Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
у
М1
М2
Мi–1
Мi
х
а
b
В
А
Пусть на дуге гладкой кривой L определена непрерывная функция . Разобьем дугу произвольным образом точками на п частей. Длину частичной дуги обозначим , а . На каждой дуге возьмем произвольную точку Pi(i, i) и вычислим значения . Составим интегральную сумму
.
Определение
Если существует конечный предел при n0 последовательности {n} интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения дуги , ни от выбора точек Pi(i, i), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по дуге и обозначается .
Таким образом, по определению
,
Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги (т.к. есть дифференциальный элемент длины дуги кривой ).
Свойства криволинейного интеграла первого рода:
1. , где – длина дуги (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода).
2. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .
3. - свойство линейности
4. Если , то =+(свойство аддитивности)
5. Если f(P) g(P), то
6. Если m f(P) M, PL, то mL ML
7. Существует точка Q L: = f(Q)L (Теорема о среднем.)
С физической точки зрения определяет массу материальной кривой (массу тонкого неоднородного криволинейного стержня) с плотностью :
.
Статические моменты относительно осей координат материальной кривой l с плотностью определяются по формулам
, ,
а координаты центра масс такой кривой равны
, .
Кроме того, для материальной кривой l моменты инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат равны соответственно
, , .
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода, также как и двойного интеграла, сводится к вычислению определенного интеграла.
.
.
Рассмотрим примеры вычисления криволинейных интегралов I рода.
Пример 1.
Вычислить , если L:
а) отрезок прямой 3x–2y+6=0 между точками A(-2,0) и B(2,6);
б) верхняя половина окружности , .
Решение.
а) Чтобы преобразовать заданный криволинейный интеграл к определенному интегралу, нужно линию L, по которой идет интегрирование, описать условиями одного из трех видов:
, где ;
, где ;
где .
В нашей задаче линия L задана уравнением 3x–2y+6=0. Выразим из этого уравнения переменную у: . Поскольку рассматривается отрезок АВ этой прямой, где A(-2,0) и B(2,6), то на этом отрезке переменная х принимает значения из промежутка . Следовательно, линия L определена условиями вида , . Поэтому преобразование криволинейного интеграла к определенному интегралу производим по формуле
.
Тогда имеем
В этой задаче переменной интегрирования можно было выбрать также y, выразив из уравнения прямой переменную х через у: . При этом на отрезке АВ переменная у принимает значения из промежутка . Тогда линия интегрирования L будет определена условиями вида , и переход к определенному интегралу осуществляется по формуле:
.
Используя эту формула, получим
Получили тот же результат.
Рисунок 1
б) Параметрические уравнения , определяют на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом a (рис.1), причём верхняя половина этой окружности соответствует изменению параметра t от 0 до π.
Поскольку линия интегрирования L задана условиями вида , то преобразование криволинейного интеграла к определенному производим по формуле:
.
Тогда получим
Пример 2.
Найти массу дуги параболы y2 = 2x + 4 между точками пересечения её с осями координат, если плотность масс в любой точке дуги пропорциональна ординате этой точки.
2
-2
-2
0
у
х
Рисунок 2
l
Решение.
Парабола , или симметрична относительно оси Ох, вершина её находится в точке . Ось Ох эта парабола пересекает в точке , а в точках и она пересекает ось Оу (рис. 2). Найдем массу дуги l параболы, заключенной между точками и .
В каждой точке этой дуги, по условию, плотность масс пропорциональна ординате этой точки, и значит, равна , где , а – коэффициент пропорциональности.
Как отмечалось выше (стр.2), масса материальной дуги кривой может быть найдена по формуле
.
Значит, масса рассматриваемой дуги l параболы равна
.
Чтобы преобразовать этот криволинейный интеграл к определенному, запишем уравнение параболы в виде . На рассматриваемой дуге параболы y [0, 2]. Тогда
(ед. массы).
Аналогично понятию криволинейного интеграла по кривой на плоскости (в ) может быть дано понятие криволинейного интеграла по пространственной кривой.
Пусть – дуга гладкой пространственной кривой, на которой определена и непрерывна функция . Тогда
,
где – длины отрезков разбиения дуги, , () –произвольная точка, взятая на k-той частичной дуге разбиения.
Если дуга задана условиями: , то и
.
Пример 3.
Вычислить , если L – отрезок прямой от точки A(1,0,1) до точки B(0,3,4).
Решение.
Чтобы вычислить данный интеграл, нужно сначала описать уравнениями линию, по которой идет интегрирование. Поскольку это – прямая, проходящая через заданные точки, то чтобы найти её уравнения, используем соответствующую формулу:
.
Получим:
Из этих уравнений координаты точки получаются при , а координаты точки получаются при . Таким образом, линия интегрирования L определяется условиями
.
Тогда
.
Пример 4.
Найти центр масс контура треугольника с вершинами , , , если плотность в каждой точке этого контура равна сумме квадратов координат этой точки.
Решение.
Чтобы найти координаты центра масс данной кривой, используем формулы, приведенные на странице 2:
В
А
С
у
х
Рисунок 3
, .
Найдем сначала массу линии – контура треугольника АВС. По условию, плотность масс в каждой точке кривой равна сумме квадратов координат этой точки, значит, . Контур рассмотренного треугольника состоит из трех участков (рис.3): АВ, ВС, АС. Найдем массу каждого участка отдельно:
.
.
.
Следовательно, масса всего контура треугольника равна
.
Найдем статические моменты контура относительно осей координат. Учитывая предыдущие вычисления, получим
.
Аналогично
.
Тогда
,
.
Таким образом, центр масс контура заданного треугольника АВС находится в точке .
2*) Уравнение этого участка можно найти как уравнение прямой, проходящей через точки (1,0) и (0, 1):
3*) Это отрезок прямой, проходящей через точки (–1,0) и (0, 1), поэтому
.