Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Раздел 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА (КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЕ
РЯДАМИ, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ)
В настоящем разделе рассматриваются краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка и некоторым сведениям о специальных функциях, возникающих при нахождении их решений. Полное изложение этих вопросов представлено в [ССЫЛКИ].
§ 1. Линейный дифференциальный оператор второго порядка
Пусть задано дифференциальное выражение ( дифференциальная операция) вида
, ( 146 )
где - функции, непрерывные в интервале , причем не обращается в нуль при . Будем применять эту операцию к функциям , дважды непрерывно дифференцируемым на . В этом случае будем говорить о линейном дифференциальном операторе с областью определения , действие которого на элемент определяется с помощью дифференциального выражения по формуле
.
Линейность оператора заключается в линейности множества и его дистрибутивности и однородности на этом множестве.
Докажем, что при совпадает с . Рассмотрим уравнение
.
Поделив его на , получим эквивалентное уравнение
, ( 147 )
где
-
непрерывные на функции. Из общей теории следует, что уравнение (147) имеет решение из . Это и означает, что (ибо для произвольной функции из найдется элемент такой, что ). Более того, из упомянутой теории явствует, что отображение
не является взаимно однозначным. В самом деле, при любых данных Коши
,
уравнение (147) имеет решение . При изменении решение будет, вообще говоря, меняться, однако равенство будет сохраняться (т.е. различным «прообразам» соответствует один и тот же образ ).
С точностью до множителя выражение (146) можно записать в так называемой самосопряженной форме. Перепишем (146) в виде (см. также (147))
( 148 )
и постараемся подобрать не обращающуюся в нуль функцию так, чтобы коэффициент при в квадратных скобках был равен , т.е. из условия
.
В качестве можно взять функцию
,
где в скобках справа стоит некоторая первообразная . Мы видим, что при , поэтому выражение (148) эквивалентно (146). Обозначив
, ( 149 )
перепишем выражение (146) в виде (где при )
. ( 150 )
Выражение
( 151 )
назовем линейным дифференциальным выражением второго порядка в самосопряженной форме, а (150) – линейным дифференциальным выражением в симметризуемой форме. Из проведенных рассуждений видно, что выражение (146) всегда приводится к симметризуемой форме (при оговоренных условиях на коэффициенты).
В дальнейшем приходится различать регулярные и сингулярные дифференциальные выражения (151). Будем считать, что
при ,
(отметим, что эти условия наследуются из требований, предъявляемых к коэффициентам ). Для определенности полагаем, что при . Будучи положительным, коэффициент может иметь нулевые предельные значения при (или же ), коэффициент может быть неограничен на . Наконец, сам промежуток может оказаться бесконечным. При осуществлении хотя бы одной из этих возможностей именуется сингулярным дифференциальным выражением, а порожденные им дифференциальные операторы (указанием области определения) – сингулярными дифференциальными операторами.
Дадим соответствующее определение.
Предположим, что интервал ограничен и что коэффициенты в выражении (151) могут быть продолжены по непрерывности на отрезок . Обозначим продолженные функции теми же символами . Дифференциальное выражение
будем называть регулярным на отрезке , если при (таким образом, не обращается в нуль ни внутри, ни на концах отрезка , а ограничена на ). Регулярный дифференциальный оператор получается, если регулярное дифференциальное выражение действует на функции из , удовлетворяющее определенным краевым условиям. Область определения регулярного оператора принадлежит при этом «объемлющему» пространству (и плотна в нем), ему же принадлежит и область его значений. Говорят, что действует из и определен на . Таким образом, здесь область определения не совпадает со всем пространством. Оператор неограничен в .
Остановимся еще на двух простых фактах, которые будут использоваться в дальнейшем.
По формуле Остроградского-Лиувилля имеем
, ( 152 )
где - определитель Вронского фундаментальной системы решений уравнения . Поделив на , получим
.
Поскольку слева стоит производная , то интегрирование дает выражение второго решения через первое:
. ( 153 )
Здесь интегралы изображают фиксированные первообразные соответствующих подынтегральных выражений. Для уравнения формула (153) упростится:
. ( 154 )
Другой факт содержится в утверждении:
Нетривиальное решение уравнения может иметь только простые нули.
Доказательство. Если бы в некоторой точке был кратный нуль решения , то выполнялось бы равенство . Но единственным решением уравнения с такими начальными данными является тождественный нуль.
§ 2. Регулярная краевая задача и задача Штурма-Лиувилля (предварительные сведения)
Основной задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. В физических приложениях наряду с задачей Коши важную роль играют так называемые краевые задачи. Приступим к изучению следующей краевой задачи: требуется отыскать решение на отрезке уравнения
, ( 155 )
удовлетворяющее на краях отрезка условиям
. ( 156 )
Замечание. Коэффициенты - произвольные действительные числа с единственным ограничением: и не могут одновременно обращаться в нуль, т.е. (в противном случае краевое условие теряет смысл).
Если , то соответствующая задача
( 157 )
называется краевой задачей с однородными краевыми условиями. Краевую задачу с однородными краевыми условиями удобно записывать в операторной форме
. ( 158)
Здесь - линейный оператор, действующий в :
,
область определения которого состоит из тех дважды непрерывно дифференцируемых на функций , которые удовлетворяют краевым условиям :
.
Ясно, что есть часть ). На функциях из действие оператора задается формулой
.
Краевая задача (155), (156) называется регулярной, если левая часть уравнения (155) регулярна ( является регулярным дифференциальным выражением) и коэффициенты в (156) удовлетворяют условиям замечания. Про оператор говорят, что он порожден регулярной краевой задачей.
Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра , при которых уравнение
имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее краевым условиям
( 160 )
Задача Штурма-Лиувилля в зависимости от значений указанных параметров имеет ту или иную физическую подоплеку, ту или иную специфику. Если , то соответствующие условия
именуется краевыми условиями первого рода; условия
называются краевыми условиями второго рода. Общие условия (160), записанные в виде
,
называются краевыми условиями третьего рода. В более общем случае справа вместо нуля может стоять произвольное число, и тогда говорят о неоднородном краевом условии.
Задачу Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. Краевые условия (160) именуют граничными или предельными условиями (и тогда говорят о граничной или соответственно о предельной задаче).
§ 3. -функция, фундаментальное решение, функция Грина
1. Эвристика. Правая часть уравнения
( 161 )
в физических задачах символизирует силу, действующую на систему, поведение которой описывается решением . Будем называть единичным импульсом, приложенным в точке , «силу» , «сосредоточенную» в точке . Примем за определение -функции равенство при любой непрерывной функции . При этом постулируется равенство .
Пусть нам удалось найти решение уравнения
, ( 162 )
правая часть которого представляет единичный импульс, приложенный в точке . Будем называть такое решение фундаментальным решением уравнения (162). Подставляя в уравнение, умножая обе части полученного тождества на и интегрируя по , придем к тождеству
. ( 163 )
Если справедливо равенство
(т.е. законно дифференцирование под знаком интеграла), то равенство (163) означает, что функция
является решением уравнения (160).
Мы увидим, что фундаментальное решение не единственно. В прочем, это легко понять из общих соображений – единственность решения дифференциального уравнения можно ожидать лишь при наличии дополнительных условий. Если в качестве этих условий взять краевые условия
, ( 164 )
то, вообще говоря, фундаментальное решение определится однозначно. Фундаментальное решение, удовлетворяющее однородным краевым условиям (164), называется функцией Грина задачи (157).
Из уравнения (162) следует, что (при фиксированном ) в промежутках выполняется тождество
.
Обозначим через фундаментальную систему решений на отрезке однородного уравнения
Тогда, очевидно
где - некоторые постоянные (они могут зависеть от ). Ясно, что такая функция или непрерывна при , или, в худшем случае, имеет разрыв первого рода при . Интегрируя равенство (162) в пределах от до , получим
.
