Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
9.Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и интегральный. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Числовым рядом называется выражение , где - члены ряда (числа), - первый член, - -ый член или общий член ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда .
О: суммы вида наз частичными суммами числов ряда ( , ).
О: Ряд наз сходящимся, если существ конечный последовательн его частичных сумм. При этом предел последовательности частичных сумм назыв суммой ряда, т.е. , . Если предел не существует или бесконечен, то ряд расходится.
Т1! Необходимое условие сходимости ряда Если ряд -сходиться, то его общий член , т.е.
Док-во: Рассм частичные суммы
(1) ; (2) , из (1)-(2) получим , так как , , то
Зам: Как показывает предыдущая теорема, если стремится к 0, то ряд сходится, если не стремится к 0, то ряд как расходится.
Далее мы рассматриваем только знакоположительные ряды, то есть ряды, у которых .
Пр: , , , ряд- расход
Т2! (признак сравнения):
] даны два положительных ряда и и пусть такой что, если (причем для любого n ), тогда если - сход, то - сход, если - расходится, то - расходится.
Пр: , , - сходится как геометрическая прогрессия с показателем , тогда по признаку сравнения сходится.
Т3! Признак Даламбера
Пусть ряд - знакоположительный и пусть сущ число . Если , то ряд сходится. Если , то ряд расходится. Если , то признак ответа не дает.
Док-во: По условию
1) , такое что начиная с номера , тогда выполняется (начнем с ) , , ( неравенств), перемножим эти неравенства. ,. , , рассм - сход как убыва геом прогрессия, по признаку сравнения - сходится.
2)Пусть , тогда номер такой, что , т.е. монотонно возрастающая последовательн, значит не ряд расходится.
3). Рассм два ряда: по признаку сходимости гармонич ряд расходится так как
().
-сходится ()
Пр: , : (), . - ряд сх
Т4!: признак Коши
Пусть ряд - знакоположит и пусть верхний предел , тогда, если , то ряд сходиться; если , то ряд расход; если , то признак ответа не дает.
Т5!: интегральный признак сходимости
]определена, неотрицательна и монотонно убывает на , тогда для того чтобы сходился чтобы сходился несобственный интеграл .
Док-во: т.к. монотонна на интегрируема на отрезке . Значит можно говорить о несобственном интеграле . Рассм отрезок , . Т.к. убывающая . Проинтегрируем неравенство по отрезку: , , , , , ,Необх: пусть сходится, докажем что сходится. Из сходимости - ограничены сверху, т.е. , - сх.
Достат: пусть - сходится пусть такое, что для - ограничено сверху ряд сходится.
Пр: - гармонический ряд, на . - расходится.
- гармонический ряд, на . - сходится.
Знакопеременные ряды - это числовые ряды, в которых не все члены >0.
О: Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходит ряд из модулей его членов.
О: Ряд наз условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд из модулей расходится. (условно сход).
Т6! Если сходится абсолютно, то он просто сходится.
Т7! В абсолютно сходящемся ряде мы можем произвольным образом переставить члены ряда, причем с той же самой суммой.
Т8! В условно сходящемся ряде мы можем так переставить члены ряда, что ряд будет сходится к любому на перед заданному числу, конечному или бесконечному.