Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 1.Теория множеств.
1.1.Множество, элемент множества, пустое множество.
Представление о множестве приводит к одному из самых общих понятий, которые встречаются в любой науке и в каждой области математики.
Множество – это любая четко определенная совокупность объектов. Предметы, составляющие множество, называют его элементами. Примерами множества могут служить: множество страниц данной книги (каждая страница является элементом этого множества), множество всех больных хирургического отделения больницы. То, что элемент a входит в множество A записывается так ( читается: a принадлежит множеству a ). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ǿ . Множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство множества называется характеристическим свойством. В зависимости от количества элементов составляющих множества они могут быть конечными или бесконечными. Например, множество всех натуральных чисел – бесконечно, а множество всех людей на Земле конечно.
1.2.Равенство множеств. Подмножество.
Универсальное множество. Дополнение множеств.
Пусть A – множество элементов. Тогда B называется подмножеством A (обозначение ), если каждый элемент множества B является элементом множества A. Если и , то . Каждое не пустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество и само множество A.
Пример 1.2.1. Пусть - человеческое существо и - человеческое существо женского пола . Тогда .
Пусть нам дано какое – либо множество E. Мы будем рассматривать все возможные подмножества данного множества Е. Исходное множество Е в таком случае называют универсальным множеством. Пусть универсальное множество Е состоит из трех элементов . Перечислим все подмножества Е: . Их всего подмножеств. Если универсальное множество Е состоит из n элементов, то число всех подмножеств множества Е равно .
Пусть А есть некоторое подмножество универсального множества Е. Тогда множество состоящее из всех элементов множества Е не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А .
Пример 1.2.3. Пусть А – множество всех девочек группы. Тогда дополнением является множество всех мальчиков той же группы.
1.3. Операции над множествами:
объединение, пересечение, разность, разбиение
Определение 1.3.1. Объединение множества А и множества В есть множество С, составленное из элементов А вместе с элементами В. Обозначают это так: . Объединение часто называется суммой множеств.
На рисунках 1 и 2 заштрихованные множества – это объединение двух и трех множеств. Такой способ изображения множеств и объединений множеств называется диаграммой Ванна.
Пример 1.3.1. Пусть А – множества всех курящих в какой-либо популяции, а В – множество отцов в этой популяции. Тогда - множество всех мужчин в популяции, которые являются либо курильщиками, либо отцами, либо и курильщиками и отцами одновременно.
Определение 1.3.2. Пересечение множества А и множества В есть множества С состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В одновременно. Пересечение записывается как .
В диаграммах Венна пересечение любого числа множеств соответствует перекрыванию областей, представляющих сами множества.
Пример 1.3.2. Пусть А – множество особей в популяции плодовой мушки у которых имеется мутация крыльев, В – множество мушек с мутацией глаз. Тогда - множество мушек с мутацией крыльев и глаз.
Определение 1.3.3. Два множества А и В называются непересекающимися, если они не содержат никаких общих элементов, т.е. .
Пример 1.3.3. Пусть А – множество больных старше 30 лет, В – множество больных младше 20 лет. Тогда .
Определение 1.3.4. Разностью множеств А и В называется, состоящее из всех элементов А на входящих в В. Обозначают это так: . Чтобы получить разность достаточно удалить из множества А общие элементы множеств А и В т.е. множества .
Пример 1.3.4. Пусть в некоторой популяции М – множество всех мужчин, а Т – множество всех людей, у которых туберкулез. Тогда М – женщины, Т –люди у которых нет туберкулеза.
- мужчины у которых нет туберкулеза,
- женщины с туберкулезом.
Определение 1.3.5. Разбиение множества А есть набор его подмножеств которые взаимно не пересекаются и в объединении дают А. Это можно записать как
при и .
Пример 1.3.5. Из группы всю студентов, занимающихся естественными науками, 70 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса физики, 95 ходят на биологию, 80 на математику. Предположим, что 30 студентов посещают и математику и физику, 35 математику и биологию, 15 физику и биологию. Предположим, что 5 студентов посещают лекции по всем трем предметам. Сколько студентов посещают лекции по всем трем предметам. Сколько студентов посещают лекции ровно по двум из этих трех предметов?
