Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача 1
В обработку поступили две партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольные каркасы настилов на стройплощадку), причем, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждый комплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.
Ставится задача поиска рационального варианта раскроя поступившего в обработку материала
Экономико-математическая модель
Обозначим через хij – количество деталей распиленного из досок i-ой партии для j – ой детали.
Целевая функция – это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать (общая количество треугольных каркасов). Так как Треугольные каркасы из условия являются равнобедренными:
f(x) = х13 + х23 max
х11 + х21 = х12 + х22 - условие равнобедренного треугольника
х11 + х21 = х13 + х23 - условие полной комплектации изделия – треугольник (количество ребер должно соответствовать количеству оснований треугольника)
2х11 + 2х12 + 1,25х13 ≤ 6,5*52 – ограничение по длине досок первой партии
2х21 + 2х22 + 1,25х23 ≤ 4*200 – ограничение по длине досок во второй партии
xij ≥ 0, целое
Решение
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание матрицы расскроя. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С4:E5), где будет после решения задачи находится план раскроя обеспечивающий максимальное количество треугольников.
3. Ввод ограничений
f(x) = х13 + х23 max
Для этого:
- курсор в ячейку С8;
- используем функцию СУММ (E4:E5)
Вывод: Общее число комплектов будет максимальным (216 шт.) если из досок первой партии будет вырезано 151 шт. первой детали, 16 шт. второй, а из второй партии досок65 шт. 1-ой детали, 200 шт. 2-ой детали и 216 шт. 3-ей детали.
Задача 2
Транспортная задача
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1 тонны песку с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования.
Требуется:
|
Участок работ / карьер |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
Предложение |
|
А1 |
3 |
3 |
5 |
3 |
1 |
500 |
|
А2 |
4 |
3 |
2 |
4 |
5 |
300 |
|
А3 |
3 |
7 |
5 |
4 |
1 |
100 |
|
Потребности |
150 |
350 |
200 |
100 |
100 |
Экономико-математическая модель
F = сijxij min
xij = ai,
xij = bj ,
xij ≥ 0, целое
где xij - объем поставки песка от i-го карьера к j-му участку;
aj – мощность i-го карьера;
bj – мощность потребности j-го участка;
сij – транспортные затраты доставки 1 тонны песка от i-го карьера к j-му участку;
n – количество участков;
m – количество карьеров.
Конкретно для данной задачи модель имеет вид:
F = 3х11 + 3х12 + 5х13 + 3х14 + 4х15 + 4х21 + 3х22 + 2х23 + 4х24 + 5х25 + 3х31 + 7х32 +5х33 + 4х34 + х35 + min
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 500
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 300
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 100
х11 + х21 + х31 = 150
х12 + х22 + х32 = 350
х13 + х23 + х33 = 200
х14 + х24 + х34 = 100
х15 + х25 + х35 =100
xij ≥0, xij - целое
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание формы для решения задачи предполагает создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С10:G12), где будет после решения задачи находится план перевозок груза, обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Для того чтобы решить задачу составим модель закрытой транспортной задачи, поэтому введем дополнительный восьмой склад.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности карьеров:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 500
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 300
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 100
Для этого:
- курсор в ячейку H10;
- используем функцию СУММ(С10:G10)
Аналогичные действия для ячеек H11 – H12.
Условие реализации потребности участков:
х11 + х21 + х31 = 150
х12 + х22 + х32 = 350
х13 + х23 + х33 = 200
х14 + х24 + х34 = 100
х15 + х25 + х35 =100
Для этого:
- курсор в ячейку С13;
- используем функцию СУММ(С10:С12)
Аналогичные действия для ячеек D13 – G12.
