки и уравнением параболы.
Для определения скорости точки М найдем проекции скорости точки на оси координат.
v = dx / dt;
vx = (-4t2 + 1)| = - 8 t; vy = (-3 t)| = -3;
При t = 1 с проекции скорости на оси координат будут равны:
vx = - 8 см/с; vy = - 3 см/с.
Модуль полной скорости определим по формуле:
v = ; v = = 8,5 см/с.
Для определения ускорения точки М найдем проекции ускорения точки на оси координат:
ax = (vx)| = (- 8 t)| = - 8 см/с2; ay = (vy)| = (- 3)| = 0
Модуль полного ускорения определим по формуле:
а = ; а = = 8 см/с2.
Определим нормальное и касательное ускорения.
Касательное ускорение определяется по формуле:
а = (axvx + ayvy) / v; a = ((-8) ∙ (-8) + (-3) ∙ 0) / 8,5 = 7,5; см/с2.
Знак + (a> 0) указывает на то, что движение точки М ускоренное.
Нормальное ускорение определяется по формуле:
an = ; an = = 2,8 см/с2.
Определим радиус кривизны траектории движения точки М по формуле:
ρ = v2/ an; ρ = 8,52 / 2,8 = 25,8 см.
По полученным результатам стром траекторию движения точки М (рис. 1.43). Отмечаем положение точки М на ней. Изображаем ее скорости и ускорения.
Рис. 1.43.
Сведем в таблицу полученные результаты:
|
Координаты |
Скорости; см/с. |
Ускорения; см/с2. |
Радиус кривизны; см |
|||||||
|
x |
y |
vx |
vy |
v |
ax |
ay |
a |
a |
an |
ρ |
|
-3 |
-3 |
-8 |
-3 |
8,5 |
-8 |
0 |
8 |
7,5 |
2,7 |
25,8 |
1.2.8. Пример расчета механизма на определение его скоростей и ускорений.
Механизм (рис. 1.44) состоит из ступенчатых колес 1, 2 и 3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы ступеней колес равны: r1= 2 см; r2 = 6 см; r3 =12 см; R1 =4с м; R2 = 8 см; R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С. Числовые данные варианта взять из приложений 6 и 7. Схему варианта из приложения 8. Определить в момент времени t1 = 2с указанные в таблице скорости и ускорения соответствующих точек или тел.
Схема нагружения и исходные данные.
Рис. 1.44
Закон вращения колеса: φ1 = 2t2-9; Найти: v4, ω2, ε2, ас, а5.
Решение:
Составим расчетную схему:
Рис. 1.45
Определим значение угловой скорости второго колеса, ω2: для этого определим закон изменения угловой скорости первого колеса:
ω1 = (φ1)|;
ω1 = (2t2-9)| = 4t.
Так как колесо 1 связано с колесом 3 ременной передачей, а ремень во всех точках имеет постоянную линейную скорость, то можно записать равенство:
v1 = v3;
Так как ремень соединяет колеса 1 и 3 по радиусам r1 и r2, то линейные скорости будут равны:
v1 = ω1 ∙ r3; v3 = ω3 ∙ r3,
Так как равны левые части, то приравняем правые части равенств:
ω1 ∙ r1 = ω3 ∙ r3;
Выразим ω3:
ω3 = ω1 ∙ r1 / r3 = 4 t ∙ 2 / 12 = 2/3 t.
Второе и третье колеса связаны непосредственно по радиусам R2 и R3, аналогично определим закон изменения угловой скорости второго колеса:
v2 = v3;
v2 = ω2 ∙ R2; v3 = ω3 ∙ R3;
ω 2 = ω3 ∙ R3 / R2; ω 2 = (2/3 t ∙ 16) / 8 = 4/3 t,
При t = 2 с: ω 2 = 8 / 3 = 2,7; с-1.
Определим линейную скорость рейки, v4:
Так как рейка 4 находится в зацеплении с первым колесом по радиусу R1, то в месте их зацепления линейные скорости колеса и рейки будет равны:
v4 = v1; v1 = ω1 ∙ R1 = 4 t ∙ 4 = 16 t,
При t = 2 с: v4 = 16 ∙ 2 = 32; см/с.
Определим значение углового ускорения второго колеса, ε2:
ε2 = (ω 2)| = (4/3 t)| = 4/3 = 1,3; с-2.
Определим линейное ускорение заданной точки С, ас:
ас = ,
где a c - линейное касательное ускорение точки С, см/с2;
a cn - линейное нормальное ускорение точки С, см/с2;
Так как точка С находится на втором колесе на радиусе R2, то:
ac = ε2 ∙ R2 = 4/3 ∙ 8 = 10,7 см/с2;
acn = ω22 ∙ R2 = (4/3 t)2 ∙ 8
При t = 2 с: acn = (4/3 ∙ 2)2 ∙ 8 = 56,9 см/с2,
ас = = 57,9 см/с2.
Определим линейное ускорение груза 5, а5:
а5 = (v5)|;
Так как нить, удерживающая груз 5 намотана на второе колесо на радиусе r2, то в точке закрепления нити линейные скорости второго колеса и груза 5 равны:
v5 = v2,
v5 = ω2 ∙ r2 = 4/3 t ∙ 6 = 8 t,
а5 = (8 t)| = 8 см/с2.
Ответ: v4 = 32, см/с; ω 2 = 2,7, с-1; ε2 = 1,3, с-2; ас = 57,9, см/с2; а5 = 8, см/с2.
1.3. Динамика
Динамика изучает движение материальных тел как результат их взаимодействия с другими телами.
Так как мерой взаимодействия является сила, то поведение сил и изменение характеристик движения во времени должны быть взаимосвязаны.
Все задачи динамики можно условно разделить на две категории:
- зная характеристики движения, определить силы, вызвавшие такое движение (прямая задача);
- зная силы, определить характеристики движения (обратная задача).
При рассмотрении статики силы считались постоянными величинами, в динамике будем учитывать, что сила – величина переменная.
1.3.1. Аксиомы динамики
Аксиома №1: сила – это векторная величина.
Следовательно, с силами можно совершать те же операции, что и с векторами, т.е. складывать, вычитать, проецировать, умножать на скаляр или другой вектор и т.д.
Аксиома №2: любое материальное тело можно представить как совокупность конечного числа материальных точек.
Аксиома №3: если силы, действующие на материальную точку, уравновешены или отсутствуют, то эта точка сохраняет состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно (по инерции).
Движение равномерное и прямолинейное называется инерционным движением.
Система координат, в которой выполняется первая аксиома, называется инерционной системой отсчета. Не все системы координат являются инерционными, поэтому чтобы пользоваться теоремами и законами динамики, необходимо выбрать систему координат. На практике следует учитывать, что инерционной можно считать только систему координат с центром в центре масс Солнца и осями, направленными на удаленные внегалактические объекты. Систему координат, располагающуюся на поверхности земли, можно считать инерционной условно. При этом погрешность расчетов подавляющего большинства задач о движении тел вблизи поверхности Земли будет достаточно мала.
Аксиома №4: если на материальную точку действует сила, то эта точка будет двигаться с ускорением, прямо пропорциональным этой силе. Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением называется массой материальной точки m.
. (1.80)
Поскольку в теоретической механике рассматриваются тела, движущиеся со скоростями только гораздо меньше скорости света, то массу можно считать постоянной величиной.
Возьмем две материальные точки с различными массами, например m1>m2, и подействуем на каждую из них одной и той же силой . На основании четвертой аксиомы получим:
(1.81)
Видим, что чем больше масса точки, тем медленнее она будет двигаться под действием одной и той же силы при прочих равных условиях.
Инертность – это способность тел сопротивляться попыткам изменить их состояние.
Масса является мерой инертности поступательного движения тел. Чем больше масса, тем труднее привести тело в движение и труднее, затем остановить его.
Аксиома №5: две материальные точки действуют друг на друга с силами равными по величине, лежащими на одной прямой и направленными в разные стороны (действие равно противодействию).
1.3.2. Уравнения движения точки в декартовой системе координат
Рассмотрим движение материальной точки. Пусть на нее действуют силы . Так как речь идет о материальной точке, то эти силы обязательно будут сходящимися, и их можно заменить равнодействующей:
(1.82)
где i = от 1 до n.
На основании четвертой аксиомы имеем:
(1.83)
Как известно из кинематики, , тогда:
(1.84)
Если перейти к проекциям, то получим систему дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих поведение материальной точки вдоль каждой из осей координат:
. (1.85)
1.3.3. Одномерное движение
Движение точки будет одномерным, если для его описания достаточно одной оси координат, траектория будет прямой линией.
Выбираем систему координат так, чтобы ось Х совпала с траекторией движения. Тогда движение точки может быть описано уравнением:
, (1.86)
где Fx – сумма проекций всех сил на ось Х.
Масса m - величина постоянная, а сила Fx – величина переменная. Рассмотрим только те силы, которые могут зависеть от времени, скорости и координат положения точки приложения силы .
При решении и прямой, и обратной задач динамики используется уравнение (1.86). Решая прямую задачу, приходится выполнять операцию дифференцирования, а при решении обратной задачи – операцию интегрирования. Поскольку реальные законы движения и скорости материальных точек являются гладкими непрерывными функциями, то дифференцирование всегда осуществимо и, следовательно, прямая задача всегда может быть решена аналитически. А вот проинтегрировать можно далеко не всякую даже гладкую функцию, поэтому обратную задачу не всегда можно решить аналитически, ее решение сильно зависит от особенностей действующих сил.
Кроме того, операция интегрирования выполняется с точностью до константы, поэтому уравнение (1.86) необходимо дополнять начальными условиями. В любой задаче механики при решении обратной задачи начальные условия считаются заданными, если начальные значения отсутствуют, то можно принять любые значения.
1.3.4. Уравнения материальной точки в естественной системе координат
Если уравнение (1.84) разложить по осям естественной системы координат, получим:
, (1.87)
Учитывая особенности разложения вектора ускорений в естественной системе координат получим:
, (1.88)
где S – закон движения в естественной системе координат.
1.3.5. Колебательное движение материальной точки
При движении материальной точки может действовать упругая сила, стремящаяся вернуть точку к некоторому положению. Эта упругая сила называется восстанавливающей. В большинстве задач рассматривается восстанавливающая сила F, изменяющаяся по линейному закону (закону Гука) (рис. 1.46). При растяжении пружины эта сила прямо пропорциональна удлинению:
F = -сΔ, (1.89)
где Δ — смещение конца пружины из ненапряженного состояния,
с — коэффициент упругости (коэффициент жесткости), численно равный силе, которую надо приложить к пружине для того, чтобы изменить ее длину на единицу, кг/см.
Рис. 1.46
Вообще линейной восстанавливающей называется сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия и пропорциональная отклонению этой точки от положения равновесия.
Свободные колебания материальной точки.
Свободными называются колебания материальной точки, которые происходят под действием восстанавливающей силы. При движении материальной точки М массой m по горизонтальной оси х (рис. 1.47) под действием восстанавливающей силы F, равной по модулю (О-положение равновесия точки М), имеет место дифференциальное уравнение движения:
, (1.90)
где
Рис. 1.47
При начальных условиях движения материальной точки, записанных в виде: t = 0, x = x0, закон ее свободных колебаний имеет вид:
(1.91)
т. е. материальная точка совершает гармоническое колебательное движение; а - амплитуда колебаний — наибольшее отклонение колеблющейся точки от положения равновесия:
(1.92)
- фаза колебаний; α – начальная фаза колебаний.
Периодом колебаний Т материальной точки называется наименьший промежуток времени, по истечении которого точка имеет ту же координату и ту же проекцию скорости:
. (1.93)
Вынужденные колебания материальной точки. Возмущающая сила.
В теории колебаний возмущающей называется сила, приложенная к материальной точке и заданная как функция времени. Эта сила большей частью является непрерывной функцией времени (рис. 1.48).
Рис. 1.48
В механизмах возмущающаяся сила возникает в результате неточной балансировки вращающихся частей машин (турбинных дисков, роторов электромоторов, маховиков), либо при наличии периодически изменяющейся силы давления воды, газа или пара в цилиндрах двигателей и т. д.
Простейшей является возмущающая сила S, изменяющаяся по гармоническому закону:
(1.94)
где Н — наибольшая величина возмущающей силы (амплитуда силы), кг,
р — круговая частота изменения возмущающей силы, сек-1,
δ — начальная фаза.
Вынужденные колебания материальной точки вызываются действием системы сил, в составе которой имеются восстанавливающая сила F и возмущающая сила S. На рис. 1.49 ось х направлена вдоль линий действия сил F и S. Начало отсчета выбрано в положении статического равновесия материальной точки. Сила S условно направлена вниз, однако, как следует из закона ее изменения, направление является переменным.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
материальной точки имеет вид:
, (1.95)
Рис. 1.49 где ,.
Амплитуда вынужденных колебаний а - величина наибольшего динамического смещения материальной точки, равна:
(1.96)
1.3.6. Кинетическая энергия механической системы
Кинетическая энергия материальной точки – это половина произведения массы точки на её скорость:
, (1.97)
Кинетическая энергия механической системы– это сумма кинетических энергий всех точек системы:
. (1.98)
Теорема: кинетическая энергия тела, которое движется плоскопараллельно, равна сумме массы тела, умноженной на половину квадрата скорости центра масс тела и половине произведения собственного момента инерции тела на квадрат угловой скорости.
. (1.99)
Следствия:
1. При поступательном движении тела его кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат скорости любой точки тела.
Действительно, поступательное движение можно считать частным случаем плоскопараллельного при отсутствии вращения, т.е. при . Кроме того, при поступательном движении скорости всех точек тела равны. Тогда из выражения (1.99):
, (1.100)
2. При вращательном движении тела его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.
Пусть тело вращается относительно оси, находящейся на расстоянии b от центра масс тела. Тогда скорость центра масс:
, (1.101)
Из формулы (1.99) будем иметь:
. (1.102)
Выражение в скобках есть момент инерции относительно действительной оси вращения.
1.3.7. Работа
Элементарная работа силы – это скалярное произведение силы на вектор элементарного перемещения точки приложения силы:
, (1.103)
где угол между направлением действия силы и направлением элементарного перемещения.
Из формулы видно, что:
- если направления силы и перемещения совпадают, то работа равна произведению силы на перемещение;
- если направления силы и перемещения перпендикулярны друг другу, то работа равна нулю;
- если угол между силой и перемещением больше прямого угла, то работа силы будет величиной отрицательной.
Полная работа силы на конечном перемещении – это сумма всех элементарных работ данной силы
. (1.104)
Приведем несколько случаев определения работ для разного вида сил. Для простоты будем считать, что сила и перемещение совпадают по направлению. Если это не так, то результат надо умножить на косинус соответствующего угла.
Работа постоянной силы
Так как ,то по свойствам интегрирования:
. (1.105)
Работа постоянной силы равна скалярному произведению силы на полное перемещение точки приложения силы.
Кроме того, работа постоянной силы не зависит от траектории перемещения точки приложения силы, а определяется только ее начальным и конечным положениями или работа постоянной силы равна скалярному произведению силы на полное перемещение точки приложения силы в направлении действия силы.
Работа силы тяжести
Для определения работы, которую совершает сила тяжести Р, рассмотрим движение тела вниз по наклонной плоскости (рис.1.50).
Рис. 1.50
При скольжении по наклонным плоскостям работа силы тяжести определяется высотой h, на которую опускается груз, и не зависит от угла наклона плоскости.
Проекция NO перемещения s=MN на направление силы тяжести, т. е. на вертикаль, равна высоте h наклонной плоскости. Согласно определению работы:
А= F·s, (1.106)
т. е. работа силы равна проекции перемещения точки ее приложения на направление силы, умноженной на величину силы.
Работа силы тяжести при перемещении тела вдоль наклонной плоскости из точки N в точку М будет равна силе тяжести, умноженной на высоту наклонной плоскости:
A=P·h . (1.107)
Тот же результат получится и для наклонной плоскости NМ1. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от угла наклона, а только от высоты наклонной плоскости; сила тяжести совершила бы такую же работу и в том случае, если бы груз опустился на такое же расстояние прямо по вертикали.
Отсюда можно сделать вывод: по какому бы пути ни опускался груз, сила тяжести Р совершает работу
А = Р·h. (1.108)
где h — высота, на которую опустился груз. Действительно, любой путь можно представить себе состоящим из большого числа участков различных наклонных плоскостей (рис. 1.51). Работа на каждом участке определяется высотой, на которую опустился груз при перемещении по этому участку. Работа же по всему пути равна действующей на груз силе тяжести, умноженной на полную высоту, на которую опустился груз.
Рис. 1.51
Любой путь можно представить как совокупность большого числа малых участков наклонных плоскостей.
Аналогичный вывод можно сделать и для подъема данного тела по наклонной плоскости или какому-либо другому пути. В этом случае работа против силы тяжести также не будет зависеть от формы пути, а только от высоты поднятия.
1.3.8. Принцип Д’Аламбера
Сила инерции материальной точки – это условная сила, линия действия которой противоположна действительному ускорению точки и равная по величине произведению массы точки на её ускорение:
, (1.109)
Сила инерции механической системы – это сумма сил инерции всех точек системы:
. (1.110)
Теорема: Сила инерции механической системы равняется произведению массы всей системы на ускорение её центра масс, взятое с обратным знаком:
, (1.111)
при вращательном движении .
Центр инерции системы – точка приложения силы инерции системы.
Положение центра инерции ищется как точка приложения равнодействующей всех элементарных сил инерции. Следует помнить, что поскольку силы инерции могут вести себя не так, как силы тяжести, то Центр инерции и центр тяжести тела могут не совпадать.
Инерционный момент – это условный момент, который действует относительно оси вращения тела и равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела, взятое с противоположным знаком:
, (1.112)
Принцип Д’Аламбера: если к заданным внешним силам, действующим в системе, добавить силы инерции тел и их инерционные моменты, то можно считать, что система находится в равновесии.
Доказательство: в общем случае движение материального тела описывается двумя векторными уравнениями:
, (1.113)
де ускорение центра масс тела;
Jc – собственный момент инерции тела.
C учетом теоремы о силе инерции механической системы и определения силы инерции (1.111) и инерционного момента (1.112)
, (1.114)
Если собрать все слагаемые в одну часть, то:
, (1.115)
Полученные уравнения совпадают с уравнениями, описывающими равновесное положение тела, хотя тело находится в движении.
1.3.9. Количество движения механической системы
Количество движения материальной точки есть произведение массы точки на ее скорость
. (1.116)
Количество движения механической системы это сумма количеств движения всех точек системы
. (1.117)
При использовании формулы (1.117), не обязательно разбивать систему только на материальные точки: можно на отдельные тела или группы тел, но внутри этих групп не должно быть относительных смещений.
Теорема: количество движения системы материальных тел равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс:
, (1.118)
Следствие. Количество движения тела равно произведению массы на скорость его центра масс.
Термин «элементарный» в сочетании с какой-либо характеристикой означает дифференциал этой характеристики.
Термин «сумма элементарных» в сочетании с какой-либо характеристикой означает интеграл этой характеристики.
Элементарный импульс силы – это произведение силы на элементарный промежуток времени действия силы:
, (1.119)
Полный импульс силы – это сумма всех элементарных импульсов в течение времени действия силы:
. (1.120)
Момент количества движения материальной точки (кинетический момент) относительно выбранной точки пространства – это результат векторного произведения вектора, проведенного из выбранной точки в любую точку линии действия силы на вектор количества движения материальной точки:
. (1.121)
Момент количества движения механической системы (кинетический момент системы) относительно выбранной точки пространства – это сумма моментов количества движения всех материальных точек системы относительно той же точки:
. (1.122)
Ограничимся рассмотрением только плоских задач. В этом случае аналогично моменту силы можно считать, что момент количества движения точки является скалярной величиной и равен:
. (1.123)
где vi – модуль вектора скорости точки;
hi –плечо.
Знак момента количества движения выбирается так же, как и знак момента силы.
Теорема: момент количества движения поступательно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость любой точки тела и на плечо скорости центра масс относительно выбранной точки:
. (1.124)
где hc – плечо скорости центра масс системы относительно выбранной точки.
Теорема: Момент количества движения вращающегося тела равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость:
. (1.125)
где расстояние от рассматриваемой точки до оси вращения.
Теорема: момент количества движения тела движущегося плоскопараллельно равен сумме момента количества движения центра масс тела относительно выбранной точки и произведения собственного момента инерции тела на угловую скорость:
. (1.126)
Элементарный импульс – это произведение момента силы на элементарный промежуток времени действия силы
, (1.127)
1.3.11. Принцип возможных перемещений
Возможное перемещение – это любое бесконечно малое перемещение произвольной точки тела, которое допускают наложенные на тело связи без изменения самой связи.
Идеальная связь – это связь, у которой сумма возможных работ всех её реакций на всех возможных перемещениях системы равна нулю.
Все связи, которые рассматривались до этого, исключая шероховатую поверхность, являются идеальными.
Активная сила – любая сила, действующая в системе, исключая силы реакции. Из определения идеальных связей следует, что работа реактивных сил в случае системы с идеальными связями всегда равна нулю.
Число степеней свободы системы – это количество линейно независимых возможных обобщенных перемещений системы. Выбирать независимые перемещения можно произвольным образом. Так плоское тело, покоящееся на плоскости (рис. 1.52), имеет множество возможных перемещений (вправо, влево, вверх под углом), но линейно независимых
Рис. 1.52
- только три (например, горизонтальное смещение х, вертикальное смещение вверх y и угол поворота вокруг точки А - ).
Принято обозначать возможные перемещения символом “δ” перед перемещением. Следует отличать возможные перемещения от действительных. Возможных может быть множество, а действительных только одно. Действительное перемещение обязательно входит в число возможных.
Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.
(1.128)
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
2.1. Основные понятия.
Сопротивление материалов является наукой о прочности, она обобщает инженерный опыт и разрабатывает основы проектирования надежных деталей конструкций.
Сопротивление материалов – инженерная наука, для нее характерны простые приемы расчета и широкое применение экспериментальных методов оценки.
2.1.1. Основные допущения и гипотезы.
При исследовании элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость в сопротивлении материалов используют ряд предпосылок (допущений), упрощающих расчеты. Эти предпосылки, как показывают эксперименты, проведенные более строгими методами теории упругости, можно использовать при решении большинства задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов. В некоторых случаях, специально оговариваемых, часть допущений использовать нельзя, так как это дало бы неправильные результаты.
1) Материал конструкции является однородным и сплошным, т.е. его свойства не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках.
Это положение позволяет не принимать во внимание дискретную, атомистическую структуру вещества и тем более движение отдельных молекул, составляющих тело. Оно применяется даже при расчете конструкций из такого неоднородного материала, как бетон, состоящего из щебня, связанного цементным раствором. Это можно делать потому, что размеры отдельных частиц материала невелики по сравнению с размерами сечений элементов конструкции.
Данная предпосылка позволяет, рассматривая при теоретическом анализе бесконечно малый элемент конструкции, наделять его свойствами, которыми обладает объем тела реальных размеров.
2. Материал конструкции изотропен, т. е. свойства его по всем направлениям одинаковы.
Эта предпосылка используется при решении большинства задач сопротивления материалов, хотя для некоторых материалов она весьма условна (например, для дерева, свойства которого в направлениях вдоль и поперек волокон различны). Такие материалы, свойства которых в различных направлениях различны, называются анизотропными. При решении некоторых задач необходимо учитывать различные свойства материала в различных направлениях, т. е. его анизотропию.
3. Материал конструкции обладает свойством идеальной упругости, т. е. способностью полностью восстанавливать первоначальные форму и размеры тела после устранения причин, вызвавших его деформацию. Деформация идеально упругого тела в каждый момент времени зависит только от нагрузок, действующих в этот момент на тело, и не зависит от того, в какой последовательности нагрузки приложены.
Эта предпосылка справедлива лишь при напряжениях, не превышающих для данного материала определенной, постоянной величины, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, в материале возникают или пластические (остаточные) деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, или упруго - пластические — частично исчезающие.
Предпосылка об идеальной упругости материала используется при решении большинства задач сопротивления материалов.
4. Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке.
Данная предпосылка, впервые сформулированная Р. Гуком, называется законом Гука.
Закон Гука справедлив для большинства материалов, но для каждого из них лишь при напряжениях, не превышающих некоторой величины (предела пропорциональности). Этот закон используется при решении большинства задач сопротивления материалов.
5. Деформации конструкции предполагаются настолько малыми, что можно не учитывать их влияния на взаимное расположение нагрузок и на расстояния от нагрузок до любых точек конструкции.
Вопрос о возможности применения этой предпосылки решается в каждом отдельном случае с учетом не только вида конструкции, но также характера и величины действующей на нее нагрузки.
6. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности.
Это положение носит название принципа независимости действия сил. Его часто называют также принципом наложения. Он применим в тех случаях, когда могут быть использованы закон Гука и предпосылка о малости деформаций, так как является их следствием.
7. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему нагрузки, также остаются плоскими и нормальными к его оси при действии нагрузки.
Эта предпосылка называется гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли. Она играет исключительно важную роль в сопротивлении материалов и используется при выводе большинства формул для расчета брусьев.
8) Принцип, утверждающий, что в точках тела, достаточно удаленных от места приложения сил, внутренние силы практически не зависят от характера распределения внешних сил (и зависит лишь от статического эквивалента последних) называется принципом Сен-Венана.
2.1.2. Модели прочностной надежности.
Введем основные понятия, принимаемые при изучении дисциплины.
Прочность – это способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.
Жесткость – способность твердого тела сопротивляться изменению геометрических размеров и формы.
Деформирование – свойство конструкции изменять свои геометрические размеры и форму под действием внешних сил
Устойчивость – способность твердого тела (конструкции) сохранять свое состояние (равновесия или движения) при внешних воздействиях.
Надежность – свойство конструкции выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных нормативных пределах в течение требуемого промежутка времени.
Ресурс – допустимый срок службы изделия. Указывается в виде общего времени наработки или числа циклов нагружения конструкции.
Отказ – нарушение работоспособности конструкции.
Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции.
На рис.2.1 приведена структура модели прочностной надежности. Она включает известные модели или ограничения, которые априорно накладываются на свойства материалов,
Рис.2.1. Структура модели прочностной надежности элементов конструкций
геометрию, формы изделия, способы нагружения, а также модель разрушения. Инженерные модели сплошной среды рассматривают материал как сплошное и однородное тело, наделенное свойством однородности структуры. Модель материала наделяется свойствами упругости, пластичности и ползучести.
Упругостью называется свойство тела восстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.
Пластичностью называется свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки деформацию.
Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.
Основными моделями формы в моделях прочностной надежности, как известно, являются: стержни (балки), пластины, оболочки и пространственные тела (массивы) (рис.2.2).
Рис.2.2 Основные модели формы в моделях прочностной надежности:
а) стержень (балка), б) пластина, в) оболочка.
Балка, стержень, брус – тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с его длиной.
Пластина – тело ограниченное плоскими или слабоизогнутыми плоскостями, обладающими малой толщиной.
Оболочка – тело ограниченно двумя поверхностями, имеющее малую толщину по сравнению с радиусом кривизны и длиной.
Пространственное тело или массив – это модель, размеры которой соизмеримы во всех направлениях.
Модель нагружения
Внутренние силы – силы взаимодействия между собой отдельных частей тела или детали.
Внешние силы – возникают под воздействием сопряженных деталей (тел).
При схематизации условий работы, в расчеты вводят упрощенные системы сил. Они подразделяются:
Сосредоточенные – силы, действующие на небольших участках поверхности детали (давление колеса на рельсы и т.п.). Распределенные – силы, приложенные к значительным участкам поверхности (например, давление пара в паропроводе, трубопроводе, котле, давление воздуха на крыло самолета и т.д.). Объемные или массовые силы приложены к каждой частице материала (например, силы тяжести, силы инерции).
По характеру изменения во времени нагрузки подразделяются:
а) статические (рис. 2.3); б) переменные (рис. 2.4).
Рис.2.3 Статическая нагрузка.
Рис.2.4 Переменная нагрузка.
Переменные нагрузки (периодически изменяемые во времени), характеризуются: амплитудой , средней силой , частотой нагружения , формой цикла (каким-либо законом).
2.1.3. Модели разрушения
После обоснованного выбора моделей формы, материала, нагружения переходят к непосредственной оценке надежности с помощью моделей разрушения. Модели разрушения представляют собой уравнения, связывающие параметры работоспособности элемента конструкции в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность. Эти уравнения (условия) называют условиями прочности. Обычно рассматриваются в зависимости от условий нагружения четыре модели разрушения: статического разрушения, длительно статического разрушения, малоциклового статического разрушения, усталостного разрушения.
При малом числе циклов (N<102) развиваются значительные пластические деформации (статическое разрушение), при большом числе циклов (N>105) пластические деформации отсутствуют (усталостное разрушение). В промежуточной области (102<N<105) разрушение носит смешанный характер (малоцикловое разрушение). Если на элемент конструкции действует высокая температура (для алюминиевых сплавов свыше 200 Co, для стальных и титановых сплавов свыше 400 Co, для жаропрочных сплавов свыше 600 Co), то в этом случае рассматривается так называемая длительная прочность материала.
2.1.4. Основные виды деформации
3. Сдвиг 4. Кручение
5.Изгиб.
Рис.2.5. Основные виды деформации
6. Сложная деформация.
(растяжение и кручение, изгиб и растяжение, изгиб и кручение)
Рассмотрим тело произвольной формы в “спокойном”, ненагруженном состоянии. Между его частицами всегда существуют силы взаимодействия, которые стремятся сохранить его как единое целое, то есть препятствуют изменению взаимного расположения частиц. При нагружении тела произвольной внешней нагрузкой силы взаимодействия между частицами изменяются, появляются дополнительные силы взаимодействия, которые приводят к изменению взаимного расположения частиц тела, то есть к его деформации.
Эти дополнительные силы взаимодействия называются внутренними силами упругости (ВСУ) и являются предметом изучения сопротивления материалов.
Анализ характера распределения внутренних сил упругости осуществляется при помощи метода сечений. Это метод, позволяющий выявить внутренние усилия в сечении стержня, перевести их в разряд внешних сил и определить их численные значения.
Рассмотрим тело произвольной формы, нагруженное самоуравновешенной системой сил (рис. 2.6,а). В интересующем нас сечении мысленно рассечем его плоскостью на две части (рис. 2.6,б).
Рис.2.6. Тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил
Внутренние силы упругости определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения. В разных сечениях тела возникают разные внутренние силы упругости, но по принципу действия и противодействия они всегда взаимны. Правая отсеченная часть тела действует на левую точно так же, как и левая, на правую, а это означает, что равнодействующая внутренних сил может определяться из условий равновесия, как левой отсеченной части тела, так и правой.
Из курса теоретической механики известно, что любую произвольную систему сил можно привести к центру тяжести сечения. В результате внутренние силы упругости, действующие в рассматриваемом сечении, приводятся к главному вектору R и главному моменту M. Выберем прямоугольную систему координат OXYZ так, что ось Z будет направлена по нормали к поперечному сечению, а оси X и Y лежат в плоскости сечения. Проецируя главный вектор R на каждую из осей, а главный момент M на каждую из координатных плоскостей, получим шесть величин: 3 силы и 3 момента, которые называются внутренними силовыми факторами (рис.2.7).
Рис.2.7 Схема внутренних силовых факторов
Полученные таким образом шесть внутренних силовых факторов (ВСФ) имеют строго определенные названия:
Nz – продольная (нормальная) сила;
Qx, Qy – поперечные (перерезывающие) силы;
Mx, My – изгибающие моменты;
Mz – крутящий момент.
Иногда обозначение Mz заменяют на Mкр или Mк, более точно отвечающие физическому смыслу этой величины.
График, показывающий, как меняется внутренний силовой фактор по длине рассматриваемого тела, называется эпюрой.
Если внешние силы заданы, то внутренние силовые факторы вычисляются на основании условия равновесия, как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела.
Правильность построения эпюры обеспечивается, в первую очередь, надлежащим выбором характерных сечений, то есть тех сечений, в которых величина внутреннего силового фактора обязательно должна быть определена.
К характерным сечениям относятся:
1) сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов;
2) сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распределенной нагрузкой;
3) сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободных концах.
В зависимости от характера внешней нагрузки и от особенностей нагружаемого тела, в поперечных сечениях могут возникать не все шесть внутренних силовых факторов, а какой-либо один или некоторая их комбинация. В соответствии с этим различают следующие виды сопротивлений:
Растяжение (или сжатие) – это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только продольная сила Nz.
