Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Производная и ее свойства
Производная, ее геометрический и экономический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функции. Производной функции y=f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю
(1)
Пример 1. Вычислить производную функции y= х2 точке х = 5.
Решение. Приращение заданной функции в заданной точке равно
∆ f (5) = f (5 + ∆ х) – f (5) =52 + 10 ∆ х + ∆ х2 – 52 =10 ∆ х + ∆ х2
Тогда по определению производной (1) получаем
Односторонние производные
Правой (левой) производной функции f (х) в точке х0 называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю
(2)
Пример 2. Вычислить производную функции y = |х – 5| в точке
х = 5.
Решение. Представим заданную функцию так:
|х – 5| =
Ниже дан график этой функции.
Рис.1
Найдем односторонние производные, т.е. производные слева и справа:
f’ (5– 0) = ,
f’(5+0) = ,
Односторонние производные не равны друг другу. Следовательно, производная функции y = |х – 5| в точке х = 5 не существует!
Геометрический смысл производной
Касательной к графику функции в заданной точке называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении одной общей точки к другой.
Рис.2
Запишем уравнение секущей как уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:
или, точнее
(3)
Устремим общую точку x1 графика заданной функции и секущей к точке x0. Поскольку
,
то вычисление предела даёт
y – f (x0) = f’ (x0) (х – x0)
Это и есть уравнение касательной с угловым коэффициентом
kкас = tg α = f’ (x0)
Итак, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.
у – f (x0) = kнорм (х – х0),
где
kнорм = tg (α + π/2) = - ctg α =
Таким образом, уравнение нормали имеет вид:
Пример 3. Найти уравнение касательной и нормали для функции y= х2 в точке х = 5.
Решение. Так как f’ (5) = 10, f (5) = 25, то уравнение касательной
укас – 25 = 10 (х – 5) или y = 10 x – 25
Уравнение нормали:
унорм – 25 = - 0,1 (х – 5) или y = -0,1 x + 25,5
Покажем, что если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает.
Функция f (x) возрастает (убывает) на интервале (а, b) , если для х (а, b) выполняется:
∆ f (х0) > 0 (∆ f (х0) < 0) при ∆ х > 0.
Рис.3
Пусть f' (х0) > ε > 0. Тогда из определения производной как предела следует
f' (х0) – ε < < f' (х0) + ε
Отсюда вытекает, что
> 0 при > 0
Свойства производной
Функция y=f (x) называется дифференцируемой в точке х0 из области определения, если она имеет производную в этой точке. Если функция дифференцируема, то она непрерывна. Действительно, для существования предела, определяющего производную, необходимо, чтобы при , а это совпадает с определением непрерывности функции в точке. Обратное, вообще говоря, неверно.
Арифметические свойства. Производные суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующим формулами:
В самом деле,
.
Дифференцирование сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производных составляющих функций, т.е.
В самом деле,
Дифференцирование обратной функции. Пусть функция у=у(х) и обратная к ней х=х(у) непрерывны и дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда
Этим доказано, что производные взаимно обратных дифференцируемых функций взаимно обратны по величине:
Таблица производных
При вычислении производных даже несложных функций использовать определение производной достаточно сложно. Наиболее эффективный путь вычисления производных – использование заранее составленной таблицы производных наиболее применяемых в науке и практике функций.
Вычислим производные простейших элементарных функций.
1. Производная константы равна нулю. Действительно.
2. Производная степенной функции равна
Поскольку (х)' = 1, (х2)' = 2х, то можно предположить, что (хп)' = nxn-1. Докажем это равенство методом математической индукции. Последнее равенство верно, если при этом предположении выполняется
(xn+1)' =(n + 1) xn
Действительно,
(хп+1)' = (ххп)' = х'хп + х (хп)' = 1. хп + хпхп-1 = (п + 1) хп.
Следовательно, (xn)' = nxn-1
3. Производная экспоненты равна самой этой функции
В самом деле,
Производная показательной функции сводится к производной экспоненты
(ах)' = (ех ln a)' = {} = ех ln a (x ln a)’ =
=ех ln a . ln a =ах ln a
4. Производная натурального логарифма равна обратной величине его аргумента
Ниже дан вывод этого равенства
5. Производная синуса равна косинусу того же аргумента
Пример. Вычислить производную косинуса через производную синуса.
Пример. Вычислить производную тангенса через производные синуса и косинуса.
Пример. Вычислить производную котангенса через производную тангенса.
Для завершения таблицы производных потребуется решить следующую задачу: найти связь производной функции с производной обратной функции.
6. Производная арксинуса вычисляется по формуле
Пусть у = arcsin x, тогда х = sin у. Тогда
(arcsin x)х' =
7. Производная арккосинуса. По аналогии получаем
(arcos x)' =
8. Производная арктангенса равна
В самом деле, пусть у = arctg х, тогда х = tg у.
(arctg х)х' =
9. Производная арккотангенса равна
(arcctg х)х' =
Таблица производных
|
N |
y |
y’ |
|
|
C xn |
0 nxn-1 |
|
|
ех ах ln x |
ех ах ln a |
|
|
sin x cos x tg x ctg x arcsin x arcos x arctg х arcctg х |
cos x - sin x |
х
5