Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 9
Определение параметров законов распределения
План лекции
9.1 Общие сведения
В предыдущих лекциях были изложены практические подходы применения законов распределения случайных величин для анализа надежности машин. Теоретический закон распределения задается одним или нескольким параметрами. Оценки этих параметров могут являться оценками некоторых показателей свойств надежности объекта. В настоящей теме изложены методы определения параметров законов распределения.
Для получения оценок параметров по эмпирическим данным используется несколько методов математической статистики: метод максимального правдоподобия; метод вероятностных сеток; метод линейного оценивания; метод моментов. Как показывает опыт, полнота оценивания параметров вышеизложенными методами не уступает друг к другу.
9.2 Применение метода моментов
Сущность метода состоит в том, что параметры функций распределения могут быть выражены через начальные и центральные моменты. Количество моментов соответствует в большинстве случаев количеству параметров, входящих в функцию распределения. Рассмотрим определение параметров для отдельных законов распределения.
Экспоненциальный закон
По объему выборки п находят оценку параметра распределения
. (9.1)
Оценка математического ожидания производят по формуле
. (9.2)
Нормальный закон
Среднеквадратичное отклонение определяется по уравнению
, (9.3)
где - математическое ожидание, определяемое по формуле.
По этой же формуле определяется математическое ожидание нормального закона распределения, т.е., .
Коэффициент асимметрии вычисляется
, (9.4)
Коэффициент эксцесса определяется
, (9.5)
Логарифмически – нормальный закон
Оценка – математического ожидания логарифма случайной величины вычисляется по формуле
. (9.6)
Величина среднего квадратичного отклонения логарифма случайной величины определяется
. (9.7)
Закон распределения Вейбулла
Пусть имеется выборка объема п: . По этой выборке можно найти оценки для первых трех моментов и на их основе получить для величин , и Sв.
, (9.8)
, (9.9)
, (9.10)
. (9.11)
Зная оценки , и Sв можно определить параметры а, в и с закона Вейбулла.
Распределение Вейбулла без сдвига
В этом случае с = 0 и из опыта достаточно определить и .
Далее находим
, (9.12)
и, пологая, что находим значение в.
Для уравнения = акв, находим а. В случае в = 1 и с ≠ 0 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распределение со сдвигом. В этом случае параметры а и с определяют по основе оценки и , полагая
= а, (9.13)
. (9.14)
9.3 Применение метода линейного оценивания
Оценка параметров закона распределения при небольшом объеме наблюдений удобно находить методом линейного оценивания.
Нормальный закон
Оценка математического ожидания определяется по формуле
, (9.15)
а оценка среднего квадратичного отклонения
, (9.16)
где коэффициенты и находят по таблицам.
Логарифмически-нормальный закон
Поступют как при оценке параметров нормального закона после замены значений случайной величины ее натуральными логарифмами, т.е.
, (9.17)
. (9.18)
Закон распределения Вейбулла
Оценка параметров для двухпараметрического закона распределения рассчитывается по формуле
. (9.19)
Оценка параметров в вычисляется по уравнению
, (9.20)
где коэффициенты и находят по таблицам.
PAGE 2