Справа стоит выражение, зависящее от , непрерывное всюду, за исключением точки , где оно испытывает разрыв первого рода (с единичным «скачком»). Из написанного равенства вытекает, что сама функция непрерывна при переходе через значение (ее производная терпит разрыв первого рода). Если, наконец, мы «проинтегрируем» уравнение (162) по -окрестности точки , то получим
,
что в пределе при дает соотношение
. ( 165 )
Определение. Фундаментальным решением уравнения
( 166 )
с особенностью в точке называется функция , определенная в квадрате
и обладающая свойствами:
1. непрерывна в .
2. При фиксированном она удовлетворяет уравнению (163) в промежутках и (и, следовательно, дважды непрерывно дифференцируема в этих промежутках).
3. Первая производная функции имеет разрыв первого рода в точке со «скачком» , т.е.
.
Теорема. Уравнение (166) с регулярной левой частью имеет фундаментальное решение.
Доказательство. Регулярность левой части уравнения (166) означает, что
1) при ;
2) .
В этих условиях уравнение (166) имеет на отрезке фундаментальную систему решений . Функция
очевидно, будет обладать свойствами 1 и 2, оговоренными в определении. Ее производная имеет, кроме того, разрыв первого рода при , причем, очевидно,
. ( 167 )
Справа стоит определитель Вронского системы решений вычисленный в точке . Напомним теперь, что определитель Вронского удовлетворяет соотношению
,
где - коэффициент при в соответствующем уравнении (147) ( с коэффициентом при , равным единице). Следовательно,
. ( 168 )
Таким образом, при и можно положить
.
Поделив обе части равенства (167) на , получим
. ( 169 )
Изложенное означает, что функция
( 170 )
удовлетворяет условиям 1, 2, 3 определения фундаментального решения и представляет собой фундаментальное решение уравнения (166) с особенностью в точке . Теорема доказана.
Найденное фундаментальное решение не единственно. Добавляя к нему произвольную линейную комбинацию решений фундаментальной системы
, ( 171 )
снова получим фундаментальное решение.
Теорема. Решение неоднородного уравнения
( 172 )
с регулярной левой частью и непрерывной правой частью () представляется в виде «суперпозиции элементарных решений, т.е.
.
Доказательство. Проводится путем непосредственной проверки, имеем
. ( 173 )
Оба интеграла справа можно дифференцировать по обычным правилам. Производя дифференцирование, получим
( 174 )
(внеинтегральные слагаемые уничтожаются в силу непрерывности ),
( 175 )
Выражение в квадратных скобках вычисляется согласно формуле (170):
.
С учетом (167) и (169) получим окончательно
. ( 176 )
Домножая равенство (173) на , равенство (174) на , равенство (176) на , придем к равенству
.
В силу свойства 2 фундаментального решения окончательно имеем
.
Теорема доказана.
Замечание. Мы видим, что знание фундаментального решения позволяет находить частное решение неоднородного уравнения (172) (раньше мы использовали для этой цели метод вариации постоянных). Общее решение уравнения (172) запишется, конечно, в виде
.
Замечание. Проведенные выше выкладки можно, как уже упоминалось, записать коротко в виде
,
но при этом внесение дифференциальной операции под знак интеграла требует обоснования. Это обоснование и было по существу проведено в упомянутых выкладках.
Замечание. Все сказанное о фундаментальном решении справедливо для любого фундаментального решения вида (171).
2. Функция Грина. Перейдем к формализованному определению и построению функции Грина. Согласно предыдущему разговору, функция Грина – это фундаментальное решение, удовлетворяющее краевым условиям. Определение. Функцией Грина регулярной краевой задачи
, ( 177 )
( 178 )
называется функция , обладающая свойствами:
1. определена и непрерывна в .
2. При любом фиксированном функция удовлетворяет уравнению в промежутках и (и, следовательно, дважды непрерывно дифференцируема там).
3. Производная при любом фиксированном имеет разрыв первого рода, причем
. ( 179 )
4. При произвольно фиксированном функция удовлетворяет краевым условиям (178), т.е.
.
Замечание. Из свойств 1, 2, 3 следует, что функция является фундаментальным решением уравнения с особенностью в точке . Среди прочих элементарных решений выделяется тем, что обладает свойством 4 (удовлетворяет краевым условиям). Функцию будем называть также функцией Грина оператора .
Мы увидим сейчас, что свойствами 1-4 функция Грина определяется полностью и притом однозначно. Будем говорить, что выполнено «условие Т», если полностью однородная краевая задача
не имеет других решений, кроме тривиального. «Условия регулярности» напомним, означают: при , .
Теорема. Функция Грина краевой задачи (177), (178) существует и единственна, если выполнены условия регулярности и условие Т. Функция симметрична: .
Доказательство. Пусть - решение на отрезке задачи Коши
.
Поскольку хотя бы одно из чисел отлично от нуля, не есть тождественный нуль. Очевидно, что функция удовлетворяет краевому условию . Далее, линейно независимы. (Если предположить обратное, то
.
Но тогда удовлетворяет обоим краевым условиям и в силу условия Т должны быть тожественным нулем – пришли к противоречию). Таким образом, мы получили фундаментальную систему решений уравнения такую, что
.
Обозначим через определитель Вронского этой системы и рассмотрим фундаментальное решение
( 180 )
Вдобавок к свойствам 1, 2, 3 оно, очевидно, будет обладать свойством 4. Из полученной формулы явствует и симметрия функции . Осталось доказать единственность.
Допустим, что некоторая функция является функцией Грина оператора (наряду с ). Пусть
.
Зафиксируем произвольно . На основании (179) предельные значения производных
,
совпадают, т.е. у функции производная существует и непрерывна на всем отрезке . Поскольку удовлетворяет по в промежутках и дифференциальному уравнению , то
. ( 181 )
Из сказанного следует, что
,
т.е. производная существует и непрерывна при . Таким образом, соотношение (181) выполняется на всем отрезке и, следовательно, функция удовлетворяет уравнению (как функция при фиксированном ) на всем отрезке . Кроме того, она, очевидно, подчиняется краевым условиям . По условию Т заключаем, что при . В силу непрерывности на всем основном квадрате .
Теорема (теорема Гильберта о существовании и единственности решения краевой задачи). Пусть выполнены условия регулярности и условие Т. Тогда при любой непрерывной на отрезке функция краевая задача
, ( 182 )
( 183 )
имеет единственное решение, выражаемое формулой
, ( 184 )
где - функция Грина оператора .
Доказательство. Ради краткости записи обозначим (см. (180))
.
В этих обозначениях имеем
Ясно, что функция , так же как и , удовлетворяет уравнению и краевому условию (вследствие их однородности). Функция удовлетворяет уравнению и краевому условию по построению. Рассмотрим функцию (184):
( 185 )
Непосредственное дифференцирование дает
( 186 )
Следовательно,
и выполнение краевого условия делается очевидным. Аналогично проверяется краевое условие .
Дифференцируя соотношение (185), получим
( 187 )
Последнее слагаемое совпадает с выражением (см. (175)). Умножая (185) на Б (186) на , (187) на и складывая, придем к тождеству
.
Итак, - решение краевой задачи. Убедимся, что другого решения не может быть. Предположим противное: пусть - другое решение. Тогда разность
удовлетворяет однородному уравнению и однородным краевым условиям и мы вопреки условию Т имеем нетривиальное решение полностью однородной краевой задачи. Пришли к противоречию. Приходится признать, что . Теорема доказана.
Теорему Гильберта полезно переформулировать следующем образом:
Теорема (Гильберта). Пусть выполнены условия регулярности и условие Т. Тогда, какова бы ни была функция , функция , представимая по формуле (184) через функцию Грина оператора , принадлежит классу , удовлетворяет уравнению (182) и краевым условиям (183).
