Разобьем дугу произвольным образом точками на п частей
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Криволинейный интеграл первого рода
у
М1
М2
Мi–1
Мi
х
а
b
В
А
Пусть на дуге гладкой кривой L определена непрерывная функция . Разобьем дугу произвольным образом точками на п частей. Длину частичной дуги обозначим , а . На каждой дуге возьмем произвольную точку Pi(i, i) и вычислим значения . Составим интегральную сумму
.
Определение
Если существует конечный предел при n0 последовательности {n} интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения дуги , ни от выбора точек Pi(i, i), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по дуге и обозначается .
Таким образом, по определению
,
Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги (т.к. есть дифференциальный элемент длины дуги кривой ).
Свойства криволинейного интеграла первого рода:
1. , где – длина дуги (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода).
2. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .
3. - свойство линейности
4. Если , то =+(свойство аддитивности)
5. Если f(P) g(P), то
6. Если m f(P) M, PL, то mL ML
7. Существует точка Q L: = f(Q)L (Теорема о среднем.)
С физической точки зрения определяет массу материальной кривой (массу тонкого неоднородного криволинейного стержня) с плотностью :
.
Статические моменты относительно осей координат материальной кривой l с плотностью определяются по формулам
, ,
а координаты центра масс такой кривой равны
, .
Кроме того, для материальной кривой l моменты инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат равны соответственно
, , .
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода, также как и двойного интеграла, сводится к вычислению определенного интеграла.
- Если кривая L задана уравнением y = (x), а дуга соответствует изменению x на отрезке [a, b], то
- Если определена уравнением x = (y), y [c, d], то
.
- Если дугу определяют параметрические уравнения t[,], то
.
Рассмотрим примеры вычисления криволинейных интегралов I рода.
Пример 1.
Вычислить , если L:
а) отрезок прямой 3x–2y+6=0 между точками A(-2,0) и B(2,6);
б) верхняя половина окружности , .
Решение.
а) Чтобы преобразовать заданный криволинейный интеграл к определенному интегралу, нужно линию L, по которой идет интегрирование, описать условиями одного из трех видов:
, где ;
, где ;
где .
В нашей задаче линия L задана уравнением 3x–2y+6=0. Выразим из этого уравнения переменную у: . Поскольку рассматривается отрезок АВ этой прямой, где A(-2,0) и B(2,6), то на этом отрезке переменная х принимает значения из промежутка . Следовательно, линия L определена условиями вида , . Поэтому преобразование криволинейного интеграла к определенному интегралу производим по формуле
.
Тогда имеем
В этой задаче переменной интегрирования можно было выбрать также y, выразив из уравнения прямой переменную х через у: . При этом на отрезке АВ переменная у принимает значения из промежутка . Тогда линия интегрирования L будет определена условиями вида , и переход к определенному интегралу осуществляется по формуле:
.
Используя эту формула, получим
Получили тот же результат.
Рисунок 1
б) Параметрические уравнения , определяют на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом a (рис.1), причём верхняя половина этой окружности соответствует изменению параметра t от 0 до π.
Поскольку линия интегрирования L задана условиями вида , то преобразование криволинейного интеграла к определенному производим по формуле:
.
Тогда получим
Пример 2.
Найти массу дуги параболы y2 = 2x + 4 между точками пересечения её с осями координат, если плотность масс в любой точке дуги пропорциональна ординате этой точки.
2
-2
-2
0
у
х
Рисунок 2
l
Решение.
Парабола , или симметрична относительно оси Ох, вершина её находится в точке . Ось Ох эта парабола пересекает в точке , а в точках и она пересекает ось Оу (рис. 2). Найдем массу дуги l параболы, заключенной между точками и .
В каждой точке этой дуги, по условию, плотность масс пропорциональна ординате этой точки, и значит, равна , где , а – коэффициент пропорциональности.