Суммарные транспортные затраты составят:
F = 5х11 + 3х12 + 4х13 + 6х14 + 4х15 + 12х16 +3х21 + 4х22 + 10х23 + 5х24 + 7х25 + 4х31 + 6х32 +9х33 + 3х34 + 4х35 + min
В задаче целевая функция представляет собой произведение удельных транспортных расходов (C3:G5) и количество перевозок (C10:G12). Для этого:
- курсор в ячейку С15;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C3:G5;C10:G12)
5. Ввод зависимостей из математической модели
- адрес целевой ячейки $С$15, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек $C$10: $G$12;
- ввод ограничений:
$C$10: $G$12= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$13: $G$13= $C$6: $G$6и $H$10: $H12 = $H$3: $H$5 – из условия модели.
Вывод:
Транспортные издержки минимальны и составляют 2300 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок :
|
Участок работ / карьер |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
А1 |
77 |
250 |
0 |
100 |
73 |
|
А2 |
0 |
100 |
200 |
0 |
0 |
|
А3 |
73 |
0 |
0 |
0 |
27 |
2. а) Для ответа на дополнительный вопрос, вводится дополнительное условие: Х12 = 0.
Минимальные транспортные издержки составят 3100 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок:
|
Участок работ / карьер |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
А1 |
133 |
0 |
184 |
100 |
83 |
|
А2 |
0 |
300 |
0 |
0 |
0 |
|
А3 |
17 |
50 |
16 |
0 |
17 |
2 б) если объем перевозок будет ограничен 3 тоннами, то вводится дополнительное условие: Х12 ≤ 3.
Минимальные транспортные издержки составят 3088 у.е. при следующем оптимальном плане перевозок:
|
Участок работ / карьер |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
А1 |
132 |
3 |
181 |
100 |
84 |
|
А2 |
0 |
300 |
0 |
0 |
0 |
|
А3 |
18 |
47 |
19 |
0 |
16 |
Задача 3
Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной ед. продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. Тарифы на перевозку единицы продукции, объемы запасов продукции на складах, а также объемы заказанной продукции представлены в таблице.
|
Склад |
Магазин заказчик |
Запасы на складе (ед.продукции) |
||||
|
Росстек |
Шер |
Ткани |
Мода |
Вита |
||
|
Иваново |
12 |
14 |
32 |
20 |
3 |
54 |
|
Москва |
8 |
10 |
12 |
24 |
12 |
32 |
|
Новгород |
6 |
8 |
12 |
24 |
8 |
85 |
|
Серпухов |
10 |
18 |
4 |
8 |
9 |
162 |
|
Объем заказа, (ед.продукции) |
100 |
70 |
30 |
45 |
50 |
Экономико-математическая модель
Данная задача является открытой, так как мощность складов равная 333 ед. больше потребности клиентов равной 295 ед. на 38 ед.. Преобразуем ее в закрытую добавив дополнительный 6 – ой магазин. xij характеризует объем поставки от i-го склада к j-му клиенту.
F = сijxij min
xij = ai,
xij = bj ,
xij ≥ 0, целое
Конкретно для данной задачи:
F = 12х11 + 14х12 + 32х13 + 20х14 + 3х15 + 8х21 +10х22 + 12х23 + 24х24 + 12х25 + 6х31 + 8х32 + 12х33 + 24х34 + 8х35 + 10х41 +18х42 + 4х43 + 8х44 + 9х45 min
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 54
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 32
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 85
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 162
х11 + х21 + х31 + х41 + х51 = 100
х12 + х22 + х32 + х42 + х52 = 70
х13 + х23 + х33 + х43 + х53 = 30
х14 + х24 + х34 + х44 + х54 = 45
х15 + х25 + х35 + х45 + х55 = 50
х16 + х26 + х36+ х46 + х56 = 38
xij ≥ 0, целое
Решение
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С14:G18), где будет после решения задачи находится план перевозок обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Чтобы преобразовать данную открытую задачу в закрытую транспортную задачу необходимо добавить магазин.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности склада: ai = xij
где aj – мощность i-го склада;
n – количество клиентов;
Конкретно для данной задачи:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 54
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 32
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 85
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 162
Так как заказов от потребителей больше чем запасов на складе.
Для этого:
- курсор в ячейку I14;
- используем функцию СУММ(C13:H13)
Аналогичные действия для ячеек I13 – I16.
