Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
24. Числовые характеристики среднего значения нескольких взаимно независимых одинаково распределенных СВ.
Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания.
Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [а, b]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной ,,..., и выберем в каждом из них произвольную точку xi (i = 1, 2, ..., п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их в интервал ; (напомним, что произведение f(х) приближенно равно вероятности попадания X в интервал ):
Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл M(X)= (*)
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, тоM(X)=
Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к —, а верхнего—к +.
По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Если возможные значения X принадлежат отрезку[a,b], то
D(X)= если возможные значения принадлежат всей оси х, то
D(X)=
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством(X)=.
Пример 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения
Решение. Найдем плотность распределения:
Найдем математическое ожидание по формуле (*): M(X)=
Найдем дисперсию по формуле (**):D(X)=
Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b).
Решение. Найдем математическое ожидание X по формуле (*), учитывая, что плотность равномерного распределения f (x) = 1/(b — а)(см. гл. XI, § 6):
M(X)=
Выполнив элементарные выкладки, получимM(X)=(a+b)/2
Найдем дисперсию X по формуле (**):
D(X)=
Выполнив элементарные выкладки, получим D(X) = (b — a)2/12.