Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
По курсу:
«Эконометрика»
Вариант №_9__
Уфа 2008 г
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)
|
Х |
12 |
4 |
18 |
27 |
26 |
29 |
1 |
13 |
26 |
5 |
|
Y |
21 |
10 |
26 |
33 |
34 |
37 |
9 |
21 |
32 |
14 |
Требуется:
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам. Сделать вывод.
Решение
1. Параметры уравнения линейной регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: =a+b x.
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.
= =
= = 23,7-0,97*16,1=8,12. =8,12*0,97 x.
Таким образом, с увеличением объема капиталовложений на 1 млн.руб. объем выпуска продукции увеличится на 970 тыс.руб.
2. Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков, построение графика остатков.
Расчеты представим в таблице 1
Остаточная дисперсия, показатель адекватности модели, для однофакторного уравнения рассчитывается по формуле: .
Используем данные табл. 1 получим: 76,97/8=9,62.
Чем меньше значение остаточной дисперсии, тем лучше регрессионное уравнение.
График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.
Рис.1 График остатков
3. Проверка выполнения предпосылок МНК.
Основными предположениями классической модели линейной регрессии являются следующие:
Нарушение тех или иных предпосылок проверяется на основе выдвижения соответствующих гипотез относительно ε. Оценочными значениями εi являются величины yi-i=i. Все критерии относительно ε основываются на этих оценочных значениях.
Для проверки второго условия МНК, то есть условия постоянства дисперсии случайно компоненты ε используем F-статистику, основанную на том, что величина F
( 12+22+ … .+n/22)
F= ______________________
( n/2+12+n/2+22+…+n2)
подчиняется F-распределению со степенями свободы n/2-1 и n/2-1. Если проверяется гипотеза о росте дисперсии Fрасч. должно быть меньше Fтабл., если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, Fрасч. должно быть больше Fтабл.. Выполнение второго условия называется гомоскедастичностью, а нарушение его – гетероскедастичностью.
F = .
Табличное значение F- распределения при заданной вероятности 0,95 и степенях свободы (n/2-1) равно F(0,05; 4;4) =6,39. Fрасч.< Fтабл. Второе условие МНК (гомоскедастичность) с вероятностью 95% нарушено, принимается гипотеза о росте дисперсии .
Наиболее часто нарушаемым является третье условие. Показатель ковариации (cov) устанавливает наличие зависимости между случайными переменными. Поэтому нарушение третьего условия МНК свидетельствует о зависимости случайных компонент для наблюдений с различными номерами (i и j). Выполнение этого условия, как правило, проверяется на основе критерия Дарбина-Уотсона:
D-W= (i-i-1)2 / i2 где
i2 — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений,
и подчиняется распределению Дарбина-Уотсона, для которого имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения D-Wрасч. и D-Wтабл. можно проверить гипотезу о нарушении условия 3). Нарушение условия 3) называется автокорреляцией. При проверке наличия автокорреляции используются табличные данные. При количестве наблюдений более 10 d1=0,95; d2=1,23.
Случаи, когда d1≤D-W≤d2 и 4-d2≤D-W≤4-d1, являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается. В этих случаях обращаются к другим критериям.
Расчет статистики Дарбина-Уотсона проведем, используя данные табл.1.
D-W = 32,29/11,35=2,85.
Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составили d 1 = 0,95 и d2=1,23.
4. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений критерия Стьюдента для соответствующих коэффициентов регрессии : tрасч = b/ mb и tрасч = а/ mа.
m b – стандартная ошибка коэффициента b
ma – стандартная ошибка коэффициента а
m b = = ma=
S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Затем расчетные значения сравниваются с табличными. Критические значения t-статистики определяется при (n-2) степенях свободы и соответствующем уровне значимости.
Если tрасч не входит в заданный интервал, то выдвинутая гипотеза о том, что х не влияет на у, не принимается, т.е. если | tрасч| > t табл коэффициент регрессии считается значимым.
m b == = 0,037.
tb = 0,97/0,037=25,81. Расчетный показатель больше t табл.=2,306 с заданной вероятностью 95% и не входит в заданный интервал.
m а = ==0,71
tа = 8,12/0,71=11,41 . Расчетный показатель больше t табл. с заданной вероятностью 95% и степенями свободы (n-2) = 2,306.
Гипотеза о том, что х влияет на у не существенно отклоняется, коэффициенты уравнения регрессии значимые.
5. Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), относительная ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.
Величина RXY2 называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Чем ближе его значение к единице, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает значимость переменных.
=
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 99,4% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
F-критерий Фишера .
Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы (m) и (n-m-1), где n- количество наблюдений, m – число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости (достаточно большой вероятности), то модель признается значимой.
Fрасч
Fрасч многократно больше табличного значения F0,05;1;8 = 5,32, т.е. не входит в правдоподобную область с плотностью распределения р=0,95 – гипотеза о несущественности уравнения отклоняется. Модель значима с вероятностью 95%.
6. Прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.
Для прогнозирования результативного показателя подставим в уравнение
=8,12+0,97x значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения
= 0,8*29=23,2.
Тогда точечный прогноз составит: = 8,12+0,97*23,2=30,6.
7. График фактических и модельных значений Y, точки прогноза.
График прогноза представим на рисунке 2.
Рис. 2. График по модели
8. Уравнения нелинейной регрессии:
8.1 Гиперболическая модель
Уравнение гиперболической функции: = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.
Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.
b = =
а = =23,7+23,72*0,18=28,0.
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
=28-23,72/х.
8.2 Степенная модель
Уравнение степенной модели имеет вид: =аxb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения : lg = lg a + b lg x.
Обозначим через Y=lg , X=lg x, A=lg a.
Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.
b = =
A = = 1,33-0,45*1,05=0,85
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,85+0,45 Х.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
= 100,85* х0,45.
Получим уравнение степенной модели регрессии:
= 7,14* х0,45.
8.3 Показательная модель
Уравнение показательной кривой: =abx.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + x lg b. Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a.
Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.
В = =
А = = 1,33-0,02*16,1=0,997
Уравнение будет иметь вид: Y = 0,997+0,02х.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
=100,997* ( 100,02)х = 9,92*1,05х.
Графики построенных моделей:
Рис.3. Гиперболическая
Рис.4. Степенная
Рис.5. Показательная
9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.
9.1 Гиперболическая модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 46,8% объясняется вариацией фактора Х.
Коэффициент эластичности:
= = 0,21.
Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,21 %.
Бета-коэффициент :
Sx==0,28 Sy==9,78 28*0,28/9,78=0,81.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,81 среднеквадратического отклонения этого показателя.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
отн = 37,05/ 10= 3,7 %.
В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,7%.
9.2 Степенная модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 92,8% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
= = 0, 67.
Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий увеличится на 0,67%.
Бета-коэффициент:
, Sy= и Sx=.
Sx==0,45 Sy==0,21 0,85*0,45/0,21=1,82.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 1,82 среднеквадратического отклонения этого показателя.
отн= = 100,89/10= 10,09%.
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 10,09%.
