Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Приближение по недостатку – если известно, что приближенное меньше точного, то а называется приближенным по недостатку.
Приближение по избытку - – если известно, что приближенное больше точного, то а называется приближенным по избытку.
Истинная абсолютная погрешность – модуль разности между точным и приближенным значениями
Предельная абсолютная погрешность – наименьшее доступное число, не меньше истинной абсолютной погрешности
Истинная относительная погрешность – отношение истинной абсолютной погрешности к модулю точного значения
Предельная относительная погрешность – не меньше истинной относительной погрешности
Определение 1. Цифра αi приближённого числа a называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность Δa не превышает единицы разряда, в котором стоит цифра αi.
Определение 2. Цифра αi называется верной в узком смысле, если Δa не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит αi.
Нормализованная форма числа – a=M*10p
Прямая задача в теории погрешностей заключается в определении погрешности результата по известным погрешностям исходных данных.
Обратная задача теории погрешности заключается в определении погрешностей исходных данных для обеспечения результата с заранее заданной точностью.
Интерполянт или интерполирующая функция — в вычислительной математике это функция, которая строится по значениям в некоторых точках. Эта функция может быть использована для того, чтобы приблизить значение новых точек.
Рассмотрим общую задачу приближения функций:
Пусть на некотором множестве задана система функций φ0(x), φ1(x),..., φn(x), которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно-дифференцируемыми) функциями. Назовём эту систему основной.
Функции вида: Qm(x) = c0φ0(x) + c1φ1(x) +...+ cmφm(x) (1.1)
называются обобщенными полиномами порядка m, где c0, c1,..., cm - некоторые числа.
В частности, если основная система состоит из целых неотрицательных степеней переменной x, т.е. φ0(x) = 1, φ1(x) = x,..., φm(x) = xm, то Qm(x) = c0 + c1x +...+ c1xm есть обычный полином степени m.
Если
φ0(x) = 1, φ1(x) = Cos x, φ2(x) = Sin x,..., φ2m-1(x) = Cos(mx), φ2m(x) = Sin(mx),
то Qm(x) = a0 + a1Cos x + b1Sin x +...+ amCos(mx) + bmSin(mx) (1.2)
называется тригонометрическим полиномом (или тригонометрическим многочленом)порядка m.
Данную функцию f(x) требуется заменить обощенным полиномом Qm(x) заданного порядка m так, чтобы отклонение функции f(x) от обобщенного полинома Qm(x) на указанном множестве X = {x} было наименьшим. При этом полином Qm(x) в общем случае называется аппроксимирующим.
Если множество X состоит из отдельных точек x0, x1,..., xn, то приближение называется точечным. Если же X есть отрезок a ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.
На практике чаще всего используется приближение функций обычными и тригонометрическими полиномами.
Задача интерполирования является частным случаем задачи приближения функции. Пусть имеется некоторое линейное множество R действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и некоторая конечная или счетная совокупность достаточно простых функций этого множества {φi(x)}. Будем предполагать, что любая конечная подсистема функций {φi(x)} линейно независима на [a,b]. Рассмотрим задачу приближения функции f(x)∈R функциями вида (1.1). На [a,b] выберем некоторую фиксированную совокупность попарно различных точек x0, x1,..., xn и каждой конкретной функции f(x)∈R поставим в соответствие обобщенный многочлен Qm(x) вида (1.1), значения которого в выбранных точках совпадают со значениями функции f(x). Точки x0, x1,..., xn называются узлами интерполирования, а обобщенный многочлен, обладающий указанным свойством, называют обобщенным интерполяционным многочленом для f(x) по заданной системе узлов.
Иногда термину интерполяция противопоставляется термин экстраполяция. В таких случаях речь идет о том, что под интерполяцией понимается нахождение промежуточных значений таблично заданной функции строго внутри таблицы, тогда как экстраполяция предполагает использование интерполяционного многочлена, построенного по значениям функции f(x) в точках x0, x1,..., xn, для нахождения ее приближенных значений за пределами отрезка [a, b].
