Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
34
ТЕМА 4. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
1 вопрос. Биномиальное распределение.
2 вопрос. Распределение Пуассона.
3 вопрос. Производящая функция.
4 вопрос. Гипергеометрическое распределение.
5 вопрос. Равномерное распределение.
6 вопрос. Нормальное распределение.
7 вопрос. Распределение Пирсона (χ2-распределение). На самостоятельное изучение
8 вопрос. Распределение Стьюдента (t распределение). (конспект представить на
9 вопрос. Распределение Фишера-Снедекора (F -распределение). практических занятиях)
Литература по теме:
Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176
Ответы и решения
Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 359 – 400
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427
Приложения. – С. 550 – 587
Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128
Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179
Приложения. – С. 427 – 435
Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30
Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43
Приложения. – С. 127 – 171
Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.
Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.
Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.
1 вопрос. Биномиальное распределение.
p, 0<p<1
СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:
- число сочетаний
Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.
|
Число успехов, X=m (xi) |
Вероятности, Рn, m (pi) |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
… |
… |
|
m |
|
|
… |
… |
|
n-1 |
|
|
n |
|
|
Сумма |
1 |
Функция распределения F(x):
Математическое ожидание М(Х)=nр
Дисперсия σ2=D(X)=npq
Среднее квадратическое отклонение .
Пример 1.
Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.
Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.
Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?
Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.
Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).
Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.
Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.
Итак, по условию задачи: n = 4;
p = 0,05;
q = 0,95;
X = m-0, 1, 2, 3, 4.
Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.
Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:
|
Хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Рi |
0,8145 |
0,1715 |
0,0135 |
0,0005 |
0,0000 |
0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).
Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.
Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .
Математическое ожидание определим 2-мя способами:
- как М(Х) ДСВ
шт.
- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
шт.
Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).
Дисперсию определим:
- как D(X) ДСВ
- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
Среднее квадратическое отклонение шт.
Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения
Рассчитаем значения F(х):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
|
Х |
x 0 |
0 < x 1 |
1 < x 2 |
2 < x 3 |
3 < x 4 |
x > 4 |
|
F(x) |
0 |
0,8145 |
0,986 |
0,9995 |
1 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).
Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.
Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.
Отрывок из Приложения 4 (Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005). В таблице подчёркнуты вероятности, имеющие отношение к нашему примеру.
|
n x |
.01 |
.05 |
.10 |
.20 |
.30 |
.40 |
.50 |
.60 |
.70 |
.80 |
.90 |
.95 |
.99 |
х |
|
4 0 |
961 |
815 |
656 |
410 |
240 |
130 |
062 |
026 |
008 |
002 |
0+ |
0+ |
0+ |
0 |
|
1 |
039 |
171 |
292 |
410 |
412 |
346 |
250 |
154 |
076 |
026 |
004 |
0+ |
0+ |
1 |
|
2 |
001 |
014 |
049 |
154 |
265 |
346 |
375 |
346 |
265 |
154 |
049 |
014 |
001 |
2 |
|
3 |
0+ |
0+ |
004 |
026 |
076 |
154 |
250 |
346 |
412 |
410 |
293 |
171 |
039 |
3 |
|
4 |
0+ |
0+ |
0+ |
002 |
008 |
026 |
062 |
130 |
240 |
410 |
656 |
815 |
961 |
4 |
0+ означает, что соответствующая вероятность расположена между 0 и 0,0005.
Использование EXCEL для вычисления биномиальных вероятностей.
Удобно рассчитывать биномиальные вероятности с помощью встроенной в EXCEL функции БИНОМРАСП со следующими характеристиками:
БИНОМРАСП (m; n; p; интегральная), где
интегральная = ЛОЖЬ, если вы хотите, чтобы число успехов в точности равнялось m;
интегральная = ИСТИНА, если вы хотите, чтобы число успехов не превышало m.
Например, на рисунке 3 показана функция БИНОМРАСП для вычисления вероятности того, что среди отобранных 4-х шоколадных батончиков не будет ни одного бракованного, т.е. Х=0. В ячейке А1 содержится формула =БИНОМРАСП(0;4;0,05;ЛОЖЬ) с результатом 0,81450625
Рисунок 3.
На рисунках 4 – 7 показаны функции БИНОМРАСП для вычисления вероятностей того, что среди 4-х батончиков будут ровно 1 (рис. 4), 2 (рис. 5), 3 (рис. 6) и 4 (рис. 7) бракованных
Рисунок 4.