§ 4. Эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля интегральному уравнению. Теорема Стеклова
1. Задача Штурма-Лиувилля. Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля с перечислением всех сопровождающих требований.
Задача Штурма-Лиувилля (Ш.Л.). Найти те значения параметра , при которых уравнение
( 188 )
имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее краевым условиям
( 189 )
Речь идет, конечно, о дважды непрерывно дифференцируемых решениях, т.е. требуется: . Предполагаются выполненными условия регулярности:
при , ( 190 )
Значение параметра , при котором существует нетривиальное решение задачи Ш.Л., называется собственным значением задачи Ш.Л., а решение - собственной функцией задачи Ш.Л., соответствующей собственному значению . Требуется, чтобы значение параметра не являлось собственным числом задачи Ш.Л. Будем именовать это требование условием Т.
Теорема. Пусть выполнены условия регулярности и условие Т, и пусть - функция Грина краевой задачи (177), (178). Тогда задача Штурма-Лиувилля эквивалентна интегральному уравнению
, ( 191 )
т.е. 1) если число является собственным значением задачи Ш.Л. с собственной функцией , то является характеристическим числом интегрального уравнения (191), которому соответствует собственная функция (уравнения (191));
2) если число является характеристическим числом интегрального уравнения (191) с собственной функцией , то и , являются соответствующими друг другу собственным значением и собственной функцией задачи Ш.Л.
Доказательство. 1) В самом деле, если и таковы, что
,
то по теореме Гильберта
.
Следовательно, - характеристическое число, а - соответствующая ему собственная функция интегрального уравнения (191).
2) Пусть, наоборот,
. ( 192 )
Будучи собственной функцией интегрального уравнения (191), функция непрерывна. По теореме Гильберта правая часть тождества (192) представляет собой дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению при . Учитывая (192), приходим к тождеству
. ( 193 )
Более того, в силу свойств функции Грина правая часть (192) (а, следовательно, и левая), удовлетворяет краевым условиям (178). В итоге
. ( 194 )
Соотношения (193), (194) означают, что и являются соответствующими друг другу собственным числом и собственной функцией задачи Ш.Л. (188), (189), что и требовалось доказать.
2. Правильная задача Штурма-Лиувилля. При выполнении условий регулярности и условия Т говорят о правильной задаче Ш.Л. Ниже идет речь о правильной задаче. Редукция задачи Ш.Л. к интегральному уравнению позволяет получить свойства собственных чисел и собственных функций задачи Ш.Л.
Прежде всего отметим, что
1) Собственные функции задачи Ш.Д. принадлежат классу .
2) Собственные значения задачи Ш.Л. совпадают с характеристическими значениями уравнения (191) с симметричным ядром .
3) Собственные значения задачи Ш.Л. (188), (189) вещественны.
Замечание. Оператор , порожденный дифференциальным выражением и краевыми условиями , рассматривается нами как оператор в и в силу этого его собственные числа и собственные функции вещественны. Свойство 3) следует понимать в том смысле, что если даже рассматривать в , то его собственные числа вещественны (а собственные функции могут быть выбраны вещественными). Это обстоятельство позволяет вести разговор в рамках .
4) Собственные числа задачи Щ.Л. – простые.
Будем рассуждать от противного. Пусть - собственное значение оператора , которому соответствуют две линейно независимые собственные функции . Определитель Вронского
этих функций не обращается в нуль ни в одной точке . Рассмотрим краевые условия
как систему относительно . Ее определитель отличен от нуля, что влечет . Это противоречит условию (190). Следовательно, и не могут быть линейно независимы.
5) Собственные значения задачи Ш.Л., расположенные в порядке неубывания модулей
,
образуют последовательность, расходящуюся к .
Нужно лишь убедиться, что ядро не может быть вырожденным. Если бы оно было вырожденным, то оно представлялось бы через его собственные функции и характеристические числа в виде
.
Это означало бы, что ядро дважды непрерывно дифференцируемо в (поскольку ), что противоречит свойствам функции Грина. Следовательно, ядро невырождено и имеет счетный характеристический спектр.
Теорема (о свойствах собственных чисел задачи Ш.Л.). Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (при выполнении условий регулярности и условии Т) вещественны, просты и образуют счетное множество с единственной предельной точкой на бесконечности. Они могут быть расположены в порядке неубыания модулей .
При этом .
Замечание. Можно было бы отметить еще, что (это следует из условия Т).
Теорема. Собственные функции задачи Щтурма-Лиувилля (188), (189) совпадают с собственными функциями ядра и ортогональны между собой.
Доказательство очевидно. Отметим, что нормированная собственная функция , соответствующая собственному значению , определяется по существу, однозначно (с точностью до знака ). Условие ортогональности имеет вид
.
Пусть - совокупность всех собственных значений задачи Ш.Л., расположенных в порядке неубывания модулей, а - система соответствующих ортонормированных функций (будем называть ее максимальной ОНС задачи Ш.Л.
Теорема Стеклова. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке и удовлетворяет на концах отрезка условиям
( 195 )
Тогда справедливо разложение в ряд Фурье
,
где - максимальная ОНС задачи (188), (189) и написанный ряд сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. В результате подстановки функции в дифференциальное выражение получится соотношение
, ( 196 )
где - непрерывная на отрезке функция. Поэтому функцию можно рассматривать как решение уравнения (196) при краевых условиях (195). По теореме Гильберта, имеет место представление
,
где - функция Грина оператора .
Таким образом, функция истокообразно представима через ядро . Поэтому она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по максимальной ОНС ядра , т.е. по системе :
. ( 197 )
Теорема доказана.
Замечание. Можно обобщить теорему Стеклова на случай, когда функция , а вторая производная лишь кусочно-непрерывна на .
§ 5. Общая краевая задача. Задача с параметром. Симметризуемые
задачи
1. Общая краевая задача, задача с параметром. Теперь мы в состоянии рассмотреть общую краевую задачу
, ( 198 )
( 199 )
Эта задача редуцируется к задаче с однородными краевыми условиями путем подбора функции , удовлетворяющей краевым условиям (199). Такой подбор легко осуществим.
Пример. В случае краевых условий первого рода
такая функция находится в виде трехчлена
.
В самом деле, определения и получаем систему
определитель которой отличен от нуля.
Задача. Подобрать функцию , удовлетворяющую краевым условиям второго рода (третьего рода).
Коль скоро функция подобрана, то заменой задача (198), (199) сводится к следующей задаче:
,
где .
Таким образом, общая краевая задача сводится к задаче с однородными краевыми условиями, которая была рассмотрена выше. Ее решение дается формулой (мы возвращаемся к обычным обозначениям, т.е. считаем в (199) и равными нулю, а саму задачу (198), (199) – регулярной)
,
где - соответствующая функция Грина. При этом считается, конечно, что выполнено условие Т. Если известны собственные значения и собственные функции оператора (т.е. характеристические числа и собственные функции ядра ), то решение запишется в виде ряда
.
В приложениях часто возникают задачи, содержащие параметр в уравнении, в виде
( 200 )
В силу теоремы Гильберта такая задача редуцируется к эквивалентному интегральному уравнению
, ( 201)
где функция определяется равенством
. ( 202 )
Если не совпадает ни с каким собственным значением оператора (ядра ), то уравнение (201) (а следовательно, и задача (200)) однозначно разрешимо. Его решение представляется, как известно, формулой Шмидта (140), т.е. в виде ряда Фурье по собственным значениям оператора (ядра ). Это соображение позволяет написать решение задачи (200) в виде
.
Здесь функция сама разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
в силу представления (202). Поэтому окончательно получим (так как )
. ( 203 )
То же выражение возникает, если искать решение задачи (200) методом неопределенных коэффициентов в виде
,
разлагая при этом функцию в формальный ряд Фурье
.