Условие реализации потребности клиентов: bj = xij
где bj – мощность потребности j-го клиента.
m – количество складов.
Конкретно для данной задачи:
х11 + х21 + х31 + х41 + х51 = 100
х12 + х22 + х32 + х42 + х52 = 70
х13 + х23 + х33 + х43 + х53 = 30
х14 + х24 + х34 + х44 + х54 = 45
х15 + х25 + х35 + х45 + х55 = 50
х16 + х26 + х36+ х46 + х56 = 38
Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММ(C14:C18)
Аналогичные действия для ячеек D19 – G19.
Суммарные транспортные затраты составят: F = сijxij min
где сij – транспортные расходы доставки единицы груза j-му клиенту из i-ый склад.
F = 12х11 + 14х12 + 32х13 + 20х14 + 3х15 + 8х21 +10х22 + 12х23 + 24х24 + 12х25 + 6х31 + 8х32 + 12х33 + 24х34 + 8х35 + 10х41 +18х42 + 4х43 + 8х44 + 9х45 min
В задаче целевая функция представляет собой сумму произведения удельных транспортных расходов (C13:H16) и количества перевозок (C4:H7). Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C4:H7;C13:H16)
- адрес целевой ячейки $С$19, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек C13:H16;
- ввод ограничении:
C13:H16= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$8:$H$8=$С$17: $H$17 и $I$4:$I$7= $I$13:$I$16– из условия модели.
Вывод: транспортные издержки будут минимальны и составят 89 ден.ед. при следующем плане перевозок продукции:
|
Склад |
Магазин заказчик |
||||
|
Росстек |
Шер |
Ткани |
Мода |
Вита |
|
|
Иваново |
0 |
0 |
0 |
0 |
50 |
|
Москва |
0 |
32 |
0 |
0 |
0 |
|
Новгород |
47 |
38 |
0 |
0 |
0 |
|
Серпухов |
53 |
0 |
30 |
45 |
0 |
Отчет по результатам
Задача 4
Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной ед. продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.
Тарифы на перевозку единицы продукции, объемы запасов продукции на складах, а также объемы заказанной продукции представлены в таблице.
|
Склад |
Магазин заказчик |
Запасы на складе (ед.продукции) |
|||
|
Сумки |
Мода |
Анна |
Галантерея |
||
|
Выхино |
1 |
0 |
2 |
2,5 |
25 |
|
Арбатская |
3 |
2,5 |
1,4 |
2 |
30 |
|
Каховская |
2 |
1 |
4 |
3 |
40 |
|
Сокол |
1,7 |
3 |
3,5 |
0,5 |
50 |
|
Объем заказа (ед.прод.) |
20 |
15 |
30 |
25 |
Экономико-математическая модель
Данная задача является открытой, так как мощность складов равная 145 ед. больше потребности клиентов равной 90 ед. на 55 ед.. Преобразуем ее в закрытую добавив дополнительный магазин. xij характеризует объем поставки от i-го склада к j-му клиенту.
F = сijxij min
xij = ai,
xij = bj ,
xij ≥ 0, целое
Конкретно для данной задачи:
F = х11 + 2х13 + 2,5х14 + 3х21 +2,5х22 + 1,4х23 + 2х24 + 2х31 + х32 + 4х33 + 3х34 + 1,7х41 + 3х42 + 3,5х43 + 0,5х44 min
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 25
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 30
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 40
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 50
х11 + х21 + х31 + х41 = 20
х12 + х22 + х32 + х42 = 15
х13 + х23 + х33 + х43 = 25
х14 + х24 + х34 + х44 = 30
х15 + х25 + х35 + х45 = 25
xij ≥ 0, целое
Решение
1. Ввод исходных данных в ячейки
2. Создание матрицы перевозок. Для этого выполним резервирование места (в блок ячеек С13:G16), где будет после решения задачи находится план перевозок обеспечивающих минимальные транспортные затраты. Чтобы преобразовать данную открытую задачу в закрытую транспортную задачу необходимо добавить магазин.