Кручение – это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только крутящий момент Mкр.
Чистый изгиб – это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент Mx (или My). Чаще всего изгибающий момент Mx сопровождается наличием поперечной силы Qy (или момент My сопровождается наличием поперечной силы Qx). В этом случае имеет место поперечный изгиб.
Возможны случаи, когда в поперечных сечениях возникают два и более внутренних силовых фактора одновременно (исключая их комбинации, рассмотренные выше), тогда говорят о сложном сопротивлении.
Все перечисленные виды сопротивлений будут подробно рассмотрены в дальнейших разделах курса.
2.1.7. Напряжения и деформации
Напряжение – это числовая мера интенсивности внутренних сил.
Если известно, что внутренние силы распределяются по сечению напряженного тела равномерно, то в этом случае (рис.2.8):
, (2.1)
P- напряжение (внутреннее), Па
N – суммарная сила упругости, Н
A- площадь сечения, мм2
В общем случае напряжение P на данной площадке dA будет составлять с этой площадкой некоторый угол α.
Нормальное напряжение направленно перпендикулярно к площадке, а касательное по касательной к сечению.
Рис.2.8. Внутренние напряжения
Рассечем брус, находящийся под действием внешних сил, на две части поперечным сечением, отбросим правую часть и приложим для равновесия внутренние силы (рис.2.9).
Рис.2.9. Схема бруса.
Равнодействующая сила упругости будет действовать по оси бруса и по величине равна N.
Воспользуемся гипотезой плоских сечений: в рассматриваем брусе, все плоские сечения нормальные к оси бруса остаются, и после деформации плоскими и нормальными к оси. Поэтому напряжение во всех точках поперечного сечения будет определяться по формуле:
. (2.2)
Наличие нормального напряжения σ в любой точке поперечного сечения обусловлено возникновением в этом сечении нормальной силы N или изгибающих моментов Мx и Мy. Наличие касательных напряжений τ обусловлено внутренними силовыми факторами, возникающими в плоскости сечения, т.е. поперечными силами Qx и Qy или крутящим моментом.
При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.
Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2.10). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r (х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М/, характеризуемое радиус-вектором r' (х, у, z). Вектор u=r'—r называется вектором полных перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и (х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z).
Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.
Рис.2.10 Композиция вектора перемещения
2.2. Растяжение и сжатие
2.2.1. Продольная деформация
Возьмем призматический брус с постоянной площадью поперечного сечения А, и приложенные по бокам две равные и противоположно направленные силы F, направленные по оси бруса (рис.2.11)
Рис.2.11. Продольная и поперечная деформации
Брус в продольном направлении удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются. Удлинение бруса будет равно l = l1 – l,
где l – полное или абсолютное удлинение.
Более удобной мерой деформации является относительное удлинение (продольная деформация), определяемая по формуле:
ε = . (2.3)
2.2.2. Поперечная деформация
Абсолютная поперечная деформация:
А = А – А1. (2.4)
Относительное изменение площади поперечного сечения (поперечная деформация):
ε 0 = . (2.5)
Опытами установлено, что даже при небольших деформациях бруса в продольном направлении его поперечные размеры изменяются.
Поперечные деформации при растяжении или сжатии пропорциональны продольной деформации и характеризуются коэффициентом Пуассона. Коэффициент Пуассона при растяжении равен:
, (2.6)
- поперечное относительное сжатие; - продольное относительное удлинение.
При сжатии:
, (2.7)
- поперечное относительное растяжение;- продольное относительное сжатие.
Для различных материалов составляет от 0 до 0,5, в практических расчетах для стали принимают=0,32-0,35.
2.2.3. Закон Гука
Основной закон сопротивления материалов выражает прямую пропорциональность между нормальным напряжением и продольной деформацией:
, (2.8)
где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга), [Па]
(для стали Е = 2ּ105 МПа)
Модуль упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям.
Если в законе Гука расписать продольную деформацию то получим:
. (2.9)
2.2.4. Диаграммы растяжения
Механические характеристики устанавливают границу безопасности эксплуатации элементов конструкции при статических и динамических нагрузках. К числу основных характеристик относятся: предельное напряжение, твердость, ударостойкость, вязкость, вес конструкционных материалов.
Материалы можно разделить на хрупкие и пластичные.
Пластичные обладают способностью деформироваться в широких пределах. К ним относятся: алюминиевые, медные, золотые сплавы, малоуглеродные стали. Хрупкий материал разрушается без предварительной деформации. К ним относятся: чугун, высокоуглеродные стали, металлы, керамические сплавы, стекло.
Для выполнения расчетов конструкции на прочность необходимо знать свойства материалов, из которых эти конструкции изготовлены. Наиболее распространенным испытанием материалов является испытание на растяжение. Это объясняется тем, что механические характеристики, получаемые при растяжении, позволяют судить о поведении материала при других деформациях: сжатии, сдвиге, кручении и изгибе.
Рис.2.12. Схема образца
Образец постепенно нагружается силой возрастающей от 0 до величины разрушающей образец (рис.2.12). Величина нагрузки измеряется и записывается в виде кривой зависимости между растягивающей нагрузкой и полученным удлинением.
Рассмотрим диаграмму растяжения малоуглеродистой стали (рис.2.13): в начале испытания (до отметки 1 с ординатой Nпц) удлинение Δl растет пропорционально силе F, тем самым подтверждается закон Гука. Далее удлинение Δl возрастает непропорционально силе F. При некотором значении силы (отметка 2) образец удлиняется без увеличения нагрузки. Это явление называется текучестью металла.
Рис.2.13.Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали
По окончании стадии текучести, материал образца снова начинает сопротивляться нагрузке до отметки 3 с ординатой Nmax , после которой наблюдается снижение сопротивляемости образца нагрузке. Это обстоятельство объясняется тем, что на образце начинает появляться местное сужение (шейка) и в дальнейшем диаграмма фиксирует уже растяжение не всего образца, а только его участка в зоне образовавшейся шейки. Момент окончательного разрушения образца обозначается цифрой 4.
Весьма хрупким материалом является чугун. Для образца из обычного серого литейного чугуна относительное остаточное удлинение при разрыве не превышает 0,015%. При разрыве образцов из хрупких материалов шейка не образуется, и растягивающее усилие растет до момента разрушения (рис.2.14).
Деформации чугуна очень малы, они с самого начала не следуют закону Гука, а потому диаграмма получается криволинейной (кривая 1) (рис.2.14 а).
Диаграмма растяжения чугуна (кривая 2) по характеру аналогична диаграмме сжатия, но предел прочности при растяжении значительно ниже, чем предел прочности при сжатии.
Иными словами, чугун значительно хуже работает на растяжение, чем на сжатие. При сжатии чугунный образец разрушается в результате образования наклонных трещин, направленных примерно под углом 45° к оси образца (как это показано на рис.2.14 б), т. е. параллельно площадкам, в которых действуют наибольшие касательные напряжения.
Рис.2.14 Диаграмма растяжения чугуна
Характеристики материала:
1. Отношение растягивающего усилия F1 к площади поперечного сечения А0 – предел пропорциональности.
. (2.10)
, (2.11)
где - напряжение при котором величина относительной и остаточной деформации не превышает 0,005%
, (2.12)
где - напряжение, при котором происходит рост деформации без увеличения нагрузки.
. (2.13)
2.2.5. Основы прочностных расчетов элементов конструкций
Целью прочностных расчетов является: определить напряжения при фактической нагрузке, а затем сопоставить их с опасным значением.
(2.14)
Расчеты на прочность:
1.Отношение предельного напряжения σпр к расчетному σ называется коэффициентом запаса прочности S:
, (2.15)
Прочность элемента конструкции обеспечивается, если действительный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого:
Разделив предельное напряжение на нормативный коэффициент запаса прочности, получим допускаемое напряжение :
, тогда условие прочности имеет вид:
т. е. прочность элемента конструкции обеспечивается если наибольшее напряжение, возникающее в нем, не превышает допускаемого.
Условие прочности применительно к расчетам на прочность при растяжении (сжатии) имеет вид:
. (2.16)
Для хрупких материалов допускаемое напряжение растяжения и сжатия получают исходя из предела текучести:
(2.17)
Для пластичных материалов предельным напряжением является предел текучести:
. (2.18)
2.2.6. Пример расчета стержня на растяжение – сжатие
Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на схеме (рис.2.15), нагружен силами F1, F2 и F3. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса , приняв E=2•10 МПа. Произвести оценку прочности по участкам стержня и вычислить запас прочности, если σпр = 200 МПа, σу = 240 МПа. Числовые данные варианта взять из приложения 9, схему варианта из приложения 10.
Схема нагружения и исходные данные
Fl= 120 кН; F2= 80 кН; F3= 80 кН; A1= 12 см2; A2= 10 см2; A3= 18 см2.
Рис. 2.15. Схема нагружения
Решение
Выделяем характерные участки стержня. Границами участков являются сечения, в которых приложены силы или изменяется площадь поперечного сечения (рис. 16). В нашем примере пять характерных участков.
Рис. 2.16. Схема нагружения с участками
Определяем продольные силы для каждого участка стержня методом сечений
1-1
∑Fix=0
- N1 – F1 = 0
N1 = - F1
N1 = - 120 кН
Рис. 3.
N1 – отрицательная, следовательно, она направлена в тело стержня.
N1= - 120 кН.
2-2 На участке 2-2 новые силы, не приложены и следовательно N2 = N1 = -120 кН.
3-3
∑Fix=0
- F1 + F2 – N3 = 0
N3 = F2 – F1 = 80 – 120 = - 40
N3 = -40 кН
4-4 N4 = -40 кН
5-5
∑Fix=0
- F1 + F2 + F3 – N5 = 0
N5 = F2 + F3 – F1= 80 + 80 – 120 = 40
N5 = 40 кН
Строим эпюру продольных сил (рис. 17).
Рис. 2.17. Схема нагружения с эпюрами
Определяем нормальные напряжения в пределах каждого характерного участка стержня:
σ1 = N1/A1 = (-120·103)/(12·102) = -100 МПа < σпр
σ2 = N2/A2 = (-120·103)/(10·102) = -120 МПа < σпр
σ3 = N3/А2 = (-40·103)/(10·102) = -40 МПа < σпр
σ4 = N4/A3 = (-40·103)/(18·102) = -25 МПа < σпр
σ 5 = N5/A3 = (40·103)/(18·102) = 25 МПа < σпр
Строим эпюру нормальных напряжений σ (рис. 2.17.)
Если σ > σ пр, то поперечное сечение стержня увеличивается и площадь его определяется по формуле:
А = N/ σ пр
Определяем коэффициент запаса прочности для второго участка стержня, на котором нормальное напряжение оказалось наибольшим.
S = σу / | σ2| = 240/120 = 2
Определяем абсолютные удлинения каждого характерного участка и подсчитываем перемещения сечений, совпадающих с границами участков:
А= 0
ВА =А+ΔlВА = 0 + (N5·l5)/E = 0 + (σ5·l5)/E = (25·0,25·103)/(2·105) = 0,0312 мм
СА= ВА + ΔlСВ = ВА + (σ4·l4) /Е = 0,0312 – (25·0,25·103)/(2·105) = 0
да = СА + ΔlДС = СА + (бз·lз)/Е = 0 – (40·0,15·103)/(2·105) = - 0,03 мм
ЕА = ДА + (б2l2)/Е = - 0,03 – (120·0,35·103)/ (2·105) = - 0,24 мм
КА = ЕА +(б1l1)/Е = = - 0,24 – (100·0,5·103)/(2·105) = -0,49 мм.
Строим эпюру абсолютных удлинений (рис. 17).
2.3. Сдвиг
2.3.1. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге
Рис. 2.18. Чистый сдвиг
При чистом сдвиге на четырех гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, а две грани свободны от напряжений (рис.2.18).
Явление сдвига состоит в том, что под действием внешних сил первоначальная форма выделенного элемента искажается, например, горизонтальные площадки сдвигаются относительно друг друга на расстояние Δdz, называемое абсолютным сдвигом, и угол 90 градусов между смежными площадками изменяется на величину γ. Этот угол называется углом сдвига или угловой деформацией.
Установлено, что касательные напряжения и угол сдвига в пределах упругих деформаций связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью:
, которая называется законом Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига и характеризует жесткость материала при сдвиге.
Между модулем упругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона μ существует зависимость:
. (2.19)
2.3.2. Расчет на сдвиг (срез)
Если два бруса соединить между собой штифтом, а затем нагрузить направленными в противоположные сторонами силами F, то при значительных силах или небольшом диаметре штифта, он может быть разрушен по сечению, расположенному в плоскости соприкасания поверхностей соединяемых брусьев. Такое разрушение соединительных деталей (штифта, болта, заклепки, шпонки), происходящее под действием нагрузок, перпендикулярных их собственным осям (поперечные нагрузки), называется срезом (рис.2.19).
Условие прочности при расчете на срез имеет вид:
, (2.20)
где - расчетное напряжение среза в поперечном сечении детали; - поперечная сила, возникающая в этом сечении; - площадь поперечного сечения срезаемой детали (площадь среза); I - число соединительных деталей.
При расчете болтов, штифтов, шпонок и прочего принимают: или
Рис.2.19. Срез
2.4. Кручение
2.4.1. Общие сведения о деформации кручения
Наглядное представление о деформации кручения дает действие двух равных и противоположно направленных крутящих моментов (рис.2.20).
Рис.2.20. Деформация кручения
В результате деформации образующие вала получают вид винтовых линий. Такой вид получают образующие валы и в случае следующего закрепления (рис.2.21).
Рис. 2.21. Деформация вала
При действии крутящего момента М все линии рассматриваемой образующей будут отклоняться от первоначального положения на некоторые углы по окружности. На основе этого можно сделать выводы:
1. При кручении, в каждом сечении вала происходит поворот точек по окружности относительно оси. Следовательно, вал испытывает кручение, если к нему прикладывается пара сил направленных перпендикулярно осям.
2. Под действием внешних моментов, в поперечном сечении вала, возникает единственная составляющая главного момента, а именно крутящий момент Мк (рис. 2.22).
Рис.2.22. Главный момент
3. Деформация кручения вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга, при этом углы поворота прямопропорциональны растяжению.
4. Угол поворота рассматриваемого сечения равен углу закручивания части вала, которая заключена между данным сечением и заделкой. Угол кольцевого сечения называется углом закручивания вала.
5. В произвольном сечении угол поворота можно оценить относительным углом закручивания:
где - угол закручивания выделенного элемента; - расстояние от рассматриваемого сечения до заделки, - относительный угол закручивания.
Если балка длиной l м имеет постоянное поперечное сечение и нагружена внешним моментом на конце вала, то относительный угол закручивания будет:
= const
6. При кручении вала возникает деформация сдвига между соседними сечениями, следовательно, при кручении поперечных сечений валов, возникают только касательные внутренние силы создающие крутящий момент.
Крутящие моменты в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. При использовании уравнений равновесия:
;
Крутящий момент в поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, которые приложены к оставленной для рассмотрения части вала.
Считаем крутящий момент положительным, если внешний момент по отношению к рассматриваемой части вала направлен по ходу часовой стрелки (рис.23).
Рис.2.23. Правило знаков
Эпюра крутящих моментов представляет собой график изменения крутящего момента по длине вала. С помощью эпюры крутящих моментов определяют опасное сечение вала, то есть такое в котором действует наибольший крутящий момент.
2.4.2. Напряжение и деформация при кручении
В поперечных сечениях скрученного вала (рис.2.24) действует, только касательное напряжение , следовательно, крутящий момент представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил, то есть действующий на бесконечно малых площадках поперечного сечения, его можно выразить:
.
где - расстояние или плечо элементарной силы относительно продольной оси вала;
r –радиус вала.
Данная зависимость отражает статическую сторону работы сечения, но не позволяет определить значение касательных напряжений по известному крутящему моменту, так как в данном случае не установлен закон распределения касательных напряжений по сечению.
Рис. 2.24. Схема скрученного вала
Угол сдвига для некоторого поперечного сечения.
φ0
где φ0 – угол поворота.
Тогда касательное напряжение прямо пропорционально расстоянию до оси вала.
φ0. (2.21)
Эпюра распределения вдоль радиуса сечения вала всегда имеет вид треугольника, если соблюдаются выше перечисленные условия (рис. 2.25). Если вал состоит из одного участка (то есть имеет постоянное сечение и постоянный по длине крутящий момент), то в данном волокне бруса будет постоянным по всей длине участка.
Рис. 2.25. Эпюра касательных напряжений
2.4.3. Расчет на жесткость и прочность при кручении
1. Прочность , (2.22)
- полярный момент сопротивления [] = [м3]
- допускаемое касательное напряжение, устанавливается в зависимости от допускаемого напряжения при растяжении.
2. Условие жесткости бруса при кручении состоит в том, чтобы относительный угол закручивания φ0 не превосходил некоторого заданного допускаемого значения [φ0]
φ0 ≤ [φ] – условие жесткости; (2.23)
где φ0 – относительный угол закручивания;
[φ] – допускаемый относительный угол закручивания.
φ0 ; [φ0] = 0,2…1; [] (2.24)
2.4.4. Пример расчета вала при кручении
Для стального трансмиссионного вала (рис. 2.26) G = 8·1010 МПа:
2. Постройте эпюры крутящих моментов.
3. Определите диаметры каждого участка ступенчатого вала из условия прочности. Окончательно принимаемые значения должны быть округлены до ближайших стандартных по ГОСТ 6636-69. Диаметр вала (мм): 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 125, 140, 160, 180, 200.
4. Вычертите в масштабе эскиз ступенчатого вала.
5. Постройте эпюру углов закручивания относительно левого шкива на валу.
6. Проверьте жесткость вала при кручении и при недостаточной жесткости участков вала, определите их диаметры из условий жесткости.
Числовые данные варианта взять из приложения 11, схему варианта из приложения 12.
Схема нагружения и исходные данные.
Рис. 2.26. Схема нагружения
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
|
а |
Р0 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
ω |
[τ] |
[φ] |
|
м |
кВт |
рад/с |
мПа |
рад/м |
|||
|
0,1 |
90 |
50 |
20 |
20 |
75 |
35 |
0,02 |
Рис. 2.27. Расчетная схема и результаты расчетов
1. Определяем внешние скручивающие моменты:
М0 = 103 Ро/ω = 103 90/75 = 1200 Н·м
М1 = 103 Р1/ω = 103 50/75 = 666,7 Н·м
М2 = 103 Р2/ω = 103 20/75 = 266,7 Н·м
М3 = 103 Р3/ω = 103 20/75 = 266,7 Н·м
2. Разбиваем вал на характерные участки (рис. 2.27.).
Их границами являются сечения, в которых приложены внешние крутящие моменты М на каждом участке вала. Для этого воспользуемся методом сечений:
1-1: Мк1 = - М1 = - 666,7 Н·м
2-2: Мк2 = - М1+ М0 = - 666,7 + 1200 = 533,3 Н·м
3-3: Мк3= - М1+ М0 – М2 = 266,6 Н·м
Строим эпюру крутящих моментов.
3. Определяем диаметры на каждом участке вала, если из условия прочности:
d = .
I: d1 = = = 45,6 мм.
Принимаем d1 = 50 мм.
II: d2 = = = 42,3 мм.
Принимаем d2 = 45 мм.
III: d3 = = = 33,6 мм.
Принимаем d3 = 35 мм.
На участке IV диаметр вала принимаем конструктивно d4 =20 мм. Вычерчиваем эскиз вала в соответствии с принятыми значениями диаметров ступеней.
4. Для определения углов закручивания вала предварительно вычисляем полярные моменты инерции (Iр, м4) отдельных сечений вала.
Ipl = π d14/32 = 3,14·(5,0·10-2)4/32 = 61,3·10-8 м4
Ip2 = π d24/32 = 3,14· (4,5·10-2)4/32 = 40,2·10-8 м4
Ip3 = π d34/32 = 3,14· (3,0·10-2)4/32 = 7,9 ·10-8 м4
5. Относительные углы закручивания (φ, град/м) на отдельных участках вала:
φ = Мк / G · Ip.
φ1 = Мк1 / G · Ip1 = 666,7/8·1010·61,3·10-8 = 666,7·10-2/490,4 = 0,013 рад/м.
|φ1| < [φ].
φ2 = Мк2 / G · Ip2 = 533,3/8·1010·40,2·10-8 = 533,3·10-2/321,6 = 0,017 рад/м.
|φ2| < [φ].
φ3 = Мк3 / G · Ip3 = 266,6/8·1010·7,9·10-8 = 266,6·10-2/63,2 = 0,042 рад/м.
|φ2| > [φ].
Следовательно на участке 3-3 жесткость вала не обеспечена.
Вычислим диаметр вала на участке 3-3 из условий жесткости, определив предварительно для этого значение полярного момента инерции Ip3.
Ip3 = Мк3/G·[φ] = 266,6/8·1010·0,02 = 266,6/0,16·1010 = 16,67·10-8 м4
d3 = = =36,1 мм
Принимаем d3 = 40 мм.
2.5. Изгиб
2.5.1. Общие сведения
При изгибе характерно: а) у рассматриваемого бруса имеется хотя бы одна плоскость симметрии, б) плоскость действия всех нагрузок (включая реакции опор) совпадает с плоскостью симметрии бруса (рис.2.28). Брус, работающий на изгиб называется балкой. При изгибе в балке существует нейтральная линия – это слой волокон, которые не изменяют своей первоначальной длины – нейтральный слой (рис.2.29).
Рис. 2.28. Схема бруса
Рис.2.29. Изгиб балки
2.5.2. Понятие об изгибающем моменте и поперечной силе
К балке приложены две равные и противоположно направленные по знаку силы (М) (рис.2.30). Рассматривая равновесие, части балки, приложенной слева или справа от сечения n-n, видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент, при этом Ми = М – это случай чистого изгиба.
Рис. 2.30. Изгибающий момент
m – приложенный активный момент (внешняя нагрузка); Ми – изгибающий момент.
К балке приложены активные и реактивные силы перпендикулярные к ее оси (рис.2.31). Рассмотрим равновесие частей балки расположенных справа и слева от поперечного сечения. В них действует изгибающий момент и поперечные силы, следовательно, в рассматриваемом случае в точках поперечного сечения действует два вида напряжений:
В данном случае поперечная сила Q является равнодействующей, внутренних касательных сил в поперечных сечениях и имеет противоположное направление для левой и правой частей балки. Изгибающий момент в сечение балки, численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения. Поперечные силы в сечение балки численно равны алгебраической сумме всех внешних сил действующих справа (слева) от сечения.
Рис. 2.31. Изгибающий момент и поперечная сила
2.5.3. Правило знаков
Рис . 2.32. Правило знаков для момента
Если внешняя нагрузка стремиться изогнуть балку выпуклостью вниз, то - знак плюс, и наоборот, если выпуклостью вверх то - знак минус (рис. 2.32).
Рис. 2.33. Правило знаков для поперечной силы
Считаем поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной – в противном случае (рис. 2.33).
2.5.4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Для наглядного распределения вдоль оси балки поперечных сил и изгибающих моментов строят соответствующие эпюры. Они дают возможность:
При построении эпюр Q и М рекомендуется придерживаться такой последовательности:
2.5.5. Осевой момент инерции
Известно, что при изгибе во всех точках поперечного сечения балки возникают напряжения. В общем случае это нормальное и касательное напряжения. При чистом изгибе только нормальное напряжение, оно зависит от нагрузки и геометрии сечения.
Рис. 2.34. Нейтральная ось.
, (2.25)
где -осевой момент инерции;
у – расстояние от рассматриваемого слоя до нейтральной оси (рис. 2.34).
В этой формуле при Ми и величина у переменная, поэтому нормальное напряжение по сечению линейно зависит от расстояния у.
Осевые моменты инерции простейших сечений (рис. 2.35):
Рис. 2.35. Осевые моменты инерции
; ; (2.26)
2) Треугольник равнобедренный
, ; (2.27)
3) Круг
. (2.28)
Условие прочности при изгибе по нормальному напряжению:
(2.29)
- осевой момент сопротивления.
, [м3] (2.30)
При решении трех задач выполняется три вида расчетов:
2.5.6. Линейные и угловые перемещения при изгибе.
Рис. 2.36.Схема линейных и угловых перемещений при изгибе
При изгибе под действием поперечных нагрузок продольная ось бруса (балки) искривляется. Если изгиб протекает в пределах упругих свойств материала, т.е. в пределах закона Гука, то после снятия нагрузок ось бруса снова выпрямляется. Поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме, которую при нагружении бруса принимает его упругая линия, можно судить об угловых и линейных перемещениях при изгибе.
Изобразим продольную ось балки, защемленной одним концом. Под действием нагрузки F, перпендикулярной оси балки и расположенной в главной плоскости, ось, оставаясь в этой плоскости изгибается и принимает вид отрезка кривой (рис. 2.36).
При этом центры тяжести произвольных сечений 1 и 2 при изгибе балки переместились соответственно на расстояния v1 и v2, а сами сечения, оставаясь плоскими (по гипотезе плоских сечений), повернулись на углы θ1 и θ2, которые равны углу между касательной к изогнутой оси в данной точке и направлением оси недеформированного бруса.
Линейные перемещения центров тяжести произвольных поперечных сечений при изгибе называются прогибами бруса, а наибольший прогиб называется стрелой прогиба.
Угол поворота определяется по формуле:
, (2.31)
Прогиб по формуле:
. (2.32)
Решения по данным уравнениям очень громоздки, поэтому чаще используют более рациональный способ определения прогиба с помощью интеграла Мора:
, (2.33)
где MxF – уравнение изгибающего момента от нагрузки F, Mx1 - уравнение изгибающего момента от единичной силы.
Угол поворота определяется по аналогичной формуле, только в этом случае Mx1 – уравнение изгибающего момента от единичного момента.
(2.34)
Расчет балок на жесткость:
Многие элементы строительных и машиностроительных конструкций требуют расчета на жесткость. Условие жесткости обычно выражается неравенством:
, суть, которого в том, что максимальный прогиб не должен превышать допускаемого значения.
Для облегчения расчетов на жесткость приведем формулы прогибов и углов поворота сечений балок в простейших случаях их нагружения (рис.2.37).
Рис. 2.37. Простейшие случаи нагружения балок
а) , (2.35)
б) , (2.36)
в) , (2.37)
2.5.7. Пример расчета балки на изгиб
Для заданной балки (рис. 2.38.):
1. Постройте эпюры Q, Ми.
2. Подберите круглое поперечное сечение балки.
Числовые данные варианта взять из приложения 13, схему варианта из приложения 14.
Исходные данные
|
а |
q |
F |
M |
[σ] |
|
м |
КН/м |
кН |
кН·м |
МПа |
|
1 |
20 |
20 |
50 |
160 |
Схема нагружения и результаты.
Рис. 2.38. Схема нагружения и эпюры.
1) Определим опорные реакции, для чего составим два уравнения моментов:
Σ МА=0 q·a·0,5a – q·2a·a – F·2a – M + RB·4а = 0
20·1·0,5-20·2·1 – 20·2 – 50+4·RB = 0
Σ МВ=0 q·3a·3,5a – RA·4a + F·2a – M = 0
20·3·3,5 – RA·4 + 20·2 – 50 = 0
Откуда RB = 120/4 = 30 кН
RA = 200/4 = 50 кH
Для проверки правильности определения опорных реакций составляем сумму проекций всех сил, приложенных к балке на вертикальную ось Y:
Σ Fiy = 0 -q·3а + RA – F + RB = 0
-20·3 + 30 – 20 + 50 = 0
2) Намечаем характерные сечения:
К характерным сечениям относятся:
а) сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов;
б) сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распределенной нагрузкой;
в) сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободных концах.
3) Вычисляем значения поперечных сил в характерных сечениях:
Рассматриваем левую отсеченную часть:
1:1 Qу1=0
Мх1=0
2:2 Qу2=-q·а=-20·1= -20 кН
Мх2=-q·а·0,5а=-20·0,5= -10 кН
3:3 Qу3=-q·а+RАу=-20·1+50=30 кН
Мх3=-q·а·0,5а=-20·0,5=-10 кН
4:4 Qу4=-q·3а+RАу=-20·3+50=-10 кН
Мх4=-q·3а·1,5а+RАу·2а=10 кН
Для сечений 5-8 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:
5:5 Qу5=-RВу=-30 кН
Мх5=-М+RВу·2а=-50+30·2=10 кН
6:6 Qу6=-RВу=-30 кН
Мх6=-М+RВу·а=-50+30=-20 кН
7:7 Qу7=-RВу=-30 кН
Мх7=RВу·а=30 кН
8:8 Qу8=-RВу=-30 кН
Мх8=0
Поперечная сила Q в некоторой точке С принимает нулевое значение Q = 0, поэтому необходимо определить абсциссу «нулевого сечения», для этого необходимо составить уравнение равновесия сил относительно сечения С:
-q·zc + RA = 0 zc = RA/q = 50/20 = 2,5 м.
с:с Мхс=-q·zс· zс /2+ RАу(2,5-а)=12,5 кН
Строим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов.
4) Определим диаметр круглого поперечного сечения балки:
Wx= |Миmах| / [σ],
Наибольшее значение по модулю момент имеет в сечении 6 и 7:
|Миmах| =30 кН·м.
Wx= 30·103 /160·106 = 0,1875·10-3 м.
d = = = 0,123 мм.
Правила контроля эпюр Qу и Mx:
Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx – криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.
Если на участке, под распределенной нагрузкой, эпюра Qy пересекает ось (Qy = 0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.
На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy > 0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy < 0 – убывает.
Порядок линии на эпюре Qy всегда на единицу меньше, чем на эпюре Mx. Например, если эпюра Mx – квадратная парабола, то эпюра Qy на этом участке – наклонная прямая; если эпюра Mx – наклонная прямая, то эпюра Qy на этом участке – прямая, параллельная оси; если Mx = const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Qy = 0.
2.6. Сложное сопротивление
2.6.1. Косой изгиб
Если в поперечном сечении возникают два внутренних силовых фактора – изгибающие моменты Мx и My , то происходит косой чистый изгиб. При поперечном косом изгибе в поперечных сечениях бруса одновременно с изгибающими моментами возникают поперечные силы Qx и Qy . В том и другом случае нормальное напряжение σ в любой точке К поперечного сечения (рис. 2.39), согласно принципу независимости действия сил, определяется как алгебраическая сумма напряжений, обусловленных изгибающими моментами Мx и My т.е.:
Рис. 2.39. Косой изгиб
. (2.38)
В зависимости от нагружения бруса слагаемые напряжения направлены, в разных четвертях, поперечного сечения либо в одну и ту же, либо в противоположные стороны. Чтобы определить точки сечения, в которых напряжения достигают наибольших значений, необходимо найти положение нулевой линии. Для этого приравняем последнее выражение нулю и заменим у и х координатами у0 и х0, принадлежащими нулевой линии. В результате получаем уравнение нулевой линии:
(2.39)
Это уравнение показывает, что нулевая линия – прямая, проходящая через начало координат под углом β к оси х, тангенс которого:
. (2.40)
Определив угол β и прочертив нулевую линию в поперечном сечении можно определить координаты наиболее удаленных точек 1 и 2 и вычислить значения напряжений в этих точках.
Для бруса из материала, различно сопротивляющегося растяжению и сжатию должны быть составлены два условия прочности:
,
. (2.41)
Для брусьев из пластичных материалов используют лишь то из условий, которое соответствует большему по абсолютному значению напряжения.
2.6.2. Главные площадки и главные напряжения
Рис. 2.40. Сложное сопротивление
Рассмотрим вырезанный из тела элемент в виде прямоугольного параллелепипеда. На гранях возникают нормальные и касательные напряжения. Оказывается, что через заданную точку напряженного тела всегда можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых касательные напряжения: и возникают только нормальные напряжения (рис. 2.40);
Площадки, на которых нет касательных напряжений – это главные площадки, а нормальные напряжения – это главные напряжения.
Если , то:
Такой случай называется простым, одноосным напряженным состоянием (растяжение или сжатие).
2.6.3. Тензор напряжений
Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 2.41). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение σx; σy; σz где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения τ с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй направление вектора нормали к площадке.
Рис. 2.41. Составляющие векторов напряжений
Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:
Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей), эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 2.41 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, невидимые на рис. 2.41) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 2.41.
2.6.4. Изгиб с растяжением-сжатием
Рис. 2.42. Схема изгиба с растяжением – сжатием
Если нагрузить брус в главной плоскости силой F под углом α к оси, то в поперечном сечении 1-1 возникнут три внутренних силовых фактора: нормальная сила , изгибающий момент и поперечная сила . Такое нагружение бруса вызывает сочетание изгиба с растяжением – сжатием (рис. 2.42). Влияние поперечных сил на прочность бруса обычно не учитывают.
