Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
РАЗДЕЛ ІІ
Группы
1. Общие понятия и определения
Если на некотором множестве можно ввести операцию, которая сопоставляет двум элементам один элемент этого же множества, то такое множество назыв. группоидом.
Если введенная операция ассоциативна, то множество назыв. полугруппой.
Если существует нейтральный элемент, то множество назыв. полугруппой с единицей.
Группой назыв. множество M, удовлетворяющее след. условиям:
Иногда для сокращения записи точку · будем опускать.
2. Свойства групп
Утверждение 2.1 (Закон сокращения)
Следствия
Из ассоциативности следует, что можно определить произведение любого числа элементов .
Утверждение 2.2 .
Число элементов группы назыв. порядком группы: .
Пусть М конечно и , тогда порядок группы перестановок будет равен m!.
Если , то группа назыв. коммутативной или абелевой.
Если в некоммутативной группе для некоторых элементов a, b выполняется , то эти элементы назыв. перестановочными.
Задачи. Указать, какие из указанных совокупностей отображений множества M в себя образуют группу относительно умножения:
3. Циклическая группа подстановок
Множество подстановок, являющихся степенями некоторой фиксированной подстановки , назыв. циклической группой подстановок и обозначается ().
Пример. . Определим подстановку . Полный цикл: .
, , ; .
Вращая на один и тот же угол, получаем цикл. Порядок подстановки равен НОК длин циклов (см. формулу утв. 1.5).
4. Группа диэдра
– циклическая группа:
Плюс три симметрии:
Перемножаем транспозиции:
.
Получим {a, b} – система образующих группу.
5. Понятие изоморфизма
Пусть группы G1 и G2 заданы на множествах одинаковой мощности. Если существует биекция , обладающая свойством , то говорят, что группа G1 изоморфна группе G2:
Операции ∙ и ● следует различать, т.к. они определены в разных группах.
Пример.
,
то есть G1 изоморфно G2.
Утверждение 2.3 Если – изоморфизм, то:
1) ;
2) .
ТЕОРЕМА 2.1 (Келли) Любая группа подстановок изоморфна группе подстановок на некотором множестве.
6. Неизоморфные группы
Существуют неизоморфные группы. Пусть Q(+) – множество рациональных чисел с операцией сложения, Q+(·) – множество положительных рациональных чисел с операцией умножения; aQ+(·) – рациональное число, не являющееся квадратом; j:Q(+)Q+(∙) – любая биективная функция. Тогда Q – противоречие. То есть данные две группы неизоморфны.
7. Антиизоморфизм
Группы G1 и G2 антиизоморфны, если , где – биекция.
Связь между подстановками и матрицами:
– подстановочная матрица.
Задачи. Какие из указанных ниже множеств вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:
8. Подгруппы. Разложения группы по подгруппам
Пусть задана группа G. Говорят, что H – подгруппа группы G (), если выполняются условия:
Примеры.
Пусть задана группа G и H – подгруппа G. Говорят, что , если или для некоторого h.
Данное отношение является отношением эквивалентности:
Таким образом получаем разбиение группы G на классы эквивалентности, которые назыв. правыми классами смежности, а разбиение назыв. правым разложением.
Утверждение 2.4 Если g – некоторый представитель правого класса смежности, то все его элементы записываются в виде h∙g, h H. Обозначение: Hg.
Докажем от обратного: пусть существует y – из класса смежности Hg такое, что y hg, h H, но – противоречие, то есть все элементы класса можно записать в виде hg Hg
Если группа конечна, то классов смежности – конечное число:
Возьмем и построим отображение след. образом: .
Утверждение 2.5 Отображение g – биекция.
ТЕОРЕМА 2.2 (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Пусть , тогда , где k – число правых классов смежности.
Число классов смежности назыв. индексом подгруппы и обозначается G:H. Его можно определить, разделив порядок группы на порядок подгруппы и тогда теорема Лагранжа может быть записана след. образом: .
Правым сдвигом группы G назыв. Gg.
Утверждение 2.6 Если и – два произвольных правых класса смежности, то существует некоторый правый сдвиг группы G, отображающий на .
Говорят, что , если или для некоторого .
Классы giH назыв. левыми классами смежности.
Примеры.
G:H = 2, т.е. , где g – нечетная подстановка. .
G:H = 3 |G| = 6 |H|=2
Тогда , .
Если N – подгруппа G такая, что правые и левые разложения по этой подгруппе совпадают, то N назыв. нормальным делителем группы G и обозначается .
9. Циклическая подгруппа
Возьмем любой элемент группы G и рассмотрим множество . Это множество будет образовывать подгруппы G, порожденные элементом g.
Для конечной группы всегда существует такое m Z, что различными будут только , а . Такое m назыв. порядком элемента: Or(g). Для циклических подгрупп |(g)| = Or(g).
Утверждение 2.7 Порядок элемента циклической подгруппы является делителем порядка группы.
Группа назыв. простейшей, если у нее нет нетривиальных подгрупп.
10. Фактор-группа
Введем след. операцию над классами: , где – класс смежности, содержащий элемент .
Утверждение 2.8 Если , и – нормальный делитель группы, то .
Утверждение 2.9 Если из и следует, что , причем то же самое выполняется и для левого разложения, то .
Таким образом, при введенной операции классы смежности образуют группу, которая назыв. фактор-группой и обозначается .
11. Гомоморфизм и эпиморфизм
Отображение назыв. гомоморфизмом группы G1 в группу G2, если .