Решение: Определим Р, В и М как множества студентов, посещающих соответственно курсы по физике, биологии и математике. Тогда эти множества насчитывают 70, 95 и 80 студентов. Множества соответственно содержит 30, 35, 15 элементов. Множество - 5 элементов. Множество содержит 30-5=25 элементов. Эти студенты изучают и математику и физику, но не биологию. Аналогично, 35-5=30 изучают только математику и биологию, 15-5=10 изучают только физику и биологию. Мы получаем, что ровно по двум из трех предметов занимаются 25=30=10=65 студентов.
Диаграмма Венна для этой задачи имеет вид:
1.4. Число перестановок, размещений, сочетаний
Определение 1.4.1. Перестановка из n объектов есть упорядочение этих объектов, т.е. расположение n объектов в определенном порядке.
Теорема 1.4.1. Число перестановок из n объектов есть n!, где
n!=1*2*3*…*n. ( 1.1)
Пример 1.4.1. Сколькими способами группа из шести человек может расположиться: 1) в ряд;
2) за круглым столом?
Решение. 1) Искомым является число перестановок из шести объектов или 6!=1*2*…*6=720.
2) Чтобы расположить шестерых человек по кругу, выберем произвольно одного человека, а оставшихся пятерых упорядочим относительно выбравшего. Это можно сделать 5!=120 способами.
Определение 1.4.2. Перестановка из объектов по k( число размещений) есть любой выбор k объектов взятых в определенном порядке из n объектов. Обозначается это как .
Теорема 1.4.2. Число размещений есть
(1.2)
Пример 1.4.2. На конкурсе участвовало 20 человек. Сколькими способами можно распределять первые три премии?
Решение. Искомое число способов есть число размещений из 20 объектов по три, т.е.
.
Определение 1.4.3. Пусть у нас имеется множество из n объектов, содержащее объектов 1-го типа, - 2-го типа, … , - k-го типа, причем . Определим полиномиальный символ как число перестановок из n объектов, среди которых являются неразличимыми.
Теорема 1.4.3. Справедлива формула
(1.3)
Пример 1.4.3. Три типа бактерий культивируются в девяти пробирках. Три пробирки содержат бактерии 1-го типа, четыре – бактерии 2-го типа и две - - бактерии 3-го типа. Сколькими различными способами можно расположить пробирки в ряд на штативе, если нам важно расположение лишь типов бактерий?
Решение. Множество из девяти пробирок разбиваются на три подмножества, содержащие соответственно три, четыре и два неразличимых объекта. Тогда, .
Определение 1.4.4. Число сочетаний из n объектов по k в каждом. Это любой выбор k объектов из n безотносительно к порядку выбора.
Теорема 1.4.4. Справедлива формула
(1.4)
Пример 1.4.4. У 6 мальчиков и 11 девочек в классе имеются признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить наличие заболевания, требуется взять выборочный анализ крови у двух мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Существует способов выбора двух мальчиков и способов выбора двух девочек. Тогда, число способов выбора двух мальчиков и двух девочек равно 15*55=825.
Пример 1.4.5. В лабораторной клетке имеется 8 белых и 6 коричневых мышей. Найти число способов выбора пяти мышей из клетки, если: 1) они могут быть любого цвета; 2) три из них должны быть белыми, а две – коричневыми; 3) они должны быть одного цвета.
Решение. 1) В данном случае цвет не существенен. Поэтому имеется способа, которыми 5 мышей можно выбрать из 14.
2) Существует способов выбора трех белых мышей и способов выбора двух коричневых мышей. Таким образом, имеется 56*15=840 способов выбора трех белых и двух коричневых мышей.
3) Существует способов выбора 5 белых и способов выбора 5 коричневых мышей. Таким образом, имеется 56+6=62 способа выбора 5 мышей одинакового цвета.
Задачи.
а) Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую данную задачу.
б) Сколько из 1000 студентов не посещают ни один из этих трех предметов?
в) Сколько студентов посещают только один из трех предметов?
г) Сколько студентов посещают ровно два предмета?
а) Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую задачу.
б)Опишите словами множества
в) Сколько людей имеет два агглютиногена: А и В?
а) если не допускать повторений;
б) если допустить повторения?
а) , б) , в) , г)
а) , б), в) , г) , д) .
а) Каково число способов выбора 10 человек?
б) Каково число способов выбора 10 человек, если 8 из них должны быть женщинами?
а) , б) .
PAGE 1