Считая, что брусья обладают большой жесткостью на изгиб, согласно принципу независимости действия сил, можно утверждать, что в любом сечении возникают напряжения растяжения (или сжатия):
и напряжения изгиба:
(2.42)
Таким образом, суммарные напряжения в любом сечении бруса находят алгебраическим сложением напряжений при растяжении и изгибе:
(2.43)
При расчетах на прочность исходят из наибольших напряжений, возникающих в любом сечении. В частности, если сечение бруса симметрично относительно нейтральной оси, то:
(2.44)
При определении напряжений по приведенным формулам значения напряжений следует подставлять с их знаками.
2.6.5. Теории прочности
В отличие от простых видов деформации, на практике, часто встречается, когда в поперечном сечение бруса возникает несколько внутренних силовых факторов (изгиб и кручение) – что называется сложным сопротивлением.
Расчеты на прочность и жесткость основываются на принципе независимости действия сил. Оценка прочностной надежности является распространенной инженерной задачей, в которой напряженное состояние в опасной точки элемента конструкции сопоставляется с предельным состоянием, определенным пределом тягучести, прочности и т.д., для материала этого элемента конструкции. Такая оценка точная, когда в одноосном или двухосном состоянии, главные напряжения в каждой точке равны по величине, но разные по знаку.
Первая теория прочности
Теория наибольших нормальных напряжений
Она основывается на предположениях, что опасное состояние материала наступает, когда какое – либо из главных напряжений достигает опасного значения, следовательно, сложно – напряженное состояние равноопасно если , т.е. максимальное напряжение не превышает допускаемое.
-эквивалентное допускаемое напряжение; -допускаемое напряжение при растяжении.
= (2.45)
Недостатки: она не учитывает напряженность и , подтверждает деформацию хрупких и не подтверждает деформацию пластичных материалов.
Вторая теория прочности
Теория наибольших линейных деформаций
Основывается на предположении, что материал не зависимо от вида напряженного состояния разрушается, тогда когда наибольшее относительное удлинение или укорочение, в каком-либо направлении достигает такой величины, при которой идет разрушение как при простом растяжении – сжатии.
Условие прочности:
, (2.46)
где -наибольшая относительная деформация; - допускаемая относительная деформация.
, (2.47)
где - деформация, в направлении , переходя от деформации к напряжению (закон Гука) получим:
==, (2.48)
.
Из уравнения видно, что с допускаемым напряжением необходимо сравнивать комбинацию напряжений.
Вторая теория учитывает влияния всех трех главных напряжений и опытами подтверждается деформация хрупких материалов.
Третья теория прочности
Теория касательных напряжений
В качестве фактора определяющего прочность материала принимается величина наибольшего касательного напряжения. Предполагается, что предельное напряженное состояние наступит тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигнет опасного значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при растяжении.
,
где - допускаемое напряжение при растяжении.
. (2.49)
В третьей теории прочности подтверждается экспериментально деформация пластичных материалов.
Недостаток теории: она не учитывает главные напряжения , которые оказывают влияние на прочность материала. Третья теория прочности не применима для расчета деталей из хрупких материалов.
Четвертая теория прочности
Предельное (опасное) состояние наступает в тот момент, когда на некоторой площадке возникает наиболее неблагоприятная комбинация касательных и нормальных напряжений.
Условие прочности имеет вид:
, (2.50)
где - коэффициент, равный отношению предельных напряжений при осевом растяжении и сжатии.
Для пластичных материалов =1.
Теория прочности Мора совпадает с третьей теорией.
Ее недостаток состоит в том, что она не учитывает влияния на прочность напряжения .
Пятая теория прочности Мора
Энергетическая теория формоизменения
В качестве критерия прочности в данном случае принимается количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленных деформацией элементов. Переход материала в предельное состояние происходит, когда величина удельной потенциальной энергии формоизменения достигнет значения соответствующее предельному состоянию данного материала.
(2.51)
где -удельная потенциальная энергия формоизменения;
-допускаемая потенциальная энергия формоизменения.
- для общего вида
, (2.52)
Для случая кручения и изгиба:
. (2.53)
2.6.6. Изгиб с кручением
Рис. 2.43. Изгиб с кручением
Возьмем стальной брус круглого поперечного сечения, который нагружен двумя парами сил, таким образом, что плоскость действия первой перпендикулярна оси бруса, а плоскость действия второй проходит через ось бруса (рис. 2.43). Тогда момент Т1 первой пары скручивает брус, а момент Т2 второй пары его изгибает. При таком нагружении бруса в его поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора – крутящий Мк и изгибающий Ми моменты, причем по всей длине бруса Мк= Т1, а Ми= Т2.
Выразим эквивалентные напряжения через касательные и нормальные напряжения в поперечном сечении бруса по третьей и пятой теории:
; . (2.54)
Арифметическое значение корней в числителях этих формул иногда называют эквивалентным моментом, и обозначают Мэ. Используя это обозначение, условие прочности запишем в таком виде:
. (2.55)
При этом надо иметь в виду, что при пространственном нагружении вала, например в вертикальной и горизонтальной плоскостях, будут возникать два изгибающих момента – Мх и Му , тогда изгибающий момент Ми будет равен:
. (2.56)
2.6.7. Пример расчета вала на изгиб с кручением
Вал передает мощность Р при угловой скорости вращения ω. Определите диаметр опасного сечения вала, несущего шкив ременной передачи диаметром d1 и зубчатое колесо с косыми зубьями диаметром d2. Натяжение ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения ведомой F1 = 2F2. В зацеплении на зубчатое колесо действуют силы: окружная Ft, направленная по касательной к делительной окружности колеса, осевая Fa, направленная параллельно оси вала, и радиальная Fr – направленная по радиусу к центру зубчатого колеса. Материал вала – сталь 45, [σ] = 65 МПа. Расчет выполнить, используя гипотезу наибольших касательных напряжений. Принимаем Fr = 0,38Ft, Fa = 0,2Ft.
Числовые данные варианта взять из приложения 15, схему варианта из приложения 16.
Исходные данные.
|
Диаметр, мм |
Мощность, кВт |
Угловая скорость, рад/с |
Длина, м |
Угол, град |
|
|
d1 |
d2 |
Р |
|
а |
α |
|
850 |
400 |
80 |
70 |
0,1 |
25 |
Решение:
1. Составляем расчетную схему вала (рис. 2.44.).
Точка С. Перенесем силы F1 и F2, действующие на шкив 1 параллельно самим себе к продольной оси вала, присоединив при этом пары сил с моментами F1·d1/2 и F2·d2/2. Имеем центральную силу F= F1+F2·= 3F2, изгибающую вал в плоскости под углом α к горизонтальной плоскости и скручивающий момент
Ме1 = F1·d1/2 – F2·d2/2 = 2·F2·d1/2 – F2·d1/2 = F2·d1/2
Точка D. Проведем к оси вала силы, действующие на зубчатое колесо 2:
перенесем силу Ft параллельно самой себе на ось вала, присоединив при этом момент пары сил равный Ft·d2/2. Моментом пары является вращающий момент М2, а центральная сила Ft изгибает вал в горизонтальной плоскости. Кроме силы Ft действуют сила Fr, изгибающая вал в вертикальной плоскости и сила Fa, перенесенная на ось вала с присоединенной противонаправленной силой Fa создает изгибающий момент в вертикальной плоскости равный Fa·d2/2.
Для дальнейших расчетов представим вал как балку на двух опорах, рассматривая подшипники А и В как шарнирные опоры, одна из которых имеет продольную неподвижность.
2. Определяем момент, передаваемый валом, по заданной мощности Р и угловой скорости ω:
М = Р/ω = 80·103/70 = 1142,9 Н·м
Крутящий момент в сечениях вала на участке CD определяем методом сечений: Мк = М
Рис. 2.44. Расчет на изгиб с кручением
3. Определяем силы натяжения ремней и силы, возникающие в зацеплении зубчатой передачи. Из равенства вращающих моментов М= М1= М2 находим силу натяжения ветвей ременной передачи:
F2 = 2·М/d1 = 2·1142,9/0,85 = 2689 Н
F1= 2·F2=5378 Н
Силы в зацеплении зубчатого колеса:
Окружная сила Ft = 2M/d2 = 2·1142,9/0,4 = 5714,5 Н
Радиальная сила Fr = 0,38·Ft = 0,38·5714,5 = 2171,5 Н
Осевая сила Fa = 0,2·Ft = 0,2·5714,5 = 1142,9 Н.
4. Определяем силы изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях и строим эпюры изгибающих моментов. Силы в зацеплении зубчатой передачи действуют строго в горизонтальной (Ft) и вертикальной (Fa, Fr) плоскостях.
На шкиве силы натяжения ремня действуют под углом α, поэтому их равнодействующую раскладываем на горизонтальную и вертикальную составляющие:
F = F1 + F2 = 5378 + 2689 = 8067 Н
Fx = F·cos 25° = 7311 Н
Fy = F·sin 25° = 3409 Н
Рассмотрим изгиб вала в горизонтальной плоскости. Находим реакции опор RAX и RBX
Σ МА = 0 -Fx·2,5a + RBX ·2а + Ft·a = 0
RBX = (2,5·Fx – Ft)/2 = (2,5·7311 – 5714,5)/2 = 6281,5 H
Σ МВ = 0 RAX·2a – Ft·a – Fx·0,5a = 0
RAX = (Ft + 0,5·Fx)/2 = (5714,5 + 0,5·7311)/2 = 4685 H.
Проверка Σ Fix = 0
- RAX + Ft + RBX- Fx = 0
- 4685 + 5714,5 + 6281,5 – 7311 = 0 0 = 0
Строим эпюру изгибающих моментов
1:1 M1=0 ;
2:2 M2= - RAX·а = - 4685·0,1 = - 468,5 Нм
3:3 M3=M2 = -468,5 Hм
4:4 M4= - RAX·2а+ Fta = - 4685·0,1+5714,5·0,1= - 365,5 Hм
(рассматриваем правую сторону)
5:5 M5=-Fx·a·0,5 = - 7311·0,1·0,5 = - 365,5 Hм
6:6 M6=0
Вычислим реакции опор RAY и RBY
Σ МА = 0 - Fr·a – Fa·0,5d2 + RBу·2а – Fy·2,5a = 0
RBY = (2171,5·0,1+1142,9·0,5·0,4+3409·2,5·0,1)/2·0,1 = 6489,9 Н
Σ МВ = 0 RАу·2а + Fr·a – Fa·0,5d2 – Fy·0,5a = 0
RAY = (-2171,5·0,1+1142,9·0,5·0,4+3409·0,5·0,1)/2·0,1 = 909,4 Н
Σ Fiу = 0 - RАу – Fr- Fy + RBу = 0
-909,4 - 2171,5 – 3409 – 6489,9 = 0; 0 = 0
Строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости:
1:1 M1=0
2:2 M2=- RAY·а = - 909,4·0,1 = - 90,9 Нм
3:3 M3=- RAY·а+Fa·d2/2= - 90,9+1142,9·0,4/2 = 137,6 Hм
4:4 M4= - RAy·2а- Fra+ Fa·d2/2= - 909,4·0,1·2+2171,5·0,1+1142,9·0,4/2 = -170,9 Hм
(рассматриваем правую сторону)
5:5 M5= - Fy·a·0,5=-3409·0,1·0,5 = - 170,9 Hм
6:6 M6=0
Строим суммарную эпюру изгибающих моментов:
МИ =
1:1 М1 = 0
2:2 М2 = = 477,2 Нм
3:3 М3 = = 488,3 Нм
4:4 М4 = = 403,3 Нм 5:5 М5 = M4 = 403,3 Hм 6:6 М6 = 0
Определим положение опасного сечения, анализируя эпюры суммарного изгибающего МИ и крутящего МК моментов. Это сечение 3:3 в точке D.
5. Определяем диаметр вала. Расчет производим для опасного сечения. Эквивалентный момент в опасном сечении посчитываем с использованием гипотезы наибольших касательных напряжений:
МэквD = = = 1242,8 Нм
Диаметр вала из условия прочности при изгибе с кручением:
σmax = Мэ/Wx ≤ [σ], Wx = π·d3/32 = 0,1·d3
d = = = 57,6 мм.
Учитывая ослабление вала шпоночными канавками, округляем диаметр до большей стандартной величины.
Принимаем d = 60мм.
2.7. Устойчивость сжатых стержней
Стержень при сжимающей осевой силе, меньше критического значения находится в состояние устойчивого равновесия (рис. 2.45. а).
а. б. в.
Рис. 2.45.Устойчивость сжатых стержней.
При значении сжимающей силы, превосходящем определенную величину прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и сменяется криволинейной формой равновесия, которая оказывается при этом устойчивой (рис. 2.45. б).
Наименьшее значение сжимающей силы, при которой сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой (рис. 2.46. в). По определению Эйлера, критической называют силу требующуюся для самого малого наклонения колонны.
Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической, прогибы стержня будут небольшими. Но при приближении значения силы к критическому они начинают неограниченно возрастать. Этот критерий (неограниченный рост изгибов, при ограниченном росте сжимающей силы), принят за критерий потери устойчивости. В целях безопасности допускаемая нагрузка должна быть меньше критической:
, (2.57)
- коэффициент запаса устойчивости.
Формула Эйлера:
. (2.58)
где Е – модуль упругости; -наименьший из осевых моментов инерции сечения;
-приведенная длина стержня, , -коэффициент приведения длины стержня, коэффициент Ясинского.
Коэффициент Ясинского зависит от способа закрепления концов стержня (рис. 2.46.).
Рис. 2.46. Способы закрепления концов стержня.
, (2.59)
где - минимальный радиус инерции сечения, - гибкость стержня
Формула Эйлера справедлива только в пределах применимости закона Гука, т.е. до тех пор, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня, т.е. при условии:
отсюда . (2.60)
Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью:
. (2.61)
Таким образом, применимость формулы Эйлера определяется условием:
. (2.62)
Формула Эйлера применима только в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости того материала, из которого он изготовлен.
Формула Ясинского, применяется в случаях, когда не применима формула Эйлера.
, (2.63)
где a, b – коэффициенты, зависящие от материала (определяются экспериментально)
2.8. Усталостное разрушение
При действии на детали машин повторных переменных нагрузок происходит их разрушение в результате постепенно развивающихся трещин, они называются трещинами усталости.
Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. При повторных – переменных нагрузках появляется наклеп, и повышается хрупкость материала. Затем способность материала к упрочнению исчерпывается и возникает микротрещина. Возникающая трещина сама становится концентратором напряжения и с учетом увеличивающегося ослабления сечения становится местом окончательного разрушения.
Усталость – накопление необратимых изменений в материале при приложении циклических нагрузок.
Разрушение в результате постепенного развития трещины – усталостное разрушение.
Выносливость материала – способность материала сопротивляться разрушению при действии циклических нагрузок.
Цикл – однократная смена напряжения.
Рис. 2.47. Предел выносливости
Наибольшее значение максимального по величине напряжения цикла, которому материал может сопротивляться без разрушения неограниченно долго, называется пределом выносливости (рис. 2.47.).
Контроль знаний студентов осуществляется на рубежных контролях в виде компьютерного тестирования, список тестовых вопросов приведен в приложении 9.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
3.ДЕТАЛИ МАШИН
3.1. Основные понятия
Детали машин – научная дисциплина, в которой изучают теорию, расчет и конструирование составных частей машин.
В курсе дисциплины Деталей машин изучают расчет и конструирование деталей машин общего назначения, т.е. присущих всем машинам.
Деталь – это часть машины, выполненная из однородного материала, без сборочных операций.
Узел – часть машины представляющая собой законченную сборочную единицу и состоящую из ряда деталей имеющих общее функциональное назначение.
Требования к современным машинам:
1) Повышение производительности, 2) Снижение удельной мощности (энергоемкости) повышения КПД, 3) Автоматизация, 4)Стандартизация и унификация, 5) Снижение материалоемкости и стоимости изготовления, 6) Надежность.
Надежность – это вероятность безотказной работы в течение заданного срока службы в определенных условиях
Основные свойства надежности машин.
Работоспособность – состояние изделия, при котором оно способно нормально выполнять заданные функции с параметрами, заданными нормативно-технической документацией.
Долговечность – это свойство изделия сохранять работоспособность до достижения предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.
Отказ – это событие, заключающееся в полной или частичной утрате работоспособности.
Показатели безотказности работы: наработка на отказ (среднее время работы между отказами), вероятность безотказной работы (вероятность того, произойдет ли отказ изделия за определенное время), интенсивность отказов (количество отказов в единицу времени) и параметр потока отказов (среднее количество отказов исследуемого изделия в единицу времени).
Этапы создания машин: 1) Разработка технического задания, 2) На основе тех. задания разрабатывается техническое предложение, 3) После утверждения технического предложения разрабатывается эскизный проект, 4) Разработка технического проекта, 5) Разработка рабочей документации и изготовление опытного образца или опытной партии, 6) Испытания опытной партии и внесение изменений в рабочую документацию.
Основная роль конструктора в создании машин связана с разработкой конструкции, включающей наиболее передовые и рациональные решения, в максимальной степени соответствующие назначению машины, требованиям по производительности, экономичности, надежности.
Роль технологов в процессе создания машин заключается в обеспечении при изготовлении всех требований заключенных в документацию конструкторов, а также исправление дефектов производства.
Роль эксплуатационника – соблюдение условий эксплуатации машины, принятой системы технического обслуживания и ремонта, выявление неучтенных конструктором вариантов и режимов работы и путей совершенствования машин.
3.2. Критерии работоспособности деталей
За критерии работоспособности принимают требования к детали, без удовлетворения которых нормальная работа детали, машины, узла невозможна.
1) Прочность – свойство деталей в заданных условиях воспринимать приложенные нагрузки без разрушения или недопустимых пластических деформаций.
Наиболее распространенным методом оценки прочности является сравнение действующих и допускаемых напряжений и коэффициента запаса прочности:
, , (3.1)
где - допускаемое или безопасное напряжение для данной детали, выполненной из определенного материала.
Напряжение – сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения детали.
Измеряется в Па = Н/м2
Факторы от которых зависит прочность: 1) Материал детали, 2) Термообработка, 3) Вид и характер нагрузки, 4) Состояние поверхности, 5) Точность изготовления.
2) Жесткость – способность детали сохранять размеры и форму под приложенной нагрузкой
3) Устойчивость – критерий работоспособности длинных и тонких стержней или аналогичных им деталей, а также корпусов и оболочек находящихся под внешним или внутренним давлением.
4) Износостойкость – способность деталей сохранять размеры в условиях трения рабочих поверхностей.
5) Теплостойкость и вибростойкость - способность деталей сохранять свои размеры и свойства под действием температур и вибраций.
3.3. Выбор допускаемых напряжений
От выбора допускаемого напряжения зависит прочность детали и ее металлоемкость. При его выборе с запасом можно получить большие размеры и металлоемкость деталей. Если же их принимать наименьшими, то возможны аварийные ситуации.
Допускаемым называется максимальное напряжение, при котором выполняются критерии работоспособности детали.
Существует 2 метода определения допускаемых напряжений: табличный и дифференциальный. Табличный способ заключается в отыскании допускаемого напряжения в специальных таблицах, составленных для различных материалов и видов нагружения детали.
В наиболее ответственных случаях применяют дифференциальный метод, заключающийся в расчете допускаемого напряжения по формуле, учитывающей различные факторы, влияющие на прочность детали.
В общем случае:
. (3.2)
3.4. Неразъемные соединения
Неразъемные соединения – это соединения, которые можно разобрать только после частичного или полного разрушения соединяемых деталей (заклепочные, сварные, клеевые, с гарантированным натягом).
3.4.1. Сварные соединения
Основаны на использовании сил молекулярного сцепления, возникающих между частицами соединяемых деталей при сильном местном их нагреве (сварка плавлением) или доведение их до пластичного состояния давлением (сварка давлением).
Преимущества: малая трудоемкость процесса изготовления деталей и сборочных единиц; экономия металлов и дешевизна; компактность; технологичность.
Недостатки: остаточные напряжения в сварных деталях (возможно их коробление); плохое восприятие переменных и вибрационных нагрузок; сложность контроля качества шва.
Классификация сварных соединений и сварных швов
В зависимости от расположения свариваемых деталей: стыковые (а, б, е, з, м), тавровые (и, к), нахлесточные (г, д), угловые (в) (Рис. 3.1).
Стыковые швы: по форме подготовленных кромок – без скоса кромок (при толщине свариваемых деталей до δ= 8 мм), V – образные (до δ = 16 мм, Х – образные, U – образные (до δ =40 мм).
Угловые сварные швы: по форме подготовленных кромок – без скоса кромок, со скосом одной кромки (е, ж), со скосом двух кромок (з, к); по расположению относительно действующей силы – лобовые (швы расположены перпендикулярно действию силы; фланговые - ….параллельно действующей силе; наклонный (косой); комбинированные.
В тех случаях, когда прочности лобовых и фланговых швов недостаточно применяют прорезные, проплавочные и пробочные швы.
Рис. 3.1 Схемы сварных швов.
Расчет на прочность сварных швов и соединений
Стыковые сварочные швы (Рис. 3.2). При расчетах за параметры стыкового шва принимают ширину шва В и толщину δ деталей, утолщением шва пренебрегают.
, (3.3)
где σ'р и [σ'р] – расчетное и допускаемое напряжения материала шва.
Рис. 3.2 Схема стыкового шва.
Расчет стыкового шва при действии момента (Рис. 3.3).
. (3.4)
Рис. 2.3. Схема стыкового шва при действии момента.
Отношение [σ'] к допускаемому напряжению для основного металла является коэффициентом прочности сварного соединения встык
= (0,8…1,0). (3.5)
Расчет на прочность угловых сварных швов
Основной геометрической характеристикой углового шва является катет шва. Обычно к = δ. Разрушение происходит по медиане, проведенной к гипотенузе h = 0,707 к = 0,7 δ (Рис. 3.4).
Основное уравнение прочности:
, (3.6)
где τ'с – расчетное напряжение среза,
F – сила действующая на шов,
к – катет шва,
l – длина сварного шва,
[τ'с] – допускаемое напряжение на срез материала шва.
Рис. 3.4. Схема углового шва.
3.4.2. Соединения с гарантированным натягом
Соединения, образующиеся за счет натягов посадочной поверхности в результате соединения втулки с валом имеющих разность размера сопрягаемых поверхностей, обеспечивают гарантированный натяг.
Взаимная неподвижность соединяемых деталей обеспечивается силами трения, возникающими на поверхности контакта деталей.
По способу сборки соединения с гарантированным натягом классифицируются: а) соединения полученные прессованием, б) с нагревом охватывающей детали, в) с охлаждением охватываемой детали.
Преимущества: простота конструкции, хорошее центрирование соединяемых деталей, возможность восприятия больших переменных и знакопеременных нагрузок.
Недостатки: Сложность сборки и разборки соединения, необходимость высокой точности изготовления, возможность повреждения соединяемых деталей при сборке.
Расчет на прочность соединения с гарантированным натягом
Эквивалентное напряжение для охватывающей детали:
, (3.7)
где [σр] – допускаемое напряжение растягиваемой детали,
d – посадочный диаметр (Рис. 3.5).
Для охватываемой детали:
, (3.8)
Рис. 3.5. Схема соединения с гарантированным натягом
3.4.3. Клеевые соединения
Неразъемные соединения элементов конструкции образованные с помощью тонкой клеевой прослойки называется клеевыми (Рис. 3.6). Эти соединения образуются за счет сил адгезии (сцепления) в процессе затвердевания клея.
Преимущества: Компактность и простата, возможность соединения тонкостенных деталей, возможность склеивания разнородных материалов, герметичность, не ослабляется сечение соединяемых деталей.
Недостатки: старение, возникающее с течением времени и снижение прочности соединения, ограниченная теплостойкость, выдержка в определенных условиях, необходимых для образования соединения.
Расчет на прочность внахлест производится по напряжению среза:
, (3.9)
где F - растягивающая сила,
В - ширина клеящего слоя,
l - длина клеящего слоя
Рис.3.6. Клеевое соединение
3.4.4. Соединения пайкой
Соединение пайкой образуется в результате химических связей материала деталей и присадочного материала, называемого припоем (Рис. 2.7). Температура плавления припоя (например, олова) ниже температуры плавления материала деталей, поэтому в процессе пайки детали остаются твердыми. Нагрев припоя и деталей при пайке осуществляется паяльником, газовой горелкой и т.д.
Расчет на прочность паяных соединений аналогичен расчету клеевых соединений.
Рис.3.7. Соединение пайкой
3.4.5. Клепанные соединения
Применяются для соединения изделий из листового материала или проката, в конструкциях работающих в условиях ударных или вибрационных нагрузок; при небольших толщинах соединяемых деталей; для скрепления деталей из различных материалов; деталей, не допускающих нагрева или не свариваемых (Рис. 3.8).
Рис.3.8. Клепанное соединение
Расчет на прочность:
, (3.10)
где - коэффициент прочности заклепочного шва.
3.5. Разъемные соединения
Разъемными являются соединения, которые позволяют производить многократную сборку и разборку без повреждения соединяемых деталей (резьбовые, шпоночные, штифтовые и др).
3.5.1. Резьбовые соединения
Это соединения, осуществляющиеся посредством резьбы.
Преимущества: Надежность, простота изготовления и контроля, удобство сборки и разборки без ухудшения качества соединения, практически любая степень затяжки.
Недостатки: наличие концентрации напряжений в резьбовых деталях, некоторые усложнения конструкции, для ходовых резьб относительно низкий КПД.
Основными деталями резьбовых соединений являются: болты, винты, шпильки, гайки.
Методы изготовления резьбы:
1) Нарезка вручную (метчиками, плашками), 2) Нарезка на токарно-винторезных станках, 3) Фрезерованием на резьбофрезерных станках, 4) Накатка на резьбонакатных станках – автоматах, 5) Литьем на деталях из стекла и пластмассы, 6) Выдавливанием на тонкостенных деталях.
Классификация резьб: 1) По форме основной поверхности – цилиндрическая и коническая, 2) По форме профиля резьбы – треугольная, прямоугольная, трапециидальная и круглая, 3) По направлению винтовой линии – левая и правая, 4) По числу заходов – одно, 2-х и многозаходная, 5) По назначению – крепежные и ходовые.
Крепежные резьбы: 1) Метрические (а), 2) Дюймовые (б), 3) Трубная – треугольная резьба со скругленными вершинами, 4) Круглая (в) (Рис.3.9).
а) б) в)
Рис.3.9. Крепежные резьбы
Ходовые резьбы – прямоугольная (а), трапециидальная симметричная (б), трапециидальная не симметричная (упорная) (в) (Рис.3.10).
а) б) в)
Рис.3.10. Ходовые резьбы
Расчет болтов и шпилек при действии статических нагрузок
Разрушение болтов, винтов и шпилек обычно происходит вследствие разрыва по резьбе стержня.
Ненапряженным называется болтовое соединение, в котором до приложения или снятия основной нагрузки напряжение в стержне болта отсутствует (болтовое соединение свободное).
Напряженным называется болтовое соединение, в котором до приложения или снятия основной нагрузки в стержне болта имеются местные напряжения от предварительной затяжки (Рис.3.11).
Рис. 3.11. Болтовое соединение
Основное уравнение прочности будет иметь вид:
, (3.11)
где σр и [σр] – расчетное и допускаемое напряжения материала болта,
Fр – осевая растягивающая сила,
d1 – внутренний диаметр резьбы болта.
Способы стопорения резьбовых соединений
а) повышение или стабилизация трения в резьбе: - пружинная шайба (а),
б) контргайка, обжатие гайки, вворачивание штифта (в).
в) гайку жестко соединяют с деталью (сваркой) (б).
г) гайку жестко соединяют со стержнем болта (штифт) (г) (Рис.3.12.).
а) б) в) г)
Рис.3.12. Способы стопорения резьбовых соединений
3.5.2. Шпоночные соединения
Шпоночные соединения служат для закрепления деталей на осях и валах. Такими деталями являются шкивы, зубчатые колеса, муфты и д.р.
Шпонки бывают: клиновые, призматические и сегментные (Рис.3.13).
Наиболее распространенными являются соединения призматическими шпонками. Во многих случаях посадка ступицы на вал производится с натягом. Момент передается с вала на ступицу боковыми узкими гранями шпонки. при этом на них возникают напряжения смятия σсм, а в продольном сечении шпонки – напряжения среза τ. Для простоты расчета допускают, что шпонка врезана в вал наполовину своей высоты, напряжения σсм распределяются равномерно по высоте и длине шпонки.
Рассматривая равновесие вала или ступицы при таких допущениях, получим условия прочности в виде:
, (3.12)
. (3.13)
Рис.3.13. Типы шпонок.
Преимущества: простота конструкции и низкая стоимость, возможность взаимозаменяемости.
Недостатки: соединение ослабляет вал и ступицу шпоночными пазами, концентрация напряжений в зоне шпоночной канавки, прочность соединения, как правило, ниже прочности вала и ступицы.
3.5.3. Шлицевые соединения
Шлицевыми называются разъемные соединения составных частей изделия с применением пазов (шлицев) и выступов (Рис. 3.14). Шлицевое соединение можно представить как многошпоночное, у которого шпонки выполнены за одно с валом. Шлицевые соединения бывают подвижные и неподвижные.
Рис. 3.14. Шлицевые соединения
Достоинства: простота конструкции, большая нагрузочная способность, высокая надежность при динамических нагрузках, лучшее центрирование соединенных деталей.
Недостатки: высокая трудоемкость и стоимость изготовления.
3.5.4. Клиновые, штифтовые и профильные соединения
Клиновыми называются соединения с применением детали имеющей форму клина (Рис.3.15).
Клиновые соединения подразделяют на установочные (предназначенные для регулирования и установки нужного взаимного положения деталей) и силовые (предназначенные для соединения деталей).
Рис.3.15. Клиновое соединение
1, 3 – Соединяемые детали; 2 – Клин.
Достоинства: простота и надежность конструкции, возможность создания и восприятия больших усилий, быстрота сборки и разборки.
Недостатки: ослабление сечений соединяемых деталей и концентрация напряжений.
Штифтовыми называются соединения составных частей изделия с применением штифта (Рис.3.16).
Рис.3.16. Штифтовое соединение
1, 3 – Соединяемые детали; 2 – Штифт.
Достоинства: простота конструкции, технологичность и низкая стоимость.
Недостатки: ослабление сечения вала отверстием и связанная с этим концентрация напряжения.
Профильными называются соединения, у которых сопрягаемые поверхности составных частей изделия имеют форму определенного профиля (соединения ступицы с валом овального, квадратного и других форм).
Они аналогичны шпоночным и штифтовым соединениям, но имеют свои преимущества вследствие отсутствия резких переходов в форме сечения.
3.6. Основные конструкционные материалы
Одним из основных факторов определяющих надежность любого оборудования является выбор материалов деталей в процессе конструирования.
В настоящее время для изготовления деталей различного оборудования используется широкий спектр природных и синтетических материалов, среди которых чаще всего используют стали, цветные материалы и их сплавы, порошковые и композиционные материалы, пластмассы, стеклокерамические материалы и др.
3.6.1. Классификация конструкционных материалов
Металлы: черные и цветные.
Черные – сплавы – чугуны (серый, белый, обыкновенный, качественный, легированный, модифицированный) стали – углеродистые, инструментальные, легированные, специальные.
Цветные – сплавы и металлы.
Сплавы – латунь, бронза, силумин, дюралюминий и др.
Металлы – медь, алюминий, никель, хром, титан, свинец, цинк, серебро и др.
Неметаллы: древесина, лакокрасочные материалы, стекло и керамика, клеи, резины, пластмассы.
Резина – обычная, бензомаслостойкая, кислотоустойчивая и ваккумная.
Подробнее: Чугун – это сплав железа и углерода с содержанием углерода более 2%.
Используется для изготовления неответственных деталей, а также деталей подвергающихся интенсивному абразивному и коррозионному процессам.
Обозначение – СЧ 15, где 15 – предел прочности при растяжении, МПа
Стали – сплав железа и углерода с содержанием углерода до 2%.
Конструкционные стали подразделяются на углеродистые и легированные.
Углеродистые подразделяются на стали обыкновенного качества и стали специального назначения. Стали обыкновенного качества используют для изготовления малонагруженных деталей. Обозначаются – Ст.0…Ст.6.