Для любой функции f(x), определенной на [a, b], и для любого набора n + 1 узлов x0, x1,..., xn (xi ¹ xj при i ¹ j) существует единственный интерполяционный многочлен:
j(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn.
Nn(x) = a0+a1(x-x0)+a1(x-x0)(x-x1)+…+
1.Всякое уравнение с одним неизвестным может быть записано в виде
f (x) = 0 ,где функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b.
Всякое значение x, обращающее функцию f (x) в нуль, т.е. такое, что f (x ) = 0, называется корнем уравнения (1.1) или нулем функции f (x).
Мы будем полагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения (1.1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
2. Пусть дана линейная система:
(1)
3.Рассмотрим систему вида . (1.1)
Здесь F1, F2, …, Fn – действительные функции n переменных векторов с областями определения DF1,DF2, ..., DFn из полного метрического пространства Rn. Полагаем, что множество – область определения системы – не является пустым. Введем в рассмотрение векторы x = (x1, x2, …, xn)t и F(x) = (F1(x1, x2, …, xn), F2(x1, x2, …, xn), …, Fn( x1, x2, …, xn))t, тогда систему (1.1) можно записать более кратко: x = F (x). (1.2)
Функции из правой части системы (1.1) задают отображение F : (x1, x2, …, xn)t ( F1 (x1, x2, …, xn), …, Fn(x1, x2, …, xn))t, (1.3)
переводящее каждый n – мерный вектор x = (x1, x2, …, xn)t из DF в единственный n – мерный вектор z = F(x) с координатами z1 = F1(x1, x2, …, xn), …, zn = Fn(x1, x2, …, xn). Следовательно, область определения и множество значений отображения F находятся в Rn.
n – мерный числовой вектор x* = (x1*, x2*, …, xn*)t назовем решением системы (1.1), если при подстановке его координат все уравнения системы превращаются в верные числовые равенства. Нахождение корней уравнения (1.1) называется задачей о неподвижной точке.
Отделить корни – задать такие отрезки, на которых корень существует и он единственный. Основная проблема задачи отделения – возможность наличия нескольких (в принципе бесконечного количества) корней.
Уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.
Методы уточнения корней делятся на конечные и итерационные. Конечные методы основаны на идее уменьшения интервала неопределенности на каждом шаге с помощью какого-либо процесса.
Суть итерационного метода в построении итерационной формулы и вычисления итерационной последовательности такой, чтобы эта последовательность сходилась к заданному корню.
Если матрица B коэффициентов при неизвестных в правой части системы (3) удовлетворяет условию
q = < 1 (13)
то эта система имеет единственное решение x*, а построенная по формулам (4) последовательность x(k) сходится к x* при любом начальном приближении x(0) Rn. При этом имеют место оценки
Задачу вычисления приближенного значения интеграла и оценки погрешности вычисленного значения называют задачей численного интегрирования.
Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле вида:
, прям-и
трап-и
пар-ы
Рассмотрим задачу Коши, то есть задачу решения обыкновенного дифференциального уравнения (1.1)
с начальным условием (1.2)
Уравнение (1.1) имеет решение, которое удовлетворяет начальному условию (1.2), если f(x,y(x)) непрерывна в некоторой окрестности (x0;y0). Более определено, если f(x,y(x)) непрерывна в некоторой открытой области D и для любых y, η удовлетворяет в этой области условию Липшица
(1.3)
где L - некоторая положительная постоянная, то дифференциальное уравнение (1.1) при любом начальном условии (1.2), где точка (x0;y0) принадлежит области D, имеет единственное решение y=y(x).
Геометрическая интерпретация этого факта такова: через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая.
Будем считать, что вычисления проводятся с расчётным шагом h=(b-x0)/n , расчетными точками (узлами) служат точки xi=x0+ih отрезка [x0;b] и целью является нахождение приближённых значений yi решения y=y(xi) для поставленной задачи (1.1) - (1.2) в расчётных точках xi.