Пусть теперь совпадает с одним из собственных значений. Тогда решение (203) теряет смысл. Пусть и - собственная функция, соответствующая . Известно, что уравнение (201) (а следовательно, и задача (200)) разрешимо в том и только том случае, когда . Перепишем это условие в виде
Поскольку, в силу условия Т, , получаем необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (200): . При выполнении этого условия решение задачи (200) представляется, очевидно, в форме
,
где знак у суммы означает, что из нее изъят член с , а - неопределенная постоянная.
2. Симметризуемые задачи. Вернемся к общему дифференциальному выражению (146)
.
Мы представили его в виде (см. (150))
,
где . Будем считать, что указанные функции по непрерывности распространяются на отрезок , причем выполняются требования: при , и рассмотрим симметризуемую задачу Штурма-Лиувилля
, ( 204 )
( 205 )
Эта задача сводится к интегральному уравнению опять с помощью теоремы Гильберта. В самом деле, запишем уравнение (204) в эквивалентной форме
. ( 206 )
Пусть - функция Грина краевой задачи. Редуцируем задачу (205), (206) к эквивалентному интегральному уравнению
. ( 207 )
На этот раз ядро интегрального уравнения (207) не симметрично. Однако простой прием сводит дело к уравнению с симметричным ядром. Домножим соотношение (207) на и обозначим . Тогда уравнение (207) перепишется в виде
,
где - симметричное ядро.
§ 6. Уравнения с полиномиальными и рациональными коэффициента-ми. Обыкновенные и особые точки. Решение точками
В математической физике возникают уравнения вида
, ( 208 )
где коэффициенты являются многочленами. При изучении таких уравнений широко используется представление решения степенным рядом. Напомним некоторые понятия и факты, связанные со степенными рядами.
Определение. Функцию , заданную на промежутке действительной оси назовем аналитической на , если она в каждой точке этого промежутка разлагается в степенной ряд (с центром в ), сходящийся в некоторой окрестности . В частности, если ряд
имеет радиус сходимости , то функция аналитична в интервале . Договоримся еще считать функцию аналитической в точке , если она представляется степенным рядом, сходящимся в некоторой окрестности этой точки.
Будем рассматривать уравнение
, ( 209 )
в котором функции разлагаются в степенные ряды в окрестности точки с радиусом сходимости (т.е. сходящиеся при ):
, ( 210 )
, ( 211 )
. ( 212 )
Точку будем называть при этом обыкновенной точкой уравнения (209). В частности, такая ситуация будет иметь место, если уравнение (208) поделить на , при условии, что . В этом случае коэффициенты
являются рациональными функциями и разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости, равным расстоянию точки до ближайшего нуля полинома .
Теорема. Задача Коши для уравнения (209) с аналитическими в точке коэффициентами имеет решение при произвольных начальных данных
представимое в виде степенного ряда
с тем же радиусом сходимости, что и ряды (210)-(212).
Доказательство. Для простоты записи положим и будем искать решение в виде
. ( 213)
Дифференцирование дает
, ( 214)
. ( 215)
Перемножая ряды (210) и (214) ( (211) и (213)), получим
После подстановки в уравнение (209) придем к равенству
Сравнение коэффициентов при дает следующие соотношения для определения коэффициентов при :
( 216)
Числа и выражаются через коэффициенты . Коэффициенты и находятся из начальных условий
( 217)
После этого из первого уравнения системы (216) находится , из второго - и т.д.
Докажем сходимость полученного ряда (213) при .
Пусть - произвольное положительное число, . Из сходимости рядов (210), (211), (212) следует, что найдется положительное число такое, что
Сравнение найденных коэффициентов с величинами , определенными соотношениями
показывает, что . С другой стороны, из соотношения (которое легко проверяется)
сразу следует, что при . Это означает, что ряд сходится при .Следовательно, ряд тем более сходится при (). Поскольку можно взять как угодно близко к , заключаем, что ряд (213) сходится при . Этим теорема доказана.
Замечание. Примененный метод называется методом неопределенных коэффициентов. В частности, теорема верна при . В этом случае полученное решение линейно зависит от начальных данных, т.е. от . Группируя члены, его можно записать в виде
где - линейно независимые решения уравнения (209). Таким образом, получено общее решение уравнения (209) ( с ).
Замечание. Из теоремы следует, что в случае, когда коэффициенты и однородного уравнения (209) являются полиномами, решение его определяется рядом (213), сходящимся при .
Задача. Полиномы Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению
( 217)
при . Получите общее решение уравнения (217) методом неопределенных коэффициентов. При каких условиях это решение превращается в полином? (Указание. Для определения коэффициентов получается соотношение
с помощью которого можно получить два частных решения в виде разложения по четным и нечетным степеням соответственно. Эти ряды сходятся при всех . Если , где - неотрицательное число, то один из рядов превращается в полином степени - полином Эрмита .)
Нам предстоит изучить уравнение вида (208) с нулевой правой частью, в котором многочлен имеет вещественные корни не выше второго порядка, причем, если - корень второго порядка:
то . В указанных условиях уравнение (208) вблизи точки можно переписать в виде
( 218)
где - рациональные функции. Рассмотрим более общее уравнение вида (218) с функциями , аналитическими в точке (т.е. разлагающимися в степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности ).
Определение. Пусть дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде (218), где функции разлагаются в степенные ряды
сходящиеся в некоторой окрестности точки . В этом случае точка называется слабо сингулярной точкой уравнения (218), если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Нижеследующая теорема дает представление решения уравнения (218) в виде обобщенного степенного ряда в окрестности слабо сингулярной точки. В дальнейшем она будет использоваться в случае рациональных функций весьма специального вида.
Теорема. уравнение
( 219)
со слабой сингулярностью в точке , коэффициенты которого представляются при рядами
имеет решение в виде обобщенного степенного ряда
( 220)
где - "больший" корень определяющего уравнения
причем степенной ряд в (220) сходится при .
Пояснение. Если - корни определяющего уравнения, то в качестве берется тот корень, для которого , . В случае вещественных и различных корней это означает, что - наибольший корень. Без ущерба для восприятия дальнейшего материала можно считать корни вещественными и понимать степень при нецелых в смысле
Доказательство. Без уменьшения общности будем считать . Подставляя (220) в уравнение (219) и заменяя в последнем соответствующими рядами, получим
( 221)
Для определения чисел следует приравнять нулю коэффициенты при . При имеем
Легко видеть, что если , то получается тривиальное решение. Поэтому (для определенности положим ). Определим соотношением
( 222)
Назовем уравнение (222) определяющим равнением. Пусть и - корни уравнения (222). Если разность не равна целому числу, возьмем в качестве любой из корней, в противном случае - тот из корней, для которого оба числа , неотрицательны (тогда при любом не совпадает с отброшенным корнем и, следовательно, ). Такой выбор определяется структурой возникающих из равенства (221) уравнений для определения коэффициентов:
( 223)
Коэффициентом при , стоит величина которая в силу выбора не обращается в нуль. есть линейная форма от ,
( 224)
Таким образом, из системы (223) последовательно определяются коэффициенты:
( 225)
Докажем сходимость полученного ряда . Заметим прежде всего, что
( 226)
(мы воспользовались тем, что и ).
Построим мажорантный ряд следующим образом. При положим . При будем исходить из равенства
и воспользуемся тем, что в силу (226)
.
Так же, как и в предыдущей теореме, найдется такое, что при имеем , . Пользуясь формулой (224), напишем
Отсюда ясно, что если при положить
( 227)
то для определенных этим соотношение чисел получим . При этом из (227) следует соотношение
из которого вытекает, что при . Это означает, что мажорантный ряд сходится при , тем более сходится при исходный ряд . Поскольку можно взять как угодно близко к , этим доказана сходимость ряда при . Теорема доказана.