Углеродистые стали повышенного качества применяют для изготовления ответственных деталей Сталь 10…65, где 10…65 % содержание углерода в сотых долях процента.
Высокоуглеродистые стали – У7 – У10 применяют для изготовления рабочих органов машин.
Легированные стали используются для изготовления ответственных деталей, подверженных интенсивному абразивному изнашиванию и воздействию агрессивных сред.
Нержавеющие стали – стали с высоким содержанием хрома, никеля и др. элементов.
Пример: Сталь 20ХН3А – 0,2% углерода, 1% хрома, 3% никеля, буква А – означает, что сталь высококачественная (содержит примесей менее 0,025%).
Легирующие элементы: В – вольфрам, Г – марганец, Д – медь, К – кобальт, Н – никель, М – молибден, Р – бор, Х – хром, С – кремний.
Цветные металлы и сплавы – наиболее распространены цветные сплавы на основе алюминия и меди. Алюминиевые сплавы – на литейные АЛ и АК и деформируемые АД, Д1, Д16. Используются для изготовления корпусов маломощных редукторов, фланцев, кронштейнов и др.
Медные сплавы – медно-цинковые – латуни, оловянистые – бронза.
Латунь – сплав меди, цинка и легирующих элементов.
Бронза – сплав меди с оловом, железом, свинцом и рядом других компонентов при отсутствии цинка. Например - БрА10Ж3Мц2
Латуни также разделяются на литейные ГОСТ 1711 и деформируемые ГОСТ 15527.
Латуни и бронза применяются для изготовления деталей контактирующих с агрессивными средами, для изготовления радиаторов, втулок, подшипников скольжения.
Пластмассы – являются новыми материалами, применение которых в машиностроении все более расширяется. Из пластмасс можно получать изделия почти любой сложной формы высокопроизводительными методами. Второе преимущество пластмасс это сочетание легкости и высокой прочности – удельной прочности, что позволяет широко использовать их в конструкциях вес которых имеет особо важное значение (авиация, автомобилестроение). В других отраслях машиностроения пластмассы применяют для производства корпусных деталей, а также зубчатых колес, шкивов, вкладышей подшипников и т. д.
Главным недостатком, пока еще не устраненным, является их склонность к старению, которое сопровождается изменением характеристик и даже размеров в процессе эксплуатации.
3.7. Термическая обработка
Термической обработке подвергаются стали. Она заключается в нагреве материала (I) до температуры структурных преобразований, выдержки (II) в течение заданного времени и охлаждения (III) (Рис.3.17).
Рис.3.17. Термическая обработка
3.7.1. Виды термических обработок
Отжиг – характеризуется медленным охлаждением после нагрева и выдержки, применяется с целью снижения твердости материала и улучшения обрабатываемости резанием, а также с целью снятия остаточных напряжений.
Нормализация – охлаждение происходит на воздухе, применяется с целью получения однородной структуры с более высокой твердостью и прочностью. Используется с целью выравнивания структурной неоднородности металла.
Закалка – отличается высокой скоростью охлаждения. Металл приобретает мелкую зернистую структуру с высокой твердостью, прочностью и износостойкостью. Закалка бывает объемная (нагревается вся деталь) и поверхностная (только поверхностный слой). Поверхностную закалку проводят токами высокой частоты.
3.8. Химико-термическая обработка
При данной обработке изменяется химический состав поверхностных слоев детали (0,2-1,5 мм). Достигается повышение твердости, прочности, износостойкости.
Насыщение поверхностного слоя: С (углеродом) - цементация; (азотом) - азотирование; +С - цианирование; В (бором) - борирование.
3.9. Кинематические пары и цепи
Все машины и механизмы состоят из звеньев. Звено это материальное тело, входящее в состав механизма и подвижно соединенное с другими материальными телами, входящими в состав этого же механизма. Для соединения с другими материальными телами у каждого звена имеется специально оформленная часть, которая называется кинематическим элементом. Например – коленчатый вал (шейка), блок цилиндров – пастель, вал имеет специальное место под подшипник.
При взаимодействии 2-х кинематических элементов, образуется кинематическая пара, другими словами кинематическая пара это два кинематических элемента, по одному на каждое из 2-х звеньев.
Кинематические пары в машинах и механизмах бывают: в зависимости от вида движения: вращательные, поступательные, винтовые, вращательно – поступательные. По характеру соприкосновения – низшие, когда кинематические элементы соприкасаются по всей поверхности (поршень – гильза), высшие – когда соприкосновение осуществляется в точке или в линии (колесо трамвая – рельс, все зубчатые колеса).
Связанная система звеньев, образующая между собой кинематические пары называется кинематической цепью.
Кинематические цепи подразделяются на:
1) плоские и пространственные - у плоских траектории точек звеньев расположены в одной или нескольких параллельных плоскостях, у пространственных - траектории точек могут пересекаться и перекрещиваться.
2) простые и сложные – цепь называется простой, если каждое звено входит не более чем в две кинематические пары.
3) замкнутые и незамкнутые – большинство кинематических цепей в машинах замкнуты, кроме одной – это весы.
3.10. Передачи вращательного движения
Передача – устройство, главная функция которого передача энергии на расстояние, в зависимости от способа передачи энергии, они могут быть: механические, электрические, пневматические, гидравлические. В курсе деталей машин мы будем изучать только механические передачи вращательного движения.
Механической передачей называется механизм, который преобразует параметры движения источника энергии (двигателя) при передаче исполнительным органам, в этом случае передача осуществляет согласование параметров движения двигателя и исполнительного рабочего органа.
Передачи вращательного движения по способу соединения тел вращения бывают: 1) передачи с контактом тел вращения – зубчатые, червячные, фрикционные, винтовые, 2) передачи гибкой связью – ремённые и цепные; по способу передачи движения – передачи с зацеплением (зубчатые, червячные, цепные), трением – ременные и фрикционные.
3.10.1. Кинематические и силовые параметры передач
Это параметры, характеризующие вращательное движение элементов передач:
1) Частота вращения, n (об/мин), выражается через угловую скорость (рад/с):
, (3.14)
2) Крутящий момент на валу T, Нм
3) Окружная скорость (Н) – сила вызывающая вращение тел или сопротивление вращению и направленная по касательной к траектории точки ее приложения.
, (3.15)
4) Мощность на валу, Р, Вт:
; (3.16)
. (3.17)
3.10.2. Передаточное отношение и КПД механизма
Отношение угловых скоростей ведущих и ведомых тел называется передаточным отношением.
. (3.18)
Для одноступенчатого редуктора:
, (3.19)
Передаточное отношение привода состоящего из нескольких передач, расположенных последовательно, равно произведению передаточных чисел всех его передач.
, (3.20)
где n – число передач, входящих в привод.
КПД привода равен отношению мощности на ведомом и ведущем валах:
, (3.21)
В общем случае КПД привода состоящего из нескольких передач равен произведению КПД передач входящих в привод:
. (3.22)
3.10.3. Ременные и цепные передачи
Передача вращения посредством ремня, надетого на шкивы, называется ременной передачей (Рис. 3.18).
Рис. 3.18. Ременные передачи
Ременные передачи применяют преимущественно в тех случаях, когда по условиям конструкции валы расположены на значительных расстояниях или высокие скорости не позволяют применять другие виды передач.
Ременные передачи бывают: По форме поперечного сечения ремня: плоскоременные (а), клиноременные (б), круглоременные (г) а также передачи с зубчатыми ремнями (в, д, е) (Рис. 3.19).
а) б)
в г
д е
Рис. 3.19. Формы поперечного сечения ремней
Плоскоременные передачи более простые по конструкции, однако, клиноременные обладают большей нагрузочной способностью.
Ременные передачи по расположению осей валов подразделяются:
По способу натяжения ремня: с периодическим натяжением (перемещением опоры шкива); с автоматическим натяжением (натяжным роликам).
Преимущества ременных передач: 1) возможность больших межосевых расстояний, 2) плавность работы, гашение ударов за счет эластичности ремня и возможности проскальзывания, 3) простота конструкции и эксплуатации, 4) возможность передачи большого диапазона мощностей и скоростей, 5) относительно высокий КПД.
Недостатки: 1) относительно большие размеры передачи, 2) непостоянство передаточного отношения вследствие проскальзывания, 3) повышенная нагрузка на валы от натяжения ремня, 5) не долговечность ремней в среднем 2-3 тысячи часов работы.
Материал ремней: материал ремня должен обеспечивать надежность сцепления со шкивами и достаточную долговечность. Самые распространенные – резинотканевые ремни, кожаные, хлопчатобумажные цельнотканые, полимерные.
Клиновые ремни наиболее распространены и имеют трапециидальное сечение и выпускается 2-х типов: корд-шнуровые (а) и корд-тканевые (б) (Рис. 3.20). Корд шнуровые ремни более гибкие и долговечные поэтому применяются для более сложных условий работы.
а) б)
Рис. 3.20. Типы клиновых ремней
3.10.4. Расчет и проектирование ременных передач
Основными критериями работоспособности ременных передач являются: тяговая способность, определяемая силой трения между ремнем и шкивом; долговечность ремня, которая в условиях нормальной эксплуатации ограничивается разрушением от усталости (Рис. 3.21).
Геометрические параметры ременных передач: аw – межосевое расстояние передачи, d 1 и d2 – диаметры ведущего и ведомого шкивов, α1, α2 – угол обхвата ведущего и ведомого шкивов.
1) Передаточное отношение передачи:
. (3.23)
Рис. 2.21. Схема ременной передачи
С учетом скольжения ремня:
. (3.24)
где ξ(дзетта) – коэффициент скольжения ремня ξ = 0,01…0,02.
Передаточное отношение ременной передачи обычно не превышает шести;
2) Скорость ремня
. (3.25)
3) Угол обхвата меньшего шкива
. (3.26)
4) Длина ремня
. (3.27)
3.10.5. Силовые взаимодействия в ременной передаче
Окружная сила ременной передачи:
, (3.28)
где F1 – натяжение ведущей ветви,
F2 – натяжение ведомой ветви.
Р1 – мощность на ведомом шкиву,
V – скорость ремня,
кg – коэффициент динамической нагрузки.
Окружная скорость равна:
, (3.29)
Сила начального натяжения:
, (3.30)
где А – площадь поперечного сечения ремня,
σ0 - начальное напряжение в ремне.
, (3.31)
Решая совместно выражения (3.30) и (3.31) получим:
; (3.32)
. (3.33)
Уравнения (3.32, 3.33) представляют систему 2-х уравнений с тремя неизвестными, для его решения Эйлером было получено уравнение, представляющее собой зависимость между силой трения ремня о шкив и тяговой способностью передачи:
, (3.34)
где е = 2,71, f – коэффициент трения ремня о шкив, α - угол обхвата шкива ремнем.
Решая совместно уравнения (3.30) и (3.34) получим выражения:
, (3.35)
, (3.36)
. (3.37)
Формулы (3.36 и 3.37) устанавливают связь сил натяжения ветвей работающей передачи с величиной нагрузки Ft и факторами трения (f и α). Они позволяют также определить минимально необходимую величину предварительного натяжения ремня F0 , при которой еще возможна передача заданной нагрузки Ft:
Если: , (3.38)
то в передаче начнется буксование ремня.
Тяговая способность передачи характеризуется величиной максимально допустимой окружной силы Ft или полезного напряжения σF,учитывая формулы (3.34-3.36), можно сделать вывод, что допустимое по условию отсутствия буксования напряжение возрастает с увеличением напряжения от предварительного натяжения σ0:
. (3.39)
Практика показывает, что происходит значительное снижение долговечности ремня с увеличением σ0.
Силы натяжения ветвей ремня передаются на валы и опоры. Равнодействующая нагрузку можно определить по формуле:
. (3.40)
Обычно R в два, три раза больше окружной силы Ft.
3.11. Цепные передачи
Передача вращательного движения, основанная на зацеплении цепи и звездочек, называется цепной и является передачей гибкой связью.
3.11.1. Классификация цепных передач
По конструкции – втулочные, роликовые (а), зубчатые (б), фасонно – звенные (в) (Рис.3.22). Втулочные цепи могут быть одно и двух рядные, роликовые – одно, двух, трех рядные. Износостойкость роликовой цепи выше, чем втулочной. Зубчатые цепи – позволяют передавать большие нагрузки, однако имеют высокую стоимость и массу. Фасонно-звенные цепи – имеют небольшую стоимость и простую конструкцию, поэтому широко используется в с/х машиностроении.
а) б) в)
Рис.3.22. Конструкции цепей
По способу смазки цепи – периодическая смазка, капельная, картерная.
Преимущества цепных передач: 1) возможность передачи мощности на значительные расстояния, 2) постоянное передаточное число, 3) сравнительно небольшие нагрузки на валы, 4) большой диапазон передаваемых мощностей (до 100 кВт), 5) высокий КПД.
Недостатки: 1) сложность изготовления цепей и звездочек, 2)вытягивание цепей при эксплуатации, 3)необходимость смазки, подтягивания и др. ухода за цепью, 4) нежелательно применение цепных передач при ударных и резких колебательных нагрузках.
3.11.2. Расчет цепной передачи
Силовая схема цепной передачи аналогична силовой схеме ременной передачи (Рис.3.23). Следует различать: F1 и F2 – силы натяжения ведущей и ведомой ветвей цепи, Ft - окружная сила, F0 – сила предварительного натяжения. Для цепной передачи, работающей по принципу зацепления, величина F0 не имеет такого значения, как для ременной передачи.
Рис.3.23. Силовая схема цепной передачи
1) Передаточное число цепной передачи:
, (3.41)
где z1 и z2 – число зубьев ведомой и ведущей звездочек.
2) Передаточное отношение
, (3.42)
3) Скорость цепи.
, (3.43)
где р – шаг цепи, мм; n – частота вращения звездочки, об/мин; z – число зубьев звездочки.
4) Делительный диаметр звездочки:
, (3.44)
5) Межосевое расстояние передачи:
а = (30…50)р, (3.45)
6) Число звеньев цепи:
, (3.46)
Округляется до ближайшего целого числа.
7) Длина цепи:
l=zзвр, (3.47)
Основной критерий работоспособности приводных цепей это износостойкость их шарниров.
Расчет цепи на износостойкость производят по допускаемым давлениям в шарнирах цепи:
. (3.48)
где d1 и b3— соответственно диаметр валика и ширина внутреннего звена цепи;
[pц] – допускаемое давление в шарнирах цепи;
кэ – коэффициент эксплуатации.
3.12. Зубчатые передачи
Принцип действия зубчатой передачи основан на зацеплении зубчатой пары.
Меньшее зубчатое колесо, вращающееся с большей частотой вращения и имеющее меньшее число зубьев, называется шестерней. Ведомое зубчатое колесо, имеющее большее число зубьев и меньшую частоту вращения называется колесом.
Преимущества зубчатых передач: 1) возможность передачи практически любой мощности при широком диапазоне скоростей, 2) компактность, 3) надежность, 4) постоянство передаточного числа, 5) высокий КПД, 6) возможность изготовления из разнообразных материалов.
Недостатки: 1) ограниченность передаточного числа передачи, до 12,5, 2) относительная сложность изготовления, 3) при неточном изготовлении зубчатая передача является источником вибрации и шума.
3.12.1. Классификация зубчатых передач
1) По расположению осей валов – с параллельными, пересекающимися и скрещивающимися осями валов. 2) По форме зубчатого колеса – цилиндрические, конические, эллиптические 3) По форме зуба – прямозубые, косозубые, с круговыми зубьями, шевронные, 4) По взаимному расположению зубчатых колес – с внешним зацеплением и внутренним, 5) По форме профиля зуба – эвольвентные, циклоидальные, передачи Новикова – с круговым профилем зубьев.
Зубчатые передачи могут быть открытыми и закрытыми, силовыми и кинематическими, простыми и планетарными.
Способы изготовления зубчатых колес: литьем, накаткой зубьев на заготовке, нарезание зубьев на заготовке.
3.12.2. Геометрия эвольвентного зубчатого зацепления
Постоянное передаточное отношение зубчатой передачи достигается при определенной форме профиля зубьев. Наибольшее распространение получили эвольвентные профили зубьев. Эвольвентное зацепление обеспечивает высокую прочность зубьев, допускает некоторое изменение межцентрового расстояния при износе или погрешности изготовления.
Эвольвентой называется кривая, описываемая какой – либо точкой, лежащей на прямой, перекатываемой по окружности без скольжения (Рис. 3.24).
Рис. 3.24. Эвольвентное зацепление
3.12.3. Основные геометрические параметры зубчатой передачи
Основные геометрические параметры зубчатой передачи (Рис. 3.25): межосевое расстояние аw, число зубьев шестерни z1 и колеса z2, модуль m, передаточное число U = i.
Рис. 3.25. Геометрические параметры зубчатой передачи
Основные геометрические параметры зубчатого колеса (Рис. 3.26): модуль, диаметр делительной окружности d, впадин df, вершин da, основной dB, ширина b, высота зуба hа, число зубьев z.
Рис. 3.26. Геометрические параметры зубчатого колеса
Расстояние между одноименными профилями соседних зубьев по дуге окружности называется окружным шагом Pt.
Линейная величина в π раз меньше окружного шага зубьев называется окружным модулем зубчатого колеса.
. (3.49)
Все размеры зубьев цилиндрических зубчатых колес вычисляют по делительному нормальному модулю, который называется расчетным модулем зубчатого колеса или просто модулем. Значения модулей принимают по ГОСТу
Для цилиндрической прямозубой передачи существуют следующие зависимости:
- модуль – показывает сколько миллиметров делительной окружности зубчатого колеса приходится на 1 зуб:
. (3.50)
межосевое расстояние:
. (3.51)
высота зуба:
. (3.52)
где ha и c – соответственно коэффициенты высоты зуба и коэффициент
радиального зазора, в общем случае их принимают равными ha=1, с=0,25.
диаметр окружности впадин:
. (3.53)
диаметр окружности впадин:
. (3.54)
3.12.4. Элементы конструкции зубчатого колеса
1. Венец – часть ЗК, где расположены все зубья
2. Обод – часть ЗК, находящаяся между венцом и ступицей, служит для передачи крутящего момента от зубчатого венца к ступице.
3. Ступица – центральная часть зубчатого колеса с отверстием под вал, служит для соединения колеса с валом. (Рис. 3.27).
Рис. 3.27. Элементы конструкции зубчатого колеса
3.12.5. Материалы зубчатого колеса
Чугунные ЗК – СЧ 21….30.
Стальные ЗК – Ст.3…40, Сталь 40Х, 40ХН, 20ХГСА. Для повышения нагрузочной способности ЗК из углеродистой стали подвергают термообработке – улучшению, нормализации и поверхностной обработке – азотированию, закалке, цементации.
3.12.6. Силы, действующие зацеплении прямозубой цилиндрической передачи
Силовое взаимодействие колес заключается в передаче по линии NN силы нормального давления Fn. Р – полюс; NN – нормаль зацепления (линия давления); α - угол зацепления; Ft - окружная сила (Рис. 3.28).
Рис. 3.28. Схема сил
Окружная сила:
Ft = Fnּcos α. (3.55)
Радиальная сила:
Fr = Fnּsin α. (3.56)
3.12.7. Виды разрушения зубьев
Контактные напряжения сосредотачиваются в пятне контакта и вызывают усталостное выкрашивание поверхности зубьев (в). Напряжения в зубьях возникающие в результате действия изгибающего момента вызывают поломку зубьев у основания (а, б). Кроме усталостных видов разрушения возникает также износ зубьев связанный с недостаточной смазкой и действием абразивных частиц (г), а также заедание зубьев, возникающее при отсутствии смазки или ее выдавливании с поверхности зубьев при действии больших нагрузок (д) (Рис. 3.29). При заедании происходит условное сваривание поверхностей и отрыв поверхностных слоев зубьев зубчатой передачи.
Рис. 3.29. Виды разрушения зубьев
3.12.8. Расчеты на прочность
1. Проверка зубьев колес по контактным напряжениям σH, Н/мм2:
, (3.57)
где К – вспомогательный коэффициент,
- окружная сила в зацеплении, Н;
КHα – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями,
для прямозубых колес КHα=1;
КНβ – коэффициент неравномерности нагрузки по длине зуба,
для прирабатывающихся зубьев КНβ =1;
КHv – коэффициент динамической нагрузки, зависящий от окружной скорости колес и степени точности передачи,
uф – фактическое передаточное число.
2. Проверка по напряжениям изгиба зубьев шестерни σF1 и колеса σF2, Н/мм2:
, (3.58)
. (3.59)
где КFα – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями,
для прямозубых колес КFα=1;
КFβ – коэффициент неравномерности нагрузки по длине зуба,
для прирабатывающих зубьев колес КFβ=1;
КFv – коэффициент динамической нагрузки, зависящий от окружной скорости колес и степени точности передачи;
YF1 и YF2 – коэффициенты формы зуба шестерни и колеса определяются в
зависимости от эквивалентного числа зубьев шестерни и колеса;
Yβ – коэффициент, учитывающий наклон зуба, для прямозубых колес Yβ =1.
3.13. Червячные передачи
Рис. 3.30. Схема червячной передачи
Червячные передачи являются разновидностью передач с зацеплением и одним из вариантов винтовой зубчатой передачи (Рис. 3.30).
Здесь роль шестерни выполняет червяк, движение передается по принципу винтовой пары. Классификация червячных передач: 1) По числу заходов червяка – 1, 2-х и многозаходные (до 4-х). 2) По направлению – левая и правая резьба, 3) По расположению червяка относительно червячного колеса: с нижним, верхним, боковым расположением. 4) По форме нарезаемой части червяка – с цилиндрическим или глобоидным червяком (Рис. 3.31), 5) По форме профиля резьбы: цилиндрические,
эвальвентные, конволютные и др. В глобоидной передаче число зубьев червяка и колеса находящихся в зацеплении больше, поэтому ее несущая способность в 1,5-4 раза выше чем у цилиндрических, но она требует высокой точности изготовления.
Преимущества червячных передач: большое передаточное число, плавность и бесшумность работы, компактность и сравнительно малая материалоемкость, способность самоторможения.
Недостатки: низкий КПД = 0,7-0,8, ограниченность передаваемой мощности из за склонности к заеданию (до 200 кВт), необходимость отвода тепла из-за нагрева червяка и колеса, дороговизна материалов венцов червячного колеса.
3.13.1. Геометрические параметры червячной передачи
1) Основные размеры червяка:
делительный диаметр
d1=q m, (3.60)
начальный диаметр
dw1=m (q+2x) (3.61)
диаметр вершин витков
da1=d1+2m, (3.62)
диаметр впадин витков
df1=d1-2.4m, (3.63)
2) Основные размеры венца червячного колеса:
делительный диаметр
d2=dw2=mz2, (3.64)
диаметр вершин зубьев
da2=d2+2m(1+x), (3.65)
диаметр впадин зубьев
dF2=d2-2m (1,2-x). (3.66)
3.13.2. Силы, действующие в червячном зацеплении
В червячном зацеплении действуют (Рис. 3.32):
1) окружная сила червяка Ft1, равна осевой силе колеса Fа2:
, (3.67)
Рис. 32. Силы, действующие в червячном зацеплении
2) Окружная сила колеса Ft2, равная осевой силе червяка Fа1:
, (3.68)
3) Радиальная сила:
. (3.69)
где α – угол зацепления червячной пары.
3.13.3. Расчет на прочность
1) По контактным напряжения зубьев колеса σH, Н/мм2
, (3.70)
где – окружная сила на колесе, Н;
К – коэффициент нагрузки.
Принимается в зависимости от значения окружной скорости колеса.
2) По напряжениям изгиба зубьев колеса σF, Н/мм2:
. (3.71)
где YF2 – коэффициент формы зуба, (определяется в зависимости от
эквивалентного числа зубьев колеса);
b2 – ширина венца колеса.
3.13.4. Материалы червяков и червячных колес
Червяки силовых передач изготавливают из углеродистых и легированных сталей – Ст.35, Ст.40, Ст.40Х, Ст.40ХН и подвергают закалке или Ст.12ХН2 – которая подвергается цементации.
Червячные колеса – при высокой скорости зацепления венцы изготавливают из бронзы: БрОФ10, БрОФН. При скорости зацепления менее 6 м/с из менее дорогой БрАЖ9.
3.14. Оси, валы
Оси и валы – служат для поддержания вращения деталей передач. Оси могут быть подвижными и неподвижными. Валы наряду с поддержанием вращения выполняют еще функцию передачи крутящего момента.
3.14.1. Классификация валов
1) По назначению: валы передач и коренные валы; 2) По форме: прямые, коленчатые (в), гибкие (г), 3) По конструкции – гладкие (а) и ступенчатые (б), сплошные и полые (Рис. 33).
а) б)
в) г)
Рис. 33. Виды валов
Участки осей и валов, которыми они опираются на подшипники при восприятии радиальных нагрузок, называют цапфами, а при восприятии осевых нагрузок называют пятами. Пяты могут быть круглыми, кольцевыми, гребенчатыми, а также концевыми (а) и кольцевыми (б) (Рис. 3.34).
Концевые цапфы, работающие в подшипниках скольжения называют шилами, а цапфы расположенные на некотором расстоянии от концов вала называют шейками. Цапфы осей и валов могут быть цилиндрическими и сферическими.
а) б)
Рис. 3.34. Концевая (а) и кольцевая (б) пяты
Плавный переход одной ступени вала к другой называется галтелью (Рис. 3.35). Галтели могут быть постоянного радиуса (а) и переменного радиуса (б).
а) б)
Рис. 3.35. Схемы галтелей
Детали на валах фиксируются следующими способами:
1) Посадкой с натягом (за счет разности размеров отверстия и вала) (а); 2) Упором в бурт (б); 3) Упором в бурт в сочетании с гайкой (в); 4) Пружинными кольцами (г); 5) Штифтовым соединением (д); 6) Стопорным винтом (е) (Рис. 3.36).
Фаски служат для облегчения установки деталей на валу и притупления острых кромок.
а) б) в) г)
д) е)
Рис. 3.36. Осевое фиксирование деталей на валах.
3.14.2. Материалы осей и валов
|
Марка сталей |
Область применения |
|
Стали обыкновенного качества Ст.5, Ст.6 по ГОСТ 380-94 |
Малонагруженные оси и валы без термообработки |
|
Малоуглеродистые конструкционные стали: - качественные 15, 20 по ГОСТ 1050-88 - легированные 15Х, 20Х, 18ХГТ и др. по ГОСТ 4543-71 |
Валы и оси при требовании высокой износостойкости: - опоры скольжения - вал-шестерня |
|
Среднеуглеродистые конструкционные стали: -качественные 40, 45 и др. по ГОСТ 1050-88 -легированные 35Х, 40Х, 40ХН и др. по ГОСТ 4543-71 |
Высоконагруженные валы и оси |
3.14.3. Расчет осей и валов
Основные критерии работоспособности: прочность и жесткость. Неподвижные оси рассчитывают на статическую прочность, вращающиеся оси и валы рассчитывают на статическую прочность и сопротивление усталости.
Расчет на статическую прочность при изгибе
Уравнение прочности будет иметь вид:
, (3.72)
, (3.73)
- осевой момент сопротивления
Расчет валов работающих на кручение
В этом случае уравнение прочности будет иметь вид:
, (3.74)
где [τк], τк – допускаемое и расчетное напряжение кручения,
Т – крутящий момент,
Диаметр вала в опасном сечении:
. (3.75)
3.15. Подшипники
Подшипники воспринимают осевые и радиальные нагрузки и сохраняют заданное положение оси вала.
Требования предъявляемые к подшипникам:
1) Минимальные потери на трение, 2) По возможности меньшие габариты и низкая стоимость, 3) Высокая долговечность.
Различают 2 основных типа подшипников по виду трения: подшипники скольжения – в которых опорный участок вала скользит по поверхности подшипника и подшипники качения – в которых трение скольжения заменено на трение качения. Основное конструктивное отличие подшипников качения – наличие тел качения между опорными поверхностями.
3.15.1. Подшипники скольжения
Основным конструктивным элементом подшипников скольжения является вкладыш 2 расположенный в корпусе 1 с тонким слоем антифрикционного материала, поступающего из пресс-масленки 3 через выточку для подачи масла 4, на опорной поверхности (Рис.3.37).
Рис.3.37. Подшипник скольжения
В зависимости от вида воспринимаемой нагрузки подшипники скольжения могут быть радиальными и упорными (подпятки).
3.15.2. Расчет подшипников скольжения по среднему давлению
, (3.76)
где Fr – радиальная нагрузка подшипника (Рис.3.38),
d – диаметр цапфы вала,
l – длина цапфы, (м).
Рис.3.38. Нагрузка на подшипник скольжения
3.15.3. Режимы трения в подшипниках скольжения
В зависимости от толщины масляного слоя подшипник работает в режиме жидкостного, полужидкостного, полусухого и сухого трения.
Характеристика режимов трения подшипников скольжения: сухое трение – имеет место в подшипниках без смазочного материала; полусухое – имеет место при недостаточной смазке; полужидкостное – при постоянной подаче масла и увеличенных угловых скоростях вала; жидкостное трение – при определенной угловой скорости, при этом вал отходит от поверхности подшипника (всплывает), т.е. контакт поверхностей практически отсутствует.
Смазочные материалы: 1) Жидкие масла, 2) консистентные смазки – солидол, литол, 3)Твердые смазочные материалы – графитовая смазка.
Способы смазки: 1) Централизованное – под давлением или самотеком,
2) Индивидуальное.
3.15.4. Материалы подшипников скольжения
Вкладыши подшипников скольжения изготавливают из: 1) бронзы; 2) чугуна; 3) баббита – сплав на основе олова, является одним из лучших материалов для подшипников скольжения. Преимущества: хорошо прирабатывается, не окисляет масло, мало изнашивает вал. Недостатки: хрупкость и высокая стоимость. В связи с этим им заливают только рабочую поверхность вкладыша от 1 до 10 мм; 4) неметаллических материалов – пластмассы и металлокерамика.
3.16. Подшипники качения
Подшипники, работающие по принципу трения качения называют подшипниками качения, они имеют тела качения. Конструкция подшипников качения позволяет изготавливать их в массовых количествах как стандартную продукцию, что снижает их стоимость.
3.16.1. Классификация подшипников качения
По направлению воспринимаемой нагрузки – на радиальные, упорные и радиально-упорные; по форме тел качения – шариковые (а), роликовые (б, в), игольчатые (г), витые (д), конические (е, з), бочкообразные (ж) (Рис. 3.39); по количеству рядов тел качения – одно, двух рядные, по нагрузочной способности подшипники разделяют на пять серий диаметров: сверхлегкую, особолегкую, легкую, среднюю и тяжелую.
а) б) в) г)
д) е) ж) з)
Рис. 3.39. Тела качения
Все подшипники качения изготавливают из высокопрочных специальных подшипниковых сталей (высокоуглеродистых, легированных).
Основные типы подшипников качения: радиальный однорядный шариковый (а), радиальный двурядный шариковый (б), радиально-упорный однорядный шариковый (в), двурядный радиальный роликовый (г), радиальный однорядный витой (д), радиально-упорный однорядный конический (е), упорный однорядный шариковый (ж), упорный двурядный шариковый (з), упорный однорядный конический (и) (Рис. 3.40).
а) б) в) г) д) е)
ж) з)
и)
Рис. 3.40. Основные типы подшипников качения
3.16.2. Устройство подшипника качения
В большинстве случаев подшипник качения состоит из наружного (1) и внутреннего (2) колец с дорожками качения, тел качения (3) и сепаратора (4), удерживающего тела качения на определенном расстоянии друг от друга (Рис. 3.41). В некоторых случаях одно или оба кольца могут отсутствовать, тогда тела качения перемещаются непосредственно по дорожкам качения вала или корпуса.
Большое влияние на работоспособность подшипника оказывает качество сепаратора. В подшипниках без сепаратора тела качения набегают друг на друга. При этом кроме трения качения, возникает трение скольжения, увеличиваются потери и износ подшипника. Установка сепаратора значительно уменьшает потери на трение, т.к. сепаратор является свободно плавающим и вращающимся элементом. Их изготавливают из стали, латуни, бронзы или пластмассы.
Рис. 3.41. Схема
подшипника качения
Для смазки подшипников применяются пластичные смазки и жидкие масла. Жидкие смазки более эффективны, т.к. они кроме своей главной функции – уменьшение потерь на трение еще и охлаждают подшипник.
3.16.3. Виды разрушений подшипников качения
1) Усталостное выкрашивание – наблюдается у подшипников после длительного времени их работы в нормальных условиях.