3. Ввод ограничений условий.
Условие реализации мощности склада: ai = xij
где aj – мощность i-го склада;
n – количество клиентов;
Конкретно для данной задачи:
х11 + х12 + х13 + х14 + х15 = 25
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 30
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 40
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 50
х41 + х42 + х43 + х44 + х45 = 40
Так как заказов от потребителей больше чем запасов на складе.
Для этого:
- курсор в ячейку H13;
- используем функцию СУММ(C13:G13)
Аналогичные действия для ячеек H14 – H16.
Условие реализации потребности клиентов: bj = xij
где bj – мощность потребности j-го клиента.
m – количество складов.
Конкретно для данной задачи:
х11 + х21 + х31 + х41 = 20
х12 + х22 + х32 + х42 = 15
х13 + х23 + х33 + х43 = 25
х14 + х24 + х34 + х44 = 30
х15 + х25 + х35 + х45 = 25
Для этого:
- курсор в ячейку С17;
- используем функцию СУММ(C13:C16)
Аналогичные действия для ячеек D17 – G17.
Суммарные транспортные затраты составят: F = сijxij min
где сij – транспортные расходы доставки единицы груза j-му клиенту из i-ый склад.
F = х11 + 2х13 + 2,5х14 + 3х21 +2,5х22 + 1,4х23 + 2х24 + 2х31 + х32 + 4х33 + 3х34 + 1,7х41 + 3х42 + 3,5х43 + 0,5х44 min
В задаче целевая функция представляет собой сумму произведения удельных транспортных расходов (C4:G7) и количества перевозок (C13:G16). Для этого:
- курсор в ячейку С19;
- используем функцию СУММПРОИЗВ(C4:G7;C13:G16)
- адрес целевой ячейки $С$19, направление изменение целевой функции – минимизация;
- адреса изменяемых ячеек C13:G16;
- ввод ограничении:
C13:G16= целое – так как количественное значение перевозок целочисленное;
$C$8:$H$8=$С$17: $H$17 и $I$4:$I$7= $I$13:$I$16– из условия модели.
Вывод: транспортные издержки будут минимальны и составят 81,5 ден.ед. при следующем плане перевозок продукции:
|
Склад |
Магазин заказчик |
|||
|
Сумки |
Мода |
Анна |
Галантерея |
|
|
Выхино |
10 |
15 |
0 |
0 |
|
Арбатская |
0 |
0 |
30 |
0 |
|
Каховская |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Сокол |
10 |
0 |
0 |
25 |
Отчет по результатам
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
|
время |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
показатель |
43 |
47 |
50 |
48 |
54 |
57 |
61 |
59 |
65 |
Решение с помощью «Пакет анализа» MS EXCEL
Применение инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).
Для проведения регрессионного анализа выполните следу ющие действия:
1. Выберем команду Сервис => Анализ данных.
2. В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Регрессия, а затем щелкним на кнопке ОК.
3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес одного диапазона ячеек, который представ ляет зависимую переменную. В поле Входной интервал t вводим адреса диапазонов, которые содержат значения независимых переменных .
4. Установите фла жок Метки в первой строке.
5. Выберите параметры вывода новый рабочий лист
6. В поле Остатки поставим необходимые флажки.
7. ОК.
Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффици ентов уравнения регрессии приведены в столб це «t-статистика» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Табличное значение t-крите рия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.
Определение табличного значения t-критерия Стьюдента
Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимос ти и степенях свободы (9 -1 -1 = 7) составляет 2,36. Так как |tрасп|>tтабл то коэффициенты а0, а и а1 уравнения значимы, то есть гипотеза о наличии тренда принимается.
Значения коэффици ентов уравнения регрессии приведены в столб це «Коэффициенты» таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ». Линейное уравнение принимает вид: y=40,8+2,58t
3 Оценим адекватность полученной модели.
а) проверка гипотезы о случайности отклонений остаточной компоненты.