Дополнение к теореме. Если разность корней определяющего уравнения (222) отлична от целого числа, то методом неопределенных коэффициентов получаются два решения уравнения (219):
( 228)
где коэффициенты определяются при системой (223) при (). Написанные ряды сходятся при , функции линейно независимы.
Если же , где - целое неотрицательное число, то второе решение уравнения (219), линейно независимое от решения , даваемого формулой (220), представляется в виде
( 229)
где постоянные и могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.
Доказательство. Первое рассуждение, очевидно, следует из рассуждений при доказательстве теоремы. Линейная независимость также очевидна (их линейная комбинация не может обращаться в нуль тождественно, так как они по-разному ведут себя при ).
Для доказательства второго утверждения (в котором корни уравнения () обозначены через ) прибегнем к формуле Лиувилля-Остроградского. Для определителя Вронского системы решений имеем (выкладки проводятся при )
Отсюда получим
т.е. (считаем )
Ряд получен интегрированием ряда, сходящегося при ; он сходится при . Поскольку законно умножение сходящихся рядов, то функция представляется сходящимся при рядом
( 230)
(который может быть получен последовательным умножение рядов). Очевидно, что справедливо равенство
Подставляя вместо его выражение (230) и меняя порядок суммирования (что законно в силу абсолютной сходимости рассматриваемых рядов), получим для выражение
в виде сходящегося при ряда с . Следовательно по формуле Остроградского-Лиувилля
Отношение в квадратных скобках представляется рядом , где (ибо и ), сходящимся в окрестности точки . Кроме того, сумма корней равна , т.е. . Поэтому получим
(штрих при сумме означает, что член с в ней отсутствует, константу будем полагать в дальнейшем нулем). Отсюда
( 231)
Ряд возник в результате перемножения рядов
, ,
и, следовательно, он сходится в пересечении интервалов сходимости этих рядов (т.е. в некоторой окрестности точки ). При , т.е. корни определяющего уравнения совпадают, получим из (231), учитывая, что :
( 232)
Отметим, что при коэффициент в (231) отличен от нуля: , коэффициент (при члене с логарифмом) может иногда оказаться равным нулю.
С практической точки зрения недостатком проведенного рассуждения является трудность фактического вычисления коэффициентов . Обычно предпочтительнее находить второе решение , подставив в уравнение (219) выражение (231) для (после нахождения первого решения ). Коэффициенты определяются затем с помощью приравнивания нулю членов, не содержащих .
Замечание. Сходимость ряда доказана нами лишь в некоторой окрестности точки . Более точные рассуждения позволяют установить, что он сходится при . Дело в том, что нули решения - простые (решение, у которого в некоторой точке обращается в нуль как сама функция, так и ее производная, обязано тождественно обращаться в нуль в силу свойства единственности задачи Коши). Поэтому неопределенный интеграл может иметь особенность первого порядка, которые при умножении на "гасятся".
§ 7. Уравнения Гаусса, Бесселя и др. Цилиндрические функции и др.
Условия, которые мы наложили на полиномы в предыдущем параграфе (см. (218)), означают, что для дифференциального уравнения
(233)
каждая конечная точка или обыкновенная, или слабо сингулярная. Напомним, что нули многочлена считаются вещественными, это ограничение существенно для рассуждений данного параграфа. Более общее изложение требует знание теории функций комплексного переменного.
К особым точкам уравнения (233) присоединяется, вообще говоря, бесконечно удаленная точка. Это делается следующим образом. После замены переменных уравнение (233) перейдет в уравнение
(234)
коэффициенты которого опять являются дробно-рациональными функциями (от ). Если его преобразованное уравнение (234) имеет в точке слабую сингулярность, то говорят, что исходное уравнение (233) имеет слабую сингулярность в (и соответствующее определяющее уравнение в точке относят к "точке" ). Если точка оказывается обыкновенной точкой уравнения (234), то говорят, что бесконечно удаленная точка является обыкновенной точкой уравнения (233). Во всех остальных случаях бесконечно удаленную точку уравнения (233) называют существенно сингулярной.
Из сказанного видно, что необходимым и достаточным условием слабой сингулярности точки (точнее, условием отсутствия существенной сингулярности в ) является совокупность требований:
а) полином имеет степень, меньшую, чем (тогда
и коэффициент при в (234) имеет вид );
б) полином имеет степень, не большую, чем (тогда
и коэффициент при в (234) имеет вид ).
В силу наложенных на коэффициенты уравнения (233) условий оно может иметь слабо сингулярные особенности в конечных точках (в нулях многочлена ) и особенность в бесконечно удаленной точке, как слабую, так и существенную.
Имеется лишь одно уравнение вида (233) без конечных особых точек и со слабой сингулярностью в : .
Уравнение в двумя слабо сингулярными точками , - это уравнение Эйлера
Легко также видеть, что общее уравнение (233) с тремя правильно сингулярными точками записывается в виде
(235)
Это - так называемое уравнение Римана, важные частные случаи его будут обсуждаться ниже.
В теории специальных функций математической физики рассматриваются уравнения вида (233) не более чем с тремя особыми точками. Среди них уравнение (235) с тремя слабо сингулярными точками является важнейшим. По существу, вся теория специальных функций может быть развернута, исходя из уравнения (235). В предельном переходе (при котором происходит "слияние" двух слабо сингулярных точек в ) из уравнения (235) возникает уравнение с двумя особыми точками (одна из которых, находясь в , является существенно особой). Предельный переход, при котором происходит слияние всех трех особых точек уравнения (235) в , приводит к уравнению с единственной существенной особенностью в . Ограничимся тем, что перечислим важнейшие из возникающих на этом пути уравнений (полное изложение этой теории требует выхода в комплексную плоскость):
1) уравнение тригонометрических функций:
(236)
2) уравнение Эрмита:
(237)
3) уравнение Бесселя:
(238)
4) уравнение Лагерра:
(239)
Уравнения (236) и (237) имеют единственную особенность - существенно сингулярную точку на , уравнения (238) и (239) - две особенности - слабо сингулярную точку в нуле и существенно сингулярную в .
Отметим, что все перечисленные уравнения (235)-(239) могут быть получены как частные случаи уравнения с полиномиальными коэффициентами
(240)
где - многочлен не выше второй степени (без кратных корней), () - многочлен не выше первой (второй) степени. Последнее именуется дифференциальным уравнением специальных функций.
Задача. Докажите, что уравнение вида
(241)
есть уравнение с полиномиальными коэффициентами (точнее, приводится к таковому), имеющее, вообще говоря, существенную сингулярность в и слабую сингулярность в нуле. (Замечание. При уравнение содержит в качестве частных случаев перечисленные выше уравнения (236)-(239). В случае особенность имеется лишь на .)
Вернемся к уравнению (238). Его частным случаем является следующее уравнение:
(242)
именуемое уравнением Гаусса или гипергеометрическим уравнением. Оно содержит только три параметра вместо пяти, имевшихся в уравнении (238). (Однако любое уравнение Римана может быть сведено к уравнению (242) с помощью дробно-линейного преобразования аргумента и последующей линейной замены искомой функции и , таким образом, решение уравнения (238) выражается через решение уравнения (242)). Уравнение (242) имеет слабо сингулярные особенности в точках . Легко подсчитать, что определяющее уравнение (222) в точке приобретает в случае уравнения Гаусса вид
(243)
и имеет корни . Если не является целым числом, то согласно последней теореме §6 (с дополнением) уравнение (241) имеет два решения в виде обобщенных степенных рядов. Более того, если не совпадает с отрицательным числом или нулем, то одно решение отыскивается в виде степенного ряда . Методом неопределенных коэффициентов находим рекуррентное соотношение
При получаем решение в виде гипергеометрического ряда
сходящегося при (по признаку Даламбера). С помощью гипергеометрической функции можно дать выражение всем другим специальным функциям. Многие элементарные функции также выражаются через . Убедитесь, например, что
Чтобы получилось другое решение уравнения (242), можно было бы воспользоваться при нецелом методом неопределенных коэффициентов, отыскивая его, согласно теореме §6 (с дополнением), в виде обобщенного степенного ряда
Мы скорее придем к цели, если в уравнение (242) введем новую искомую функцию , связанную с соотношением
Тогда
Подстановка в уравнение дает
Мы опять получили гипергеометрическое уравнение, в которое вместо параметров входят соответственно . Его решение в виде степенного ряда есть . Итак, второе решение выражается через гипергеометрическую функцию:
Оно имеет смысл, если не равно нулю или целому отрицательному числу. Общее решение уравнения (242), если отлично от нуля или целого отрицательного числа, записывается в виде
На нахождении второго частного решения в указанных исключительных случаях останавливаться не будем.