2) Износ колец (дорожек качения)– наблюдается при недостаточной защите от пыли и грязи.
3) Разрушение сепараторов – одна из главных причин выхода из строя быстроходных подшипников качения.
4) Раскалывание колец и тел качения – связано с ударными и вибрационными перегрузками, неправильным монтажом.
5) Остаточные деформации – на беговых дорожках в виде лунок, наблюдается у тяжелонагруженных подшипников.
3.16.4. Подбор подшипников качения
Стандартом ограничено число типов и размеров подшипников. Это позволило рассчитать и экспериментально установить грузоподъемность каждого типоразмера подшипников.
При проектировании машин подшипники качения не конструируют и не рассчитывают, а подбирают из числа стандартных по условным методикам.
Различают подбор подшипников:1) по статической грузоподъемности при частоте вращения n ≤ 1 об/мин., он выполняется по условию:
, (3.77)
где Р0 – расчетная эквивалентная статическая нагрузка, Н,
С0 – статическая грузоподъемность стандартных подшипников, выбирается из таблиц.
2) по динамической грузоподъемности при n > 1 об/мин., он выполняется по условию:
Ср≤ Сном. (3.78)
где Ср и Сном – соответственно расчетная и номинальная грузоподъемность подшипника.
Номинальная динамическая грузоподъемность для радиальных и радиально-упорных подшипников есть такая постоянная радиальная нагрузка, которую подшипник может выдержать в течение номинального срока службы, исчисляемого в один миллион оборотов внутреннего кольца без появления признаков усталости материала любого кольца или тела качения.
3.17. Муфты
Муфтами в технике называют устройства, которые служат для кинематической и силовой связи отдельных частей машины.
Муфты используются для: 1) Соединение валов, 2) Включения и выключения исполнительного механизма при непрерывно работающем двигателе (управляемые муфты). 3) Для предохранения машины от перегрузки (предохранительные муфты), 4) Для компенсации вредного влияния несоосности валов, связанной с неточностью монтажа (компенсирующие муфты). 5) Для уменьшения динамических нагрузок (упругие муфты) и др.
Рис. 3.42. Классификация механических муфт
В курсе деталей машин мы будем изучать только механические муфты.
В общем случае муфта состоит из ведущей и ведомой полумуфт, и соединительных элементов.
В с/х машиностроении наиболее распространены следующие виды муфт – глухие, упругие, предохранительные и компенсирующие.
Муфты глухие – образуют жесткое и неподвижное соединение валов. Примеры – втулочная и фланцевая (Рис. 3.43).
Рис. 3.43. Фланцевая муфта
Муфты упругие – служат для компенсации рывков и ударов, возникающих при пуске и остановке машины, а также при периодическом изменении нагрузки, к ним относятся: упругая со звёздочкой (а), упругая втулочно-пальцевая (б) (Рис. 3.44).
а) б)
Рис. 3.44. Муфты упругие.
Муфты предохранительные – служат для предохранения машины от перегрузки и заклинивания, к ним относятся: обгонная роликовая (а), предохранительная со срезным штифтом (б) (Рис. 3.45).
а) б)
Рис. 3.45. Муфты предохранительные
Муфты компенсирующие – служат для компенсации несоосности валов, связанной с неточностью монтажа, а также для соединения валов расположенных под углом к друг другу, к ним относятся: зубчатая муфта (а), шарнирная компенсирующая муфта (б) (Рис. 3.46).
а) б)
Рис. 3.46. Компенсирующие муфты
3.17.1. Выбор муфт
Основной характеристикой для выбора муфты является номинальный вращающий момент Т (Н∙м) установленный стандартом. Муфты выбирают по большему диаметру концов соединяемых валов и расчетному моменту Тр, который должен быть в пределах номинального:
. (3.79)
где Кр – коэффициент режима нагрузки,
Т – вращающий момент на соответствующем валу редуктора,
Тном – номинальный момент муфты (выбирается из таблиц).
3.18. Лабораторные работы
Выполнение лабораторных работ позволяет студентам получить знания по конструкции и назначению деталей машин, их изображению на кинематических схемах, приобрести навыки самостоятельного изучения конструкций приводов машин, составления кинематических схем, описания и расчета основных параметров.
3.18.1. Лабораторная работа 1
Элементы кинематических цепей и их графическое изображение на схемах
Цель работы: изучить конструкции элементов кинематических цепей и деталей машин и их графическое обозначение на схемах.
Оборудование и инструменты: стенды с набором деталей машин и плакаты.
Объект изучения: детали машин, конструкция и графическое изображение на схемах.
Методика проведения лабораторной работы: по натурным образцам изучить конструкции элементов кинематических цепей и деталей машин.
Схемы и правила их выполнения
Схемы являются особым типом чертежей, на которых при помощи условных графических и цифровых обозначений разъясняются устройство, принцип работы и другие основные технические данные изделия.
В зависимости от входящих в состав изделия элементов выделяют следующие виды схем, обозначаемые соответствующими буквами: электрические - Э, гидравлические - Г, пневматические - П, кинематические - К, комбинированные -С и т.д.
Схемы, поясняющие принцип действия устройства и взаимосвязь элементов, строят с учетом следующих требований производства.
Упрощенные изображения или условные обозначения элементов различных систем выполняют согласно стандартам ЕСКД. Условные знаки вычерчивают без соблюдения масштаба, но с сохранением размера при повторении их на одной и той же схеме. Условные обозначения элементов на принципиальных схемах располагают так, чтобы обеспечить возможность соединения этих элементов между собой кратчайшими линиями связи (трубопроводы гидропневмосистем, электропроводы и т.п.) с минимальным числом их пересечений. Условные знаки на схемах вычерчивают в ортогональной или аксонометрической проекции. При выполнении схем не следует загружать их второстепенными деталями. Схемы выполняют как можно компактнее, но не в ущерб прочтению.
Для обеспечения наглядности и рельефности схем применяют следующие примерные соотношения толщин основных линий в зависимости от их назначения.
В кинематических схемах линии кинематических связей, т.е. условные изображения таких деталей, как, например: валы, стержни, шатуны вычерчивают сплошными линиями толщиной S обычно 1 мм; для изображения подшипников, шкивов, зубчатых колес, муфт, втулок и т.п. толщина линий берется приблизительно S/2 и тонкими линиями S/3 вычерчивают оси, окружности зубчатых колес, шпонки, ремни, контуры корпусов и т.п.
Надписи на схемах дают краткие и предельно ясные. Выполняют их стандартным чертежным шрифтом.
Условные обозначения, отличные от установленных стандартами ЕСКД, но необходимые для схемы, должны быть объяснены. Пояснения помещают на поле самой схемы в виде примечаний.
Кинематические схемы в зависимости от основного назначения подразделяют на следующие типы: принципиальные, структурные и функциональные.
Принципиальная схема определяет полный состав элементов и связь между ними, а также детальное представление о принципах работы изделия. Принципиальные схемы служат основанием для разработки других конструкторских документов и чертежей, а также источником изучения принципов работы изделий при наладке, контроле и ремонте.
Структурная схема характеризует основные функциональные части изделия, их назначение и взаимосвязь. Структурные схемы разрабатывают при проектировании изделий на стадиях, предшествующих разработке схем других типов, и пользуются ими для общего ознакомления с изделием.
Функциональные части изображают в виде прямоугольников. При изображении элементов схемы в виде прямоугольников наименование, обозначение (номера) или типы (шифры) элементов и устройств, вписывают в прямоугольники, которые необходимо расшифровать на полях схемы в таблице произвольной формы. Функциональная схема разъясняет процессы, протекающие в отдельных цепях изделия или в изделии в целом. Функциональными схемами пользуются для изучения принципов работы изделий, а также при их наладке, контроле и ремонте. На схеме изображают функциональные части изделия (в виде условных графических обозначений), участвующие в процессе, иллюстрируемом схемой, и связи между этими частями. Отдельные функциональные части допускается изображать в виде прямоугольников.
На кинематической схеме изделия должен быть представлен весь состав кинематических элементов, их соединения, кинематические связи в соответствии со стандартами.
Каждому кинематическому элементу присваивают порядковый номер, начиная от источника движения. Валы номеруются римскими цифрами, остальные элементы арабскими. Порядковый номер проставляют на полке линии-выноски, под ней указывают характеристики и параметры элемента (модуль, число зубьев и т.д.). Чтение кинематической схемы следует начинать от двигателя, дающего движение всем основным деталям механизма, и идти последовательно по ходу передачи движения.
Условные графические обозначения на кинематических схемах в ортогональных проекциях установлены ГОСТом 2.770-68. Наглядные пояснения основных, часто встречающихся в кинематических схемах условных графических обозначений приведены в приложении 1.
Порядок выполнения работы
В отчете по лабораторной работе (табл. 3.1) записывают наименование и содержание каждого элемента конструкции, представленного в лаборатории, и схематически его изображают.
Таблица 3.1 Элементы кинематических цепей и деталей машин
|
№ п\п |
Наименование и содержание конструкции |
Схематическое изображение |
|
1 |
2 |
3 |
Элементы, на которые нет натурных образцов, но представленные в приложении, отражают в отчете в виде таблицы.
Содержание отчета
1. Виды схем.
2. Требование производства к схемам.
3. Типы кинематических схем.
4. Элементы кинематических цепей и детали машин, имеющиеся в лаборатории.
5. Элементы и детали, не представленные в лаборатории.
Контрольные вопросы
3.18.2. Лабораторная работа 2
Геометрия зубчатых колес
Цель: определить по натуральному образцу основные геометрические параметры зубчатых колес и выполнить эскиз зубчатого колеса по результатам замеров и расчетов.
Оборудование и инструменты: набор зубчатых колес, штангенциркуль, плакаты и микрокалькулятор.
Методика выполнения работы основана на определении геометрических параметров зубчатых колес путем замеров некоторых из них на натурном образце и вычислении по известным зависимостям теории зубчатых зацеплений.
Основные параметры и элементы зубчатого колеса
На рисунке 47 изображено цилиндрическое колесо с прямыми зубьями. Часть зубчатого колеса, содержащая все зубья, называется венцом; часть колеса, насаживаемая на вал, называется ступицей. Делительная окружность диаметром d делит зуб на две части - головку зуба, высотой ha и ножку зуба, высотой hf, полная высота зуба h складывается из их суммы.
Расстояние между одноименными профилями соседних зубьев, измеренное по дуге делительной окружности, называется окружным делительным шагом зубьев и обозначается Р. Шаг зубьев слагается из окружной толщины зуба S и ширины впадины е. Длина хорды, соответствующая окружной толщине зуба, называется толщиной по хорде и обозначается S. Линейная величина в π раз меньше окружного шага называется окружным делительным модулем зубьев m (мм) (впредь слова «окружной делительный» в терминах будем опускать). Модуль зубьев m рассчитывается по формуле:
m=P/. (3.80)
Боковой поверхностью зуба называется поверхность, ограничивающая зуб со стороны впадины (рис. 3.47). Профиль зуба есть линия пересечения боковой поверхности с торцом колеса.Модуль зубьев - основной параметр зубчатого колеса. Для пары зубчатых колес, находящихся в зацеплении, модуль должен быть одинаковым. Модули зубьев для цилиндрических и конических передач регламентированы ГОСТ 9563-60. Значения стандартных модулей (от 1 до 14 мм) приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2. Значения модулей зубьев
|
1 -й ряд |
2-й ряд |
1 -й ряд |
2-й ряд |
|
1 |
1,125 |
4 |
4,5 |
|
1,25 |
1,375 |
5 |
5,5 |
|
1,5 |
1,75 |
6 |
7 |
|
2 |
2,25 |
8 |
9 |
|
2,5 |
2,75 |
10 |
11 |
|
3 |
3,5 |
12 |
14 |
Рис. 3.47. Цилиндрическое колесо с прямыми зубьями
Все основные параметры зубчатых колес выражают через модуль:
Шаг зубьев:
, (3.81)
Диаметр делительной окружности:
, (3.82)
где z - число зубьев колеса.
В соответствии со стандартным исходным контуром для цилиндрических зубчатых колес высота головки равна модулю, высота ножки зуба:
hf = m + с =1,25m, (3.83)
где с - радиальный зазор, с = 0,25m.
Высота зубьев цилиндрических колес:
h = ha + hf = 2,25m, (3.84)
Диаметр вершин зубьев:
da = d + 2ha = mz + 2m = m(z + 2) (3.85)
Диаметр впадин:
df= d-2hf=mz- 21,25 m = m(z- 2,5). (3.86)
Расстояние b между торцами зубьев колеса называется шириной венца.
Порядок выполнения работы
Основными параметрами зубчатого колеса с эвольвентным профилем являются: модуль зацепления m, число зубьев z и угол профиля исходной зубчатой рейки по ГОСТ 3058-54 α = 20°. Остальные величины, характеризующие геометрию зубчатого колеса, выражаются через указанные и могут быть получены с помощью дополнительных измерений и последующих вычислений. Отправным пунктом работы является определение шага зацепления по основной окружности зубчатого колеса Рbt по результатам замеров Сn и Сn+1 , где n — число охватываемых зубьев, зависящее от числа зубьев колеса z (рис. 3.48).
С целью исключения ошибки измерений и обеспечения достаточной точности определения исходной расчетной величины следует выполнять k замеров (не менее трех) каждого параметра и вычислить их средние значения, которые и принимаются как исходные в дальнейших расчетах.
Рис. 3.48. Зубчатое колесо
Работа начинается с определения числа зубьев колеса z и вычисления, модуля зацепления m.
Для этого используется известное в теории зацеплений свойство эвольвенты, а именно: нормаль в любой точке эвольвенты является касательной к основной окружности. Кроме того, известно, что два (в общем случае криволинейных) профиля в точке их контакта имеют общую нормаль. Отсюда следует, что если охватить несколько зубьев колеса губками штангенциркуля (размер АВ, рис. 3.48), то линия АВ будет касательной к основной окружности, так как она нормальна в точках А и В к рабочим плоскостям губок штангенциркуля и, следовательно, нормальна профилям зубьев в этих точках. Отметим также, что если отрезок АВ катить по основной ок ружности (по часовой или против часовой стрелки), то по свойству эвольвенты, точка А придет в точку А0, точка D в точку Do и точка В в точку Во. Из рисунка 3.48 видно, что DB = D0B0 = Pbt - шагу по основной окружности.
Таким образом, если измерить в начале размер Сn, соответствующий n зубьям, а затем Сп+1 охватив губками штангенциркуля на один зуб больше, то шаг по основной окружности определяется как разность двух измерений:
Pbt = Сп+1 - Сп, (3.87)
где Cn, Cn+1 - средние значения, полученные по результатам трех измерений.
Результаты измерений необходимо зафиксировать в отчете.
Это выражение действительно только в том случае, когда губки штангенциркуля касаются эвольвентной части профиля зуба. Для того чтобы это условие было соблюдено, необходимо для выбора числа зубьев, которые нужно охватить губками штангенциркуля, пользоваться данными таблицы 3.3.
Таблица 3.3. Зависимость числа охватываемых зубьев от числа зубьев колеса
|
Показатель |
Значения |
|||||
|
Число зубьев колеса z Число охватываемых зубьев n |
12-18 2 |
19-27 3 |
28-36 4 |
37-45 5 |
46-54 6 |
55-63 7 |
Модуль зацепления определяется по формуле:
m = Pbt /( cosα) = (Cn+1 - Сп)/ ( cosα), (3.88)
где α = 20°, cos 20° = 0,9397.
Так как размеры Сn+1 и Сn определяются с некоторыми погрешностями, то полученное значение модуля будет приближенным и его необходимо сопоставить со стандартными значениями модулей, приведенными в таблице 2.1. За истинный модуль следует принять ближайший по величине из стандартного ряда.
По уточненному значению модуля рассчитываются шаги зацепления по делительной и основной окружностям.
При проведении обмера зубчатых колес необходимо также измерить диаметры окружностей вершин и впадин. Если число зубьев четное, то оба замера могут быть измерены непосредственно штангенциркулем. При нечетном числе зубьев измерения проводятся по схеме, изображенной на рисунке 3.49. Для определения диаметра окружности выступов измеряется диаметр отверстия шестерни dотв и размер L1.
Тогда диаметр вершин зубьев da будет равен:
dа=dотв+2L1. (3.89)
Аналогично измеряется диаметр впадин df:
df =dотв+2L2. (3.90)
Имея диаметр вершин зубьев, можно определить коэффициент высоты головки зуба fa:
fa = (da-mz)/(2m). (3.91)
Рис. 3.49. Зубчатое колесо
Содержание отчета
1. Число зубьев z (по натурному образцу).
2. Определение модуля m и шага зацепления по основной окружности Рbt мм.
3. Модуль зацепления m, мм.
4. Модуль m, уточненный по ГОСТу, мм.
5. Шаг зацепления по делительной окружности, мм:
Р = т. (3.92)
6. Шаг по основной окружности, мм:
Рbt = т cosα. (3.93)
7. Диаметр делительной окружности, мм:
d = mz. (3.94)
8. Диаметр основной окружности, мм:
db = d cosα. (3.95)
9. Определение диаметров окружностей выступов и впадин колеса (табл. 3.4):
Таблица 3.4. Результаты замеров
|
dотв |
L1 |
da |
L2 |
df |
Расчетные формулы |
|
|
da = dотв + 2L1 df=dотв+2L2 |
10. Определение коэффициента высоты головки:
fa= (da - d)/(2т). (3.96)
11. Определение высоты головки, мм:
ha = (da - d)/2. (3.97)
12. Определение высоты ножки зуба, мм:
hf=(d- df)/2. (3.98)
13. Полная высота зуба, мм:
h = ha + hf. (3.99)
14. Ширина зубчатого венца b, мм.
15.Толщина зуба по делительной окружности, мм:
St = Р/2 =m/2. (3.100)
16. Сводные результаты замеров и вычислений (табл. 3.5).
Таблица 3.5. Геометрия зубчатого колеса
|
Наименование элемента |
Обозначение |
Размер- |
Числовые |
|
ность |
значения |
||
|
Число зубьев |
z |
шт |
|
|
Модуль |
т |
мм |
|
|
Шаг по делительной окружности |
Р |
мм |
|
|
Шаг по основной окружности |
Рbt |
мм |
|
|
Диаметр делительной окружности |
d |
мм |
|
|
Диаметр окружности выступов |
da |
мм |
|
|
Диаметр окружности впадин |
df |
мм |
|
|
Высота головки зуба |
ha |
мм |
|
|
Высота ножки зуба |
hf |
мм |
|
|
Полная высота зуба |
h |
мм |
|
|
Толщина зуба по делительной ок- |
St |
мм |
|
|
ружности |
мм |
||
|
Ширина зубчатого венца |
b |
мм |
13. Эскиз зубчатого колеса изображают на листе бумаги формата А4 (рис. 3.50).
Контрольные вопросы
1. Зубчатый венец колеса.
2. Ступица колеса.
3. Модуль зубчатого колеса.
4. Окружности делительная, вершин и впадин зубьев.
5. Высота головки, ножки и полная высота зуба.
6. Боковая поверхность зуба.
7. Профиль зуба.
8. Ширина венца.
9. Шаг по дуге делительной окружности.
Рис. 3.50. Эскиз зубчатого колеса
3.18.3. Лабораторная работа 3
Изучение конструкции редукторов
Цель работы: ознакомиться с классификацией и конструкцией редукторов, определить их геометрические и кинематические параметры.
Оборудование и инструменты: штангенциркуль, набор ключей и плакатов.
Методика работы: по натурным образцам изучить конструкцию редукторов и определить основные кинематические параметры.
Объекты изучения - червячный одноступенчатый редуктор, конический одноступенчатый и цилиндрический двухступенчатый редукторы.
Классификация зубчатых механизмов
Зубчатые механизмы бывают открытого и закрытого типов. Закрытые зубчатые механизмы, понижающие обороты, называют редукторами, а повышающие - мультипликаторами.
Редукторы используются для изменения и передачи вращающего момента от двигателя к рабочей машине.
Редукторы подразделяются:
по типу передач - на зубчатые (рис. 3.51) и червячные (рис. 3.53);
по числу ступеней - на одноступенчатые (рис. 3.53), двухступенчатые (рис. 3.54), многоступенчатые, в частности трехступенчатые, (рис. 3.55);
по типу зубчатых колес - на цилиндрические (рис. 3.51), конические (рис. 3.52), коническо - цилиндрические (рис. 3.54);
по относительному расположению валов в пространстве - на горизонтальные (рис. 3.51, 3.52, 3.53, 3.54, 3.55, 3.57) и вертикальные (рис. 3.56);
по особенностям кинематической схемы многоступенчатые редукторы бывают с развернутой (рис. 3.55), соосной (рис. 3.57) и с раздвоенной ступенью и т.д.;
по расположению вала червяка относительно колеса червячные редукторы бывают с нижним расположением червяка (рис. 3.53), с верхним или боковым при вертикальном расположении оси колеса.
Рис. 3.51. Одноступенчатый цилиндрический редуктор
Рис. 3.52. Одноступенчатый конический редуктор
Рис. 3.53. Одноступенчатый червячный редуктор
Рис. 3.54. Коническо-цилиндрический двухступенчатый редуктор
Рис. 3.55. Цилиндрический трехступенчатый редуктор
Рис. 3.56. Коническо-цилиндрический редуктор с вертикальным расположением валов
Рис. 3.57. Цилиндрический двухступенчатый соосный редуктор
Основные параметры редуктора
Передаточное число U 1-2 каждой ступени равно отноше нию числа зубьев колеса Z2 к числу зубьев шестерни Z1:
(3.101)
Общее передаточное число многоступенчатых редукторов равно произведению передаточных чисел отдельных ступеней:
, (3.102)
где n - число зубчатых колес в редукторе.
Одноступенчатые редукторы применяются при передаточ ных числах ох 2,5 до 60. Валы редукторов монтируются как в подшипниках качения, так и скольжения, которые влияют на КПД и потери мощности редуктора.
Общий КПД редуктора определяется по выражению:
, (3.103)
где з - КПД одной пары зубчатых колес; n - КПД одной пары подшипников;
к - число пар зубчатых колёс в редукторе, m - число пар подшипников.
Значения КПД для одной пары зубчатых колес и подшипников приведены в таблице 3.6.
Таблица 3.6 Значения КПД элементов редуктора
|
Наименование элементов редуктора |
КПД |
|
Зубчатая передача |
|
|
цилиндрическая |
0,96-0,98 |
|
коническая |
0,95-0,97 |
|
Червячная передача при числе заходов червяка |
|
|
один |
0,65-0,70 |
|
два |
0,70-0,75 |
|
Для одной пары подшипников качения |
0,99-0,995 |
Редуктор состоит из корпуса, зубчатых колес, валов, подшипников, крышек, деталей крепления и фиксации относительного положения частей разъемных корпусов и крышек, устройств для контроля уровня и слива смазки и т.д. (рис.3.58).
Корпус редуктора служит для размещения и координации деталей передачи, защиты их от загрязнения, организации системы смазки, а также восприятия сил, возникающих в зацеплении редукторной пары, подшипниках и открытой передаче (при ее наличии).
Корпуса редукторов выполняют из чугуна, стали и алюминиевых сплавов. Корпуса цилиндрических редукторов делают, как правило, разъемными, они состоят из крышки и основания. Корпуса червячных редукторов с межосевым расстоянием aw<140 мм изготовляют неразъемными.
Рис. 3.58. Редуктор цилиндрический
1 – основание корпуса; 2 – зубчатые колеса; 3- валы; 4 – подшипники; 5 – крышка подшипника; 6 – маслосъемные кольца; 7 – шпонка; 8 – пробка сливная; 9 – ребра жесткости; 10 – крышка смотрового люка; 11 – подшипниковые бобышки; 12 – фундаментный фланец; 13 – соединительный фланец; 14 – распорное кольцо; 15 – крышка корпуса; 16 – соединительные болты; 17 – проушины; 18 – фланец подшипниковых бобышек; 19 –опорные платики.
Несмотря на разнообразие форм корпусов, они имеют одинаковые конструктивные элементы - подшипниковые бобышки, фланцы, ребра, соединенные стенками в единое целое. Подшипниковые бобышки предназначены для размещения комплекта деталей подшипникового узла, фланцы - для крепления и соединения деталей редуктора.
Форма корпуса определяется в основном технологическими, эксплуатационными и эстетическими условиями с учетом его прочности и жесткости. Этим требованиям удовлетворяют корпуса прямоугольной формы, с гладкими наружными стенками без выступающих конструктивных элементов, подшипниковые бобышки и находящиеся внутри корпуса стяжные болты, расположенные только на продольной стороне корпуса или в нишах.
В корпусах редукторов имеются фундаментный фланец основания редуктора, фланцы подшипниковой бобышки основания и крышки корпуса, соединительный фланец основания и крышки корпуса при разъемном корпусе, фланцы крышек подшипниковых узлов и фланец крышки смотрового люка.
Фундаментный фланец основания предназначен для крепления редуктора к фундаментной раме. Опорная поверхность фланца выполняется в виде длинных параллельно расположенных двух или четырех небольших платиков.
Фланец подшипниковой бобышки крышки и основания корпуса предназначен для соединения крышки и основания разъемных корпусов. Фланец расположен в месте установки стяжных подшипниковых болтов (винтов) на продольных длинных сторонах корпуса.
Для соединения крышки с основанием в разъемных корпусах по всему контуру разъема выполняют соединительный фланец.
Крышка и основание стягивают болтами (винтами) и штифтуют для того, чтобы обеспечить постоянное относительное положение крышки и основания.
В неразъемных корпусах выполняют большие окна, через которые вводят при сборке комплекты вала с червячным колесом или комплекты валов с цилиндрическими колесами. Для создания необходимой жесткости боковые крышки выполняют с высокими центрированными буртиками.
Кроме того, на корпусах редукторов делают опорные платики для крепления к корпусу сливных пробок, отдушин, маслоуказателей.
Детали и элементы корпуса редуктора
Смотровой люк служит для контроля, сборки и осмотра редуктора при эксплуатации. Люк закрывают крышкой, под которую устанавливают уплотняющую прокладку. Для удобства осмотра его располагают на верхней крышке корпуса, что позволяет также использовать люк для заливки масла.
В червячных редукторах с верхним или боковым расположением червяка люк обычно располагается на одной из боковых сторон корпуса для наблюдения за регулированием зацепления.
С крышкой обычно совмещается пробка - отдушина для сообщения внутренней полости редуктора с атмосферой.
Если смотровой люк отсутствует, то в верхней полости крышки корпуса предусматривают отверстие под отдушину.
Установочные штифты предназначены для фиксирования крышки корпуса с основанием. Перед расточкой отверстия под подшипники в разъемных корпусах их устанавливают для фиксации относительного положения крышки корпуса и основания при последующих сборах.
Проушины и крючья применяют для подъема и транспортировки крышки корпуса и собранного редуктора, отливая их заодно с крышкой. В некоторых случаях используют рым-болты.
Отверстия под маслоуказатель и сливную пробку. Отверстия под маслоуказатель должно располагаться на высоте, достаточной для точного замера верхнего и нижнего уровней масла.
Контроль уровня смазки осуществляется либо жезловым маслоуказателем, либо через отверстие в корпусе, расположенном на уровне масла. Через эти отверстия можно производить и заливку масла.
В нижней части корпуса устанавливается сливная пробка. При установке маслоуказателя и сливной пробки с цилиндрической резьбой обязательно применяют уплотнительные прокладки. Пробки с конической резьбой не требуют уплотнения.
Подшипниковые бобышки закрываются глухими крышками с отверстиями для выхода валов редуктора, для соединения с другими валами или монтажа на них шкивов, звездочек и других деталей открытых передач. Крышки бывают врезные и торцевые. Под торцевые крышки устанавливаются уплотнительные прокладки. Крышки с отверстиями делают с гнездами под манежные уплотнения.
Порядок выполнения работы
Ознакомиться с конструкцией и работой каждого из предложенных редукторов. Разобрать редуктор и изобразить кинематическую схему с условным изображением типа подшипников для редукторов (приложение 1). Определить геометрические параметры зубчатых колес: число зубьев, передаточное число отдельных ступеней и всего редуктора, КПД редукторов.
Содержание отчета
Для цилиндрического, конического и червячного редукторов изобразить кинематические схемы в двух проекциях с условным изображением подшипников и дать характеристику каждого из редукторов в соответствии с приведенной классификацией.
Для изученных редукторов заполнить таблицу (табл. 3.7).
Таблица 3.7. Основные параметры редукторов
|
№ Редуктора |
Тип редуктора |
Передаточное число |
КПД |
Для одного из редукторов, предложенного преподавателем, дать подробное описание: перечня всех деталей, их назначения и устройства, типа подшипников и способов регулирования зазоров в них, регулирования зацепления в конических и червячных передачах (в зависимости от конструкции), способа контроля уровня смазки, устройства уплотнений и т.д.
Контрольные вопросы
1. Устройства контроля уровня смазки.
2. Перечислите конструкции глухих крышек и крышек с отверстиями.
3. Как осуществляется регулировка зацепления конических и червячных передач?
4. Для чего применяются смотровые люки?
5. Какие зубчатые механизмы называются редукторами, какие мультипликаторами?
6. Как подразделяются редукторы по типу зубчатых колес, по числу ступеней, по расположению валов в пространстве?
7. Чему равно общее передаточное число многоступенчатого редуктора?
8. Чему равен КПД редуктора?
9. Для чего применяются штифты в соединениях крышки с основанием корпуса?
10. Какие бывают корпуса редукторов по конструкции?
11. Для чего делаются фланцы на корпусе редуктора?
3.19. Расчётно-графическая работа
3.19.1.Выбор двигателя. Кинематический и силовой расчет привода
Срок службы (ресурс) Lh, ч, определить по формуле:
, (3.104)
где Lr – срок службы привода, лет (см. задание); tc – продолжительность смены, ч; Lc – число смен.
Из полученного значения Lh следует вычесть 10…25 % часов на профилактику, текущий ремонт, нерабочие дни.
Определение номинальной мощности и номинальной
частоты вращения двигателя
Мощность двигателя зависит от требуемой мощности рабочей машины, а его частота вращения – от частоты вращения приводного вала рабочей машины.
Определить требуемую мощность рабочей машины Ррм, кВт
– если в исходных данных на проектирование указано значение тяговой силы F, кН, и линейной скорости υ, м/с, тягового органа рабочей машины.
– если указано значение вращающего момента Т, кН∙м, и угловой скорости ω, рад/с, тягового органа рабочей машины.
Определить общий коэффициент полезного действия (КПД) привода
, (3.105)
где – коэффициент полезного действия закрытой передачи;
– коэффициент полезного действия открытой передачи;
– коэффициент полезного действия муфты;
– коэффициент полезного действия двух подшипников качения
Таблица 3.8. Коэффициенты полезного действия передач и других элементов привода
|
Наименование элементов привода |
КПД передач |
|
|
закрытых |
открытых |
|
|
Цилиндрическая зубчатая передача |
0,96…0,98 |
0,93…0,95 |
|
Коническая зубчатая передача |
0,95…0,97 |
0,92…0,94 |
|
Червячная передача при u = 8…14 |
0,85…0,95 |
- |
|
Червячная передача при u = 14…30 |
0,8…0,85 |
- |
|
Червячная передача при u = 30 и выше |
0,7…0,75 |
- |
|
Плоскоременная передача |
- |
0,96…0,98 |
|
Клиноременная передача |
- |
0,95…0,97 |
|
Цепная передача |
0,95…0,97 |
0,9…0,93 |
|
Муфта соединительная |
0,98 |
|
|
Два подшипника качения |
0,99…0,995 |
|
|
Два подшипника скольжения |
0,98…0,99 |
Определить требуемую мощность двигателя Рдв, кВт
, (3.106)
По полученному значению мощности выбрать из табл. 3.9. электродвигатель.