График остатков
Расчетное значение критерия пиков равно:
Из графика остатков видно, что количество поворотных точек равно 4, что больше 2 - критического числа поворотных точек. Модель по этому критерию адекватна. Тренд существует
б) проверка гипотезы о независимости уровней ряда остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона. Данные возьмем из таблицы Дисперсионный анализ таблице протокола EXCEL- Пакета анализа «РЕГРЕССИЯ».
|
Наблюдение |
Предсказанное Y(t) |
Остатки |
Et2 |
(Et-Et-1)2 |
|
1 |
43,4 |
-0,4 |
0,20 |
|
|
2 |
46,0 |
1,0 |
0,95 |
2,01 |
|
3 |
48,6 |
1,4 |
1,93 |
0,17 |
|
4 |
51,2 |
-3,2 |
10,20 |
21,01 |
|
5 |
53,8 |
0,2 |
0,05 |
11,67 |
|
6 |
56,4 |
0,6 |
0,41 |
0,17 |
|
7 |
58,9 |
2,1 |
4,23 |
2,01 |
|
8 |
61,5 |
-2,5 |
6,39 |
21,01 |
|
9 |
64,1 |
0,9 |
0,79 |
11,67 |
|
сумма |
25,14 |
69,72 |
4 - 2,77= 1,23 – автокорреляция отсутствует
в) проверка гипотезы о нормальности закона распределения уровней остаточной компоненты на основе RS критерия.
Среднеквадратическое отклонение: Sе = = = 1,67
.
Т.к. расчетное значение входит в заданные границы [2,7, 3,7] то гипотеза принимается.
г) проверка гипотезы о близости к нулю математического ожидания остатков.
Легко из представленной в п. а) таблицы убедится, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. |еср| = 0. Модель по этому критерию адекватна.
На основании четырех рассмотренных гипотез нельзя сделать однозначный сделать вывод об адекватности построенной модели исходному временному ряду.
4 Построим точечный и интервальный прогноз.
а) точечное прогнозирование.
у(10)= 40,9+2,6*10=66,7
у(11)= 40,9+2,6*11 =69,3
б) интервальный прогноз. Расчет доверительного интервала
Кр= 1,05 - табличное значение t-статистики Стьюдента. Соответствует 70% процентному пропаданию
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
Верхняя граница прогноза: Yр(N+l)+ U(1)
Нижняя граница прогноза: Yр(N+l)- U(1)
Интервальный прогноз:
|
t |
прогноз |
Нижнее значение |
Верхнее значение |
|
10 |
66,69 |
68,98 |
71,71 |
|
11 |
69,28 |
64,41 |
66,85 |
2. Решение с помощью Мастер диаграмм
Выберем приложение Мастер диаграмм
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Y(t) |
43 |
47 |
50 |
48 |
54 |
57 |
61 |
59 |
65 |
|
Y(t) сглаж |
46,67 |
48,33 |
50,67 |
53,00 |
57,33 |
59,00 |
61,67 |
Отобразим на графике рассчитанные значение простой скользящей средней аналогично предыдущему построению
Определим тип тренда - линейный
Построенный тренд практически полностью совпадает с фактическими значениями временного ряда
3) Построить линейную модель y=a0+a1t;
В параметрах тренда укажем пункты: показать уравнение и достоверность аппроксимации
Таким образом, линейное уравнение принимает вид: y=25,7+2,6
В параметрах тренда поставим значение прогноза вперед на 2 единицы
Прогнозные значения
3. Решение с помощью СтатЭксперта
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Таблица 2
|
Cтатистики временного ряда - Показатель- 2 |
|||
|
Базисные характеристики |
|
|
|
|
Наблюдение |
Абс. |
Темп |
Темп |
|
2 |
4,000 |
140,000 |
40,000 |
|
3 |
11,000 |
210,000 |
110,000 |
|
4 |
14,000 |
240,000 |
140,000 |
|
5 |
23,000 |
330,000 |
230,000 |
|
6 |
31,000 |
410,000 |
310,000 |
|
7 |
34,000 |
440,000 |
340,000 |
|
8 |
37,000 |
470,000 |
370,000 |
|
9 |
39,000 |
490,000 |
390,000 |
Таблица 3
|
Цепные характеристики |
|||
|
Наблюдение |
Абс. |
Темп |
Темп |
|
2 |
4,000 |
140,000 |
40,000 |
|
3 |
7,000 |
150,000 |
50,000 |
|
4 |
3,000 |
114,286 |
14,286 |
|
5 |
9,000 |
137,500 |
37,500 |
|
6 |
8,000 |
124,242 |
24,242 |
|
7 |
3,000 |
107,317 |
7,317 |
|
8 |
3,000 |
106,818 |
6,818 |
|
9 |
2,000 |
104,255 |
4,255 |
Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида у1, у2, …уn абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу сравнения – базисные показатели, либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем – цепные показатели.