Другим важным частным случаем уравнения (235) является уравнение Гегенбауэра ( или ультрасферическое уравнение)
(244)
Из этого уравнения при получается уравнение Лежандра
(245)
и уравнение Чебышева (при )
(246)
Мы рассмотрим эти уравнения в §8 в связи с сингулярными краевыми задачами.
Остановимся подробнее на уравнении Бесселя (238). Его решения именуются цилиндрическими функциями и являются, пожалуй, наиболее употребительными из специальных функций.
Запишем уравнение Бесселя (238) при в виде
(247)
Как уже говорилось, при уравнение это имеет слабую сингулярность. Определяющее уравнение (222) приобретает в этой точке вид
(248)
Будем считать неотрицательным вещественным числом. Тогда при корни уравнения (248) совпадают; при больший корень есть , меньший - .
Согласно последней теореме §6 можно найти решение уравнения в виде обобщенного степенного ряда, начинающегося с :
Пользуясь формулой (225) или путем непосредственной подстановки ряда в дифференциальное уравнение (247), найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов:
(249)
Разрешая последовательно эти соотношения, получаем ряд
(250)
Легко проверяется, что ряд в квадратных скобках сходится при всех . Умножая ряд (250) на множитель и пользуясь -функцией, получим решение уравнения (247):
(251)
которое известно как функция Бесселя индекса . При целом функция - аналитическая на всей оси функция (т.е. она представляется степенным рядом, сходящимся на всей оси).
Разность корней определяющего уравнения (248) равна
Поэтому, если второе решение уравнения (247) можно искать в виде ряда
Для коэффициентов получаются те же рекуррентные соотношения (249), но с заменой на . В конечном итоге придем ко второму решению
(252)
Оказывается, что формула (252) не теряет смысла также и в случае, когда является полуцелым числом, т.е. при
Более того, получаемые при этих значения функции , являются решениями уравнения (247) ( в котором заменяется на ). Этот факт проверяется непосредственной подстановкой ряда в уравнение.
Замечание. Эта ситуация при служит иллюстрацией того факта (отмеченного выше при доказательстве дополнения к теореме §6), что логарифмический добавок во втором решении может иногда отсутствовать (что соответствует обращению в нуль коэффициента в (231)).
Линейная независимость функций и (последние определены пока только при ) очевидна: одна из них обращается в нуль при , другая стремится к при . Поэтому общее решение уравнения (247) при указанных имеет вид
Добавим к сказанному, что функции Бесселя полуцелого аргумента , выражаются через элементарные функции. Например, из формулы (251) получим при
Аналогично, из формулы (252) при получим
При целых неотрицательных значениях параметра вторе решение уравнения (247), линейно независимое с , имеет в соответствии с общей теорией, рассмотренной в дополнении к последней теореме §6, слагаемое в логарифмической особенностью. Его можно отыскать методом неопределенных коэффициентов в виде
Обычно берут здесь и к поученному таким образом решению добавляют слагаемое , где - специальная постоянная, именуемая постоянной Эйлера:
Возникающую в результате функцию называют бесселевой функцией второго рода с индексом (или функцией Неймана индекса ). Она имеет выражение
(253)
Ясно, что обращается в бесконечность при .
Функция Бесселя второго рода при произвольных значениях может быть определена равенством
(254)
При нецелых из формулы (254) видно, что есть решение уравнения, линейно независимое с . При целых формула (254) теряет смысл. Его можно понимать в предельном смысле
(255)
Дело в том, что функция стремится к функции (для каждого фиксированного ) при . В самом деле, формула (252) показывает, что при слагаемые с исчезают (так как ) и остаются слагаемые
Таким образом, выражение под знаком предела в (255) представляет собой неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя приводит к (253).
Выбор функции Неймана в качестве второго решения, линейно независимого с , диктуется рядом соображений. Во-первых, пара образует фундаментальную систему при всех (чего нельзя сказать о паре ). Во-вторых, принимается во внимание их поведение при :
(256)
(257)
(функции остаются ограниченными в окрестности ; при полуцелых они обращаются в нуль). Оправдывают этот выбор и другие факты теории цилиндрических функций (например, взаимосвязи функций Бесселя с функциями Ганкеля). Отметим, что из формул (256), (257) вытекает, что функции Бесселя имеют бесконечное множество нулей на действительной оси.
В заключение остановимся коротко на уравнение Лагерра (239) и его полиномиальных решениях. Запишем уравнение (239) в виде
Видно, что в начале координат уравнение имеет слабую сингулярность с определяющим уравнением
корни которого суть . Будем считать .Тогда, согласно последней теореме §6, существует решение рассматриваемого уравнения в виде степенного ряда
(258)
Подставляя ряд в уравнение (239), придем к рекуррентному соотношению
(259)
Задавая произвольно , получим из (259)
Следовательно , если равно целому неотрицательному числу , существует решение в виде полинома
(260)
Возьмем в виде
Полученный полином записывается к компактном виде
именуется полиномом Лагерра и обозначается символом .
Согласно последней теореме §6 второе решение уравнения (239) (в том числе и при ) отыскивается в виде
если не совпадает с неотрицательным целым, в противном случае появляется добавочный член с логарифмическим множителем. В любом случае это второе решение не ограничено при .
Напоминание о -функции. Для -функцию определяют формулой
Написанный интеграл имеет смысл при .
Справедливо соотношение
(261)
В самом деле, интегрируя по частям, получим
Отынтегрированный член исчезает; приходим к (261) (при ).
Непосредственное вычисление дает
(262)
Если - целое положительное число то
(263)
Функциональное соотношение (261) позволяет распространить определение на все вещественные , отличные от
В самом деле, положим
(264)
Если , то правая часть в этом равенстве имеет смысл, так как . Поэтому равенство (264) можно принять за определение при . Ясно, что при . Заметим, кстати, что при числитель справа стремится к 1, а знаменатель - к нулю и, следовательно,
Пусть теперь . Тогда и правая часть в (264) опять имеет смысл. Следовательно, формула (264) дает возможность определить уже для . Ясно, что при . Если , то из (264) следует, что
Продолжая аналогично далее, получим в конечном итоге функцию , определенную при всех .
§ 8. О сингулярных краевых задачах
В данном параграфе излагаются некоторые сведения о задаче на собственные значения, собственные функции для уравнения
(265)
коэффициенты которого не удовлетворяют условиям регулярности, наложенными в §1. Последнее означает, что дифференциальное выражение
либо рассматривается в бесконечном или полубесконечном промежутке, либо коэффициент обращается в нуль по крайней мере на одном из концов рассматриваемого промежутка , либо функция становится неограниченной на . Если налицо хотя бы одно из этих обстоятельств, то называют сингулярным дифференциальным выражением, а конец, где нарушаются условия регулярности, - сингулярным концом. Внутри рассматриваемого промежутка функция предполагается, как и прежде, непрерывно дифференцируемой и положительной, - непрерывной.