9.3 Показательная модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 94,1% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
= 12,08.
Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 12,08 %.
Бета-коэффициент :
Sx==10,04 Sy==0,21 0,997*10,04/0,21=46,94.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 46,94 среднеквадратического отклонения этого показателя.
отн= 106,02/ 10 = 10,6%.
В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 10,6%.
Вывод.
Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является показательная:
выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. При использовании показательной модели можно получит более точный прогноз. Из всех моделей для прогноза самая точная линейная модель.
Таблица 1
|
n |
(-)2 |
(-)2 |
()* *() |
=- |
(i-i-1)2 |
ЕОТН |/|* |
(-)2 |
|||||
|
1 |
21 |
12 |
252 |
144 |
16,81 |
7,29 |
11,07 |
19,73 |
1,27 |
|
6,04 |
1,61 |
|
2 |
10 |
4 |
40 |
16 |
146,41 |
187,69 |
165,77 |
11,99 |
-1,99 |
10,62 |
19,91 |
3,96 |
|
3 |
26 |
18 |
468 |
324 |
3,61 |
5,29 |
4,37 |
25,54 |
0,46 |
6,01 |
1,77 |
0,21 |
|
4 |
33 |
27 |
891 |
729 |
118,81 |
86,49 |
101,37 |
34,25 |
-1,25 |
2,92 |
3,78 |
1,56 |
|
5 |
34 |
26 |
884 |
676 |
98,01 |
106,09 |
101,97 |
33,28 |
0,72 |
3,87 |
2,12 |
0,52 |
|
6 |
37 |
29 |
1073 |
841 |
166,41 |
176,89 |
171,57 |
36,18 |
0,82 |
0,01 |
2,21 |
0,67 |
|
7 |
9 |
1 |
9 |
1 |
228,01 |
216,09 |
221,97 |
9,09 |
-0,09 |
0,82 |
0,98 |
0,01 |
|
8 |
21 |
13 |
273 |
169 |
9,61 |
7,29 |
8,37 |
20,70 |
0,30 |
0,15 |
1,43 |
0,09 |
|
9 |
32 |
26 |
832 |
676 |
98,01 |
68,89 |
82,17 |
33,28 |
-1,28 |
2,50 |
4,00 |
1,64 |
|
10 |
14 |
5 |
70 |
25 |
123,21 |
94,09 |
107,67 |
12,96 |
1,04 |
5,39 |
7,44 |
1,08 |
|
Итого |
237 |
161 |
4792 |
3601 |
1008,90 |
956,10 |
976,30 |
|
|
32,29 |
49,67 |
11,35 |
|
средн. |
23,7 |
16,10 |
479,2 |
360,1 |
|
|
|
|
|
|
4,97 |
|
Таблица 2
|
t |
2 |
(-) |
(-)2 |
() |
() *() |
()2 |
(-)2 |
ЕОТН |
(i-i-1)2 |
|||||
|
1 |
21,0 |
12 |
0,08 |
1,75 |
0,0069 |
-2,70 |
7,29 |
-0,098 |
0,26 |
0,0096 |
26,03 |
25,27 |
23,94 |
|
|
2 |
10,0 |
4 |
0,25 |
2,50 |
0,0625 |
-13,70 |
187,69 |
0,069 |
-0,94 |
0,0047 |
22,07 |
145,77 |
120,74 |
49,7 |
|
3 |
26,0 |
18 |
0,06 |
1,44 |
0,0031 |
2,30 |
5,29 |
-0,126 |
-0,29 |
0,0158 |
26,69 |
0,47 |
2,64 |
129,69 |
|
4 |
33,0 |
27 |
0,04 |
1,22 |
0,0014 |
9,30 |
86,49 |
-0,144 |
-1,34 |
0,0208 |
27,12 |
34,52 |
17,80 |
43,0 |
|
5 |
34,0 |
26 |
0,04 |
1,31 |
0,0015 |
10,30 |
106,09 |
-0,143 |
-1,47 |
0,0204 |
27,09 |
47,74 |
20,32 |
1,07 |
|
6 |
37,0 |
29 |
0,03 |
1,28 |
0,0012 |
13,30 |
176,89 |
-0,147 |
-1,95 |
0,0216 |
27,19 |
96,33 |
26,53 |
8,44 |
|
7 |
9,0 |
1 |
1,00 |
9,00 |
1,0000 |
-14,70 |
216,09 |
0,819 |
-12,03 |
0,6701 |
4,29 |
22,23 |
52,39 |
26,01 |
|
8 |
21,0 |
13 |
0,08 |
1,62 |
0,0059 |
-2,70 |
7,29 |
-0,105 |
0,28 |
0,0109 |
26,18 |
26,82 |
24,66 |
97,88 |
|
9 |
32,0 |
26 |
0,04 |
1,23 |
0,0015 |
8,30 |
68,89 |
-0,143 |
-1,19 |
0,0204 |
27,09 |
24,10 |
15,34 |
101,76 |
|
10 |
14,0 |
5,0 |
0,20 |
2,80 |
0,0400 |
-9,70 |
94,09 |
0,019 |
-0,18 |
0,0003 |
23,26 |
85,74 |
66,14 |
200,75 |
|
Итого |
237,0 |
161 |
1,81 |
24,15 |
1,1240 |
|
956,10 |
|
-18,85 |
0,7948 |
237,00 |
508,98 |
370,5 |
658,31 |
|
Средн |
23,70 |
16,10 |
0,18 |
2,41 |
0,1124 |
|
|
|
|
|
|
|
37,05 |
|
Таблица 3.
