Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Исследовать и построить кривую, заданную параметрически.
.
1. Область существования параметра t:
.
2. График функции симметричен относительно начала координат, т.к.
.
Точки пересечения с осями координат:
1) кривая проходит через начало координат ;
2) ;
3) .
3. Интервалы знакопостоянства координат точек кривой:
при кривая расположена в IV квадранте;
при кривая расположена в III квадранте;
при кривая расположена в I квадранте;
при кривая расположена вo II квадранте.
4. Асимптоты.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты:
горизонт. асимптота (причем график функции приближается к асимптоте сверху);
горизонт. асимптота
(причем график функции приближается к асимптоте снизу).
Наклонные асимптоты :
.
нет наклонной асимптоты (и быть не может, т.к. при получена горизонтальная асимптота).
Для дальнейшего исследования найдем производные:
;
.
5. Вертикальные касательные:.
При имеем вертикальную касательную в точке ; так как , то кривая расположена слева от касательной.
При имеем вертикальную касательную в точке ; так как , то кривая расположена справа от касательной.
Горизонтальные касательные: .
При имеем горизонтальную касательную в точке ; так как , то в этой точке локальный максимум и кривая расположена под касательной.
При имеем горизонтальную касательную в точке ; так как , то в этой точке локальный минимум и кривая расположена над касательной.
6. Особые точки: . .
Условие не выполняется ни при каких t, следовательно, особых точек нет.
7. Точки перегиба: .
Для имеем точку перегиба ~.
Для имеем точку перегиба ~.
На графике обозначены красными точками.
8. Поведение функции при возрастании параметра t.
Построим графики функций x(t) и y(t). Участки возрастания и убывания функций сведем в таблицу.
|
(−∞;−1) |
(−1;) |
(;) |
(; 1) |
(1; ∞) |
|
|
x(t) |
↓ |
↓ |
↑ |
↓ |
↓ |
|
y(t) |
↓ |
↑ |
↑ |
↑ |
↓ |
Учитывая участки монотонности функций x(t) и y(t), имеем:
когда t растет от −∞ до −1, движение по кривой идет влево вниз;
когда t растет от −1 до , движение по кривой идет влево вверх; когда t растет от до , движение по кривой идет вправо вверх;
когда t растет от до 1, движение по кривой идет влево вверх;
когда t растет от 1 до +∞, движение по кривой идет влево вниз.
Далее следует вычислить несколько дополнительных точек и наряду с характерным точками, найденными выше, свести их в таблицу.
Теперь достаточно данных для построения эскиза кривой.
На рисунке показано направление движения по кривой при возрастании параметра t.
1) Область существования параметра t:
.
2) Кривая не пересекает оси координат.
3) Интервалы знакопостоянства координат точек кривой:
при кривая расположена в I квадранте;
при кривая расположена в III квадранте;
при кривая расположена в I квадранте.
4) Асимптоты.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты:
нет асимптоты.
горизонт. асимптота .
горизонт. асимптота .
вертикальная асимптота .
вертикальная асимптота .
Наклонные асимптоты :
.
нет наклонной асимптоты, но возможна криволинейная асимптота.
Криволинейные асимптоты:
Выделим целые части в выражениях x(t) и y(t):
.
Следовательно, имеем криволинейную асимптоту при :
.
Попробуем найти уравнение асимптоты в явном виде.
.
Это кривая второго порядка. Приведем уравенение к канонич. виду.
Кривая – парабола с вершиной в точке , повернутая на угол .
Для дальнейшего исследования найдем производные:
;
.
5) Вертикальные касательные:.
При имеем вертикальную касательную в точке ; так как , то кривая расположена справа от касательной.
Горизонтальные касательные: .
При имеем горизонтальную касательную в точке ; так как , то в этой точке локальный минимум и кривая расположена над касательной.
6) Особая точка: .
Условие не выполняется ни при каких t, следовательно, у кривой нет особых точек.
7) Точки перегиба: .
Для имеем точку перегиба .
Для имеем точку перегиба .
8) Поведение функции при возрастании параметра t.
Построим графики функций x(t) и y(t). Участки возрастания и убывания функций сведем в таблицу.
|
(-∞; -1/2) |
(-1/2; 0) |
(0;1) |
(1; 3/2) |
(3/2; ∞) |
|
|
x(t) |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↑ |
|
y(t) |
↓ |
↑ |
↑ |
↑ |
↑ |
Учитывая участки монотонности функций x(t) и y(t), имеем:
когда t растет от −∞ до , движение по кривой идет влево вниз;
когда t растет от до 0, движение по кривой идет влево вверх; когда t растет от 0 до 1, движение по кривой идет влево вверх;
когда t растет от 1 до , движение по кривой идет влево вверх.
когда t растет от до +∞, движение по кривой идет вправо вверх.
Вычислим несколько дополнительных точек и наряду с характерным точками, найденными выше, сведем их в таблицу.
|
t |
−1 |
−0,823 |
−0,5 |
−0,3 |
0 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,5 |
1,823 |
2 |
|
x |
0,5 |
0,306 |
0,083 |
0,021 |
0 |
−1,143 |
−0,25 |
−1,143 |
7,323 |
6,75 |
7,361 |
8 |
|
|
y |
8 |
7,361 |
6,75 |
7,323 |
−0,039 |
−0,25 |
−0,039 |
0 |
0,021 |
0,083 |
0,306 |
0,5 |
|
|
перегиб |
гориз. касат. |
верт. асим. |
гориз. асим. |
верт. касат. |
перегиб |
Проверим напрашивающееся из таблицы предположение о том, что кривая симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, т.е. относительно прямой . Считая, что симметричные точки соответствуют значениям параметра t и τ, получим условия их симметрии:, которые выполняются при .