Изучение уравнения (265) связывается с изучением оператора
с заданной каким-то образом областью определения . В дополнение к сказанному выше будем считать, что функция непрерывна, положительна и интегрируема по . К уравнению (265) требуется присоединить краевые условия, при которых задача на собственные значения, собственные функции становится правильно поставленной. Задание таких краевых условий адекватно описанию области определения оператора .
В случае, когда дифференциальное выражение является сингулярным, постановка краевых условий требует принципиально нового подхода. Мы не имеем возможности рассматривать общую теорию сингулярных краевых задач и ограничиваемся ниже частными случаями, важными в приложениях к математической физике.
Будут изучаться дифференциальные выражения вида
(266)
с полиномиальными или дробно-рациональными коэффициентами с особенностью хотя бы на одном из концов рассматриваемого промежутка . Выражение (266) переписывается в виде
(267)
и рассматривается в промежутке с особенностью хотя бы на одном из концов промежутка. При постановке того или иного краевого условия для уравнения
мы базируемся на теореме §6 о поведении решений вблизи слабо сингулярной особой точки. При этом важно, чтобы корни соответствующего определяющего уравнения не зависели от . Последнему требованию удовлетворяет, например, на конце уравнение (рассматриваемое в промежутке , )
( - полиномы) и в конечном промежутке - уравнение
( - постоянные). Если, в частности, корни определяющего уравнения имеют разные знаки (или оба равны нулю), то одно решение оказывается ограниченным, другое - неограниченным в окрестности рассматриваемой граничной точки. Появляется потенциальная возможность выставить требование ограниченности как краевое условие. Вопрос о корректности такого условия подлежит исследованию. Это исследование будет проводиться в конкретной ситуации. Подобный подход приводит, естественно, к другим краевым условиям, которые будут указаны ниже.
Итак, как и в §1, приведем выражение (266) к виду
(267)
В случае наличия сингулярных концов целесообразно рассматривать операторы , порожденные дифференциальным выражением (267), как действующие в пространстве с весом , где промежуток не содержит сингулярных граничных точек (например, в случае полубесконечного промежутка с сингулярностью в нуле рассматривается пространство ). Оправдывается это нижеследующими леммами. Введем в рассмотрение функции
и пусть
Лемма. Пусть область определения оператора :
состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на функций таких, что
а) ; б) . (268)
Тогда оператор симметричен, т.е.
(269)
(скалярное произведение берется в пространстве , т.е.
(270)
Доказательство. Очевидно, что при можно написать
Интегрируя по частям, получим
(271)
Оставшийся интеграл можно записать в виде
Переходя к пределу при в (271), получим равенство
(272)
из которого следует (269) (если учесть условие 268б)), что и требовалось доказать.
Замечание. Из равенства (272) следует, что в рассмотренной ситуации условие 268б) не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы оператор был симметричен.
Оператор можно продолжить на комплексное пространство , положив
(273)
Этот продолженный оператор будет вещественным в том смысле, что (это - следствие вещественности коэффициентов дифференциального выражения). Он будет обладать свойством эрмитовой симметрии, т.е.
где
(274)
Обычным образом доказывается, что собственные значения ( в предположении их существования) оператора вещественны и соответствующие им собственные функции можно выбрать вещественными.
Вещественность собственных значений и собственных функций оператора позволяет рассматривать его только на вещественном пространстве , т.е. вернуться при рассмотрении спектральных свойств к оператору .
Лемма. Собственные функции симметричного оператора , определенного в предыдущей лемме, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство в операторных терминах с использованием скалярного произведения получается моментально. Пусть
Умножим первое равенство скалярно на , второе на и вычтем. Получим
(275)
В силу симметрии оператора слева стоит нуль. Поскольку , заключаем, что .
Приведем для сравнения развернутое доказательство этого же утверждения. Условия леммы позволяют написать
Помножим первое равенство на , второе на и проинтегрируем по . Вычитая потом полученные равенства одно из другого, производя выкладки и пользуясь условием 268б), придем в конечном итоге к выводу "об ортогональности и с весом ":
что и требовалось доказать.
Отметим, что в случае регулярной задачи Штурма-Лиувилля с помощью краевых условий
(276)
легко проверяется равенство и устанавливается, таким образом, симметричность соответствующего оператора . Попытаемся для сингулярного дифференциального выражения вида (265) указать краевые условия, обеспечивающие симметричность возникающего оператора .
Начнем с уравнения (244). Оно связано с дифференциальным выражением Гегенбауэра
Соответствующее уравнение
(277)
есть уравнение с полиномиальными коэффициентами со слабо сингулярными точками . Будем рассматривать его в промежутке . Переписав его в виде
найдем определяющее уравнение в точке :
Оно обладает корнями
Предположим, что .Тогда весовое пространство , в котором ищется решение уравнения (277), содержит в себе всевозможные полиномы (так как вес интегрируем в промежутке ). Согласно второй теореме §6 уравнение (277) обладает решением в виде степенного ряда
сходящимся при . Методом неопределенных коэффициентов получим рекуррентное соотношение
(278)
из которого определятся коэффициенты , если задан коэффициент .
Из равенства (278) видно. что решение является полиномом, если . Этот полином обозначается через и называется полиномом Гегенбауэра. Вообще говоря, он определен с точностью до выбора . Мы считаем выбранным так, чтобы при частных значениях выполнялись указанные в первом замечании соотношения с полиномами Чебышева и Лежандра.
Теорема. Полином Гегенбауэра является собственной функцией, принадлежащей собственному значению
(279)
следующей краевой задачи:
(280а)
(280б)
Других собственных значений и собственных функций эта задача не имеет (речь идет о решениях из , ), краевые значения понимаются в предельном смысле).
Совокупность
полиномов Гегенбауэра представляет собой ортогональную систему функций в пространстве , получающуюся в результате ортогонализации степеней в этом пространстве. Она полна в .
Замечание. При полиномы Гегенбауэра превращаются в полиномы Чебышева и полиномы Лежандра соответственною Если , где - неотрицательное целое, то полиномы Гегенбауэра выражаются через полиномы Лежандра:
Отсюда следует, что функции
ортогональны в промежутке (в смысле ).
Функции называются присоединенными функциями Лежандра и наряду с полиномами Лежандра часто используются в приложениях.
Доказательство теоремы. Если , то согласно второй теореме §6 второе решение уравнения (277) отыскивается в виде
(281)
где ряд сходится при .
Таким образом, оба решения остаются ограниченными при при любом (более того, ) Краевым условиям (280а) удовлетворяет решение в том случае, если (из дальнейшего будет видно, что других собственных значений не существует). Выбрав надлежащим образом , получим из собственную функцию, принадлежащую . Областью определения рассматриваемого оператора будем считать совокупность функций , для которых и выполняются условия (280). Тогда имеем
и, следовательно, по лемме второй получаем: полиномы ортогональны в .
Аналогичное утверждение получается и при . Здесь второе решение (при нецелых оно отыскивается в том же виде (281), при целых может содержать еще логарифмический множитель, при такой множитель обязательно присутствует) неограничено. Поэтому использование условий (280б) естественно приводит к утверждению об ортогональности полиномов .
Из того факта, что - полином степени точно (т.е. коэффициенты при отличен от нуля), и доказанной ортогональности следует, что полиномы могут быть получены процессом ортогонализации системы степеней в пространстве .
Заключительное утверждение теоремы вытекает из теоремы [7.5. гл. 4 Лизоркин]. Именно из нее следует полнота системы полиномов в пространстве . В свою очередь из полноты вытекает упомянутый выше факт о несуществовании других собственных функций, собственных значений задачи (280) в пространстве (аргументируйте подробнее). Теорема доказана.
Остановимся на утверждениях, высказанных в замечании.
Пусть . Задача (280а) переписывается в виде
Подстановка (иначе: ) переводит уравнение (282) в уравнение
Краевые условия (280а) переводят условия
Отсюда получаем, что задача имеет решение в том случае, если . Это решение есть
Следовательно,
и первое утверждение доказано.