|
2 |
()2 |
()2 |
()* () |
()2 |
(i-i-1)2 |
ЕОТН |
2 |
||||||||
|
1 |
21 |
1,32 |
12 |
1,08 |
1,43 |
1,16 |
0,0000 |
0,00102 |
0,000 |
1,34 |
0,00042 |
-1,02 |
|
4,84 |
1,0 |
|
2 |
10 |
1,00 |
4 |
0,60 |
0,60 |
0,36 |
0,1078 |
0,19825 |
0,1462 |
1,13 |
0,0160 |
-3,38 |
5,60 |
33,84 |
11,45 |
|
3 |
26 |
1,41 |
18 |
1,26 |
1,78 |
1,58 |
0,0075 |
0,04325 |
0,0180 |
1,42 |
0,00006 |
-0,46 |
8,57 |
1,76 |
0,21 |
|
4 |
33 |
1,52 |
27 |
1,43 |
2,17 |
2,05 |
0,0362 |
0,14749 |
0,0730 |
1,50 |
0,0003 |
1,21 |
2,77 |
3,66 |
1,5 |
|
5 |
34,0 |
1,53 |
26 |
1,41 |
2,17 |
2,00 |
0,0413 |
0,13517 |
0,075 |
1,49 |
0,00134 |
2,75 |
2,37 |
8,08 |
7,55 |
|
6 |
37,0 |
1,57 |
29 |
1,46 |
2,29 |
2,14 |
0,0575 |
0,17230 |
0,0996 |
1,52 |
0,0027 |
4,16 |
2,00 |
11,25 |
17,33 |
|
7 |
9,0 |
0,95 |
1 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,1399 |
1,09687 |
0,392 |
0,85 |
0,0101 |
1,86 |
5,31 |
20,64 |
3,5 |
|
8 |
21 |
1,32 |
13 |
1,11 |
1,47 |
1,24 |
0,0000 |
0,00444 |
0,000 |
1,36 |
0,0013 |
-1,83 |
13,60 |
8,71 |
3,35 |
|
9 |
32 |
1,51 |
26 |
1,41 |
2,13 |
2,00 |
0,0313 |
0,13517 |
0,065 |
1,49 |
0,000105 |
0,75 |
6,64 |
2,34 |
0,56 |
|
10 |
14 |
1,15 |
5,0 |
0,70 |
0,80 |
0,49 |
0,0332 |
0,12134 |
0,063 |
1,17 |
0,00059 |
-0,81 |
2,4 |
5,77 |
1 |
|
∑ |
237 |
13,28 |
161 |
10,47 |
14,8 |
13,0 |
0,455 |
2,055 |
0,931 |
0,00 |
0,0329 |
|
49,3 |
100,89 |
47,0 |
|
Ср |
23,7 |
1,33 |
16,1 |
1,05 |
1,48 |
1,30 |
|
|
|
|
|
|
|
10,09 |
|
Таблица 4.
|
2 |
(-) |
(-)2 |
(-) *(-) |
(y-)2 |
()2 |
ЕОТН |
(i-i-1)2 |
|||||||
|
1 |
21,0 |
1,32 |
12,0 |
15,87 |
144,00 |
-0,006 |
0,000 |
0,02 |
17,53 |
12,02 |
1,244 |
0,006 |
16,51 |
|
|
2 |
10,0 |
1,00 |
4,0 |
4,00 |
16,00 |
-0,328 |
0,108 |
3,97 |
12,00 |
3,99 |
1,079 |
0,006 |
-19,97 |
29,8540 |
|
3 |
26,0 |
1,41 |
18,0 |
25,47 |
324,00 |
0,087 |
0,008 |
0,16 |
23,31 |
7,26 |
1,367 |
0,002 |
10,37 |
22,01 |
|
4 |
33,0 |
1,52 |
27,0 |
41,00 |
729,00 |
0,190 |
0,036 |
2,07 |
35,71 |
7,36 |
1,553 |
0,001 |
-8,22 |
29,25 |
|
5 |
34,0 |
1,53 |
26,0 |
39,82 |
676,00 |
0,203 |
0,041 |
2,01 |
34,06 |
0,00 |
1,532 |
0,000 |
-0,17 |
7,05 |
|
6 |
37,0 |
1,57 |
29,0 |
45,48 |
841,00 |
0,240 |
0,058 |
3,09 |
39,27 |
5,14 |
1,594 |
0,001 |
-6,13 |
4,88 |
|
7 |
9,0 |
0,95 |
1,0 |
0,95 |
1,00 |
-0,374 |
0,140 |
5,65 |
10,4 |
1,98 |
1,017 |
0,004 |
-15,62 |
0,74 |
|
8 |
21,0 |
1,32 |
13,0 |
17,2 |
169,00 |
-0,006 |
0,000 |
0,02 |
18,4 |
6,84 |
1,264 |
0,003 |
12,45 |
16,17 |
|
9 |
32,0 |
1,51 |
26,0 |
39,13 |
676,00 |
0,177 |
0,031 |
1,75 |
34,06 |
4,24 |
1,532 |
0,001 |
-6,44 |
21,85 |
|
10 |
14,0 |
1,15 |
5,0 |
5,73 |
25,00 |
-0,182 |
0,033 |
2,02 |
12,58 |
2,02 |
1,100 |
0,002 |
10,14 |
12,11 |
|
Итого |
237,0 |
13,28 |
161,0 |
234,6 |
3601,00 |
|
0,455 |
20,78 |
|
50,85 |
|
0,027 |
106,02 |
143,91 |
|
Средн |
23,7 |
1,33 |
16,10 |
23,46 |
360,10 |
|
|
2,08 |
|
|
|
|
|
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998.
16
EMBED MSPhotoEd.3