Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 5
РОЗПОДІЛ БОЛЬЦМАНА ТА ЙОГО ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА. РОЗПОДІЛ МАКСВЕЛА-БОЛЬЦМАНА
Розподіл Больцмана.
Розподіл Больцмана та його експериментальна перевірка. Розподіл Максвела-Больцмана в його найбільш загальному вигляді.
Література: [1] стор. 79-86, [2] стор. 48-55, [7] стор. 274-290.
Броунівський рух
Рух броунівської частинки. Досліди Перена.
Література: [1] стор. 110-115, [2] стор. 42-48, [7] стор. 209-215, 280-284.
1. Розподіл Больцмана
Розподіл Больцмана можна розглядати, як узагальнення барометричного розподілу на випадок довільного потенціального поля (іще кажуть, довільного потенціалу). Справді, не має підстав вважати, що поведінка газу суттєво зміниться, якщо замість сил тяжіння будуть діяти інші сили.
Відповідно, за барометричною формулою
, (1)
де - тиск на висоті ,
- тиск біля поверхні Землі .
Враховуючи, що для ідеального разу
, (2)
формула (1) набуває вигляду
. (3)
Як розуміти цю формулу. - потенціальна енергія молекули на висоті в однорідному гравітаційному полі. Тому, якщо газ знаходиться в реальному силовому полі, і його частинки мають певну потенціальну енергію, то кількість часток з потенціальною енергією визначаються формулою Больцмана
. (4)
Відповідно
- (5)
доля частинок, що в умовах теплової рівноваги мають потенціальну енергію .
Приклад. Оскільки енергія магнітної частинки з магнітним моментом дорівнює , то таких частинок в деякому об’ємі
Поведінка ідеального газу в певному об’ємі не залежить від наявності інших газів. В стані термодинамічної рівноваги концентрація різних газів в суміші повинні убувати з висотою за різними експонентами, що визначаються молекулярною вагою відповідних компонент (концентрація легких компонент убувають повільніше). В реальній тропосфері не спостерігаються зростання концентрації легких газів із висотою, внаслідок процесів, що призводять до перемішування її нижніх і верхніх шарів.
2. Розподіл Максвела-Больцмана
У відсутність силових полів концентрація молекули газу всюди однакова. Якщо з’являється силове поле, то концентрація молекул газу від точки до точки змінюється, але (!) швидкості молекул газу в кожній точці простору розподіленні за законом Максвела.
Тоді кількість частинок в об’ємі визначиться з допомогою формули Больцмана
,
а кількість частинок з них, що мають швидкість в межах швидкісного інтервалу , та
- формула Максвела-Больцмана.
Дане рівняння дає відносну кількість частинок, які, маючи потенціальну енергію , знаходяться в об’ємі біля точки і одночасно мають швидкості в швидкісному об’єму поблизу швидкості . Тобто ця формула визначає відносну кількість частинок в 6-мірному просторі в об’ємі біля точки .
Коли молекули підіймаються вгору, з їхнього потоку вибиваються найбільш повільні, тобто „холодні” молекули. І розрахунок середньої енергії ведеться за малою кількістю частинок, але за більш „гарячими” з них. При русі вниз, навпаки, частинки прискорюються, але водночас пучок поповнюються більш повільними, „холодними” молекулами. Тобто середня швидкість молекул залишається незмінною. Іще раз, сила тяжіння змінює лише концентрацію частинок, але не температуру.
Лоренц приводив такий приклад: є два міста А і В. Кількість мешканців певного віку в місті А дорівнює подвоєній кількості мешканців того ж віку в місті В. Зрозуміло, що середній вік мешканців міст А і В однаковий.
Дослід Перрена.
Перрен використав той факт, що, невеличкі зважені частинки можна розглядати як невзаємодіючі молекули великих розмірів. Тому можна очікувати, що „макромолекули” зважені у рідині, в полі сил тяжіння будуть розподіленні за висотою як і молекули газу, тобто за законом Больцмана.
Але маси великих частинок великі, і їх концентрація з висотою буде швидко убивати, так що ми отримаємо стан, в якому частинки лежать на дні посудини.
Для того, щоб важкі частинки не „осіли” на дно, а розподілилися у достатньо товстому шарі за висотою, необхідно їх розмістити у рідині, густина якої лише трохи менша за густину частинок . Тоді потенціальна енергія частинок в результаті дії сили Архімеда буде достатньо малою:
. (8)
І розподіл концентрації за висотою буде задаватися формулою:
. (9)
Складності і особливості досліду див. [7, ст.280-284]
4. Броунівський рух. Досліди Перена по визначенню числа Авагадро
Суть броунівського руху
Англійський ботанік Броун у 1827 році виявив, що дрібні частинки , наприклад, спори папороті, які зважені у воді, здійснюють неперервні хаотичні рухи. Такий хаотичний рух дрібних частинок, зважених у рідині або газі, отримав назву броунівського.
Особливості:
1. Швидкість руху броунівських частинок збільшується зі зростанням температури та зі зменшенням розмірів частинок ().
2. Характер броунівського руху не залежить від властивостей речовини частинок, а залежить лише від властивостей рідини чи газу, в яких ці частинки зважені.
Вказані закономірності можна пояснити, припустивши, що броунівський рух виникає внаслідок ударів з боку молекул рідини або газу.
Оскільки рух молекул хаотичний можна очікувати, що число ударів з боку молекул о частинку в будь-якому напрямку дорівнюватиме числу ударів у протилежному напрямку. В результаті частинка залишиться нерухомою. Але це твердження буде справедливе лише для великих проміжків часу, і тільки в середньому число ударів у різних напрямках буде однаковим. Якщо ж мова йде про малі проміжки часу і малі об’єми рідини чи газу, а також у випадках, коли число ударів N – невелике, то можливі відхилення від середніх значень.
Такі відхилення від середнього значення будь якої величини, які виникають в малому об’ємі але за мали проміжки часу називаються флуктуаціями. І оскільки ми розглядаємо малі частинки, то для них перевага ударів з якого-небудь боку буде помітною.
Таким чином, броунівський рух можна пояснити так. Внаслідок флуктуації числа ударів молекул о частинку, виникає деяка результуюча сила певного напрямку. Оскільки флуктуація звичайно є недовгочасною, то через деякий проміжок часу напрямок результуючої сили змінюється, а разом з ним змінюється і напрям переміщення частинки.
Хаотичність руху зважених частинок є віддзеркаленням хаотичності молекулярного руху.
Рівняння Ейнштейна-Смолуховського для броунівського руху
Як ми з’ясували раніше, внаслідок неповної компенсації ударів молекул з протилежних боків, на броунівську частинку діє на протязі короткого часу деяка сила F. Окрім неї, на частинку, яка рухається за рахунок сили F, діє ще сила тертя , що напрямлена проти F.
Пам’ятаємо, що сила тертя (сила Стокса):
= (1)
де а– радіус частинки, – швидкість її руху, – коефіцієнт внутрішнього тертя (в’язкості).
Тоді рівняння руху частинки в проекціях на вісь Ох буде мати вигляд:
(2)
Наша задача полягає в тому, щоб знайти середнє значення зміщення x частинки, яке відбувається за час t внаслідок ударів молекул. Точніше, потрібно знайти середнє значення багатьох послідовних переміщень , ,..., , які відбулися за рівні проміжки часу
= = ... = . Оскільки окремі переміщення відрізняються як за величиною, так і за напрямком, то їх сума, а отже і , можуть виявитися рівними нулю. Тому видозмінимо задачу і будемо шукати середнє значення квадрату зміщення, тобто величину .
Перетворимо (2) таким чином, щоб ця формула включала в себе . Помножимо обидві частини рівняння на x:
(3)
При цьому:
Підставимо отримані рівності у (3):
(4)
Оскільки ця рівність справедлива для довільного зміщення , то вона буде виконуватися і для середніх значень величин, які входять до неї, , якщо зміщень було досить багато:
(5),
де – середнє значення квадрату зміщення частинки, – середнє значення квадрату її швидкості, , оскільки x і можуть однаково часто приймати додатні і від’ємні значення.
Таким чином, рівняння (5) приймає вигляд:
(6)
Зауважимо, що – середнє значення проекцій швидкості на вісь x. В силу хаотичності руху частинки:
= =
Вочевидь також:
= = =
Отже:
=
Тому
= = = =
де = = – середня кінетична енергія броунівського руху частинок.
Зіштовхуючись з молекулами, броунівська частинка обмінюється з ними енергією і знаходиться у стані теплової рівноваги з середовищем (рідиною), у якому рухається. Тому броунівської частинки повинна дорівнювати молекул рідини або газу, остання ж дорівнює . Ось чому:
= (7)
Рівняння (6) з урахуванням (7) перепишеться у вигляді:
(8)
Позначимо =
Одержимо новий вираз:
(9)
Розділимо у цьому рівнянні змінні:
Отриманий вираз проінтегруємо: ліву частину – у межах від 0 до y, а праву – від 0 до t. В результаті:
=
(10)
Проаналізуємо отриману рівність. У звичайних умовах асм, , таким чином дріб приймає досить великі значення при с. А це означає, що величиною можна знехтувати. В результаті:
(11)
Для кінцевих проміжків часу t і відповідних переміщень рівняння Ейнштейна-Смолуховського можна записати у вигляді:
t (12)
Середнє значення квадратів багатьох переміщень броунівської частинки за проміжок часу t вздовж вісі x (або будь-якої іншої) пропорційне цьому проміжку часу.
Дослід Перрена [2, ст.47-48 або 7, ст. 213-214]