Пусть . Уравнение переходит в уравнение
(284)
Это уравнение Лежандра, решениями которого при являются полиномы Лежандра . Теорема позволяет утверждать, что и, следовательно, является собственной функцией уравнения (284), к которому присоединены краевые условия
ограничены, (285)
принадлежащей собственному значению . Других собственных значений, собственных функций задача (283), (284) не имеет (в силу полноты системы ).
Обратимся, наконец, к рассмотрению случая, когда есть положительное целое число . Полиномы Лежандра удовлетворяют уравнению
Продифференцируем это уравнение раз (считая его тождеством, т.е. при ):
Полученное уравнение можно переписать в виде уравнения для :
(286)
решение которого является полиномом Гегенбауэра .
Таким образом,
,
или, по-другому,
что и требовалось доказать.
Замечание. Как было сказано, вместо полинома часто рассматривают присоединенную функцию Лежандра
Делая в уравнении (286) замену искомой функции
легко получим уравнение присоединенных функций Лежандра
которому удовлетворяет функция .
Проведенный при доказательстве теоремы анализ показывает каким образом ставятся краевые условия в слабо сингулярной точке. Эта постановка основана на использовании теоремы §6, характеризующей поведение линейно независимых решений дифференциального уравнения в окрестности правильной особой точки. Следует сказать, что указанные постановки не единственны. Однако общая теория сингулярных краевых задач достаточно сложна, мы стремимся лишь проиллюстрировать случаи, приводящие к специальным функциям. Отмети, например, что краевые условия в (280а) и (280б) можно заменить единым краевым условием при всех :
(287)
В самом деле, это условие отсеивает решение , так как для него указанный предел отличен о нуля. Условие (287) обеспечивает симметричность оператора , и , таким образом, все изложенные факты останутся верными. В физических приложениях используются обычно условия (280б).
В связи с изложенным полезно отметить, что если рассматривается краевая задача в промежутке , один конец которого регулярен, а другой сингулярен в силу наличия в нем слабо сингулярной особенности, то на регулярном конце можно ставить обычное краевое условие, а на сингулярном - краевое условие, диктуемое теоремой §6. Проиллюстрируем сказанное на примере уравнения Бесселя.
Для уравнения Бесселя (238) с параметром определяющее уравнение (248) имеет корни . Поэтому одно решение ограничено, другое неограничено при . Точка является обыкновенной точкой уравнения (238). Эти соображения оправдывают такую постановку краевой задачи:
"Найти в промежутке решение уравнения Бесселя
(288)
ограниченное на левом конце промежутка и обращающееся в нуль на правом".
Покажем, что эта задача обладает собственными значениями, собственными функциями. При положительном функция удовлетворяет уравнению (288). Эта функция ограничена в нуле, т.е. удовлетворяет первому краевому условию. Для определения получается уравнение
возникающее из краевого условия в точке 1. Как было отмечено в §6, функция обладает счетным множеством нулей в промежутке ; обозначим их . Из написанного уравнения получим собственные значения
Соответствующие собственные функции суть
,
Из вышеизложенной теории вытекает ортогональность этих функций на отрезке с весом .
Отметим, что на регулярном конце к уравнению (288) можно присоединить общее краевое условие вида
Остановимся коротко на постановке краевых задач для уравнения Лагерра (239) и уравнения Эрмита, приводящих, соответственно, к полиномам Лагерра и Эрмита как собственным функциям. Будем базироваться на следующей лемме, часть которой доказана в §7.
Лемма. Одним из решений уравнения Лагерра
(289)
при является полином Лагерра . При этом второе линейно независимое решение уравнения (289) не принадлежит .
Доказательство. Выберем точку так, чтобы она лежала правее всех нулей полинома . По формуле Остроградского-Лиувилля при получаем соотношение
Очевидно, что второе слагаемое в квадратных скобках растет при . Отметим, что при интегрировании число экспоненциальной функции имеет место соотношение . Такое же соотношение имеет место и для рассматриваемого интеграла (подынтегральная функция ведет себя при , по существу, как экспонента). В самом деле пользуясь правилом Лопиталя, получим
Из сказанного следует, что растет при как и поэтому интеграл
не существует, т.е. .
Замечание. Аналогично можно показать, что второе решение дифференциального уравнения для полиномов Эрмита растет при как и, таким образом, (при ),
Решение краевой задачи на собственные значения, собственные функции для уравнения
ищется нами в весовом пространстве (т.е. оператор считается действующим в и, в частности, определен на множестве , плотном в ). С учетом этого обстоятельства Обнаруженный в последней лемме факт позволяет не ставить краевого условия для уравнения Лагерра в (для уравнения Эрмита в ). Таким образом, справедливы следующие утверждения.
Теорема. Полином Эрмита является собственной функцией краевой задачи
(290.1)
, (290.2)
принадлежащей собственному значению . Других собственных значений, собственных функций задача (290) не имеет.
Совокупность полиномов Эрмита образует ортогональный базис пространства .
Доказательство. Последнее утверждение теоремы было доказано [§7 гл.4 Лизоркин]. Там же было обнаружено, что полиному удовлетворяют уравнению (290.1). Удовлетворение краевого условия в (290.2) при этом очевидно; второе замечание показывает, что любое другой решение уравнения (290.1), линейно независимое с , не удовлетворяет ему. Несуществование других собственных значений, собственных функций является следствием полноты системы полиномов Эрмита в .
Обратимся к уравнению Лагерра (289). В нуле это уравнение имеет правильную особенность с определяющим уравнением
корни которого суть , . Отсюда видно, что постановка краевого условия в нуле зависит от величины . Весовая функция в случае уравнения Лагерра равна , при она интегрируема в рассматриваемом промежутке . При таком ограничении на постановка краевого условия в нуле делается из соображений, вполне аналогичных тем, которые были использованы при рассмотрении уравнения Гегенбауэра.
Теорема. Полином Лагерра является собственной функцией следующей краевой задачи:
а) при
(291а)
б) при
(291б)
соответствующей собственному значению , . Других собственных значений, собственных функций задача (291) не имеет.
Совокупность полиномов Лагерра полна в пространстве (т.е. образует ортогональный базис пространства ).
Доказательство полноты системы полиномов Лагерра можно провести независимо, рассматривая их как результат ортогонализации степеней в пространстве . Остальное доказательство содержится, по существу, в предыдущих рассуждениях.
Заметим, что краевые условия (291а), (291б) в нуле можно заменить единым при всех , , условием
В заключение отметим, что при замене уравнение Эрмита переходит в уравнение гармонического осциллятора
решение которого ищется при этом в пространстве . Оно имеет при решения функции Эрмита
отличающиеся от полиномов Эрмита множителем . Это явствует из изложенного. Ясно также, что
(292)
Часто соотношение (292) присоединяют к уравнению (291) в качестве краевого условия. Следует отдавать себе отчет, что в этом нет необходимости, если оговорена квадратичная суммируемость решения.
Аналогично, замена переводит уравнение Лагерра в уравнение
(293)
формально сопряженное в пространстве . При его решениями являются функции Лагерра
отличающиеся от полиномов Лагерра множителем . Эти решения являются собственными функциями уравнения (293) при соответствующих краевых условиях. Например, при рассматривается задача
(294)
при условии, что решение ищется в . Ее собственными значениями являются числа , а соответствующими собственными функциями - . Последние зануляются на бесконечности, т.е.
(295)
и поэтому вместо оговорки о принадлежности решения к можно к задаче (294) присоединить условие (295).
Замечание. Краевое условие в нуле (291а), соответственно (291б), можно заменить более общим:
( ограниченность вблизи нуля), (291а)
( ограниченность решения вблизи нуля). (291б)
Докажите, что плотно в
34
PAGE 1