Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 2
Тема уроку: Границя функції неперервного аргументу.
Мета уроку: Формування поняття про границю функції.
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо вісти на запитання, що виникли в учнів при виконанні до машніх завдань.
2. Сформулюйте означення і властивості модуля дійсного числа, користуючись таблицею 1.
3. Усне розв'язування рівнянь і нерівностей з модулем за табли цею 2 для усних обчислень.
Таблиця 2
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
|х| = 5 |
|х| = 0 |
х = – 5 |
|х| = х |
|
2 |
|х| = – х |
|х – 3| = 2 |
|х + 2| = 3 |
|х – 1| + |х + 1| = 0 |
|
3 |
|х| < 2 |
|х| > 0 |
|х| > –1 |
|х| > 3 |
|
4 |
|х – 1| < 2 |
|х + 1| < 2 |
|х – 1| > 3 |
|х + 3| > 1 |
II. Сприймання поняття границі функції.
Побудуємо графік функції f(x) = х + 1 (рис. 9). Якщо х наближається до 1, то зна чення у наближається до 2.
Говорять, що границя функції f(x) при х, що наближається до 1, дорівнює 2 і запи сується: (x +1) = 2.
Розглянемо другий приклад.
Побудуємо графік функції g(x) = і розглянемо поведінку цієї функції при х, близьких до 1.
Функція g(x) = визначена при х (-; 1) (1; +) і графік являє собою пряму у = х + 1 з виколотою точкою х = 1 (рис. 10), бо функція g(x) =
= не визначена в точці х = 1.
Якщо х наближається до 1 (зліва чи справа), то у наближається до 2 (відпов ідно знизу чи зверху).
Отже, =2.
Розглянемо третій приклад. Побудуємо графік функції
(рис. 11) і розглянемо поведінку функції при х, що наближається до 1.
При х → 1 (що наближається до 1) границі функції h(x) не існує, поскільки не існує єди ного числа, до якого наближається функція при х, що прямує до 1.
(Якщо х наближається до 1 зліва, то h(x) наближається до 1; якщо ж х наближається до 1 справа, то h(x) наближаєть ся до 2).
Таким чином:
Якщо при значеннях х, що прямують до дея кого числа а, значення функції f(x) прямують до єдиного значення b, то говорять, що при х, що наближається до а, функція f(x) має границю, яка дорівнює b, і це записується так: f(x) = b або f(x) → b при х → а.
1) Чи має границю функція в точці х, що прямує до 2? Якщо має, то чому дорівнює ця границя?
2) Чи залежить існування границі функції в точці від визначе ності функції в цій точці?
3) Якщо функція визначена в точці, то чи завжди границя функ ції дорівнює значенню функції в цій точці? 2. Користуючись графіком, знайти границі (якщо вони існують): a) б) в) г)
III. Осмислення поняття границі функції.
Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х + 1. Розглянемо таблицю значень цієї функції в точках, що досить близько розташовані до числа 1 (і в самій точці 1), та знайдемо |х – 1| та |f(x) – 3| у відповідних точках.
|
х |
0,5 |
0,8 |
0,9 |
0,99 |
0,999 |
1 |
1,001 |
1,01 |
1,1 |
1,5 |
|
f(x) |
2 |
2,6 |
2,8 |
2,98 |
2,998 |
3 |
3,002 |
3,02 |
3,2 |
4 |
|
|х – 1| |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,01 |
0,001 |
0 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
|
|f(x) – 3| |
1 |
0,4 |
0,2 |
0,02 |
0,002 |
0 |
0,002 |
0,02 |
0,2 |
1 |
З таблиці видно, що при наближенні значення аргументу до чис ла 1 значення функції наближається до числа 3, при цьому по хибка значень функції може бути досягнена як завгодно малою, шляхом зменшення похибки аргументу. Дійсно, взявши довільне ε > 0, тоді |f(x) – 3| < ε,
або |2х + 1 – 3| < ε; |2х – 2| < ε, 2|х – 1| < ε; |х – 1| < .
Отже, щоб похибка значень функції не перевищувала ε > 0, слід взяти значення х такі, що |х – 1| < .
!
Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < |х – а| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε. (Рис. 13).
Розглянемо приклад.
Доведіть, що (2x – 1) = 5.
Розв'язання Задамо довільне ε > 0 і покажемо, що існує δ > 0 таке, що із нерівності |х - 3| < δ випливає нерівність |(2х - 1) - 5| < ε. Маємо |(2х - 1) - 5| < є,
|2х - б| < ε; |2(х - 3)| < ε; 2·|х - 3| < ε; |х - 3| < Отже, якщо взяти δ = , то виконання нерівності
| x - 3| < δ приведе до виконання нерівності |(2x - 1) - 5| < ε. Отже, згідно з означенням границі маємо: (2x -1) = 5.
Виконання вправи № 12 (3).
IV. Домашнє завдання.
Розділ VI, § 6. Запитання і завдання для повторення № 6. Впра ви № 2 (6), 12 (1).
V. Підведення підсумків уроку.
PAGE 1
Роганін Алгебра 11 клас, урок 2