Таблица 3.9. Закрытые обдуваемые электродвигатели (ГОСТ 19523 – 81)
|
Мощ – ность, кВт |
Синхронная частота вращения, об/мин |
|||||||
|
3000 |
1500 |
1000 |
750 |
|||||
|
марка двига – теля |
марка двига – теля |
марка двига – теля |
марка двига – теля |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,55 |
4А63В2УЗ |
2745 |
4А71А4УЗ |
1391 |
4А71В6УЗ |
900 |
4А80В8УЗ |
683 |
|
0,75 |
4А71А2УЗ |
2823 |
4А71В4УЗ |
1388 |
4А80А6УЗ |
916 |
4А90LА8УЗ |
705 |
|
1,1 |
4А71В2УЗ |
2811 |
4А80А4УЗ |
1419 |
4А80В6УЗ |
920 |
4А90LВ8УЗ |
698 |
|
1,5 |
4А80А2УЗ |
2874 |
4А80В4УЗ |
1413 |
4А90L6УЗ |
936 |
4А100L8УЗ |
698 |
|
2,2 |
4А80В2УЗ |
2871 |
4А90L4УЗ |
1424 |
4А100L6УЗ |
949 |
4А112МА8УЗ |
705 |
|
3 |
4А90L2УЗ |
2871 |
4А100S4УЗ |
1434 |
4А112МА6УЗ |
943 |
4А112МВ8УЗ |
707 |
|
4 |
4А100S2УЗ |
2901 |
4А100L4УЗ |
1430 |
4А112МВ6УЗ |
949 |
4А132S8УЗ |
719 |
|
5,5 |
4А100L2УЗ |
2898 |
4А112М4УЗ |
1445 |
4А132В6УЗ |
967 |
4А132М8УЗ |
719 |
|
7,5 |
4А112М2УЗ |
2925 |
4А132S4УЗ |
1455 |
4А132М6УЗ |
968 |
4А160S8УЗ |
731 |
|
11 |
4А132М2УЗ |
2931 |
4А132М4УЗ |
1458 |
4А160S6УЗ |
973 |
4А160М8УЗ |
731 |
|
15 |
4А160S2УЗ |
2937 |
4А160S4УЗ |
1466 |
4А160М6УЗ |
974 |
4А180М8УЗ |
731 |
|
18,5 |
4А160М2УЗ |
2937 |
4А160М4УЗ |
1467 |
4А180М6УЗ |
973 |
4А200М8УЗ |
733 |
|
22 |
4А180S2УЗ |
2940 |
4А180S4УЗ |
1470 |
4А200М6УЗ |
972 |
4А200L8УЗ |
730 |
|
30 |
4А180М2УЗ |
2943 |
4А180М4УЗ |
1472 |
4А200L6УЗ |
979 |
4А225М8УЗ |
737 |
|
37 |
4А200М2УЗ |
2943 |
4А200М4УЗ |
1475 |
4А225М6УЗ |
982 |
4А250S8УЗ |
738 |
|
45 |
4А200L2УЗ |
2946 |
4А200L4УЗ |
1476 |
4А250S6УЗ |
986 |
4А250М8УЗ |
740 |
|
55 |
4А225М2УЗ |
2946 |
4А225М4УЗ |
1479 |
4А250М6УЗ |
987 |
4А280S8УЗ |
734 |
Определение передаточного числа привода и его ступеней.
Передаточное число привода u определяется отношением номинальной частоты вращения двигателя nном к частоте вращения вала рабочей машины nрм и равно произведению передаточных чисел закрытой nзп и открытой передач nоп (табл. 3.10):
(3.107)
Определить частоту вращения приводного вала рабочей машины nрм, об/мин:
а) для ленточных конвейеров:
, (3.108)
где υ – скорость тягового органа, м/с; D – диаметр барабана, мм;
б) для цепных конвейеров:
, (3.109)
где υ – скорость конвейера, м/с; z – число зубьев ведущей звездочки тягового органа; р – шаг тяговой цепи, мм.
Таблица 3.10. Рекомендуемые значения передаточных чисел
|
Тип передачи |
Значения передаточных чисел |
|
Зубчатая цилиндрическая и коническая закрытые |
2; 2.5; 3.5; 3.55; 4.0; 5.0; 6.3 |
|
Червячная закрытая |
10; 12.5; 14; 16; 18; 20; 25; 28 |
|
Цепная |
2…4 |
|
Ременная |
2…3 |
Определение силовых и кинематических параметров привода
Силовые (мощность и вращающий момент) и кинематические (частота вращения и угловая скорость) параметры привода рассчитывают на валах привода из требуемой (расчетной) мощности двигателя Рдв и его номинальной частоты вращения nном при установившемся режиме работы (табл. 3.11)
После расчета, полученные данные сводят в таблицу 3.12
Таблица 3.11. Определение силовых и кинематических параметров привода
|
Параметр |
Вал |
Последовательность соединения элементов привода по кинематической схеме |
||||
|
дв→оп→зп→м→рм |
дв→ м →зп→оп →рм |
|||||
|
Мощность Р, кВт |
Дв Б Т рм |
Рном Р1=Рдв∙ηоп∙ηпк Р2=Р1∙ηзп∙ηпк Ррм=Р2∙ηм |
Рном Р1=Рдв∙ηм∙ηпк Р2=Р1∙ηзп∙ηпк Ррм=Р2∙ηоп |
|||
|
Частота вращения n, об/мин |
Угловая скорость ω, с-1 |
Дв |
nном |
ωном=π∙nном/30 |
nном |
ωном=π∙nном/30 |
|
Б |
n1=nном/uоп |
ω1=ωном/Uоп |
n1=nном |
ω1=ωном |
||
|
Т |
n2= n1/uзп |
ω2=ω1/Uзп |
n2= n1/uзп |
ω2=ω1/uзп |
||
|
рм |
nрм= n2 |
ωрм= ω2 |
nрм= n2/uоп |
ωрм=ω2 /uоп |
||
|
Вращающий момент Т, Н∙м |
Дв Б Т рм |
Тдв= Рдв∙103/ ωном Т1= Тдв∙ uоп∙ ηоп∙ηпк Т2= Т1∙ uзп∙ηзп∙ηпк Трм= Т2∙ηм |
Тдв= Рдв∙103/ ωном Т1= Тдв∙ ηм∙ηпк Т2= Т1∙ uзп∙ηзп∙ηпк Трм= Т2∙ uоп∙ ηоп |
Последовательность соединения элементов привода по кинематической схеме:
схема 1 (дв→оп→зп→м→рм);
схема 2 (дв→ м →зп→оп →рм).
Здесь условно обозначены: дв – электродвигатель; оп – открытая передача (ременная, цепная или зубчатая); зп – закрытая передача (цилиндрическая, коническая или червячная); м – муфта; рм – рабочая машина.
Таблица 3.12. Сводные данные расчетов параметров привода
|
Марка двигателя, Рном (кВт), nном (об/мин) |
|||||||
|
Пара-метр |
Передача |
Параметр |
Вал |
||||
|
закрытая (редуктор) |
открытая |
двига-теля |
редуктора |
рабочей машины |
|||
|
быстроходный |
тихоходный |
||||||
|
Переда-точное число u |
Расчетная мощность P, кВт |
||||||
|
Угловая скорость, с-1 |
|||||||
|
КПД |
Частота вращения n, об/мин |
||||||
|
Вращающий момент Т, Н · м |
3.19.2. Примеры расчета приводов машин
Пример 1.
Рис. 3.59 Кинематическая схема привода
|
Исходные данные |
|
|
Мощность на одном валу шлюзового затвора N, кВт |
1 |
|
Число оборотовзатвора n, об/мин |
60 |
|
Срок службы привода L, лет |
7 |
|
Число смен С |
2 |
Описание привода: привод состоит из электродвигателя 1 соединенного с червячным редуктором 3 клиноременной передачей 2, мощность с ведомого вала редуктора передается через муфты 4 на валы рабочей машины 5.
Выбор двигателя. Кинематический и силовой расчет привода.
Срок службы (ресурс) Lh, ч, определим по формуле:
,
где Lr – срок службы привода, лет (по заданию);
tc – продолжительность смены, ч;
Lc – число смен.
ч
Из полученного значения Lh следует вычесть 10…25 % часов на профилактику, текущий ремонт, нерабочие дни.
ч
Определение номинальной мощности и номинальной
частоты вращения двигателя
Мощность двигателя зависит от требуемой мощности рабочей машины, а его частота вращения - от частоты вращения приводного вала рабочей машины.
1.Определить требуемую мощность рабочей машины Ррм, кВт:
2 .Определить общий коэффициент полезного действия (КПД) привода:
……………………………. ,
где – коэффициенты полезного действия закрытой передачи, открытой передачи, муфты и подшипников качения.
ηзп = 0,75 , ηоп = 0,96, ηм = 0,98, ηпк = 0,99
3.Определить требуемую мощность двигателя Рдв, кВт:
.
По полученному значению мощности выбираем из табл. 8 электродвигатель 4A100S4У3 Рдв=3 кВт, nном=1434 об/мин.
4. Определение передаточного числа привода и его ступеней.
Передаточное число привода u определяется отношением номинальной частоты вращения двигателя nном к частоте вращения вала рабочей машины nрм и равно произведению передаточных чисел закрытой nзп и открытой передач nоп:
Принимаем uзп = 10, тогда uоп = 2,38 (см. табл.9)
5. Определение силовых и кинематических параметров привода
Силовые (мощность и вращающий момент) и кинематические (частота вращения и угловая скорость) параметры привода рассчитывают на валах привода из требуемой (расчетной) мощности двигателя Рдв и его номинальной частоты вращения nном при установившемся режиме работы
Определение силовых и кинематических параметров привода
|
Параметр |
Вал |
Последовательность соединения элементов привода |
||
|
дв – оп – зп – м – рм |
||||
|
Мощность, кВт |
Дв Б Т РМ |
Рдв = 3кВт Р1 = Рдв ηоп ηпк = 3 ∙ 0,98 ∙ 0,99 = 2,91кВт Р2 = Р1 ηзп ηп к= 2,91 ∙ 0,75 ∙ 0,99 = 2,16 кВт Ррм= Р2 ηм2 = 2,16 ∙ 0,982 = 2 ,07 кВт |
||
|
Частота вращения, об/мин |
Угловая скорость, с-1 |
Дв |
nном = 1434 об/мин |
|
|
Б |
n1= nном/uоп = 1430/2,38= 600,8 об/мин |
|||
|
Т |
||||
|
РМ |
||||
|
Вращающий момент, Н·м |
Дв Б Т РМ |
После расчета, полученные данные сводим в таблицу:
|
Параметр |
Обозна- чение |
Рамер-ность |
Числовые значения |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
Марка электродвигателя |
4A100S4У3 |
|||||
|
Номинальная мощность эл-двиг. |
Рном |
кВт |
3 |
|||
|
Номин. частота вращения вала эл-двиг. |
nном |
об/мин |
1434 |
|||
|
Передача |
закрытая |
открытая |
||||
|
Передаточное число |
10 |
2,38 |
||||
|
КПД |
0,75 |
0,96 |
||||
|
Ступени |
Дв. |
Б |
Т |
рм |
||
|
Частота вращения вала |
ni |
об/мин |
1434 |
600,8 |
60,8 |
60,8 |
|
Угловая скорость |
ωi |
с-1 |
149,7 |
62,9 |
6,3 |
6,3 |
|
Расчетная мощность на валу |
Рi |
кВт |
3 |
2,91 |
2,16 |
2,07 |
|
Вращающийся момент на валу |
Тi |
Н·м |
20 |
45,3 |
335,9 |
322,6 |
Пример 2.
Рис. 3.60 Кинематическая схема привода
|
Исходные данные |
|
|
Тяговая сила цепи F, кН |
1,9 |
|
Скорость ленты υ, м/с |
1,3 |
|
Диаметр барабана D, мм |
250 |
|
Угол наклона цепной передачи, град. |
45 |
|
Срок службы привода L, лет |
6 |
Описание привода: привод состоит из электродвигателя 1 соединенного с коническим редуктором 3 через муфту 2, мощность с ведомого вала редуктора передается на вал рабочей машины 5 при помощи цепной передачи 4.
Выбор двигателя. Кинематический и силовой расчет привода.
Срок службы (ресурс) Lh, ч, определим по формуле:
,
где Lr – срок службы привода, лет (по заданию); tc – продолжительность смены, ч; Lc – число смен.
Из полученного значения Lh следует вычесть 10…25 % часов на профилактику, текущий ремонт, нерабочие дни.
Определение номинальной мощности и номинальной
частоты вращения двигателя
Мощность двигателя зависит от требуемой мощности рабочей машины, а его частота вращения – от частоты вращения приводного вала рабочей машины.
1.Определим требуемую мощность рабочей машины Ррм, кВт:
Ft ·υ = 1,9 ·1,3 = 2,47кВт,
где Ft – тяговоя сила цепи на барабане (кН); υ – скорость ленты (м/с);
2. Определим общий коэффициент полезного действия (КПД) привода:
,
где – коэффициенты полезного действия закрытой передачи, открытой передачи, муфты и пары подшипников качения
ηзп=0,96 , ηоп = 0,91, ηм = 0,98, ηпк = 0,99
3.Определим требуемую мощность двигателя Рдв, кВт:
По полученному значению мощности выбираем из табл. 1.2 электродвигатель 4A112МА6У3 Рдв = 3 кВт, nном = 943 об/мин.
4. Определим передаточное число привода и его ступеней.
Передаточное число привода u определяется отношением номинальной частоты вращения двигателя nном к частоте вращения вала рабочей машины nрм и равно произведению передаточных чисел закрытой nзп и открытой передач nоп. Частота вращения nрм приводного вала:
nрм = 60·1000·υ/(·D0) = 60·1000·1,3/3,14·250 = 99,36 об/мин,
Принимаем uзп = 3, тогда uоп = 3,16 (см. табл.9)
5. Определим силовые и кинематические параметры привода
Силовые (мощность и вращающий момент) и кинематические (частота вращения и угловая скорость) параметры привода рассчитывают на валах привода из требуемой (расчетной) мощности двигателя Рдв и его номинальной частоты вращения nном при установившемся режиме работы.
Определение силовых и кинематических параметров привода
|
Параметр |
Вал |
Последовательность соединения элементов привода |
||
|
дв – м – зп – оп – рм |
||||
|
Мощность, кВт |
Дв Б Т РМ |
Рдв = 3кВт Р1 = Рдв ηм ηпк = 3 ∙ 0,98 ∙ 0,99 = 2,91кВт Р2 = Р1 ηзп ηпк = 2,91 ∙ 0,96 ∙ 0,99 = 2,77 кВт Ррм = Р2 ηоп = 2,77 ∙ 0,91 = 2,52 кВт |
||
|
Частота вращения, об/мин |
Угловая скорость, с-1 |
Дв |
nном = 943 об/мин |
|
|
Б |
n1= nном = 943 об/мин |
|||
|
Т |
об/мин |
|||
|
РМ |
об/мин |
|||
|
Вращающий момент, Н·м |
Дв Б Т РМ |
После расчета, полученные данные сводим в таблицу
|
Параметр |
Обозна- чение |
Рамер-ность |
Числовые значения |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
Марка электродвигателя |
4А112МА6У3 |
|||||
|
Номинальная мощность электродвигателя. |
Рном |
кВт |
3 |
|||
|
Номин. частота вращения вала электродвигателя. |
nном |
об/мин |
943 |
|||
|
Передача |
закрытая |
открытая |
||||
|
Передаточное число |
3 |
3,16 |
||||
|
КПД |
0,96 |
0,91 |
||||
|
Ступени |
Дв. |
Б |
Т |
рм |
||
|
Частота вращения вала |
ni |
об/мин |
943 |
943 |
314,3 |
99,46 |
|
Угловая скорость |
ωi |
с-1 |
98,7 |
98,7 |
32,9 |
10,4 |
|
Расчетная мощность на валу |
Рi |
кВт |
3 |
2,91 |
2,77 |
2,52 |
|
Вращающийся момент на валу |
Тi |
Н·м |
30 |
29,1 |
82,9 |
238,4 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Теоретическая механика: учебник / Ю. Ф. Лачуга, В. А. Ксендзов. - 2-е изд., доп. и перераб. - М.:Колос, 2006. - 576 с. : ил. - (Учебники и учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений). - ISBN 5-9532-0342-X2.
2. Краткий курс теоретической механики: учебник для втузов / С. М. Тарг. - 17-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2007. - 416 с.: ил. - (Учебники для вузов. Общетехнические дисциплины). - ISBN 978-5-06-005699-0.
3. Курс теоретической механики. В.2-х т.Т.1-2.Статика и кинематика. Динамика: Учеб. пособие/Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р.Меркин [Текст] : учебное пособие / Н.В. Бутенин. - СПб.: Лань, 2002. - 729 с.
4. Александров, А.В. Сопротивление материалов: Учебник / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин – 2-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 2001. – 560 с.: ил.
5. Атапин, В.Г. Сопротивление материалов: Учебник/ В.Г. Атапин, А.Н. Пель, А.И Темников. – Новосибирск: Изд – во НГТУ, 2006. -556 с.
6. Иоселевич, Г.Б. Прикладная механика / Г.Б. Иоселевич, Г.Б. Строганов, Г.С. Маслов. – М.: Высш. шк., 1989. – 387 с.
7. Руденок, E.H.Техническая механика: сборник заданий / E.H. Руденок, В.П. Соколовская. – Минск: Высшая школа, 1990. – 220 с.
8. Степин, П. А. Сопротивление материалов / П. А. Степин – М.: Высш. шк., 1988. – 322 с.
9. ГОСТ 2.701-76 ЕСКД. Схемы. Виды и типы. Общие требования к выполнению.
10. ГОСТ 2.703-68 ЕСКД. Правила выполнения кинематических схем.
11.ГОСТ 2.770-68 ЕСКД. Обозначения условные графические в схемах.
Элементы кинематики.
11.Детали машин: учебник / Н. Г. Куклин, Г. С. Куклина, В. К. Житков. - 7-е изд., доп. и перераб. - М.: Высш. шк., 2007. - 406 с.: ил. - ISBN 978-5-06-005776-8
12. Детали машин : учеб. для машиностр. спец. сред. проф. учеб. заведений / А.А. Эрдеди. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Высш. шк., 2002. - 285 с. : ил.
13. ГОСТ 16530—83. Передачи зубчатые. Общие термины, определения и
обозначения.
14. ГОСТ 16531-83. Передачи зубчатые цилиндрические. Термины, обо
значения и определения.
15. ГОСТ 16532—70. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные
внешнего зацепления. Расчет геометрии.
16. Шейнблит А.Е. Курсовое проектирование деталей машин. М., "Высшая школа", 2002
17. Конструирование узлов и деталей машин: справочное учебно-методическое пособие / Л. В. Курмаз, О. Л. Курмаз. - М.: Высш. шк., 2007. - 455 с.: ил. - ISBN 978-5-06-005725-6
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложения.
Приложение 1
Таблица к примеру решения задачи на использование условий равновесия
плоской системы сходящихся сил.
|
Варианты схем |
F1, |
F2, |
|||||||||
|
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
кН |
кН |
|
Варианты по зачетной книжке |
|||||||||||
|
01. |
02. |
03. |
04. |
05. |
06. |
07. |
08. |
09. |
10. |
1,2 |
1 |
|
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
1,1 |
0,9 |
|
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
1 |
0,8 |
|
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
0,9 |
0,7 |
|
41. |
42. |
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
0,8 |
0,6 |
|
51. |
52. |
53. |
54. |
55. |
56. |
57. |
58. |
59. |
60. |
0,7 |
0,5 |
|
61. |
62. |
63. |
64. |
65. |
66. |
67. |
68. |
69. |
70. |
0,3 |
0,7 |
|
71. |
72. |
73. |
74. |
75. |
76. |
77. |
78. |
79 |
80. |
0,2 |
0,6 |
|
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
0,3 |
0,5 |
|
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
0,4 |
0,1 |
Приложение 2
Схемы к примеру решения задачи на использование условий равновесия.
плоской системы сходящихся сил.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
Приложение 3
Таблица к примеру определения реакций опор двухопорной балки.
|
Варианты схем |
q |
F |
М |
|||||||||
|
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
н/м |
Н |
Н·м |
|
Варианты по зачетной книжке |
||||||||||||
|
01. |
02. |
03. |
04. |
05. |
06. |
07. |
08. |
09. |
10. |
12 |
100 |
60 |
|
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
11,5 |
95 |
55 |
|
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
11 |
90 |
50 |
|
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
10,5 |
85 |
45 |
|
41. |
42. |
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
10 |
80 |
40 |
|
51. |
52. |
53. |
54. |
55. |
56. |
57. |
58. |
59. |
60. |
9,5 |
75 |
35 |
|
61. |
62. |
63. |
64. |
65. |
66. |
67. |
68. |
69. |
70. |
6 |
65 |
20 |
|
71. |
72. |
73. |
74. |
75. |
76. |
77. |
78. |
79 |
80. |
7,5 |
55 |
15 |
|
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
7 |
50 |
10 |
|
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
6,5 |
45 |
15 |
Приложение 4
Схемы к примеру определения реакций опор двухопорной балки.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
Приложение 5
Таблица к примеру расчета траектории движения точки.
|
Вариант по зачетной книжке |
Уравнения движения |
||||
|
Х = x (t) |
Y = y (t) |
||||
|
01 |
31 |
61 |
91 |
-2t+3 |
-5t |
|
02 |
32 |
62 |
92 |
5t |
-3t + 1 |
|
03 |
33 |
63 |
93 |
2t |
5t - 2 |
|
04 |
34 |
64 |
94 |
4t+4 |
-4/(t+1) |
|
05 |
35 |
65 |
95 |
8t |
t2 + 3 |
|
06 |
36 |
66 |
96 |
3t+2 |
-4t |
|
07 |
37 |
67 |
97 |
3t-t+1 |
5t-5t/3-2 |
|
08 |
38 |
68 |
98 |
8t + 8 |
-4/(t+2) |
|
09 |
39 |
69 |
99 |
-3/(t+2) |
3t+6 |
|
10 |
40 |
70 |
3t + 3 |
-6/(t+3) |
|
|
11 |
41 |
71 |
-4t+1 |
-3t |
|
|
12 |
42 |
72 |
6t2 - 2 |
2t |
|
|
13 |
43 |
73 |
t2 + 3 |
3t |
|
|
14 |
44 |
74 |
-2t-2 |
-2/(t+1) |
|
|
15 |
45 |
75 |
5t2 + 3 |
4t |
|
|
16 |
46 |
76 |
3t |
4t+1 |
|
|
17 |
47 |
77 |
-5t |
-3t2 – 6 |
|
|
18 |
48 |
78 |
5t |
2t2 + 1 |
|
|
19 |
49 |
79 |
-5t-4 |
3t |
|
|
20 |
50 |
80 |
2-3t-6t |
3-3t/2-3t |
|
|
21 |
51 |
81 |
2t2 + 2t - 2 |
t2 + t + 1 |
|
|
22 |
52 |
82 |
7t-3 |
5t |
|
|
23 |
53 |
83 |
3-3t+t |
4-5t+5t/3 |
|
|
24 |
54 |
84 |
-2/(t + 2) |
2t + 4 |
|
|
25 |
55 |
85 |
-6t |
-2t-4 |
|
|
26 |
56 |
86 |
3t |
2t + 4 |
|
|
27 |
57 |
87 |
3t2 + 2 |
-3t - 1 |
|
|
28 |
58 |
88 |
-4t+1 |
-3t |
|
|
29 |
59 |
89 |
5t+5t/3-3 |
3t+t+3 |
|
|
30 |
60 |
90 |
2t + 4 |
-4/(t +2) |
|
|
t, с. |
|||||
|
1/4 |
1/2 |
1 |
2 |
|
Номера схем |
Номера условий |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
01. |
02. |
03. |
04. |
05. |
06. |
07. |
08. |
09. |
10. |
1 |
|
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
2 |
|
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
3 |
|
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
4 |
|
41. |
42. |
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
5 |
|
51. |
52. |
53. |
54. |
55. |
56. |
57. |
58. |
59. |
60. |
6 |
|
61. |
62. |
63. |
64. |
65. |
66. |
67. |
68. |
69. |
70. |
7 |
|
71. |
72. |
73. |
74. |
75. |
76. |
77. |
78. |
79 |
80. |
8 |
|
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
9 |
|
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
10 |
|
Номер условия |
Дано |
Найти |
|
|
Скорости |
Ускорения |
||
|
1 |
S4=4 (7t – t2) |
VB, VС |
e2, аА, а5 |
|
2 |
V5=2 (t2 – 3) |
VА, VС |
e3, аВ, а4 |
|
3 |
j1=2 t2 – 9 |
V4, w2 |
e2, аС, а5 |
|
4 |
w2= 7t – 3t2 |
V5, w3 |
e2, аА, а4 |
|
5 |
j3=3t – t2 |
V4, w1 |
e1, аВ, а5 |
|
6 |
w1=5t – 2t2 |
V5, VB |
e2, аС, а4 |
|
7 |
j2= 2 (t2 – 3t) |
V4, w1 |
e1, аС, а5 |
|
8 |
V4=3 t2 – 8 |
VА, w3 |
e3, аВ, а5 |
|
9 |
S5=2 t2 – 5t |
V4, w2 |
e1, аС, а4 |
|
10 |
w3=8t – 3t2 |
V5, VВ |
e2, аА, а4 |
В столбце «Дано» указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: j1[t] – закон вращения колеса 1; S4[t] – закон движения рейки 4; w2[t] – закон изменения угловой скорости колеса 2; V5[t] – закон изменения скорости груза 5; (j -выражено в радианах; S – в сантиметрах; t – в секундах).
В столбцах “Найти” указаны: скорости (V - линейные, w - угловые), ускорения (а – линейные; e - угловые), соответствующих точек или тел.
Например: V5 – скорость груза 5.
Принять положительные направления для φ и w по ходу часовой стрелки, для S4, S5 и V4, V5 – вниз.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
Приложение 9
Числовые данные к расчету стержня на растяжение – сжатие.
|
Варианты схем |
F1 |
F2 |
F3 |
A1 |
A2 |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|||||
|
Варианты по зачетной книжке |
кН |
см2 |
||||||||||||
|
01. |
02. |
03. |
04. |
05. |
06. |
07. |
08. |
09. |
10. |
30 |
10 |
5 |
1,8 |
3,2 |
|
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
16 |
15 |
10 |
1,1 |
1,8 |
|
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
17 |
13 |
8 |
1,0 |
2,2 |
|
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
14 |
16 |
11 |
1,2 |
1,9 |
|
41. |
42. |
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
27 |
14 |
8 |
1,7 |
3,1 |
|
51. |
52. |
53. |
54. |
55. |
56. |
57. |
58. |
59. |
60. |
24 |
11 |
6 |
1,5 |
2,9 |
|
61. |
62. |
63. |
64. |
65. |
66. |
67. |
68. |
69. |
70. |
18 |
12 |
5 |
1,6 |
2,8 |
|
71. |
72. |
73. |
74. |
75. |
76. |
77. |
78. |
79 |
80. |
26 |
13 |
7 |
1,7 |
3,1 |
|
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
36 |
20 |
12 |
2,5 |
4,0 |
|
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
35 |
10 |
4 |
1,5 |
3,1 |
Приложение 10
Схемы к расчету стержня на растяжение – сжатие.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
Приложение 11
Числовые данные к расчету на жесткость и прочность при кручении.
|
Варианты схем |
P1 |
P2 |
Р3 |
ω |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
кВт |
кВт |
кВт |
рад\с |
|
Вариант по зачетной книжке |
|||||||||||||
|
01. |
02. |
03. |
04. |
05. |
06. |
07. |
08. |
09. |
10. |
35 |
20 |
15 |
20 |
|
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
150 |
100 |
50 |
45 |
|
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
40 |
25 |
20 |
25 |
|
31. |
32. |
33. |
34. |
35. |
36. |
37. |
38. |
39. |
40. |
110 |
60 |
30 |
35 |
|
41. |
42. |
43. |
44. |
45. |
46. |
47. |
48. |
49. |
50. |
40 |
15 |
25 |
30 |
|
51. |
52. |
53. |
54. |
55. |
56. |
57. |
58. |
59. |
60. |
75 |
40 |
15 |
20 |
|
61. |
62. |
63. |
64. |
65. |
66. |
67. |
68. |
69. |
70. |
90 |
60 |
25 |
30 |
|
71. |
72. |
73. |
74. |
75. |
76. |
77. |
78. |
79 |
80. |
65 |
35 |
20 |
25 |
|
81. |
82. |
83. |
84. |
85. |
86. |
87. |
88. |
89. |
90. |
140 |
110 |
60 |
45 |
|
91. |
92. |
93. |
94. |
95. |
96. |
97. |
98. |
99. |
40 |
20 |
25 |
20 |
Приложение 12
Схемы к расчету на жесткость и прочность при кручении.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
Приложение 13
Числовые данные к расчету балки на изгиб.
|
Вариант по зачетной книжке |
№ схемы |
Длина, м. |
Момент силы, кН•м |
Сила, кН |
Интенсивность нагрузки, кН\м. |
|
|
а |
m |
F1 |
F2 |
q |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
1 |
2 |
10 |
75 |
30 |
5 |
|
2 |
2 |
2 |
20 |
70 |
40 |
10 |
|
3 |
3 |
2 |
30 |
65 |
50 |
15 |
|
4 |
4 |
2 |
40 |
60 |
20 |
20 |
|
5 |
5 |
2 |
50 |
55 |
10 |
25 |
|
6 |
6 |
2 |
60 |
50 |
20 |
30 |
|
7 |
7 |
2 |
5 |
45 |
30 |
35 |
|
8 |
8 |
2 |
10 |
40 |
40 |
40 |
|
9 |
9 |
2 |
15 |
35 |
50 |
45 |
|
10 |
10 |
2 |
20 |
30 |
50 |
50 |
|
11 |
11 |
2 |
25 |
25 |
40 |
55 |
|
12 |
12 |
2 |
30 |
20 |
30 |
60 |
|
13 |
13 |
2 |
35 |
15 |
20 |
55 |
|
14 |
14 |
2 |
40 |
10 |
10 |
50 |
|
15 |
15 |
2 |
45 |
5 |
10 |
45 |
|
16 |
16 |
2 |
50 |
10 |
20 |
40 |
|
17 |
17 |
2 |
50 |
15 |
30 |
35 |
|
18 |
18 |
2 |
45 |
20 |
40 |
30 |
|
19 |
19 |
2 |
40 |
25 |
50 |
25 |
|
20 |
20 |
2 |
35 |
30 |
50 |
20 |
|
21 |
1 |
2 |
30 |
35 |
40 |
15 |
|
22 |
2 |
2 |
25 |
40 |
30 |
10 |
|
23 |
3 |
2 |
20 |
45 |
20 |
5 |
|
24 |
4 |
2 |
15 |
50 |
10 |
10 |
|
25 |
5 |
2 |
10 |
55 |
10 |
15 |
|
26 |
6 |
2 |
5 |
60 |
20 |
20 |
|
27 |
7 |
2 |
10 |
65 |
30 |
25 |
|
28 |
8 |
2 |
15 |
60 |
40 |
30 |
|
29 |
9 |
2 |
20 |
55 |
50 |
35 |
|
30 |
10 |
2 |
25 |
50 |
5 |
40 |
|
31 |
11 |
4 |
10 |
80 |
5 |
5 |
|
32 |
12 |
4 |
20 |
75 |
10 |
10 |
|
33 |
13 |
4 |
30 |
70 |
10 |
15 |
|
34 |
14 |
4 |
40 |
65 |
20 |
20 |
|
35 |
15 |
4 |
50 |
60 |
20 |
25 |
|
36 |
16 |
4 |
60 |
55 |
30 |
30 |
|
37 |
17 |
4 |
5 |
50 |
30 |
35 |
|
38 |
18 |
4 |
10 |
45 |
40 |
40 |
|
39 |
19 |
4 |
15 |
40 |
40 |
5 |
|
40 |
20 |
4 |
20 |
35 |
50 |
10 |
|
41 |
1 |
4 |
25 |
30 |
50 |
15 |
|
42 |
2 |
4 |
30 |
25 |
5 |
20 |
|
43 |
3 |
4 |
35 |
20 |
5 |
25 |
|
44 |
4 |
4 |
40 |
15 |
10 |
30 |
|
45 |
5 |
4 |
45 |
10 |
10 |
35 |
|
46 |
6 |
4 |
50 |
5 |
20 |
40 |
|
47 |
7 |
4 |
50 |
10 |
20 |
5 |
|
48 |
8 |
4 |
45 |
15 |
30 |
10 |
|
49 |
9 |
4 |
40 |
20 |
30 |
15 |
|
50 |
10 |
4 |
35 |
25 |
40 |
20 |
|
51 |
11 |
4 |
30 |
30 |
40 |
25 |
|
52 |
12 |
4 |
25 |
35 |
50 |
30 |
|
53 |
13 |
4 |
20 |
40 |
50 |
35 |
|
54 |
14 |
4 |
15 |
45 |
5 |
40 |
|
55 |
15 |
2 |
10 |
50 |
5 |
5 |
|
56 |
16 |
3 |
5 |
55 |
10 |
10 |
|
57 |
17 |
4 |
10 |
60 |
10 |
15 |
|
58 |
18 |
4 |
15 |
65 |
20 |
20 |
|
59 |
19 |
4 |
20 |
60 |
20 |
25 |
|
60 |
20 |
4 |
25 |
75 |
30 |
30 |
|
61 |
1 |
6 |
10 |
70 |
30 |
35 |
|
62 |
2 |
6 |
20 |
65 |
40 |
40 |
|
63 |
3 |
6 |
30 |
60 |
40 |
5 |
|
64 |
4 |
4 |
40 |
55 |
50 |
10 |
|
65 |
5 |
6 |
50 |
50 |
50 |
15 |
|
66 |
6 |
6 |
60 |
45 |
5 |
20 |
|
67 |
7 |
3 |
5 |
40 |
5 |
25 |
|
68 |
8 |
6 |
10 |
35 |
10 |
30 |
|
69 |
9 |
6 |
15 |
30 |
10 |
35 |
|
70 |
10 |
6 |
20 |
25 |
20 |
40 |
|
71 |
11 |
6 |
25 |
20 |
20 |
5 |
|
72 |
12 |
2 |
30 |
15 |
30 |
10 |
|
73 |
13 |
6 |
35 |
10 |
30 |
15 |
|
74 |
14 |
6 |
40 |
5 |
40 |
20 |
|
75 |
15 |
3 |
45 |
10 |
40 |
25 |
|
76 |
16 |
6 |
50 |
15 |
50 |
30 |
|
77 |
17 |
3 |
50 |
20 |
50 |
35 |
|
78 |
18 |
6 |
45 |
25 |
5 |
40 |
|
79 |
19 |
6 |
40 |
30 |
5 |
5 |
|
80 |
20 |
6 |
35 |
35 |
10 |
10 |
|
81 |
1 |
6 |
30 |
40 |
10 |
15 |
|
82 |
2 |
6 |
25 |
45 |
20 |
20 |
|
83 |
3 |
6 |
20 |
50 |
20 |
25 |
|
84 |
4 |
6 |
15 |
55 |
30 |
30 |
|
85 |
5 |
6 |
10 |
60 |
30 |
35 |
|
86 |
6 |
6 |
5 |
65 |
40 |
40 |
|
87 |
7 |
6 |
10 |
60 |
40 |
10 |
|
88 |
8 |
6 |
15 |
55 |
50 |
15 |
|
89 |
9 |
6 |
20 |
50 |
50 |
20 |
|
90 |
10 |
6 |
25 |
45 |
5 |
20 |
|
91 |
11 |
2 |
10 |
40 |
5 |
25 |
|
92 |
12 |
2 |
20 |
35 |
10 |
30 |
|
93 |
13 |
2 |
30 |
30 |
10 |
35 |
|
94 |
14 |
2 |
40 |
25 |
20 |
40 |
|
95 |
15 |
2 |
50 |
20 |
20 |
45 |
|
96 |
16 |
2 |
60 |
15 |
30 |
50 |
|
97 |
17 |
2 |
5 |
10 |
30 |
55 |
|
98 |
18 |
2 |
10 |
5 |
40 |
60 |
|
99 |
19 |
2 |
15 |
75 |
40 |
60 |
Приложение 14
Схемы к расчету балки на изгиб.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
Приложение 15
Числовые данные к расчету вала на изгиб с кручением.