Как отмечалось выше (стр.2), масса материальной дуги кривой может быть найдена по формуле
.
Значит, масса рассматриваемой дуги l параболы равна
.
Чтобы преобразовать этот криволинейный интеграл к определенному, запишем уравнение параболы в виде . На рассматриваемой дуге параболы y [0, 2]. Тогда
(ед. массы).
Аналогично понятию криволинейного интеграла по кривой на плоскости (в ) может быть дано понятие криволинейного интеграла по пространственной кривой.
Пусть – дуга гладкой пространственной кривой, на которой определена и непрерывна функция . Тогда
,
где – длины отрезков разбиения дуги, , () –произвольная точка, взятая на k-той частичной дуге разбиения.
Если дуга задана условиями: , то и
.
Пример 3.
Вычислить , если L – отрезок прямой от точки A(1,0,1) до точки B(0,3,4).
Решение.
Чтобы вычислить данный интеграл, нужно сначала описать уравнениями линию, по которой идет интегрирование. Поскольку это – прямая, проходящая через заданные точки, то чтобы найти её уравнения, используем соответствующую формулу:
.
Получим:
Из этих уравнений координаты точки получаются при , а координаты точки получаются при . Таким образом, линия интегрирования L определяется условиями
.
Тогда
.
Пример 4.
Найти центр масс контура треугольника с вершинами , , , если плотность в каждой точке этого контура равна сумме квадратов координат этой точки.
Решение.
Чтобы найти координаты центра масс данной кривой, используем формулы, приведенные на странице 2:
В
А
С
у
х
Рисунок 3
, .
Найдем сначала массу линии – контура треугольника АВС. По условию, плотность масс в каждой точке кривой равна сумме квадратов координат этой точки, значит, . Контур рассмотренного треугольника состоит из трех участков (рис.3): АВ, ВС, АС. Найдем массу каждого участка отдельно:
- Участок АВ задается уравнением 2*), . Тогда
.
- Участок ВC задается уравнением 3*), . Тогда
.
- Участок АC задается уравнением . Тогда
.
Следовательно, масса всего контура треугольника равна
.
Найдем статические моменты контура относительно осей координат. Учитывая предыдущие вычисления, получим
.
Аналогично
.
Тогда
,
.
Таким образом, центр масс контура заданного треугольника АВС находится в точке .
2*) Уравнение этого участка можно найти как уравнение прямой, проходящей через точки (1,0) и (0, 1):
3*) Это отрезок прямой, проходящей через точки (–1,0) и (0, 1), поэтому
.
2. И что можно было бы сделать на эти деньги для развития спорта в России Затраты на Олимпиаду в Сочи увеличили
3. либо что останется в памяти людей играйте против правил Изменяйте существующие нормы и стандарты в отрасли.html
4. Контрольная работа- Некоторые вопросы аренды и уплаты акцизного сбора на территории Республики Беларусь
5. Философия как разновидность мировоззрения
6. Издержки производства и себестоимость продукции
7. Император Александр 2 вступил на престол после смерти отца в 1855 году
8. тема Известными и владеющими серьезной политической силой в современной Японии являются не более 20 политиче
9. методические рекомендации к организации и проведению педагогической практики студентов IV V курсов на биоло
10. организованное целенаправленное фиксируемое восприятие психических явлений с целью их изучения в определ
11. Информационная система складского учёта бытовых электроприборов
12. кезіндегі айдаудатербеліске ~арсыласу ~седі- [1525есе Автомобиль ~оз~алысын те~геру немен сипатталады[
13. Тема- Обработка массивов 1 уровень сложности 1.
14. Калининградский реабилитационный центр для детей и подростков с ограни
15. Н Пашков
16. задание чтобы заплатить квартплату и купить парочку вещичек
17. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук3
18. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук Тернопі
19. Время инвентаризации имущества организации по строке баланса Дебиторская задолженность
20. Задание 1 77355 тип B1 решено верно Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный пе