Теперь достаточно данных для построения эскиза кривой.
На рисунке показано направление движения по кривой при возрастании параметра t.
или
1) Область существования параметра t:
.
2) Кривая не пересекает оси координат.
3) Интервалы знакопостоянства координат точек кривой:
при кривая расположена в IV квадранте;
при кривая расположена в III квадранте;
при кривая расположена в I квадранте.
4) Асимптоты.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты:
нет асимптоты.
нет асимптоты.
Наклонные асимптоты :
.
нет наклонной асимптоты.
Найдем точки пересечения кривой с наклонной асимптотой:
.
При имеем точку пересечения .
Криволинейные асимптоты:
Имеем криволинейную асимптоту при : − это парабола . Из теории (см. Павлюченко, стр.50-53) следует, что всякая парабола будет криволинейной асимптотой кривой. Найдем среди этих парабол наилучшую асимптоту, для этого потребуем, чтобы сближение точек кривых проходило по абсциссам:
.
Тогда наилучшей асимптотой будет парабола .
Найдем точки пересечения кривой с криволинейной асимптотой:
.
При имеем точку пересечения .
Для дальнейшего исследования найдем производные:
;
.
5) Вертикальные касательные:.
Условие не выполняется ни при каких t, следовательно, вертикальных касательных нет.
Горизонтальные касательные: .
При имеем горизонтальную касательную в точке ; так как , то в этой точке локальный максимум и кривая расположена под касательной.
6) Особая точка: . Условие выполняется при .
Так как , то - точка возврата.
Поскольку , то каждая из функций имеет при локальный минимум, поэтому M – крайняя левая и наизшая точка.
Найдем касательную к особой точке по формуле:
.
В нашем случае ,
тогда уравнение касательной принимает вид:.
Далее для более детального определения расположения дуг кривой относительно касательной проверим на равенство нулю выражения
.
Если δ≠0, то дуги кривой расположены по разные стороны от касательной и это точка возврата 1-го рода, если δ=0, то дуги кривой расположены по одну сторону от касательной и это точка возврата 2-го рода.
Следует найти производные третьего порядка:
.
- точка возврата 1-го рода (дуги кривой расположены по разные стороны от касательной).
На рисунке в крупном масштабе показана точка возврата кривой M, здесь также приведены точки A и B пересечения кривой с асимптотами.
7) Точки перегиба: .
;
.
Для имеем точку перегиба , она же точка возврата.
Для имеем точку перегиба .
8) Поведение функции при возрастании параметра t.
Построим графики функций x(t) и y(t). Участки возрастания и убывания функций сведем в таблицу.
|
(-∞; -1) |
(-1; 0) |
(0;1) |
(1; ∞) |
|
|
x(t) |
↓ |
↓ |
↓ |
↑ |
|
y(t) |
↑ |
↓ |
↓ |
↑ |
Учитывая участки монотонности функций x(t) и y(t), имеем:
когда t растет от −∞ до , движение по кривой идет влево вверх;
когда t растет от до 0, движение по кривой идет влево вниз;
когда t растет от 0 до 1, движение по кривой идет влево вниз;
когда t растет от 1 до +∞, движение по кривой идет вправо вверх.
Вычислим несколько дополнительных точек и наряду с характерным точками, найденными выше, сведем их в таблицу.
|
t |
−2,5 |
−2 |
−1 |
−0,5 |
−1/3 |
0 |
1/3 |
0,5 |
1 |
2 |
2,5 |
|
x |
5,85 |
3 |
−1 |
−3,75 |
−5,88 |
6,11 |
4,25 |
3 |
5 |
7,05 |
|
|
y |
−2,9 |
−2,5 |
−2 |
−2,5 |
−3,33 |
3,33 |
2,5 |
2 |
2,5 |
2,9 |
|
|
перегиб |
гориз. касат. |
накл. асим. |
точка пересечения с крив.асим. |
точка возврата; перегиб |
точка пересечения с накл.асим. |
Теперь достаточно данных для построения эскиза кривой.
На рисунке показано направление движения по кривой при возрастании параметра t.
(Пример 3, с.37. Асимптоты || Ox,Oy; Пример 2, с.91. Точки самопересечения).
1) Область существования параметра t:
.
2) Кривая проходит через начало координат .
3) Интервалы знакопостоянства координат точек кривой:
при кривая расположена в IV квадранте;
при кривая расположена в III квадранте;
при кривая расположена в IV квадранте;
при кривая расположена в I квадранте.
4) Асимптоты.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты:
нет асимптоты.
нет асимптоты.
горизонт. асимптота .
горизонт. асимптота .
горизонт. асимптота .
горизонт. асимптота .
34. (Па 5)
35. (Па 6)
36. (Па 7)
(Па 8)
(Па 9)
Ясно, что корнь уравнения t=0, но точка (0; 0) не является точкой перегиба, так как справа и слева от t=0 имеем.
Корни полинома пятого порядка, стоящего в скобках, можно найти численными методами на компьютере. Например, процедура ZPLRC библиотеки IMSL на языке Фортран дает один действительный корень ; (4,16; 6,80) − точка перегиба (полином меняет знак в окрестности ).