|
Вариант |
Номер схемы |
Диаметр, мм. |
Мощность, кВт. |
Угловая скорость,с-1 |
Длина, |
Угол, град. |
|
|
d1 |
d2 |
P |
ω |
a |
α |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
900 |
600 |
100 |
30 |
0,10 |
25 |
|
2 |
2 |
850 |
550 |
90 |
35 |
0,15 |
30 |
|
3 |
3 |
800 |
500 |
80 |
40 |
0,20 |
35 |
|
4 |
4 |
750 |
450 |
70 |
45 |
0,25 |
40 |
|
5 |
5 |
700 |
400 |
60 |
50 |
0,10 |
45 |
|
6 |
6 |
650 |
350 |
50 |
55 |
0,15 |
50 |
|
7 |
7 |
600 |
300 |
40 |
60 |
0,20 |
55 |
|
8 |
8 |
550 |
250 |
100 |
65 |
0,25 |
60 |
|
9 |
9 |
500 |
200 |
90 |
70 |
0,10 |
65 |
|
10 |
10 |
450 |
250 |
80 |
75 |
0,15 |
70 |
|
11 |
11 |
400 |
300 |
70 |
80 |
0,20 |
75 |
|
12 |
12 |
900 |
350 |
60 |
30 |
0,25 |
25 |
|
13 |
13 |
850 |
450 |
50 |
35 |
0,10 |
30 |
|
14 |
14 |
800 |
400 |
40 |
40 |
0,15 |
35 |
|
15 |
15 |
750 |
350 |
100 |
45 |
0,20 |
40 |
|
16 |
16 |
700 |
300 |
90 |
50 |
0,25 |
45 |
|
17 |
17 |
650 |
250 |
80 |
55 |
0,10 |
50 |
|
18 |
18 |
600 |
200 |
70 |
60 |
0,15 |
55 |
|
19 |
19 |
550 |
250 |
60 |
65 |
0,20 |
60 |
|
20 |
20 |
500 |
300 |
50 |
70 |
0,25 |
65 |
|
21 |
21 |
450 |
350 |
40 |
75 |
0,10 |
70 |
|
22 |
22 |
400 |
400 |
100 |
80 |
0,15 |
75 |
|
23 |
23 |
900 |
450 |
90 |
30 |
0,20 |
25 |
|
24 |
24 |
850 |
350 |
80 |
35 |
0,25 |
30 |
|
25 |
1 |
800 |
300 |
70 |
40 |
0,10 |
35 |
|
26 |
2 |
750 |
250 |
60 |
45 |
0,15 |
40 |
|
27 |
3 |
700 |
200 |
50 |
50 |
0,20 |
45 |
|
28 |
4 |
650 |
600 |
40 |
55 |
0,25 |
50 |
|
29 |
5 |
600 |
550 |
100 |
60 |
0,10 |
55 |
|
30 |
6 |
550 |
500 |
90 |
65 |
0,15 |
60 |
|
31 |
7 |
500 |
450 |
80 |
70 |
0,20 |
65 |
|
32 |
8 |
450 |
400 |
70 |
75 |
0,25 |
70 |
|
33 |
9 |
400 |
350 |
60 |
80 |
0,10 |
75 |
|
34 |
10 |
900 |
300 |
50 |
30 |
0,15 |
25 |
|
35 |
11 |
850 |
250 |
40 |
35 |
0,20 |
30 |
|
36 |
12 |
800 |
200 |
100 |
40 |
0,25 |
35 |
|
37 |
13 |
750 |
600 |
90 |
45 |
0,10 |
40 |
|
38 |
14 |
600 |
550 |
80 |
50 |
0,10 |
45 |
|
39 |
15 |
550 |
500 |
70 |
55 |
0,15 |
50 |
|
40 |
16 |
500 |
450 |
60 |
60 |
0,20 |
55 |
|
41 |
17 |
450 |
400 |
50 |
65 |
0,25 |
60 |
|
42 |
18 |
400 |
350 |
40 |
70 |
0,10 |
65 |
|
43 |
19 |
900 |
300 |
100 |
75 |
0,15 |
70 |
|
44 |
20 |
850 |
250 |
90 |
80 |
0,20 |
75 |
|
45 |
21 |
800 |
200 |
80 |
30 |
0,25 |
25 |
|
46 |
22 |
750 |
600 |
70 |
35 |
0,10 |
30 |
|
47 |
23 |
700 |
550 |
60 |
40 |
0,15 |
35 |
|
48 |
24 |
650 |
500 |
50 |
45 |
0,20 |
40 |
|
49 |
1 |
600 |
450 |
40 |
50 |
0,25 |
45 |
|
50 |
2 |
550 |
400 |
100 |
55 |
0,10 |
50 |
|
51 |
3 |
500 |
350 |
90 |
60 |
0,15 |
55 |
|
52 |
4 |
450 |
300 |
80 |
65 |
0,20 |
60 |
|
53 |
5 |
400 |
250 |
70 |
70 |
0,25 |
65 |
|
54 |
6 |
900 |
200 |
60 |
75 |
0,10 |
70 |
|
55 |
7 |
850 |
600 |
50 |
80 |
0,15 |
75 |
|
56 |
8 |
800 |
550 |
40 |
30 |
0,20 |
25 |
|
57 |
9 |
750 |
500 |
100 |
35 |
0,25 |
30 |
|
58 |
10 |
700 |
450 |
90 |
40 |
0,10 |
35 |
|
59 |
11 |
650 |
400 |
80 |
45 |
0,15 |
40 |
|
60 |
12 |
600 |
350 |
70 |
50 |
0,20 |
45 |
|
61 |
13 |
550 |
300 |
60 |
55 |
0,25 |
50 |
|
62 |
14 |
500 |
250 |
50 |
60 |
0,10 |
55 |
|
63 |
15 |
450 |
200 |
40 |
65 |
0,15 |
60 |
|
64 |
16 |
400 |
500 |
100 |
70 |
0,20 |
65 |
|
65 |
17 |
900 |
550 |
90 |
75 |
0,25 |
70 |
|
66 |
18 |
850 |
500 |
80 |
80 |
0,10 |
75 |
|
67 |
19 |
800 |
450 |
70 |
30 |
0,15 |
25 |
|
68 |
20 |
750 |
400 |
60 |
35 |
0,20 |
30 |
|
69 |
21 |
700 |
350 |
50 |
40 |
0,25 |
35 |
|
70 |
22 |
650 |
300 |
40 |
45 |
0,10 |
40 |
|
71 |
23 |
600 |
250 |
100 |
50 |
0,15 |
45 |
|
72 |
24 |
550 |
200 |
90 |
55 |
0,20 |
50 |
|
73 |
1 |
500 |
450 |
80 |
60 |
0,25 |
55 |
|
74 |
2 |
450 |
400 |
70 |
65 |
0,10 |
60 |
|
75 |
3 |
400 |
350 |
60 |
70 |
0,15 |
65 |
|
76 |
4 |
900 |
450 |
50 |
75 |
0,20 |
70 |
|
77 |
5 |
850 |
400 |
40 |
80 |
0,25 |
75 |
|
78 |
6 |
800 |
350 |
100 |
30 |
0,10 |
25 |
|
79 |
7 |
750 |
300 |
90 |
35 |
0,15 |
30 |
|
80 |
8 |
700 |
250 |
80 |
40 |
0,20 |
35 |
|
81 |
9 |
650 |
200 |
70 |
45 |
0,10 |
40 |
|
82 |
10 |
600 |
600 |
60 |
50 |
0,15 |
45 |
|
83 |
11 |
550 |
550 |
50 |
55 |
0,20 |
50 |
|
84 |
12 |
500 |
500 |
40 |
30 |
0,25 |
55 |
|
85 |
13 |
450 |
450 |
100 |
35 |
0,10 |
60 |
|
86 |
14 |
400 |
400 |
90 |
40 |
0,15 |
65 |
|
87 |
15 |
900 |
350 |
80 |
45 |
0,20 |
70 |
|
88 |
16 |
850 |
300 |
70 |
50 |
0,25 |
75 |
|
89 |
17 |
800 |
250 |
60 |
55 |
0,10 |
25 |
|
90 |
18 |
750 |
200 |
50 |
60 |
0,15 |
30 |
|
91 |
19 |
700 |
600 |
40 |
65 |
0,20 |
35 |
|
92 |
20 |
650 |
550 |
100 |
70 |
0,25 |
40 |
|
93 |
21 |
600 |
500 |
90 |
75 |
0,10 |
45 |
|
94 |
22 |
550 |
450 |
80 |
80 |
0,15 |
50 |
|
95 |
23 |
500 |
400 |
70 |
30 |
0,20 |
55 |
|
96 |
24 |
450 |
350 |
60 |
35 |
0,25 |
60 |
|
97 |
1 |
400 |
300 |
50 |
40 |
0,10 |
65 |
|
98 |
2 |
900 |
250 |
40 |
45 |
0,15 |
70 |
|
99 |
3 |
850 |
200 |
100 |
50 |
0,20 |
75 |
Приложение 16
Схемы к расчету вала на изгиб с кручением.
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
23. |
24. |
Приложение 17
Условные графические изображения на схемах
|
Наименование |
Схематическое изображение |
|
1 |
2 |
|
Электродвигатель |
|
|
Вал, валик, ось, стержень, шатун и т.п. |
|
|
Вращение вала |
|
|
Опора для стержня а) неподвижная |
|
|
б) подвижная |
|
|
Соединение стержня с неподвижной опорой а) шарнирное с движением в плоскости чертежа |
|
|
б)шаровым шарниром |
|
|
Подшипники скольжения и качения на валу (без уточнения типа) а) радиальные |
|
|
б) радиально-упорные односторонние |
|
|
в) упорные |
|
|
Подшипники скольжения а) радиальные б) радиально-упорные односторонние |
|
|
Подшипники качения а) радиальные шариковые |
|
|
б) радиальные роликовые |
|
|
в) радиально-упорные односторонние шариковые |
|
|
г) радиально-упорные роликовые односторонние |
|
|
д) упорные шариковые |
|
|
Соединение детали с валом а)свободное при вращении |
|
|
б) подвижное без вращения |
|
|
в) глухое (неподвижное) |
|
|
Муфты а) жесткая |
|
|
б) без уточнения типа |
|
|
в) предохранительная |
|
|
г) фрикционная |
|
|
Муфты сцепления кулачковые (зубчатые) а) односторонние |
|
|
б) двухсторонние |
|
|
Тормоза а) колодчатые |
|
|
б) ленточные |
|
|
в) дисковые |
|
|
Кулачки а) плоские продольного перемещения |
|
|
б) плоские дисковые |
|
|
Толкатели для кулачковых механизмов а) пальцевые |
|
|
б) роликовые |
|
|
Ползун в неподвижных направляющих |
|
|
Цилиндры с поршнем |
|
|
Соединение кривошипа с шатуном |
|
|
Соединение коленчатого вала с шатуном а) с одним коленом |
|
|
б) с несколькими коленами |
|
|
Храповые зубчатые механизмы с наружным зацеплением односторонние |
|
|
Шкив ступенчатый, закрепленный на валу |
|
|
Передача плоским ремнем |
|
|
Передача с клиновым ремнем |
|
|
Передача цепью |
|
|
Передачи зубчатые цилиндрические а) внешнего зацепления |
|
|
б) внутреннего зацепления |
|
|
Передачи зубчатые с пересекающимися валами, конические |
|
|
Передачи зубчатые со скрещивающимися валами а) гипоидные |
|
|
б) червячные с цилиндрическим колесом |
|
|
в) винтовые |
|
|
Передачи зубчатые реечные |
|
|
Пружины а) цилиндрические сжатия |
|
|
б) цилиндрические растяжения |
Тесты для контроля знаний студентов по дисциплине теоретическая механика
Статика
1) Блок А находится в неподвижном равновесии. Груз D лежит на шероховатой поверхности с коэффициентом трения f = 0,1. Вес груза D = 100 H. Угол α = 45.
Максимальный вес гири B равен ###.
а) 70,7 H
б) 100 H
в) 77,8 H
г) 50 H
2) К прямоугольному уголку приложены две пары сил с моментами M1 = 15 H·м, M1 = 8 H·м.
Момент пары сил, эквивалентной этим двум парам, равен M =### H·м.
а) 7
б) 17
в) 11,5
г) 23
4) Блок А находится в неподвижном равновесии. Груз D лежит на шероховатой поверхности с коэффициентом трения f = 0,1. Вес груза D = 100 H. Угол α = 60.
Максимальный вес гири B равен ###.
а) 50 H
б) 100 H
в) 75 H
г) 81,6 H
5) Для определения координат центра тяжести сектора круга радиуса R с центральным углом 2α представлены четыре системы координат.
Наиболее оптимальным вариантом является система осей ###.
а) x1Oy1
б) x4Oy4
в) x2Oy2
г) x3Oy3
6) Сумма моментов внутренних сил механической системы относительно какой - либо точки равна ###.
а) нулю
б) произведению массы системы на радиус – вектор ее центра масс
в) кинетическому моменту механической системы
г) сумме моментов всех внешних сил, действующих на точки механической системы
7) mk – масса k – той точки твердого тела, hk – расстояние от нее до оси z. Выражение Jz = является ###.
а) моментом инерции твердого тела относительно оси z
б) формулой для определения массы твердого тела
в) формулой для определения центра тяжести твердого тела
г) кинетической энергией твердого тела
8) Для определения координат центра тяжести сектора круга радиуса R с центральным углом 2α представлены четыре системы координат.
Наиболее оптимальным вариантом является система осей ###.
а) x1Oy1
б) x2Oy2
в) x4Oy4
г) x3Oy3
9) Блок А находится в неподвижном равновесии. Груз D лежит на шероховатой поверхности с коэффициентом трения f = 0,1. Вес груза D = 100 H. Максимальный вес гири B равен ###.
а) 10 H
б) 100 H
в) 50 H
г) 25 H
10) Вдоль ребер единичного куба направлены три силы: F1 = (H),
F2 = F3 = 1 (H).
Угол, который образует главный вектор системы сил с осью Oy равен
β = arccos ###.
а) 0
б) –
в) – 1
г) –
11) Блок А находится в неподвижном равновесии. Груз D лежит на шероховатой поверхности с коэффициентом трения f = 0,1. Вес груза D = 100 H.
Угол α = 30.
Максимальный вес гири B равен ###.
а) 100 H
б) 75 H
в) 65 H
г) 50 H
12) Для определения координат центра тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом 2α представлены четыре системы координат.
Наиболее оптимальным вариантом является система осей ###.
а) x3Oy3
б) x4Oy4
в) x2Oy2
г) x1Oy1
13) К прямоугольному уголку приложены две пары сил с моментами M1 = 5 H·м, M1 = 12 H·м.
Момент пары сил, эквивалентной этим двум парам, равен M =### H·м.
а) 7
б) 13
в) 8,5
г) 17
Кинематика. Динамика.
1) Точка массой m = 2 (кг) движется по прямой так, что скорость точки изменяется согласно представленному графику υ = υ(t). По второму закону Ньютона равнодействующая всех действующих на точку сил равна R = ### (H).
а) 2,4
б) 3
в) 12
г) 4
2) Лифт поднимается с ускорением a = 0,2g. Сила давления груза массой
m = 50 (кг) на дно лифта равна ### (H).
а) 85 g
б) 60 g
в) 65 g
г) 70 g
д) 75 g
3) Характер движения механической системы, если дифференциальное уравнение ее движения имеет вид , это ###.
а) апериодическое движение
б) вынужденные колебания
в) затухающие колебания
г) свободные колебания
4) Материальная точка массой m = 1(кг) движется по сложной траектории АВ. Если известно, что R = 2 (м); углы α = 30; β = 45, принимая g = 10 м/с2, то работа силы тяжести на перемещении из положения D в положение E равна ###.
а) – 5 Дж
б) – 10 Дж
в) 5 Дж
г) 10 Дж
5) Однородная круглая пластина радиусом r, массой m вращается вокруг оси, расположенной в плоскости пластины и находящейся на расстоянии r/2 от центра, с постоянной угловой скоростью ω. Модуль главного вектора сил инерции этой системы Ф равен ###.
а) 0
б) m r2 ω
в) m r ω2
г) m r ω2
6) Величина, равная векторной сумме произведений масс точек механической системы на вектора скоростей этих точек называется ###.
а) количеством движения механической системы
б) кинетическим моментом механической системы
в) суммой внешних сил, действующих на точки механической системы
г) кинетической энергией механической системы
7) Однородный сплошной диск массы m = 8 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска равна υ = 3 м/с. Кинетическая энергия диска равна ### .
а) 36
б) 27
в) 15
г) 18
д) 54
8) Кривошип ОА, вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью ω, и шатун АВ расположены в данный момент на одной прямой. Длина кривошипа равна r, шатун – прямолинейный стержень длинны l, масса ползуна – m. Модуль вектора количества движения ползуна равен ###.
а) m ω r
б) 0
в) 2 m ω l
г) m ω r/2
д) m ω l
9) При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Оx угловое ускорение тела ε = 3 с-2, а полное ускорение точки А образует с прямой ОА угол α = 45 . Для точки отстоящей от оси вращения ОА = 10 см величина нормального ускорения равна аn = ###.
а) 15 см/с2
б) 30 см/с2
в) 15 см/с2
г) 30 см/с2
10) Стержни ОА и О1В равны по длине (ОА = О1В = 0,25 м) и вращаются равномерно с одинаковыми угловыми скоростями ω = 4 рад/с. Скорость точки Е квадратной пластины, жестко закрепленной стержнями равна ### м/с.
а) 4
б) 2
в) 1
г) 0,25
11) Подвижный подъемный кран перемещается по горизонтальным рельсам О1D согласно уравнению S = 3(1 + t2) (см). Стрела крана ОК параллельна рельсам, по стреле движется тележка А согласно уравнению x = 3 – 8 t (см). Груз В движется вертикально с помощью лебедки, установленной на тележке, по закону
y = 4 t2 – 8 (см). Абсолютное ускорение груза В равно ###.
а) 10
б)
в)
г)
12) Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О2О1 по закону
φ = 4 – t + 2 t3. В момент времени t = 1 с тело будет вращаться ###.
а) замедленно
б) равномерно
в) равноускоренно
г) равнозамедленно
д) ускорено
13) В кривошипно – кулисном механизме кривошип ОМ = 10 см вращается с угловой скоростью ω = 2 с-1. При этом ползун М движется в прорези кулисы, заставляя ее совершать возвратно – поступательное движение. Считаем движение ползуна М сложным, и в тот момент, когда угол φ =60, скорость кулисы АВ будет равна ###.
а) υ АВ = 10 см/с
б) υ АВ = см/с
в) υ АВ = 20 см/с
г) υ АВ = см/с
14) На рисунке представлен график изменения скорости точки υ = υ(t), имеющей разные ускорения на отдельных участках движения. Запишите модуль ускорения точки на участке D ###.
15) По окружности радиуса R = 1 (м) движется точка по закону S = 2t + 4t3, где
t – время в секундах, S – в метрах. Касательное ускорение точки в момент времени t = 0,5 с равно ### м/с2.
а) 6
б) 9
в) 3
г) 18
д) 12
16) В кривошипно – кулисном механизме кривошип ОМ = 20 см вращается с угловой скоростью ω = 1 с-1. При этом ползун М движется в прорези кулисы, заставляя ее совершать возвратно – поступательное движение. Считаем движение ползуна М сложным, и в тот момент, когда угол φ =90, скорость кулисы АВ будет равна ###.
а) υ АВ = 10 см/с
б) υ АВ = см/с
в) υ АВ = 20 см/с
г) υ АВ = см/с
17) По окружности радиуса R = 1 (м) движется точка по закону S = 2t + t3, где
t – время в секундах, S – в метрах. Касательное ускорение точки в момент времени t = 3 с равно ### м/с2.
а) 6
б) 36
в) 24
г) 18
д) 12
18) Точка движется согласно уравнениям x = 5 cos 3t, y = 3 sin 3t (x, y – в метрах). Проекция скорости точки на ось Y (в м/с) в положении x = 0, y = – 3
равна ###.
19) При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Оx угловое ускорение тела ε = 1 с-2, а полное ускорение точки А образует с прямой ОА угол α = 60 . Для точки отстоящей от оси вращения ОА = 10 см величина нормального ускорения равна аn = ###.
а) 20 см/с2
б) 10 см/с2
в) 20 см/с2
г) 10 см/с2
20) Подвижный подъемный кран перемещается по горизонтальным рельсам О1D согласно уравнению S = 8 – 7t (см). Стрела крана ОК параллельна рельсам, по стреле движется тележка А согласно уравнению x = 3 (t2 + 5) (см). Груз В движется вертикально с помощью лебедки, установленной на тележке, по закону
y = 2 (1+ t2) (см). Абсолютное ускорение груза В равно ###.
а) 10
б)
в)
г)
21) Стержни AB и CD равны по длине (AB = CD = 0,25 м) и вращаются равномерно с одинаковыми угловыми скоростями ω = 4 рад/с. Скорость точки Е равна ### м/с.
а) 4
б) 2
в) 1
г) 0,25
22) Однородная квадратная пластина со стороной а, массой m вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через одну из ее вершин, с постоянной угловой скоростью ω. Модуль главного вектора сил инерции этой системы Ф равен ###.
а) 0
б) m а2 ω
в) m а ω2
г) m а ω2
23) Однородный сплошной диск массы m = 3 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска равна υ = 4 м/с. Кинетическая энергия диска равна ### .
а) 36
б) 54
в) 18
г) 75
д) 27
24) Материальная точка массой m = 0,1(кг) движется по сложной траектории АВ. Если известно, что R = 2,5 (м); l = 1(м); углы α = 30; β = 45, принимая g = 10 м/с2, то работа силы тяжести на перемещении из положения E в положение F равна ###.
а) 2 – Дж
б) – 2 Дж
в) 1 – Дж
г) – 1 Дж
25) Характер движения механической системы, если дифференциальное уравнение ее движения имеет вид , это ###.
а) апериодическое движение
б) вынужденные колебания
в) затухающие колебания
г) свободные колебания
26) Лифт поднимается с ускорением a = 0,7g. Сила давления груза массой
m = 50 (кг) на дно лифта равна ### (H).
а) 85 g
б) 80 g
в) 65 g
г) 75 g
д) 95 g
27) Характер движения механической системы, если дифференциальное уравнение ее движения имеет вид , это ###.
а) апериодическое движение
б) вынужденные колебания
в) затухающие колебания
г) свободные колебания
28) В кривошипно – кулисном механизме кривошип ОМ = 10 см вращается с угловой скоростью ω = 2 с-1. При этом ползун М движется в прорези кулисы, заставляя ее совершать возвратно – поступательное движение. Считаем движение ползуна М сложным, и в тот момент, когда угол φ =120, скорость кулисы АВ будет равна ###.
а) υ АВ = 10 см/с
б) υ АВ = см/с
в) υ АВ = 20 см/с
г) υ АВ = см/с
29) Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О2О1 по закону
φ = (t – 2)3. В момент времени t = 1 с тело будет вращаться ###.
а) замедленно
б) равномерно
в) равноускоренно
г) равнозамедленно
д) ускорено
30) В шарнирном параллелограмме ОАВО1 кривошип ОА вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω , масса звена АВ = m, ОА = О1В = r, АВ = ОО1 = l.
Проекция вектора количества движения звена АВ на ось Ox равна ###.
а) – mωr cos φ
б) mωr cos φ
в) mωr sin φ
г) – mωr sin φ
д) – mωr sin φ
31) Тонкий однородный стержень длинной L, массой m вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, с постоянной угловой скоростью ω. Модуль главного вектора сил инерции этой системы Ф равен ###.
а) 0
б) mL 2 ω
в) m Lω2
г) m Lω2
32) Однородный сплошной диск массы m = 5 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска равна υ = 2 м/с. Кинетическая энергия диска равна ### .
а) 36
б) 54
в) 18
г) 15
д) 27
33) Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О2О1 по закону
φ = (2t – 1 )3 – 8. В момент времени t = 1 с тело будет вращаться ###.
а) замедленно
б) равномерно
в) равноускоренно
г) равнозамедленно
д) ускорено
34) При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Оx угловое ускорение тела ε = 0,5 с-2, а полное ускорение точки А образует с прямой ОА угол α = 45 . Для точки отстоящей от оси вращения ОА = 20 см величина нормального ускорения равна аn = ###.
а) 10 см/с2
б) 20 см/с2
в) 5 см/с2
г) 10 см/с2
35) Точка движется согласно уравнениям x = 5 cos 3t, y = 3 sin 3t (x, y – в метрах). Проекция скорости точки на ось X (в м/с) в положении x = 5, y = 0
равна ###.
36) На рисунке представлен график изменения скорости точки υ = υ(t), имеющей разные ускорения на отдельных участках движения. Запишите модуль ускорения точки на участке B ###.
37) Количество движения механической системы равно ###.
а) сумме моментов всех внешних сил, действующих на точки механической системы
б) сумме всех внешних сил, действующих на точки механической системы
в) произведению массы механической системы на вектор скорости ее центра масс
в) произведению массы системы на радиус – вектор ее центра масс
38) Лифт опускается с ускорением a = 0,4g. Сила давления груза массой
m = 50 (кг) на дно лифта равна ### (H).
а) 25 g
б) 40 g
в) 35 g
г) 30 g
д) 0
39) Характер движения механической системы, если дифференциальное уравнение ее движения имеет вид , это ###.
а) апериодическое движение
б) вынужденные колебания
в) затухающие колебания
г) свободные колебания
40) Материальная точка массой m = 1(кг) движется по сложной траектории АВ. Если известно, что R = 2 (м); углы α = 30; β = 45, принимая g = 10 м/с2, то работа силы тяжести на перемещении из положения K в положение L равна ###.
а) – 10 Дж
б) 10 Дж
в) 10(1 – ) Дж
г)10( – 1) Дж
41) Точка массой m = 4 (кг) движется по прямой так, что скорость точки изменяется согласно представленному графику υ = υ(t). По второму закону Ньютона равнодействующая всех действующих на точку сил равна R = ### (H).
а) 1,6
б) 8
в) 10
г) 2
42) Точка массой m = 5 (кг) движется по прямой так, что скорость точки изменяется согласно представленному графику υ = υ(t). По второму закону Ньютона равнодействующая всех действующих на точку сил равна R = ### (H).
а) 1,6
б) 2
в) 12,5
г) 4
43) Лифт поднимается с ускорением a = 0,3g. Сила давления груза массой
m = 50 (кг) на дно лифта равна ### (H).
а) 90 g
б) 70 g
в) 75 g
г) 85 g
д) 65 g
44) Точка движется согласно уравнениям x = 5 cos 3t, y = 3 sin 3t (x, y – в метрах). Проекция скорости точки на ось X (в м/с) в положении x = – 5, y = 0
равна ###.
45) На рисунке представлен график изменения скорости точки υ = υ(t), имеющей разные ускорения на отдельных участках движения. Запишите модуль ускорения точки на участке D ###.
46) По окружности радиуса R = 1 (м) движется точка по закону S = 2t +3t3, где
t – время в секундах, S – в метрах. Касательное ускорение точки в момент времени t = 1 с равно ### м/с2.
а) 3
б) 18
в) 9
г) 6
д) 12
47) Подвижный подъемный кран перемещается по горизонтальным рельсам О1D согласно уравнению S = 9 – 4t2 (см). Стрела крана ОК параллельна рельсам, по стреле движется тележка А согласно уравнению x = 6 t +1 (см). Груз В движется вертикально с помощью лебедки, установленной на тележке, по закону
y = 2 – 5 t2 (см). Абсолютное ускорение груза В равно ###.
а)
б)
в)
г)
48) Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О2О1 по закону
φ = (t + 1)2 – 7. В момент времени t = 1 с тело будет вращаться ###.
а) замедленно
б) равномерно
в) равноускоренно
г) равнозамедленно
д) ускорено
49) Кривошип ОА длинны r, вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью
ω , приводит в движение с помощью ползуна А кулису ВС массы m, перемещающуюся по направляющим. Проекция вектора количества движения кулисы на ось Oy равна ###.
а) – mωr cos φ
б) 0
в) mωr tg φ
г) – mωr sin φ
д) mωr
50) Однородная круглая пластина радиусом r, массой m вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через ее край, с постоянной угловой скоростью ω. Модуль главного вектора сил инерции этой системы Ф равен ###.
а) 0
б) m r2 ω
в) m r ω2
г) m r ω2
51) Материальная точка массой m = 1(кг) движется по сложной траектории АВ. Если известно, что R = 0,5 (м); l = 0,5 (м); углы α = 30; β = 45, принимая g = 10 м/с2, то работа силы тяжести на перемещении из положения N в положение B равна ###.
а) 3( – 2) Дж
б) 3(2 – ) Дж
в) 6( – 2) Дж
г) 6(2 – ) Дж
Приложение 19
Список тестовых вопросов по дисциплине «Сопротивление материалов»
Введение в курс
1) Тело, длина которого l существенно превышает характерные размеры поперечного сечения (ширины и высоты) b и h называется ###.
2) Вектор полного напряжения на данной площадке р раскладывают на составляющие (на нормаль к площадке и на плоскость этой площадки). Эти составляющие называют ###.
3) В модели формы при расчетах прочностной надежности вводят упрощение в геометрию элементов конструкций, приводя их к схеме ###.