Гомоморфизм обладает точно таким же свойством, как и изоморфизм, но функция гомоморфизма не обязательно биективна.
Отображение на группу (сюръективное отображение) назыв. эпиморфизмом.
Примеры.
Пусть – некоторый гомоморфизм. Множество назыв. ядром гомоморфизма j и обозначается .
Утверждение 2.10 является нормальным делителем группы G1.
, , , , , , т.е. – подгруппа G
Эпиморфизм, который каждому элементу группы ставит в соответствие класс смежности, которому этот элемент принадлежит, назыв. каноническим.
Можно построить фактор-группу , причем æ – канонический эпиморфизм.
ТЕОРЕМА 2.3 (о гомоморфизме) Пусть j – эпиморфизм группы G1 на группу G2. Тогда группа G2 изоморфна фактор-группе :
.
Пусть a – произвольный элемент группы G2. Пусть x, y – два прообраза элемента a в G1: , тогда .
, т.е. y и x принадлежат одному и тому же классу смежности. Ввиду произвольности элементов можем сказать, что прообразом элемента есть класс смежности.
Введем . – биекция, т.к. – изоморфизм, т.е.
Если – гомоморфизм, то и .
12. Операции над группами
Утверждение 2.11 Пересечение подгрупп некоторой группы есть подгруппой этой же группы.
Пусть – набор подгрупп группы G. Рассмотрим их пересечение .
H – подгруппа G
Объединение подгрупп не всегда есть подгруппой.
Пусть и – два подмножества носителя группы G. Введем следующие множества:
Рассмотрим – пересечение всех подгрупп, носители которых содержат множество М. Очевидно, будет минимальной подгруппой G, содержащей множество M.
Подгруппа назыв. групповым замыканием множества M.
Если есть некоторая группа H и для некоторого множества M, то говорят, что группа H порождена множеством M, а M назыв. системой образующих.
Если – некоторое подмножество носителя группы G, то назыв. словом над A.
содержит и все слова над .
Пусть – подгруппы G. Введем некоторые операции над подгруппами.
Групповым объединением подгрупп назыв. замыкание объединения подгрупп:
Прямым (внешним) произведением групп G1 и G2 назыв. некоторое подмножество декартового произведения такого, что .
Пример. . .
13. Эндоморфизм и автоморфизм
Рассмотрим изоморфизм . Предположим, что G2 = G1. Тогда φ представляет собой подстановку на носителе группы G1, но φ сохраняет свойство изоморфизма: , причем операция справа и слева равенства одна и та же (см. 5. Понятие изоморфизма).
Функция , обладающая свойством назыв. эндоморфизмом группы G.
Биективная функция , обладающая свойством назыв. автоморфизмом группы G.
Рассмотрим операцию суперпозиции: .
Утверждение 2.12 Множество эндоморфизмов некоторой группы образует полугруппу с операцией суперпозиции.
Утверждение 2.13 Множество автоморфизмов некоторой группы образует группу с операцией суперпозиции.
Введем обозначения:
Рассмотрим бесконечную циклическую группу Z, построенную на множестве целых чисел с операцией сложения. Пусть μ – некоторый эндоморфизм этой группы, обладающий свойством . Тогда:
,
т.к. .
Очевидно, что , .
Таким образом, между μ и m существует взаимооднозначное соответствие, т.е. для каждого m существует свой эндоморфизм μm.
Пусть и – эндоморфизмы. Рассмотрим их суперпрозицию:
,
то есть полугруппа эндоморфизмов группы Z с операцией суперпозиции изоморфна полугруппе целых чисел с операцией умножения.
Несложно заметить, что эндоморфизмы μ1 и μ-1 являются автоморфизмами. Т.е. Aut(Z) = {μ1, μ-1}.
14. Отношение сопряженности. Центр группы
Теперь рассмотрим некоммутативную группу G.
Говорят, что элемент сопряжен с элементом в группе G, если : . Обозначим через Ka множество элементов группы G, сопряженных с a:
Утверждение 2.14 Отношение сопряженности является отношением эквивалентности на элементах носителя группы.
Проверим рефлексивность: , т.е. данное отношение рефлексивно.
Проверим симметричность: , т.е. данное отношение симметрично.
Проверим транзитивность: , т.е. данное отношение транзитивно.
Множество элементов назыв. центром группы G.
В коммутативной группе центром являются все элементы.
Введем отображение , .
Утверждение 2.15 Отображение является автоморфизмом группы G.
– автоморфизм
Автоморфизм, порожденный элементом группы (отображения вида , ) назыв. внутренним.
Утверждение 2.16 Множество внутренних автоморфизмов группы G образует группу по операции суперпозиции.
Пусть . Тогда
,
т.е. . В качестве единичного элемента выбираем тождественное преобразование . Обратный к элемент определяется равенством :
.
Итак, --группа.
Очевидно, что < Aut(G) при операции суперпозиции.
ТЕОРЕМА 2.4 Множество внутренних автоморфизмов группы G является нормальным делителем группы автоморфизмов Aut(G): .
Рассмотрим отображение , . Оказывается, что оно является эпиморфизмом. Рассмотрим его ядро: Ker, но , т.е. Ker является центром группы G. В результате получаем, что группа изоморфна фактор-группе G/Z по ее центру (см. ТЕОРЕМА 2.3):
Задачи. Пусть . Построить внутренний автоморфизм группы G, заданный: