Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 63
Лекция 10
Кинематика
Вопросы
1. Основные понятия
2. Основные задачи кинематики
3. Способы задания движения точки
1. Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства механического движение тел, без учета их масс и действующих на них сил.
Под механическим движением понимается изменение с течением времени положение тела в пространстве по отношению к другим телам. Для того чтобы определить изменение положения тела по отношению к другому телу, с последним связывают какую-либо систему координатных осей, называемую системой отсчета. В зависимости от тела, с которым она связана, система отсчета может быть как подвижной, так и неподвижной. Тело движется по отношению к выбранной системой отсчета, если с течением времени изменяются координаты хотя бы одной из его точек; в противном случае тело по отношению к данной системе отсчета будет находиться в состоянии покоя. Таким образом, покой и движение - понятия относительные, зависящие от выбора системы отсчета.
Механическое движение происходит в пространстве и во времени. При этом пространство считается трехмерным евклидовым пространством. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояния принят 1 метр. Время в механике считается универсальным, т.е. протекающем одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда.
В задачах кинематики время t принимается за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояние, скорость, ускорение и т.д. ) рассматриваются как функции времени t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедшим от начального момента; разность между какими-нибудь двумя моментами времени называется промежутком времени.
Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Движение тела считается заданным, если известно положение всех его точек (относительно выбранной системы отсчета) в любой момент времени.
2. Две основные задачи кинематики
Основными задачами кинематики являются:
а) установление математических способов задания движения тел в произвольно выбранной системе отсчета,
б) определение по заданному движению тела всех основных кинематических характеристик (траектории, скорости, ускорения) любой из его точек. Рассмотрим решение этих задач для одной точки.
Кинематика точки
Для задания движения в кинематике используются три способа: векторный, координатный и естественный.
а) Векторный способ задания движения точки.
Пусть точка М движется по некоторой кривой АВ. Положение точки M относительно начала некоторой системы координат можно однозначно определить с помощью радиус-вектора , начало которого неизменно связано с точкой О. Движение точки М будет полностью определено, если ее радиус вектор задан как функция времени. Векторное равенство:
(2.1)
называется векторным уравнением движения или законом движения точки в векторной форме.
Рис. 2.1. Векторный способ задания движения точки
При движении точки М длина и ориентация вектора будет меняться, а его конец будет вычерчивать в пространстве линию называемую годографом радиуса - вектора или траекторией движения точки М (рис. 2.1).
Выражая в (1) вектор через его проекции , получим:
,
или учитывая, что проекции радиуса-вектора равны координатам точки М:
rx = x, ry = y, rz = z,
, (2.2)
где x(t), y(t), z(t) - текущие координаты движущейся точки М.
б) Координатный способ задания движения точки.
С векторным способом тесно связан координатный способ задания движения точки. Очевидно, что положение движущейся точки в пространстве будет однозначно определено, если будут известны текущие координаты точки, фигурирующие в выражении (1.2):
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.3)
Уравнения (2.3) называются уравнениями движения или законом движения точки в координатной форме. Эти же уравнения можно трактовать как параметрические уравнения траектории, в которых роль параметра играет время t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, нужно из уравнений (3) исключить время t.
Пример 1.
Пусть движение точки задано уравнениями:
x = t2, y = t,
где t измеряется в секундах, x и y в метрах. Определить уравнение траектории.
Исключая из уравнений движения t, получим уравнение траектории
t = y, x = y2.
Поскольку время t >0, координата y в исходных уравнениях движения не может быть отрицательной. Следовательно, траекторией движения будет лишь верхняя ветвь параболы x = y2 .
Рис. 2.2. Вид траектории точки в примере 1
Пример 2.
Движение точки в плоскости xOy описывается уравнениями:
x = 3 sin 4t , y = 4 cos 4t .
Найти уравнение траектории в координатной форме.
Решение: Перепишем исходные уравнения движения в виде:
x/3 = sin4t , y/4 = cos4t
возводя оба уравнения в квадрат и складывая их почленно, получим уравнение траектории в координатной форме: .
Рис. 2.3. Вид траектории движения точки в примере 2
в) Естественный способ задания движения точки.
Рассмотрим естественный способ задания движения точки, когда отдельно задается:
- траектория движения;
- начало и положительное направление отсчета;
- закон движения точки по траектории: S = S(t),
где S - дуговая координата (расстояние, измеренное от выбранного на траектории начала отсчета до текущего положение точки на траектории).
Рис. 2.4. Естественный способ движения точки
Поскольку одно и то же движение точки может задаваться тремя различными способами, между ними должна существовать связь и от одного способа задания можно переходить к другому. Такой переход от векторного способа к координатному и наоборот очевиден (формулы 2.2, 2.3). Рассмотрим пример перехода от естественного способа задания движения к координатному:
Пусть точка движется по окружности x2 + y2 = a2 по закону S = Vt, где a и V заданные константы (рис. 2.5). Начало отсчета - точка М(а,0). Положительное направление отсчета координаты S - против хода часовой стрелки. Определить уравнения движения точки в координатной форме: x = x(t), y = y(t).
Рис. 2.5. Траектория, начало отсчета и положительное направление движения
Для обратного перехода к естественному способу задания движения нужно исключив время t из полученных уравнений движения, получить уравнение траектории , а затем по формуле и закон движения точки по траектории: .
Лекция 11
Вопросы
2. Ускорение точки.
Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.
a) Определение скорости при векторном способе задания движения.
Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .
Рис. 2.6. К определению скорости точки
Пусть за время t радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время t называется векторная величина
.
Мгновенной скоростью (или далее - просто скоростью) называется предел при t стремящемся к нулю, т.е.
. (2.4)
Вспоминая определение производной, заключаем:
. (2.5)
Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении t к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.
б) Скорость точки при координатном способе задания движения.
Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:
.
Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем
. (2.6)
Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:
(2.7)
Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):
или , (2.8)
, , . (2.9)
Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости
в) Определение скорости при естественном способе задания движения.
Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения
Согласно (2.4) ,
где - единичный вектор касательной. Таким образом,
, (2.10)
Величина V=dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0, то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0, то точка движется в противоположном направлении.
2. Ускорение точки
Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости. В системе СИ ускорение измеряется в м/с2.
a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.
Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + t находится в положении М(t + t) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).
Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения
Средним ускорением за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости к Dt , т.е.
.
Предел при t 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t
. (2.11)
Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.
б). Ускорения при координатном способе задания движения.
Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:
.
Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:
. (2.12)
Вектор может быть выражен через свои проекции:
. (2.13)
Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.
, , .
Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:
, , , . (2.14)
в). Ускорение точки при естественном способе задания движения
Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.
Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.
Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М1 секущую ММ1.
Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки
Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ1 при стремлении точки М1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .
Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М1. Перенесем вектор в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М1 к точке М, мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.
Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости
Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью (рис. 2.12).
Рис. 2.12. Естественный трехгранник
Единичный вектор, направленный вдоль главной нормали внутрь траектории, обозначим буквой . Единичный вектор , ортогональный соприкасающейся плоскости и направленный в ту сторону, откуда поворот от ‚ к виден происходящим против хода часовой стрелки, определяет направление бинормали . Плоскость, образуемая векторами и , называется спрямляющей плоскостью.
Система координат, образуемая тремя взаимно ортогональными осями- касательной, нормалью и бинормалью, называется естественной системой координат. Трехгранник, образуемый соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостями называется естественным или подвижным трехгранником. Перемещаясь вместе с движущейся точкой М, оси этого подвижного трехгранника меняют свою ориентацию в пространстве, оставаясь взаимно ортогональными.
Пример. Движение точки М задано уравнениями
, ,
где k - постоянная.
Определить модули скорости и ускорения как функции времени.
Решение: Дважды дифференцируя уравнения движения по времени, получаем
,
,
,
.
Подставляя найденные значения производных в формулы (8) и (14), получаем:
, .
Лекция 12
Вопросы
1. Ускорение точки (продолжение)
2. Частные случаи движения точки
1. Ускорение характеризует не только изменение величины скорости, но и изменение ее направления. Очевидно, что быстрота изменения направления вектора скорости, при прочих равных условиях, зависит от степени искривленности траектории. Для количественной оценки этой искривленности вводится понятие кривизны.
Пусть вектор скорости при перемещении из точки М на расстояние DS повернулся на угол Dj (рис. 2.13) .
Рис. 2.13. Определение кривизны кривой
Средней кривизной на этом участке траектории называется отношение kср = Dj / DS. Предел этого отношения при D называется кривизной траектории в точке M, а величина обратная кривизне, называется радиусом кривизны.
. (2.15) (2.16)
Вычислим производную единичного вектора по времени - . Для определения модуля производной отложим из одного центра векторы и (рис. 2.14). Учитывая, что изменение единичного вектора ‚ равно основанию образовавшегося равнобедренного треугольника, получаем:
Рис. 2.14. К определению величины и направления вектора dт/dt
Из рис. 2.14 видно, что при стремлении Dt к нулю, углы при основании треугольника стремятся к прямым углам и, следовательно, вектор направлен перпендикулярно вектору ‚ внутрь траектории (т.е. по главной нормали). С учетом этого:
. (2.17)
Перейдем к выводу формул, определяющих ускорение точки при естественном способе задания движения. Согласно (2.10) и (2.11), имеем:
. (2.18)
Первое слагаемое в правой части (2.18) направлено по касательной к траектории и называется касательной составляющей полного ускорения:
, . (2.19)
Если ,то касательное ускорение направлено в сторону увеличения дуговой координаты S (т.е. совпадает по направлению с вектором ). Второе слагаемое в правой части выражения (2.18) называется нормальной составляющей полного ускорения , так как согласно (2.15), (2.16) и (2.17):
,
, . (2.20)
Итак, ускорение при естественном способе задания движения определяется как геометрическая сумма (рис. 2.15) его касательной и нормальной составляющих:
, . (2.21)
Рис. 2.15. Определение полного ускорения точки
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, нормальное ускорение - по направлению. Отметим случаи, когда равны нулю отдельные составляющие ускорения.
Касательное ускорение W = dV/dt равно нулю при равномерном движении ( V = const) и в точках траектории, где величина скорости достигает своего минимального или максимального значения (dV/dt)=0.
Нормальное ускорение Wn = V2/r равно нулю при прямолинейном движении и в точках перегиба траектории (когда ), а также в моменты смены направления скорости на противоположное (когда V = 0).
2. Частные случаи движения точки
Все выведенные выше формулы справедливы для любого движения точки. Рассмотрим теперь два важных частных случая - равномерное и равнопеременное движение.
Равномерным называется движение точки с постоянной по величине скоростью, т.е. когда V = const. Выведем уравнение равномерного движения.
Согласно (2.10) V = dS/dt или dS = V dt. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что V = const, получаем закон равномерного движения:
. (2.22)
Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) называется движение с постоянным по величине касательным ускорением (Wt= const). Получим формулы для такого движения. Имеем:
, , ,
- закон изменения скорости. (2.23)
Подставляя вместо V = dS/dt и интегрируя полученное выражение, находим закон или уравнение равнопеременного движения:
, , ,
. (2.24)
Пример. Точка движется по окружности радиуса R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за T секунд. Определить модули скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.
Решение. Так как по условию задачи движение точки равноускоренное, воспользуемся формулой (2.24) для определения касательного ускорения точки:
.
Подставляя S = 2p R, t = T и V0 = 0 , определяем Wt:
.
Зная Wt , определяем скорость точки в момент времени T по формуле (2.23):
.
Нормальное ускорение точки в момент времени T будет равно
.
Полное ускорение точки определяем по формулу (2.21):
.
Лекция 13
Вопросы
1. Поступательное движение твердого тела и его свойства.
2. Вращательное движение твердого тела.
3. Частные случаи вращательного движения.
В кинематике твердого тела, к изложению которой мы приступаем, решаются те же, что и в кинематике точки, две основные задачи:
- задание движения твердого тела;
- определение основных кинематических характеристик этого движения.
Решение первой задачи сводится к определению необходимого числа функций времени (уравнений движения), однозначно определяющих положение каждой точки тела в пространстве. Решение второй задачи заключается в определении зависимостей, позволяющих по известным уравнениям движения определить траекторию, а также скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени.
Различают пять видов движения твердого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое и свободное. Первые два из них (поступательное и вращательное) называют простейшими.
Поступательным называется такое движение тела, при котором любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным (рис.2.16).
Рис. 2.16. Примеры поступательного движения твердого тела
Докажем следующие свойства поступательного движения. Если тело движется поступательно, то все его точки в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а траектории всех точек при наложении совпадают.
Пусть тело движется поступательно. Тогда (см. рис.2.17) для любых двух его точек А и В, в любой момент времени справедливо следующее векторное выражение:
,
где вектор по определению поступательного движения не изменяется ни по величине, ни по направлению. Это означает, что траектории точек А и В смещены относительно друг друга на постоянный вектор и, следовательно, при наложении совпадут.
Рис. 2.17. К определению свойств поступательного движения
Дифференцируя вышеприведенное векторное выражение по времени, получаем:
, или
так как последняя производная (как производная от постоянного вектора ) равна нулю. Дифференцируя равенство скоростей, получаем равенство ускорений:
.
Доказанные свойства позволяют свести изучение поступательного движения тела к изучению движения любой одной из его точек методами кинематики точки.
Движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, принадлежащей телу или неизменно с ним связанной, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением. Упомянутая выше прямая называется осью вращения.
Рис. 2.18. Вращение тела вокруг неподвижной оси
Очевидно, что все точки тела, не лежащие на оси вращения, будут двигаться по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.
Положение тела при вращательном движении можно однозначно определить углом j между неподвижной полуплоскостью I и подвижной, вращающейся вместе с телом, полуплоскостью II, проходящими через ось вращения. Положительным направлением отсчета угла j, называемого также угловой координатой, принято считать вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу оси вращения z . Сам угол j принято измерять в радианах.
Для однозначного определения положения тела в любой момент времени, необходимо располагать зависимостью угловой координаты j от времени:
j = j (t) . (2.25)
Уравнение (2.25) называется уравнением или законом вращательного движения твердого тела.
Введем основные кинематические характеристики вращательного движения - угловую скорость w и угловое ускорение e . Пусть за промежуток времени Dt тело повернется на угол Dj. Тогда отношение Dj / Dt называют средней угловой скоростью за этот промежуток времени: wср = Dj / Dt . Предел данного отношения при стремлении Dt к нулю, называют мгновенной или просто угловой скоростью:
. (2.26)
Аналогичным образом вводится понятие углового ускорения:
. (2.27)
Согласно (2.26) и (2.27) угловая скорость и угловое ускорение измеряются в радианах в секунду (рад/с) и в радианах в секунду за секунду (рад/с2) соответственно. Так как радиан является безразмерной величиной, допустимы и более компактные обозначения - (с -1) и (с -2).
Для того, чтобы использовать угловую скорость и угловое ускорение в векторных выражениях, необходимо рассматривать угловую скорость как вектор, с модулем равным dj/dt и направленным вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращения тела видно происходящим против хода часовой стрелки. Вектор углового ускорения, модуль которого равен dw/dt, также считают направленным вдоль оси вращения. Он совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном вращении тела (рис. 2.19). Необходимо отметить, что введенные таким необычным способом векторы называют псевдовекторами ( как бы векторами), чтобы подчеркнуть их некоторую “векторную неполноценность”. Тем не менее теперь становится возможна запись следующей векторной формулы:
, (2.28)
правильно отражающей не только количественную связь и , но и взаимосвязь направлений векторов и , отображенной на рисунке 2.19.
Рис. 2.19. Взаимосвязь направлений ц и e
Перейдем теперь к определению индивидуальных кинематических характеристик точек вращающегося тела по известному закону вращательного движения . Для этого рассмотрим движение любой точки М, не лежащей на оси вращения. Пусть за время dt тело повернется на угол dj , а точка М переместится по дуге окружности радиуса R на расстояние dS (рис. 2.20).
Рис. 2.20. Связь угловой скорости тела с линейными скоростями его точек
Тогда ее скорость будет равна , т.е. (2.29)
Так как всех точки тела вращаются с одной и той же угловой скоростью, то из (2.29) следует, что линейные скорости точек тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Для определения ускорений воспользуемся формулами (2.19) и (2.20):
, (2.30)
. (2.31)
Полное ускорение точки М будет равно (рис. 2.21) геометрической сумме и :
или . (2.32)
Рис. 2.21. Ускорение точек тела при вращательном движении
а) Равномерное вращение - вращение с постоянной угловой скоростью
(w = const):
, , .
Пусть при t = 0: j = 0, тогда С = 0 и мы получаем следующее уравнение или закон равномерного вращения:
. (2.33)
в) Равнопеременное вращение - это вращение с постоянным угловым ускорением (e = const):
, , ,
, ,
.
Пусть при t = 0: w = w0 и j0 = 0, тогда С1 = w0 , C2 = 0. Подставляя найденные значения констант интегрирования в полученные выше выражения, получаем:
, (2.34)
. (2.35)
В полученном законе изменения угловой скорости (2.34) и в уравнении равнопеременного вращения (2.35), угловое ускорение e будет положительным при равноускоренном вращении и отрицательным при равнозамедленным.
В заключение приведем вполне очевидные соотношения, которые часто используются при решении задач:
, (2.36)
где N - число оборотов, n - угловая скорость в оборотах в минуту.
4. Формула Эйлера
В заключение получим векторные формулы для скорости и ускорения точек в круговом движении. Рассмотри движение точки М, не лежащей на оси вращения (рис. 2.22). Покажем, что ее скорость полностью определяется формулой Эйлера : . (2.37)
Рис. 2.22. Иллюстрация формулы Эйлера
Действительно, модуль векторного произведения равен V=w r sina= = w R, что совпадает с выражением (2.29). Формула (2.34) правильно определяет и направление вектора скорости: вектор направлен перпендикулярно плоскости треугольника ОСМ в ту сторону, откуда поворот от к виден происходящим против хода часовой стрелки (т.е. вектор направлен, как и полагается, по касательной к траектории в направлении вращения тела).
Для вывода векторных формул, определяющих ускорение, продифференцируем формулу Эйлера по времени:
.
Учитывая, что согласно (2.28) и (2.5)
,
получаем:
, (2.38)
где , . (2.39)
В справедливости выражений (2.36) можно убедиться непосредственно, определив модули и направления входящих в них векторных произведений. Так согласно первой формуле (2.39) , что совпадает с уже известным выражением (2.30). Правильно определяется и направление вектора (см. рис.2.22). Вторая формула (2.39) дает [сравните с (2.31)]. Направлен вектор , как и положено, перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемы векторы внутрь траектории, откуда поворот от к вектору виден происходящим против хода часовой стрелки.
Лекция 14
Вопросы
1. Плоскопараллельное движение твердого тела.
2. Скорости точек при плоскопараллельном движении.
1. Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела , при котором все его точки движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости (рис. 2.23). Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение тела.
Рис. 2.23. Плоскопараллельного движения тела
Согласно определению плоскопараллельного движения, любая прямая, неизменно связанная с телом и перпендикулярная неподвижной плоскости I, движется поступательно. Это означает, что все точки этой прямой движутся одинаково (см. свойства поступательного движения). Поэтому вместо того, чтобы изучать движение всех точек объемного тела, достаточно изучить движение точек плоской фигуры S (полученной сечением тела плоскостью ІІ, параллельной плоскости І) (рис. 2.24).
Положение плоской фигуры S в плоскости XOY (которую мы для удобства расположим в плоскости листа), однозначно определяется произвольно проведенным на этой фигуре отрезком АВ (рис. 2.24). В свою очередь, положение
отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол j , который данный отрезок составляет c осью x.
Рис. 2.24. Определение положения фигуры S в плоскости x0y
Таким образом, для определения положение плоской фигуры S (а, следовательно, и всего объемного тела) в любой момент времени необходимо знать зависимости:
, , . (2.40)
Уравнения (2.40) называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Произвольная точка А , выбранная для определения положения плоской фигуры, называется полюсом.
Первые два из уравнений (2.40) определяют поступательное движение фигуры S, при котором все ее точки движутся так же как полюс А (см. свойства поступательного движения). Очевидно, что вид этих уравнений будут зависеть от выбора полюса. Вид третьего уравнения, описывающего вращательную часть движения плоской фигуры S, а также ее угловая скорость w и угловое ускорение e , от выбора полюса не зависят.
Как и при вращательном движении, угловую скорость и угловое ускорение можно рассматривать как псевдовекторы и , направленные вдоль подвижной оси вращения, проходящей через полюс А, перпендикулярно плоскости движения.
2. Скорости точек при плоском движении
Для определения скоростей при плоскопараллельном движении используются: формула распределения скоростей, теорема о проекциях и понятие мгновенного центра скоростей (МЦС).
а) Формула распределения скоростей
Рис. 2.25. К выводу формулы распределения скоростей
Из рис. 2.25 видно, что положение произвольной точки В плоской фигуры S в каждый момент времени определяется следующим векторным равенством:
Продифференцируем данное выражение по времени
,
согласно формуле Эйлера (2.38)
,
Обозначая получаем формулу распределение скоростей:
, , AB. (2.41)
Согласно (41), скорость произвольной точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости вращения точки В вокруг полюса - .
б) Теорема о проекциях: при любом движении твердого тела проекции скоростей любых двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой (рис. 2.26).
Рис. 2.26. К теореме о проекциях
Спроецируем на ось x, проходящую через точки А и В формулу (2.41). Так как AB, получаем
,
что и требовалось доказать.
в) Использование понятия мгновенного центра скоростей.
Определение: мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. МЦС принято обозначать буквой Р.
Покажем, что если плоская фигура не движется поступательно, то такая точка существует в каждый момент времени. Для этого восстановим перпендикуляры к скоростям двух произвольных точек А и В и найдем точку их пересечения (рис. 2.27).
Рис. 2.28. Основной случай определения положения М.Ц.С.
Покажем, что скорость точки Р равна нулю и, следовательно, эта точка по определению является мгновенным центром скоростей. Согласно (2.41) имеем
, .
Поскольку векторы и перпендикулярны отрезкам АР и ВР по построению, а векторы и перпендикулярны этим отрезкам по определению, вектор должен быть одновременно перпендикулярен обоим отрезкам, что невозможно, если только он не равен нулю.
Если теперь взять за полюс точку Р, то для точек А и В формула (2.41) запишется в виде:
, .
Учитывая, что , получаем: , или
. (2.42)
Из (2.42) следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей и движение плоской фигуры можно рассматривать как вращение вокруг меняющего свое положение мгновенного центра скоростей. Мгновенную угловую скорость этого вращения можно найти, поделив скорость любой точки на ее расстояние от мгновенного центра скоростей. Кроме основного случая нахождения положения МЦС, рассмотренного выше, при решении задач встречаются следующие варианты:
Рис. 2.28. Частные случаи определения положения МЦС
3. Ускорения точек в плоском движении. Формула распределения ускорений.
Для вывода данной формулы распределения ускорений запишем выражение (2.41) в виде:
и, продифференцировав его по времени, получим:
.
Учитывая, что , а по формуле Эйлера , имеем:
Введем следующие обозначения:
, .
Векторы и называют вращательным и центростремительным ускорением точки B в ее относительном вращении вокруг полюса A.
По определению векторного произведения вектор перпендикулярен отрезку АВ, лежит в плоскости движения, а его модуль равен , так как rBA = AB . По формуле для двойного векторного произведения
,
получаем ,
поскольку. Таким образом, вектор направлен вдоль отрезка АВ от точки В к точке А (см. рис. 2.29), а его модуль равен .
Рис. 2.29. Иллюстрация формулы распределения ускорений
Окончательно формулу распределения ускорений можно записать в виде:
, (2.43)
в которой , .
Формулу (2.43) иногда используют в виде (2.43*)
где вектор направлен под углом к отрезку АВ и равен по модулю .
Пример 1. Найти ускорение точки В, угловое ускорение шатуна АВ и угловое ускорение кривошипа ВС четырехзвенного механизма в положении, указанном на рис. 2.29. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью w0 = 5 c-1 , длина шатуна АВ равна 0,8 м.
Рис. 2.29. Пример использования формулы распределения ускорений
Решение. Определим скорость и ускорение точки А, которую затем выберем в качестве полюса:
VA = w0 OA = 2 м/с, WA = w20 OA = 10 м/сек2.
Так как М.Ц.С. звена АВ находится в бесконечности (Мщ параллелен Мш), wAB = 0. Ускорение точки В, как точки, принадлежащей звену АВ, по формуле распределения ускорений равно:
, так как .
С другой стороны, ускорение точки В , как точки принадлежащей звену ВС и вращающейся вокруг точки С, можно представить в виде сумму ее касательного и нормального ускорений:
, где , .
Приравнивая правые части выражений для , получаем:
. (*)
Проектируя (*) на направления отрезков ВС и АВ имеем :
,
откуда , ,
, .
.
Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. М.Ц.У принято обозначать буквой Q.
Покажем, что если плоская фигура (рис. 2.30) не движется поступательно, то такая точка существует в каждый момент времени и ее положение легко определить (зная ускорение какой-либо точки и величины w и e ) следующим образом:
из выражения определим угол g ;
Рис. 2.30. К определению положения мгновенного центра ускорений
от точки А под углом g к вектору проведем отрезок AQ. При этом отрезок AQ должен быть отклонен от вектора ускорения в сторону направления углового ускорения e . Длина отрезка AQ определяется равенством:
. (2.44)
Найденная таким образом точка Q и будет являться мгновенным центром ускорений. Действительно, по формуле распределения ускорений, имеем
, где .
Подставляя сюда AQ из (2.44), находим, что WQA = WA . Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол g и, следовательно, вектор параллелен , но направлен в противоположную сторону. Поэтому
и . Если теперь за полюс выбрать точку Q , то ускорение произвольной точки М, согласно (2.43) будет равно:
, ,
Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в каждый данный момент времени так, как если бы движение плоской фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q (рис. 2.31). При этом ускорения точек плоской фигуры будут пропорциональны их расстояниям от М.Ц.У.
.
Рис. 2.31. Определение ускорений с помощью М.Ц.У.
Пример 2. Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости чертежа. Ускорения вершин А и В равны в данный момент времени 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника. Определить ускорение третьей вершины С треугольника.
Решение. Определим ускорение точки С используя понятие мгновенного центра ускорений. Для определения его положения необходимо знать угол между вектором Цщш и отрезком АВ. (см. рис 2.30). Очевидно, что в нашем случае этот угол равен 30º. Положение мгновенного центра ускорений Q определим как точку пересечения двух прямых, проведенных под углом к векторам Цш и Цщ. Так как расстояния вершин треугольника от точки Q одинаковы, ЦЪ=16 см/с2 . Направление этого вектора показано на рисунке.
Лекция 15
1. Сложное движение точки.
2. Определение скоростей и ускорений точки в сложном движении.
1. Во многих задачах механики удобно считать, что движение точки относительно основной (условно неподвижной) системы отсчета состоит из нескольких более простых движений. Для этого вводят в рассмотрение вторую (подвижную) систему отсчета, движущуюся относительно основной. Теперь движение точки относительно неподвижной системы можно рассматривать как сумму одновременно происходящих двух движений: движения относительно подвижной системы отсчета и движения точки вместе с подвижной системой относительно неподвижной. Так, например, можно считать, что движение человека, идущего по эскалатору метро, по отношению к неподвижной стене туннеля (относительно неподвижной системы отсчета) состоит из двух движений, а именно из движения человека относительно движущегося эскалатора (относительно подвижной системы координат) и его движения вместе с эскалатором относительно неподвижной стены. Аналогичным образом могут быть представлены движения человека, плывущего по реке, по отношению к неподвижному берегу, движение поднимаемого мостовым краном груза при одновременном перемещении кран балки, движение снаряда в канале ствола зенитного орудия при одновременном вращении ствола в процессе слежения за целью и т.п.
Такое движение точки, рассматриваемое одновременно в неподвижной и в подвижной системах отсчета, называется сложным или составным. При этом движение точки относительно основной (неподвижной) системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются и соответственно. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, а скорость и ускорение в этом движении - относительной скоростью и относительным ускорением .
Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость и ускорение той, неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка, называется переносной скоростью и переносным ускорением . Так, в случае движения человека, идущего по эскалатору, переносной скоростью человека будет скорость ступеньки, на которой он в данный момент находится.
2. Пусть в некоторый момент времени t точка М занимает положение, указанное на рисунке 2.32. Ее относительная траектория - кривая АВ , неизменно связанная с подвижной системой координат (на рисунке не показана).
Рис. 2.32. К выводу формул сложения скоростей и ускорений
Найдем абсолютное перемещение точки М за малый промежуток времени Dt = t1 - t . Точка М, двигаясь по кривой АВ (относительное движение), совершает за промежуток времени Dt относительное перемещение ММ" . В это же самое время сама кривая АВ перемещаясь с подвижными осями (переносное движение) займет положение А2В2. В результате этих двух перемещений точка М займет положение М1, относительно основной неподвижной системы отсчета 0xyz, совершив за время Dt абсолютное перемещение ММ1. Переносное движение относительной траектории, в свою очередь, можно считать состоящей из поступательной части (перемещение АВ в положение А1В1) и вращательной части (перемещение А1В1 в положение А2В2 вращением вокруг точки М' с мгновенной угловой скоростью ). Из рисунка видно, что если бы кривая АВ двигалась только поступательно, то она за время Dt пришла бы в положение А1В1, а точка М - в положение М". Появление перемещения М"M1, следовательно, обусловлено вращательной частью переносного движения кривой АВ. Из рисунка видно, что абсолютное перемещение точки М за время Dt можно выразить следующим векторным равенством:
. (2.45)
Известно, что перемещение точки, разлагая его в ряд по степеням малой величины Dt, можно представить в виде
. (2.46)
где и - скорость и ускорение точки в момент времени t .
На основании (2.46) абсолютное, относительное и переносное перемещение в (2.45) можно представить в виде :
(2.47)
(2.48)
(2.49)
где , , , , , - абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения точки М.
Вектор представляет собой перемещение конца радиуса-вектора M'M" при его вращении вместе с кривой A1B1 вокруг точки М'. Скорость точки M" в этом вращении определяется формулой Эйлера:
. (2.50)
Принимая во внимание равенства (2.48) и (2.50) вектор M"M1 можно представить в виде:
(2.51)
С учетом равенств (2.47) - (2.49) и (2.51) выражение (2.45) можно переписать в виде:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Dt в левой и правой частях последнего равенства, находим:
, (2.52)
, (2.53)
где вектор называется ускорением Кориолиса. (2.54)
Формулу (2.52) называют формулой сложения скоростей точки в сложном движении. Согласно этой формуле, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. Формулу (2.53) называют формулой сложения ускорений. Согласно (2.53), абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса согласно (2.54) равен:
. (2.55)
Очевидно, что данное ускорение равно нулю:
- в случае поступательного переносного движения ( we = 0 );
- когда векторы и параллельны ( тогда );
- в отдельные моменты времени, когда относительная скорость меняет свое направление на противоположное и точка (в относительном движении) должна на мгновение остановиться . Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу определения направления векторного произведения. Согласно (2.54) вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы и , в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на наименьший угол виден происходящим против хода часовой стрелки.
Пример 1. Точка М движется с постоянной скоростью V=1 м/с от начала координат внутри трубки, вращающейся в плоскости x0y с постоянной угловой скоростью Я = 2с-1. Определить величину абсолютного ускорения точки М в момент, когда расстояние ОМ = 0,5 м.
Решение. В данной задаче движение точки М внутри трубки - относительное, вращение вместе с трубкой - переносное. Так как относительная скорость по условию задачи постоянна, то и, согласно (2.53), . Поскольку в переносном движении точка М вращается по окружности радиуса ОМ с постоянной угловой скоростью Я, переносное ускорение равно и направлено к центру вращения. Модуль ускорения Кориолиса равен 4 м/с2, а его направление, определяемое векторным произведением (2.54), показано на рисунке. Так как переносное и кориолисово ускорения направлены под углом 90° по отношению друг к другу, 4,47 м/с2.
Пример 2. Кольцо радиуса r = 0,5м вращается с постоянной угловой скоростью Я = 4 рад/с в плоскости чертежа. По кольцу движется точка М с постоянной скоростью V = 2м/с. Определить величину абсолютного ускорения точки М в указанном на чертеже положении.
Решение. В данной задаче движение точки М по кольцу - относительное, вращение вместе с кольцом - переносное. Для определения абсолютного ускорения воспользуемся формулой сложения ускорений:
.
Для изучения относительного движения отвлечемся от переносного т.е. пусть кольцо не вращается, а точка М движется по кольцу с постоянной скорость V=2 м/с. Найденное в этом движении ускорение и будет относительным: . Данное ускорение будет направлено к центру кольца, так как точка в относительном движении движется равномерно. Для определения переносного ускорения отвлечемся от относительного движения точки: точка зафиксирована в положении, указанном на рисунке и лишь вращается вместе с кольцом с постоянной угловой скоростью по окружности радиусом ОМ=2R вокруг точки 0. Найденное в этом движении ускорение и будет переносным: 16м/с2. Его направление показано на рисунке и обусловлено равномерной скоростью вращения. Модуль ускорения Кориолиса вычисляем по формуле (2.55):
= (учитываем, что вектор направлен вдоль оси вращения кольца и перпендикулярен вектору ). Направление вектора ,определяемого правилом векторного умножения (2.54), показано на рисунке. Складывая найденные ускорения, определяем