4) Под действием внешних сил тело деформируется. Произвольная точка К переходит в новое положение К1 . Полное перемещение точки К раскладывается на составляющие U,V,W, которые называются ###.
5) Составляющие главного вектора R и главного момента М внутренних сил по координатным осям X, Y, Z называют ###.
6) Способность твердого тела сопротивляться изменению геометрических размеров и формы называется ###.
7) Материал называется анизотропным, если ###.
8) Примером анизотропного материала является ###.
9) Способность твердого тела (конструкции) сохранять свое состояние (равновесия или движения) при внешних воздействиях называется ###.
10) Величины, служащие мерой механического действия одного материального тела на другое, называются ###.
11) Изменение положения в пространстве одного тела (или частицы тела) относительно другого тела в различные фиксированные моменты времени называется ###.
12) Приращение сил взаимодействия между частицами (частями) тела, возникающих при его нагружении называется ###.
13) Упругостью называется свойство материала ###.
14) Если не учитывается конкретная структура материала (зернистая, кристаллическая и др.), и считается, что материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции, то материал обладает свойством ###.
15) Принцип, утверждающий, что в точках тела, достаточно удаленных от места приложения сил, внутренние силы практически не зависят от характера распределения внешних сил (и зависит лишь от статического эквивалента последних) называется ###.
16) Чугун и сталь – материалы ###.
17) Метод, позволяющий выявить внутренние усилия в сечении стержня, перевести их в разряд внешних сил и определить их численные значения, называется ###.
18) Величина, служащая мерой механического действия одного материального тела на другое, называется ###.
19) Модели материала в расчетах прочностной надежности детали (элемента конструкции) принято считать ###.
Растяжение и сжатие
20) Чугунный образец при испытаниях на сжатие разрушается по форме ###.
а) б) в) г)
21) Для стержня, схема которого изображена на рисунке, нормальное усилие N в сечении 1-1 будет ###.
а) растягивающее
б) сжимающее
в) растягивающее и сжимающее
г) равно нулю
22) Если предел пропорциональности материала и соответствующая ему деформация равны σп = 100МПа, εп = 0,0014, тогда величина модуля упругости равна ###.
23) Для стержня, схема которого изображена на рисунке, нормальные напряжения, действующие в сечении 1-1 будут ###.
а) растягивающими
б) сжимающими
в) растягивающими и сжимающими
г) равны нулю
24) Отношение абсолютного удлинения (укорочения) Δl стержня к первоначальной длине l называется ###.
25) Проверку на прочность стержня CD, имеющего разные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие проводят по формуле ###.
а) б) в) г)
26) Чугунный образец диаметром 0,0015 м разрушился при F= 0,12 Мн. Тогда величина предела прочности равна ###.
27) Для стержня, схема которого изображена на рисунке, нормальные
а) равны нулю
б) сжимающими
в) растягивающими и сжимающими
г) растягивающими
напряжения, действующие в сечении 1-1 будут ###.
28) Если стержень ВС одинаково работает на растяжение и сжатие, то проверку прочности проводят из условия ###.
а) б) в) г)
29) На рисунке показана диаграмма растяжения стального образца диаметром 0,01 м. Масштаб нагрузки – 1 деление – 0,004 Мн. Тогда предел текучести материала равен ###.
30) Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали имеет вид ###.
31) Если стержень ВС одинаково работает на растяжение и сжатие, то проверку прочности проводят из условия ###.
а) б) в) г)
32) Предел отношения называется ###.
33) Для стержня, схема которого изображена на рисунке, деформации, возникающие в сечении 1-1 будут ###.
а) равны нулю
б) сжимающими
в) растягивающими и сжимающими
г) растягивающими
34) Пусть - допускаемые перемещения на растяжение и сжатие соответственно, - абсолютное удлинение – укорочение стержня ВС. Тогда проверку на жесткость стержня ВС проводят из условия ###.
а) б) в) г)
35) Для стержня, изображенного на рисунке, вид сложного сопротивления ###.
а) изгиб с кручением
б) внецентренное растяжение
в) косой изгиб
г)общий случай сложного сопротивления
36) При линейном напряженном состоянии Закон Гука выражается зависимостью ###.
Сдвиг. Кручение.
36) В сечении 1-1 крутящий момент по модулю равен ###.
а) б) в) г)
37) Если к тонкостенной трубе приложен скручивающий момент М, то напряженным состоянием для элементарного объема «abcd» будет ###.
а) сложное напряженное состояние
б) линейное напряженное состояние
в) чистый сдвиг
г) плоское напряженное состояние
38) Абсолютный угол закручивания стержня равен ###.
а) б) в) г)
39) Условие прочности для стержня имеет вид ###.
а) б) в) г)
39) Условие жесткости стержня при кручении имеет вид ###.
а) б) в) г)
40) Если - допускаемое касательное напряжение, то из расчета на прочность диаметр вала ###.
а) б) в) г)
41) В сечении 1-1 крутящий момент по модулю равен ###.
а) б) в) г)
42) Закон Гука при чистом сдвиге выражается формулой ###.
а) б) в) г)
43) Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между сдвигающими плоскостями а называется ###.
а) модулем сдвига
б) модулем Юнга
в) относительным сдвигом
г) законом Гука при сдвиге
44) Пусть к тонкостенной трубе приложен скручивающий момент М. Тогда деформация элемента стенки трубы показана на рисунке ###.
а) б)
в) г)
45) Суммарный момент относительно оси стержня всех внутренних сил, действующих в поперечном сечении, называется ###.
а) изгибающим моментом
б) крутящим моментом
в) моментом силы относительно точки
г) моментом силы относительно оси
46) Пусть - допускаемый относительный угол закручивания, GIp – жесткость поперечного сечения на кручение ###.
а) б)
в) г)
47) Если - допускаемое касательное напряжение, то из расчета на прочность диаметр вала ###.
а) б) в) г)
48) Угол поворота сечения С равен ###.
а) б) в) г)
49) Известен взаимный угол поворота сечений А и В. Модуль сдвига материала образца равен ###.
а) б) в) г)
50) Пусть GIp – жесткость поперечного сечения на кручение. Тогда максимальный относительный угол закручивания равен ###.
а) б) в) г)
51) Площадь поперечного сечения тела заклепки – А. Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле ###.
а) б) в) г)
52) Если - допускаемое касательное напряжение, то из расчета на прочность скручивающий момент ###.
а) б) в) г)
53) В процессе скручивания длина стержня L ###.
а) сначала увеличивается, потом уменьшается
б) увеличивается
в) уменьшается
г) не изменяется
54) Изменение касательных напряжений вдоль радиуса поперечного сечения круглого стержня при кручении соответствует рисунку ###.
а) б) в)
Плоский прямой изгиб
55) Для балки, представленной на рисунке, в сечении 1-1 установить наличие внутренних сил: изгибающего момента М и поперечной силы Q ###.
а) есть только М
б) есть M и Q
в) нет М и Q
г) есть только Q
56) Сечение 1-1 балки имеет перемещения (угол поворота φ и и вертикальное перемещение – прогиб υ) ###.
а) φ
б) нет перемещений
в) φ и υ
г) υ
57) В точке 1 поперечного сечения А-А балки ###.
а) действуют нормальные напряжения σ
б) действуют нормальные σ и касательные напряжения τ
в) действуют касательные напряжения τ
г) нет напряжений
58) В точке 1 поперечного сечения А-А балки ###.
а) действуют нормальные напряжения σ
б) действуют нормальные σ и касательные напряжения τ
в) действуют касательные напряжения τ
г) нет напряжений
59) Для балки, представленной на рисунке, в сечении 1-1 установить наличие внутренних сил: изгибающего момента М и поперечной силы Q ###.
а) есть только М
б) есть M и Q
в) нет М и Q
г) есть только Q
60) Максимальная величина угла поворота возникает в сечении ###.
а) 4-4
б) 1-1
в) 2-2
г) 3-3
61) В сечении, представленном на чертеже, действует изгибающий момент Ми = 8М. Тогда нормальное напряжение σА , действующее в т. А в сечении равно ###.
а) б) 0 в) г)
62) В сечении, представленном на чертеже, действует изгибающий момент Ми = 16М. Тогда нормальное напряжение σА , действующее в т. А в сечении равно ###.
а) б) 0 в) г)
63) Для балки, представленной на рисунке, в сечении 1-1 установить наличие внутренних сил: изгибающего момента М и поперечной силы Q ###.
а) есть только М
б) есть M и Q
в) нет М и Q
г) есть только Q
64) Сечение 1-1 балки имеет перемещения (угол поворота φ и и вертикальное перемещение – прогиб υ) ###.
а) φ
б) нет перемещений
в) φ и υ
г) υ
65) В сечении, представленном на чертеже, действует изгибающий момент Мх = 18М. Тогда нормальное напряжение σА , действующее в т. А в сечении равно ###.
а) б) 0 в) г)
66) Максимальная величина угла поворота возникает в сечении ###.
а) 4-4
б) 1-1
в) 2-2
г) 3-3
67) В точке 1 поперечного сечения А-А балки ###.
а) действуют нормальные напряжения σ
б) действуют нормальные σ и касательные напряжения τ
в) действуют касательные напряжения τ
г) нет напряжений
68) В сечении, представленном на чертеже, действует изгибающий момент Мх = 4М. Тогда нормальное напряжение σА , действующее в т. А в сечении равно ###.
а) б) в) г) 0
69) Для балки, представленной на рисунке, в сечении 1-1 установить наличие внутренних сил: изгибающего момента М и поперечной силы Q ###.
а) есть только Q
б) есть M и Q
в) нет М и Q
г) есть только М
70) В точке 1 поперечного сечения А-А балки ###.
а) действуют нормальные напряжения σ
б) действуют нормальные σ и касательные напряжения τ
в) действуют касательные напряжения τ
г) нет напряжений
71) В точке 1 поперечного сечения А-А балки ###.
а) действуют нормальные напряжения σ
б) действуют нормальные σ и касательные напряжения τ
в) действуют касательные напряжения τ
г) нет напряжений
Сложное сопротивление
72) На схеме, изображенной на рисунке, наиболее опасной точкой является ###.
а) точка 1
б) точка 2
в) точка 3
г) точка 4
73) Пусть заданы - допускаемое напряжение, W – осевой момент сопротивления и величина силы F. Тогда длина стержня L из условия прочности будет удовлетворять неравенству ###.
а) б) в) г)
74) Продольная сила N и изгибающие моменты Мy и Мx в опасном сечении балки соответственно равны ###.
а)
б)
в)
г)
75) Для стержня, изображенного на рисунке, вид сложного сопротивления ###.
а) косой изгиб
б) изгиб с кручением
в) общий случай сложного сопротивления
г) внецентренное сжатие
76) Условие прочности для стержня, изображенного на рисунке, имеет вид ###.
а) б)
в) г)
77) Условие прочности для опасной точки с использованием формулы для эквивалентного напряжения имеет вид ###.
а) б)
в) г)
78) Положение нейтральной линии балки круглого поперечного сечения изображено линией ###.
а) 2-2
б) 4-4
в) 3-3
г) 1-1
79) Для стержня, изображенного на рисунке, вид сложного сопротивления ###.
80) Опасными точками в указанном сечении являются ###.
а) В и D
б) А и С
в) D и C
г) A и B
81) Для стержня, изображенного на рисунке, вид сложного сопротивления ###.
82) При пространственном изгибе положение нейтральной линии в сечении А-А изображено линией ###.
а) 2-2
б) совпадающей с осью Х
в) 3-3
г) 1-1
83) Если силы лежат в вертикальной плоскости симметрии стержня, тогда правильные направления продольной силы N и изгибающего момента Мz в поперечном сечении будут ###.
а) б)
в) г)
84) Напряженное состояние в точке D имеет вид ###.
а) б)
в) г)
85) В поперечном сечении стержня, изображенного на рисунке, действуют внутренние силовые факторы ###.
а) N и Mz
б) Mz и Mкр
в) N и My
г) Qy и Mz
86) В сечении А-А, наиболее опасными являются точки ###.
а) 2 и 4
б) 1 и 4
в) 1 и 3
г) 2 и 3
87) Напряженное состояние, возникающее в точке С опасного сечения имеет вид ###.
а) б) в) г)
88) Для стержня, изображенного на рисунке, вид сложного сопротивления ###.
89) Условие прочности для стержня, изображенного на рисунке, имеет вид ###.
а) б) в) г)
90) В сечении А-А, наиболее опасными являются точки ###.
а) 2 и 4
б) 1 и 2
в) 1 и 3
г) 4 и 3
Приложение 20
Тесты для контроля знаний студентов по дисциплине детали машин
Рубежный контроль №1
1. Сборочной единицей является:
а) редуктор
б) болт
в) пружина
г) гайка
в) вал
2. Называть деталью следует изделие:
а) подшипник качения
б) муфта
в) ось
г) двигатель
д) карданный вал
3. Деталь – часть машины:
а) выполненная из однородного материала без сборочных операций
б) состоящая не более, чем из трех элементов, выполненных из одного материала
в) выполненная из разных материалов с применением одной или двух сборочных операций
г) состоящая из ряда элементов, выполненных из разных материалов
4. Разъемные соединения, которые:
а) допускают многократную разборку без ухудшения качества соединения
б) допускают однократную разборку без ухудшения качества соединения
в) допускают разборку после частичного или полного разрушения соединяемых деталей
5. По форме основной поверхности не существует резьбы:
а) эллиптической
б) конической
в) цилиндрической
6. Из перечисленных способов сборку соединений с натягом не производят:
а) с охлаждением втулки
б) запрессовкой с подогревом втулки
в) с охлаждением вала
г) с нагревом втулки
д) запрессовкой
7. Из перечисленных соединений следует отнести к неразъемным:
а) резьбовое
б) штифтовое
в) сварное
г) шпоночное
д) шлицевое
8. Из перечисленных качеств могут быть отнесены к достоинствам соединений сваркой:
а) наличие остаточных напряжений в деталях после сварки
б) низкая трудоемкость процесса сварки
в) высокая чувствительность к вибрационным нагрузкам
г) сложность сварки некоторых металлов
д) большая трудоемкость контроля качества шва
9. Из перечисленных качеств могут быть отнесены к числу недостатков соединений сваркой:
а) повышенная, в сравнении с заклепочными соединениями, прочность и плотность
б) высокая чувствительность к вибрационным нагрузкам
в) уменьшение массы сложных деталей при поэлементном их изготовлении с последующей сваркой
г) высокая производительность процесса сварки
д) малая трудоемкость сварки
10. Из перечисленных качеств к недостаткам клеевых соединений могут быть отнесены:
а) большая герметичность
б) возможность соединения тонкостенных деталей
в) возможность соединения неоднородных материалов
г) необходимость точной подгонки сопрягаемых поверхностей
д) низкая трудоемкость процесса склеивания
11. Взаимная неподвижность деталей в соединении с гарантированным натягом достигается за счет:
а) сил упругости
б) сил межмолекулярного сцепления
в) сил взаимного притяжения
г) сил трения
12. Из перечисленных качеств к недостаткам соединений с натягом следует отнести:
а) возможность восприятия больших нагрузок
б) низкая технологичность сборки соединяемых деталей
в) отсутствие специальных крепежных элементов
г) центрирование соединяемых деталей
д) большое рассеивание прочности соединения вследствие рассеивания посадочных размеров в пределах допуска
13. Для нормальной работы с кратковременными перегрузками при межосевом расстоянии между валами 2 м. наиболее предпочтительна передача:
а) клиноременная
б) зубчатая
в) червячная
г) плоскоременная
д) цепная
14. Способ передачи движения не за счет зацепления, а за счет сил трения в передаче:
а) червяком
б) клиноременной
в) зубчатой
г) цепной
д) зубчатоременной
15. Наименьшие габаритные размеры при прочих одинаковых условиях и режимах нагружения имеет передача:
а) цепная
б) клиноременная
в) зубчатоременная
г) зубчатая
д) плоскоременная
16. За счет зацепления, а не за счет сил трения, способ передачи движения в передаче:
а) канатовой
б) клиноременной
в) червячной
г) фрикционной
д)плоскоременной
17. Правильное наименование параметра Ft в формуле Ft=2T/d
а) радиальная сила (вдоль радиуса делительной окружности)
б) окружная сила (касательная к делительной окружности)
в) осевая сила (вдоль оси)
г) нормальная сила (перпендикулярная поверхности зуба)
18. Соотношение мощностей на ведущем (Р1) и ведомом (Р2) валах передачи:
а) Р1>Р2
б) Р1<Р2
в) Р1=Р2
19. Мощность передаваемая передачей при Т1=100 (Нм), n1=200 об/мин и КПД 0,95 равна:
а) 1988,4
б) 1788, 4
в) 1388,4
г) 1588,4
20. При частоте вращения ведущего вала n1 = 100 обмин и числе зубьев шестерни z1 = 20, колеса z2 = 100 частота вращения ведомого вала равна:
а) n2=30
б) n2=10
в) n2=40
г) n2=20
д) n2=15
Рубежный контроль №2
1. При перекрещивающихся валах следует использовать передачу:
а) цилиндрическую косозубую
б) цилиндрическую шевронную
в) червячную
г) цилиндрическую прямозубую
2. Довольно часто встречается Z1=1 в передаче:
а) червячной
б) косозубой цилиндрической
г) шевронной
д) прямозубой цилиндрической
е) конической прямозубой
3. Для передачи крутящего момента возможно применения прямозубых колес при расположении валов:
а) перекрещивающемся под прямым углом
б) перекрещивающемся под любым углом
в) параллельном
г) пересекающемся
4. Наибольшее распространение получил профиль зуба:
а) эвольвентный
б) циклоидный
в) прямолинейный
5. По форме зубчатых колес не существует:
а) тетраидальных
б) эллиптических
в) конических
г) цилиндрических
6. Гипоидная передача является разновидностью:
а) цилиндрической
б) реечной
г) конической
д) эллиптической
7. Преимуществом зубчатых колес, изготовленных из чугуна, не является:
а) возможность работы при бедной смазке
б) дешевизна
в) высокая прочность
г) технологичность
8. Нормальное зубчатое колесо с диаметром делительной окружности 100 мм. и модулем 5 мм. имеет зубьев:
а) 40
б) 100
в) 25
г) 20
д) 50
9. Чтобы зубчатые колеса могли быть использованы для передачи, у них должно быть непременно одинаковым:
а) модуль
б) диаметры
в) число зубьев
г) ширина
д) толщина зуба
10. Модуль нормального зубчатого колеса с диаметром делительной окружности 80 мм. и числом зубьев 20 равен:
а) m = 3 мм
б) m = 8 мм
в) m = 2 мм
г) m = 5 мм
д) m = 4 мм
11. С увеличением угла наклона зубьев фактические контактные напряжения:
а) не изменятся
б) уменьшатся
в) увеличатся
12. По форме нарезанной части червяка различают:
а) цилиндрические червячные передачи
б) глобоидные червячные передачи
в) конические червячные передачи
13. Формой профиля резьбы не существует цилиндрических червяков:
а) конволютных
б) эвольвентных
в) архимедовых
г) эллиптических
14. Червячные передачи имеют передаточное число в диапазоне:
а) U>800
б) U=8…80
в) U<1
г) U=80…800
15. Преимуществами червячных передач являются:
а) высокий КПД
б) компактность
в) возможность осуществления самотормозящейся передачи
г) большое передаточное число в одной ступени
д) дешевизна
16. Работоспособность червячной передачи лимитирует:
а) червяк или колесо в зависимости от конструкции передачи
б) червяк
в) червяк и червячное колесо в равной степени
г) червячное колесо
17. В выражении по определению передаточного числа червячной передачи (U=z2/z1) как называется параметр z1:
а) число зубьев ведущего элемента
б) число зубьев
в) число заходов червяка
г) число витков червяка, находящихся в зацеплении с зубьями колеса
18. Какое выражение для определения диаметра делительной окружности червяка справедливо:
а) da1=qm+2ham
б) d1=qm
в) df1=qm-2(h+c)
г) d1=z1m
19. При каком соотношении количества выделяемого (Q) и отводимого (Q1) тепла в закрытой червячной передаче ее работоспособность будет обеспечена:
а) при любом
б) Q>Q1
в) Q<Q1
20. К какому виду механических передач относятся зубчато-ременные передачи:
а) трением, с промежуточной гибкой связью
б) трением, с непосредственным касанием тел
в) зацеплением, с промежуточной гибкой связью
г) зацеплением, с непосредственным касанием тел
21. К какому виду механических передач относятся ременные передачи:
а) трением, с непосредственным касанием тел
б) зацеплением, с промежуточной гибкой связью
в) трением, с промежуточной гибкой связью
г) зацеплением, с непосредственным касанием тел
22. Цепные передачи относятся к виду механических передач:
а) зацеплением, с промежуточной гибкой связью
б) зацеплением, с непосредственным касанием тел
в) трением, с промежуточной гибкой связью
г) трением, с непосредственным касанием тел
23. Применение цепной передачи возможно при расположении валов:
а) параллельные
б) пересекающиеся под любым углом
в) пересекающиеся под прямым углом
г) перекрещивающиеся под прямым углом
д) перекрещивающиеся под любым углом
24. Оси предназначены для:
а) соединения различных деталей
б) поддержания вращающихся деталей и передачи момента к ним
в) поддержания вращающихся деталей
г) обеспечения синхронности работы отдельных деталей машин и механизмов
25. Валы предназначены для:
а) поддержания вращающихся деталей
б) соединения различных деталей
в) обеспечения синхронности работы отдельных деталей машины и механизмов
г) поддержания вращающихся деталей и передачи момента к ним
26. Основное отличие подшипников качения от подшипников скольжения в:
а) Большей нагрузочной способности на единицу ширины
б) Повышенных радиальных габаритах
в) Наличии промежуточных тел качения между сопрягающимися деталями
г) Большей точности центрирования деталей
27. Не существует класса точности подшипников качения:
а) 6 б) 2 в) 5 г) 1 д) 0
28. Только осевую нагрузку может воспринимать подшипник:
а) игольчатый
б) двухрядный сферический
в) конический
г) упорный
29. Отличие 0 класса точности подшипника от обозначенных номерами (6, 5, 4, 2) заключается:
а) в классификацию подшипников по точности не входит
б) имеет среднюю точность
в) имеет наивысшую точность
г) имеет наинизшую точность
30. Из приведенных муфт к жестким не относятся:
а) втулочная б) зубчатая в) фланцевая
31. На рисунке изображено зубчатое колесо с формой зуба:
а) косозубое
б) прямозубое
в) криволинейное
г) шевронное
32. Изготовленное без смешения прямозубое цилиндрическое колесо изображено на рисунке имеет модуль:
а) 6,75 мм.
б) 20 мм.
в) 1,5 мм.
г) 3,75 мм.
д) 3,00 мм.
33. Среди показанных подшипников могут воспринимать комбинированную (радиальную и соевую) нагрузку одновременно:
а) все г) 2
б) 3 д) 1
в) 4
34. Из приведенных на рисунке муфт упругой втулочно-пальцевой является:
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4
35. Из выражений для определения модуля зубчатой передачи справедливо:
а) m=πp
б) m=d/z
в) m=2π/z
г) m=πd/z
36. Для определения межосевого расстояния в прямозубой цилиндрической передаче справедлива формула:
а) а=(mzz)/2cosβ
б) а=m(z1+z2)/2
в) а=m(z1+q)/2
г) а=m(z1+z2)/2cosβ
37. По какой из формул нельзя определить передаточное число в червячной передаче:
а) U=d2/d1
б) U=ω2/ω1
в) U=n2/n1
г) U=z2/z1
д) все приведенные выражения несправедливы
38. Из приведенных муфт втулочной является:
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4
39. Укажите соответствие формы шпонки ее названию:
а) призматическая
б) клиновая
в) сегментная
Содержание
1. Теоретическая механика 3
1.1.Статика 3
1.1.1. Понятия и определения. Аксиомы статики 3
1.1.2. Связи 7
1.1.3. Основные виды связей и их реакции 7
1.1.4. Плоская система сходящих сил 10
1.1.5. Проекции силы на координатную ось 11
1.1.6. Момент силы относительно точки (центра) 12
1.1.7. Условия равновесия произвольной плоской системы сил 12
1.1.8. Пара сил 13
1.1.9. Условие равновесия произвольной плоской системы сил 14
1.1.10. Система параллельных сил 17
1.1.11. Трение 19
1.1.12. Пример решения задачи на использование условий равновесия
плоской системы сходящихся сил. 22
1.1.13. Пример определения реакций опор двухопорной балки.
На использование условий равновесия плоской произвольной
системы сил. 24
1.2. Кинематика 26
1.2.1. Векторный способ задания движения 26
1.2.2. Естественный способ задания движения 30
1.2.3. Движение материальных тел 34
1.2.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела 41
1.2.5. Мгновенный центр скоростей 42
1.2.6. Сложное движение точки. 44
1.2.7. Пример расчета траектории движения точки. 47
1.2.8. Пример расчета механизма на определение его скоростей и ускорений. 49
1.3. Динамика 52
1.3.1. Аксиомы динамики 52
1.3.2. Уравнения движения точки в декартовой системе координат 54
1.3.3. Одномерное движение 54
1.3.4. Уравнения материальной точки в естественной системе координат 55
1.3.5. Колебательное движение материальной точки 56
1.3.6. Кинетическая энергия механической системы 60
1.3.7. Работа 61
1.3.8. Принцип Д’Аламбера 64
1.3.9. Количество движения механической системы 66
1.3.10. Момент количества движения механической системы 67
1.3.11. Принцип возможных перемещений 68
2. Сопротивление материалов 70
2.1. Основные понятия 70
2.1.1. Основные допущения и гипотезы. 70
2.1.2. Модели прочности надежности. 72
2.1.3. Модели разрушения. 76
2.1.4. Основные виды деформации. 76
2.1.5. Внутренние силы. Метод сечений. 77
2.1.6. Виды сопротивлений. 80
2.1.7. Напряжения и деформации. 81
2.2. Растяжение и сжатие 83
2.2.1. Продольная деформация. 83
2.2.2. Поперечная деформация. 84
2.2.3. Закон Гука. 84
2.2.4. Диаграммы растяжения. 85
2.2.5. Основы прочностных расчетов элементов конструкций. 88
2.2.6. Пример расчета стержня на растяжение – сжатие. 89
2.3. Сдвиг. 92
2.3.1. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. 92
2.3.2. Расчет на сдвиг (срез) 93
2.4. Кручение. 94
2.4.1. Общие сведения о деформации кручения. 94
2.4.2. Напряжение и деформация при кручении. 97
2.4.3. Расчет на жесткость и прочность при кручении. 98
2.4.4. Пример расчета вала при кручении. 98
2.5. Изгиб. 101
2.5.1. Общие сведения. 101
2.5.2. Понятие об изгибающем моменте и поперечной силе. 102
2.5.3. Правило знаков. 103
2.5.4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. 104
2.5.5. Осевые моменты инерции. 104
2.5.6. Линейные и угловые перемещения при изгибе 106
2.5.7. Пример расчета балки на изгиб. 108
2.6. Сложное сопротивление. 113
2.6.1. Косой изгиб. 113
2.6.2. Главные площадки и главные напряжения. 115
2.6.3. Тензор напряжений. 116
2.6.4. Изгиб с растяжением-сжатием. 117
2.6.5. Теории прочности. 118
2.6.6. Изгиб с кручением. 121
2.6.7. Пример расчета вала на изгиб с кручением. 122
2.7. Устойчивость сжатых стержней. 127
2.8. Усталостное разрушение. 129
3. Детали машин 131
3.1. Основные понятия 131
3.2. Критерии работоспособности деталей 132
3.3. Выбор допускаемых напряжений 133
3.4. Неразъемные соединения 134
3.4.1. Сварные соединения 134
3.4.2. Соединения с гарантированным натягом 137
3.4.3. Клеевые соединения 138
3.4.4. Соединения пайкой 139
3.4.5. Клепанные соединения 140
3.5. Разъемные соединения 140
3.5.1. Резьбовые соединения 141
3.5.2. Шпоночные соединения 143
3.5.3. Шлицевые соединения. 144
3.5.4. Клиновые, штифтовые и профильные соединения. 145
3.6. Основные конструкционные материалы. 146
3.6.1. Классификация конструкционных материалов 147
3.7. Термическая обработка. 149
7.1. Виды термических обработок. 149
3.8. Химико-термическая обработка. 150
3.9. Кинематические пары и цепи 150
3.10. Передачи вращательного движения 151
3.10.1. Кинематические и силовые параметры передач 152
3.10.2. Передаточное отношение и КПД механизма 152
3.10.3. Ременные и цепные передачи 153
3.10.4. Расчет и проектирование ременных передач 155
3.10.5. Силовые взаимодействия в ременной передаче 157
3.11. Цепные передачи 159
3.11.1. Классификация цепных передач 159
3.11.2. Расчет цепной передачи 160
3.12. Зубчатые передачи. 161
3.12.1. Классификация зубчатых передач 162
3.12.2. Геометрия эвольвентного зубчатого зацепления 162
3.12.3. Основные геометрические параметры зубчатой передачи 163
3.12.4. Элементы конструкции зубчатого колеса 165
3.12.5. Материалы зубчатого колеса 166
3.12.6. Силы, действующие в зацеплении прямозубой цилиндрической
передачи 166
3.12.7. Виды разрушения зубьев 167
3.12.8. Расчеты на прочность 167
3.13. Червячные передачи 168
3.13.1. Геометрические параметры червячной передачи 169
3.13.2. Силы, действующие в червячном зацеплении 170
3.13.3. Расчет на прочность 170
3.13.4. Материалы червяков и червячных колес 171
3.14. Оси, валы 171
3.14.1. Классификация валов 171
3.14.2. Материалы осей и валов 173
3.14.3. Расчет осей и валов 174
3.15. Подшипники 175
3.15.1. Подшипники скольжения 175
3.15.2. Расчет подшипников скольжения по среднему давлению 176
3.15.3. Режимы трения в подшипниках скольжения 176
3.15.4. Материалы подшипников скольжения 177
3.16. Подшипники качения 177
3.16.1. Классификация подшипников качения 177
3.16.2. Устройство подшипника качения 179
3.16.3. Виды разрушений подшипников качения 179
3.16.4. Подбор подшипников качения 180
3.17. Муфты 181
3.17.1. Выбор муфт 183
3.18. Лабораторные работы 183
3.18.1. Лабораторная работа 1. Элементы кинематических
цепей и их графическое изображение на схемах 184
3.18.2. Лабораторная работа 2. Геометрия зубчатых колес 188
3.18.3. Лабораторная работа 3. Изучение конструкции редукторов 196
3.19. Расчетно-графическая работа 204
3.19.1.Выбор двигателя. Кинематический и силовой расчет привода 204
3.19.2. Примеры расчета приводов машин 208
Список литературы 215
Приложения 217
Учебное издание
Дмитрий Анатольевич СКОТНИКОВ
Александр Владимирович АНИСИМОВ
Алла Александровна МАРЬИНА
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Учебное пособие
Подписано в печать 25.02.2010. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 7,0 печ. л. Тираж 50 экз. Заказ № 019.
ООО Издательский Центр «Наука»
410600, г. Саратов, ул. Пугачевская, 117, оф. 50
Отпечатано с готового оригинал-макета
Центр полиграфических и копировальных услуг
Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117
410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19, 51-16-28
2
3
2
3
1
t,час
T◦
I
III
II
2
3
1
1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3n
EMBED Equation.33
EMBED Equation.32
EMBED Equation.31
R
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
F1
A
F2
α
x
A
B
F
a
α
EMBED Equation.3 2
x
EMBED Equation.3 3
x
x
EMBED Equation.3 1
B
A
O
h
M
EMBED Equation.3
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
А
В
С
а
D
в
F
1
N
1
N
2
F
2
60
120
90
EMBED CorelDRAW.Graphic.11
М
3 м
3 м
30
О
2 м
2 м
F
R
А
Y
А
X
R
В
Y
Х
Y
А
В
К
q
EMBED Unknown.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
M
F
t
0
Fст
F
f
Fa
Fmax
Fm
Fmin
t
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
М
М
М
М
F2
F1
А
А1
l
l1
F
N
EMBED Equation.3
F
F
шейка
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED MSPhotoEd.3
М
М
М1
М2
Мк
m
Мк
dA
EMBED Equation.3
r
Mz
Mz
EMBED MSPhotoEd.3
EMBED Equation.3
Растянутые волокна
М
М
Сжатые волокна
Нейтральный слой
m
m
m
m
Ми Ми
n
n
RA
RB
F
n
n
RA
RB
F
Q
Q
Ми
х
у
у
н.о.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
N
N=107
Кривая усталости