Абсолютный прирост (Δуi) – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Абсолютный прирост:
Δуi = yi – yi-k
где yi - i-ый уровень ряда;
k – определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k = 1 получаются цепные показатели, при k = i – 1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного.
Темп роста:
Тiпр = yi/ yi-k *100%
Темп прироста:
Тiпр = (yi – yi-k)/ yi-k *100%
Абсолютный прирост – это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Темп роста – отношение уровней ряда динамики, которое выражается в коэффициентах и процентах.
Темп прироста показывает на сколько процентов уровень ряда одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого.
Таблица 4
|
Средние характеристики |
|
|
Характеристика |
Значение |
|
Среднее арифметическое |
31,444 |
|
Средний темп роста (%) |
121,976 |
|
Средний темп прироста (%) |
21,976 |
|
Средний абсолютный прирост |
4,875 |
Средняя арифметическая:
.
Средний темп роста:
где Т1р, …. Тnр, - средние темпы роста за отдельные интервалы времени
Средний темп прироста:
Средний абсолютный прирост:
Метод Фостера - Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по срав нению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличива ется, то ряд «раскачивается» и т. д.
Реализация метода также содержит четыре этапа.
На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:
l, если yt больше всех предыдущих уровней;
0, в противном случае,
1, если yt меньше всех предыдущих уровней;
0, в противном случае
t = 2,3,...,n.
На втором этапе вычисляются величины s и d
Нетрудно заметить, что величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до п-1 (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней 1 временного ряда и изменяется от - (п-1) (ряд монотонно убывает) до (п-1) (ряд монотонно возрастает).
Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными
Эта проверка проводится с использованием расчетных значений f-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:
где μ - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным обра зом;
σ1 - среднеквадратическое отклонение для величины s;
σ2 - среднеквадратическое отклонение для величины d.
На четвертом этапе расчетные значения ts и td сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости ta. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть.
И так как в данном случае расчетное значение t больше табличного tтабл то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда не принимается, т.е. тренд есть
Таблица 5
|
Гипотеза об отсутствии тренда |
||
|
Метод проверки |
Результат |
|
|
Метод Форстера-Стюарта |
Нет |
|
|
Метод сравнения средних |
Нет |
|
|
Вывод: гипотеза отвергается |
||
|
Проверка однородности данных |
||
|
Аномальные наблюдения не обнаружены |
В этой таблице проверяется гипотеза об отсутствии соответствующего тренда, т.е . если гипотеза отвергается, то тренд есть.
Аномальное наблюдение – отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое , оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель.
