Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
План
Опр. Векторным полем называется область пространства или плоскости, каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор
В декартовой системе координат задание векторного поля равносильно заданию трех функций трех переменных.
Опр. Векторной линией называется кривая, направление которой в каждой точке М совпадает с направлением вектора , соответствующего этой точке.
Опр. Потоком П векторного поля через поверхностьв сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности называется величина поверхностного интеграла:
= (1)
- cкалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбранного направления нормали
Физический смысл потока: если векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости, то поток векторного поля через ориентированную поверхность есть количество жидкости, протекающей черезза единицу времени в том направлении, в котором ориентирована эта поверхность ( это и объясняет название «поток»)
Если F обозначает вектор магнитного поля, то поток векторного поля выражает количество магнитных силовых линий, проходящих через .
2. Циркуляция, дивергенция и ротор векторного поля.
Опр. Линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L называется криволинейный интеграл
В том случае, когда — силовое поле, линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении точки по линии (физический смысл линейного интеграла).
Опр. Линейный интеграл в векторном поле вдоль замкнутой линии L называется циркуляцией векторного поля вдоль контура L
Ц =
Опр. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля
= Рi+Qj+Rk называется скаляр divF=
Физический смысл дивергенции: величина дивергенции характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М.
Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, то справедлива формула Остроградского-Гаусса:
П=
или
Интеграл по поверхности дает полное количество жидкости, вытекающей из тела V через поверхность за единицу времени (или втекающей в тело, если интеграл отрицателен). Это количество жидкости выражается через тройной интеграл от дивергенции. Если дивергенция тождественно равна нулю, то поверхностный интеграл равен нулю и количество жидкости, втекающей внутрь тела, равно количество жидкости, вытекающей из него (физический смысл формулы Остроградского).
С помощью формулы Остроградского легко получить выражение для объема тела T через поверхностный интеграл по замкнутой поверхности , являющейся границей этого тела. В самом деле, выберем функции Р, Q, R так, чтобы . Тогда получим
,
Градиент функции и(х, у, z) часто обозначают буквой («набла») и записывают следующим образом:
Введем символический вектор, называемый символическим вектором (или оператором Гамильтона, или набла-оператором).
=
Он обладает как свойствами вектора, так и свойствами дифференциального оператора.
С его помощью выражения для градиента, дивергенции и ротора можно записать в следующем виде:
grad u= и ; div=; rot =
Градиент функции и есть «произведение» символического вектора на скалярную функцию и
Дивергенция вектора равна скалярному произведению символического вектора на вектор .
Ротор вектора равен векторному произведению символического вектора на вектор : rot=
Опр. Вихрем ( ротором) векторного поля = Рi+Qj+Rk называется вектор rot =
Физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки. В кинематике доказывается, что поле скорости для любого момента времени определяется формулой , где — мгновенная угловая скорость, а — радиус-вектор произвольной точки М тела. Найдем проекции вектора на оси координат: . Проекции вектора rot на оси координат соответственно равны , то . Следовательно, с точностью до числового множителя ротор поля скорости представляет собой мгновенную угловую скорость вращения твердого тела.
Пример. Найти ротор векторного поля
Решение.
Находим проекции ротора:
Следовательно,
Опр. Векторное поле называется безвихревым, если rot=0
Опр. Векторное поле называется гармоническим, если div= 0 и rot=0
Опр. Векторное поле называется потенциальным (или градиентным) если =grad u. Потенциальное поле является безвихревым, т.к. rot=rot (grad u) = u=0
Т.е.
Тогда является условием потенциальности векторного поля.
Опр. Векторное поле называется соленоидальным ( или трубчатым), если div=0, т.е. в области задания поля отсутствуют и стоки и источники.
Физическая интерпретация соленоидального поля такова: в случае несжимаемой жидкости и при отсутствии источников (div=0) расход жидкости через поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение для всех сечений этой трубки. Это значение называют интенсивностью (или напряжением) векторной трубки.
Т.к. div (rot)=()=0, то поле вихрей является соленоидальным.
3. Формула Стокса
Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, то справедлива формула Cтокса:
(1)
где cos, cos, cos- направляющие косинусы нормали к поверхности
или
Формула Стокса в векторной форме имеет вид:
(2)
Т.е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L, ограничивающего некоторую поверхность , равна потоку вихря через эту поверхность.
Пример. Найти циркуляцию век торного поля =(x-2z)i+(x+3y+z)j + (5x+y)k по контуру треугольника ABC, где А(1; 0; 0), В(0; 1; 0), С(0; 0; 1).
z
1 n
х+у+z=1
О 1 у
1
х
Решение
Используем формулу Стокса:
Ц = , где направление обхода контура А, дол жно быть положительным. Находим:
rot=
В качестве возьмем треугольник ABC, который расположен на плоскости x+y+z=1; берем верхнюю сторону этого треугольни ка (нормальный вектор п выходит из выбранной стороны поверх ности)
По формуле (3) последовательно находим (L — контур тре угольника ABC; направление обхода по L указано на рисунке):
Ц =
здесь (rotF)x (rotF)y (rotF)z— координаты вектора rotF, т.е. его
проекции на оси координат.
4. Операции второго порядка. Оператор Лапласа.
Пусть в области заданы скалярное поле и и векторное поле Операции называются операциями первого порядка. Первая и третья операции порождают векторное поле, а вторая — скалярное поле.
Возможны следующие операции: , которые называются операциями второго порядка.
При этом справедливы соотношения:
Опр. Операция второго порядка называется оператором Лапласа и обозначается через
Ст. преподаватель: Рыщанова С.М.
4