Рисунок 5.
Рисунок 6.
Рисунок 7.
С помощью EXCEL мы можем также вычислить вероятность того, что среди 4-х батончиков окажется не более 2-х бракованных (рис. 8).
В ячейке А1 содержится формула = БИНОМРАСП(2;4;0,05;ИСТИНА) с результатом 0,99951875.
Рисунок 8.
2 вопрос. Распределение Пуассона
Дискретная СВ Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями, вычисленными по формуле Пуассона:
, е – основание натуральных логарифмов (е = 2,71828)
Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,3,… можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле Пуассона.
|
X=m (xi) |
Вероятности, Р(X=m) (pi) |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
… |
… |
|
m |
|
|
… |
… |
|
n |
|
|
Сумма |
1 |
++++ … ++ … +=
Функция распределения F(x):
,
Математическое ожидание и дисперсия М(Х) = D(X) = λ
Пример 2.
Начальнику отдела охраны труда и здоровья крупного предприятия обрабатывающей отрасли промышленности поставлена задача проанализировать уровень травматизма работников в производственных коллективах. На этом предприятии в среднем каждые три года имеет место 2 серьёзных несчастных случая. Они происходят случайным образом, и поэтому их нельзя спрогнозировать.
Составить закон распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа несчастных случаев и построить её график.
Чему равна вероятность, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев?
Решение: Пусть случайная величина Х - число несчастных случаев на предприятии. Все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
По условию несчастные случай происходят случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.
Если мы предположим, что вероятность наступления несчастного случая одинакова в любые два периода времени равной длины, и что наступление или ненаступление несчастного случая в любой период времени не зависит от его наступление или ненаступление в любой другой период времени, то последовательность наступлений несчастных случаев может быть описана распределением Пуассона с параметром = 2.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле Пуассона.:
,
Значение экспоненциальной функции найдём из экспоненциальных таблиц по значению λ. При λ = 2 получаем . Или с помощью встроенной в EXCEL экспоненциальной функции (рис. 9):
Рисунок 9.
Найдем вероятность того, что за три года не произойдёт ни одного несчастного случая:
Аналогично находим и другие вероятности
При вероятности, рассчитанные по формуле Пуассона, стремятся к 0.
Получим ряд распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года.
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Рi |
0,1353 |
0,2707 |
0,2707 |
0,1804 |
0,0902 |
0,0361 |
0,0120 |
0,0034 |
0,0009 |
0,0002 |
0,0000 |
0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + 0,0120 + + 0,0034 + 0,0009 + 0,0002 = 0,9999 1.
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 10).
Рисунок 10.
Найдем числовые характеристики полученного распределения случайной величины Х.
М(Х) = D(X) = λ = 2
Среднее квадратическое отклонение числа несчастных случаев:
Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения:
Рассчитаем значения F(x):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
X |
x 0 |
0<x1 |
1<x2 |
2<x3 |
3<x4 |
4<x5 |
5<x6 |
6<x7 |
7<x8 |
8<x9 |
x > 9 |
|
F(х) |
0 |
0,1353 |
0,4060 |
0,6767 |
0,8571 |
0,9473 |
0,9834 |
0,9954 |
0,9988 |
0,9997 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 11).
Рисунок 11.
Вероятность того, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев (т. е. не более 2-х - «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х<3) = P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.
Таблицы вероятностей Пуассона
Значения функции Пуассона:.