Таблица 6
|
Модели временного ряда - Показатель- 2 |
|
|
|
|
Таблица кривых роста |
|
|
|
|
Функция |
Критерий |
Эластич |
|
|
Y(t)=+4.944+5.300*t |
6,403 |
0,843 |
|
|
Y(t)=+0.857+7.529*t -0.223*t*t |
4,919 |
0,805 |
|
|
Y(t)= +10.195*exp(+0.200*t) |
39,285 |
1,000 |
|
|
Y(t)= +3.574+19.593*ln(t) |
20,197 |
0,558 |
|
|
Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t) |
1,784 |
1,000 |
|
|
Y(t)= -4.302+2.907*t+9.888*sqr(t) |
6,283 |
0,791 |
|
|
Y(t)= t/(+0.116+0.007*t) |
4,951 |
0,764 |
|
|
Выбрана функция Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t) |
|||
|
|
|
|
|
|
Характеристики базы моделей |
|
|
|
|
Модель |
Адекват |
Точность |
Качество |
|
Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t) |
73,658 |
76,790 |
76,007 |
|
Лучшая модель Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t) |
|||
|
|
|
|
|
|
Параметры моделей |
|
|
|
|
Модель |
a1 |
a2 |
a3 |
|
Y(t)= (+6.478)*(+1.564)**t*(+0.976)**(t*t) |
6,478 |
1,564 |
0,976 |
Типы кривых роста:
а) полиномиальные кривые роста:
- полином первой степени
- полином второй степени
- полином третьей степени
где - сглаженный по уравнению тренда уровень временного ряда;
а1 – линейный прирост;
а2 – ускорение роста;
а3 – изменение ускорения роста;
б) экспоненциальные кривые роста:
- простая экспонента;
где а и b – положительные числа, при этом если b больше 1, то функция возрастает с ростом времени, в противном случае убывает.
- модифицированная экспонента;
где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, k носит название асимптоты функции, т.е. значения функции неограниченно приближается снизу к величине k.
Кривая Гомперца -
где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;
k - асимптота функции
Логистическая крива или кривая Перла – Рида:
где а и b – положительные числа, при этом b меньше 1;
k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени
Критерии по которым выбирается наилучшая модель:
где k – число определяемых параметров (в этой задачи их три).
R2 =1 -
Таблица 7
|
Таблица остатков |
||||
|
номер |
Факт |
Расчет |
Ошибка |
Ошибка |
|
1 |
10,000 |
9,886 |
0,114 |
1,140 |
|
2 |
14,000 |
14,358 |
-0,358 |
-2,558 |
|
3 |
21,000 |
19,847 |
1,153 |
5,491 |
|
4 |
24,000 |
26,110 |
-2,110 |
-8,791 |
|
5 |
33,000 |
32,692 |
0,308 |
0,933 |
|
6 |
41,000 |
38,958 |
2,042 |
4,980 |
|
7 |
44,000 |
44,185 |
-0,185 |
-0,420 |
|
8 |
47,000 |
47,695 |
-0,695 |
-1,478 |
|
9 |
49,000 |
48,999 |
0,001 |
0,002 |
Факт – yt (изначально заданные уровни);
Расчет – (найденные уровни по наилучшей кривой роста)
Абсолютная ошибка - (разница между практическими и расчетными значениями)
Относительная ошибка -
Таблица 8
|
Характеристики остатков |
|
|
Характеристика |
Значение |
|
Среднее значение |
0,030 |
|
Дисперсия |
1,188 |
|
Приведенная дисперсия |
1,529 |
|
Средний модуль остатков |
0,774 |
|
Относительная ошибка |
2,866 |
|
Критерий Дарбина-Уотсона |
2,589 |
|
Коэффициент детерминации |
0,999 |
|
F - значение ( n1 = 1, n2 = 7) |
6943,921 |
|
Критерий адекватности |
73,658 |
|
Критерий точности |
76,790 |
|
Критерий качества |
76,007 |
|
Уравнение значимо с вероятностью 0.95 |
Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней ряда остаточной последовательности, соответствие распределение случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.
Формулы для таблицы 8:
где - абсолютная ошибка
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
В окне «Olympsys.rus» нажать кл. «Data» это возвращение к исходному временному ряду.
Таблица 9
|
Таблица прогнозов (p = 90%) |
|||
|
Упреждение |
Прогноз |
Нижняя |
Верхняя |
|
1 |
47,910 |
43,456 |
52,819 |
|
2 |
44,584 |
38,622 |
51,466 |
|
3 |
39,487 |
32,357 |
48,189 |
Точечный прогноз – прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя.
Интервальный прогноз – сопровождение точечного прогноза двусторонними границами, т.е. указание интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины.
27