Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
20. Биноминальный закон распределения и его числовые характеристики.
Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
,
где 0<p<1; q=1-p; k=0, 1, 2, ..., n.
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X=k наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
|
xi |
0 |
1 |
2 |
... |
m |
… |
n |
|
pi |
qn |
... |
… |
pn |
Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:
где pn - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;
qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;
- вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Ā наступит n-m раз;
- число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
Числовые характеристики биноминального распределения:
Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по биномиальному закону, M(X)=np, а её дисперсия D(X)=npq.
Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью p, равно p, т. е.
а её дисперсия
Наивероятнейшее число наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, удовлетворяет неравенству
np-q≤m0≤np+p. Это означает, что мода случайной величины, распределённой по биномиальному закону, - число целое - находится из того же неравенства np-q≤M0(X)≤np+p.
Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.
ИЛИ
М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;
D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;
- среднее квадратическое отклонение частоты.
Пример 1. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.
Решение. Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
pi |
0,4096 |
0,4096 |
0,1536 |
0,0256 |
0,0016 |
значения pi=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле
Пример 2. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Определить среднее (прогнозируемое) число договоров которым компании придётся выплатить страховые суммы в связи с наступлением страхового случая и оценить меру отклонения числа таких договоров от ожидаемого среднего значения (риск компании), если заключено 2000 договоров.
Решение. Вероятность того, что случайно выбранному договору страховая компания выплачивает страховую сумму в связи с наступлением страхового случая, равна Случайная величина X - число договоров, по которым страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=2000 и p=0,1. Среднее (прогнозируемое) число договоров, по которым страховая компания выплачивает страховые суммы - математическое ожидание случайной величины X находим по формуле M(X)=np=2000·0,1=200. Меру отклонения числа договоров по которым компания должна будет выплатить страховые суммы от ожидаемого среднего значения (риск компании) можно оценить, определив дисперсию или среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
D(X)=npq=2000·0,1·0,9=180
Таким образом, прогнозируемое число договоров, по которым страховая компания выплатит страховые суммы в связи с наступлением страхового случая, вероятнее всего будет находится пределах диапазона 200±13.