|
m |
|
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
0 |
0,3679 |
0,1353 |
0,0498 |
0,0183 |
0,0067 |
0,0025 |
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
|
|
1 |
0,3679 |
0,2707 |
0,1494 |
0,0733 |
0,0337 |
0,0149 |
0,0064 |
0,0027 |
0,0011 |
|
|
2 |
0,1839 |
0,2707 |
0,2240 |
0,1465 |
0,0842 |
0,0446 |
0,0223 |
0,0107 |
0,0050 |
|
|
3 |
0,0613 |
0,1805 |
0,2240 |
0,1954 |
0,1404 |
0,0892 |
0,0521 |
0,0286 |
0,0150 |
|
|
4 |
0,0153 |
0,0902 |
0,1680 |
0,1954 |
0,1755 |
0,1339 |
0,0912 |
0,0572 |
0,0337 |
|
|
5 |
0,0031 |
0,0361 |
0,1008 |
0,1563 |
0,1755 |
0,1606 |
0,1277 |
0,0916 |
0,0607 |
|
|
6 |
0,0005 |
0,0120 |
0,0504 |
0,1042 |
0,1462 |
0,1606 |
0,1490 |
0,1221 |
0,0911 |
|
|
7 |
0,0001 |
0,0034 |
0,0216 |
0,0595 |
0,1045 |
0,1377 |
0,1490 |
0,1396 |
0,1171 |
|
|
8 |
- |
0,0009 |
0,0081 |
0,0298 |
0,0655 |
0,1033 |
0,1304 |
0,1396 |
0,1318 |
|
|
9 |
- |
0,0002 |
0,0027 |
0,0132 |
0,0363 |
0,0689 |
0,1014 |
0,1241 |
0,1318 |
|
|
10 |
- |
- |
0,0008 |
0,0053 |
0,0181 |
0,0413 |
0,0710 |
0,0993 |
0,1186 |
|
|
11 |
- |
- |
0,0002 |
0,0019 |
0,0082 |
0,0225 |
0,0452 |
0,0722 |
0,0970 |
|
|
12 |
- |
- |
0,0001 |
0,0006 |
0,0034 |
0,0113 |
0,0264 |
0,0481 |
0,0728 |
|
|
13 |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0013 |
0,0052 |
0,0142 |
0,0296 |
0,0504 |
|
|
14 |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0005 |
0,0022 |
0,0071 |
0,0169 |
0,0324 |
|
|
15 |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0009 |
0,0033 |
0,0090 |
0,0194 |
|
|
16 |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0003 |
0,0015 |
0,0045 |
0,0109 |
|
|
17 |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0006 |
0,0021 |
0,0058 |
|
|
18 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0009 |
0,0029 |
|
|
19 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0004 |
0,0014 |
|
|
20 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0006 |
|
|
21 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
22 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
Использование EXCEL для вычисления вероятностей Пуассона
Удобно рассчитывать вероятности Пуассона с помощью встроенной в EXCEL функции ПУАССОН со следующими характеристиками:
ПУАССОН (х; λ; интегральная), где
интегральная= ЛОЖЬ, если вы хотите, чтобы число наступлений события в точности равнялось х;
интегральная = ИСТИНА, если вы хотите, чтобы число наступлений события не превышало х.
Например, на рисунке 12 показана функция ПУАССОН для вычисления вероятности того, что за три года на предприятии не произойдёт ни одного несчастного случая, т.е. Х=0.
В ячейке А1 содержится формула =ПУАССОН(0;2;ЛОЖЬ) с результатом 0,135335283.
Рисунок 12.
На рисунках 13 – 22 показаны функции ПУАССОН для вычисления вероятностей того, что за три года на предприятии произойдёт ровно 1 (рис. 13), 2 (рис. 14), 3 (рис. 15), 4 (рис. 16), 5 (рис. 17), 6 (рис. 18), 7 (рис. 19), 8 (рис. 20), 9 (рис.21) и 10 (рис. 22) несчастных случаев.
Рисунок 13.
Рисунок 14.
Рисунок 15.
Рисунок 16.
Рисунок 17.
Рисунок 18.
Рисунок 19.
Рисунок 20.
Рисунок 21.
Рисунок 22.
С помощью EXCEL мы можем также вычислить вероятность того, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев (т. е. не более 2-х - «или ноль, или один, или два») (рис. 23).
В ячейке А1 содержится формула = ПУАССОН(2;2;ИСТИНА) с результатом 0,676676416.
Рисунок 23.
1. При , и действует приближённое соотношение:
Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при всяком m=0,1,2,…
, если существует .
Пример 3.
На изготовление 1000 булочек затрачено 5000 изюминок. Какова вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок?
Решение:
Любая изюминка может с равной вероятностью попасть в каждую из 1000 булочек, т.е. вероятность попадания одной изюминки в данную булочку равна 0,001. Можно считать, что производится 5000 испытаний Бернулли, в которых решается вопрос, попадёт ли она в данную булочку. Вероятность «успеха» (попадания) p = 0,001, число испытаний n = 5000, поэтому вероятность того, что в булочке окажется менее 3-х изюминок (т.е. «или 0, или 1, или 2 изюминки») равна:
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X<3) =
Вычисление искомой вероятности по этой формуле затруднительно. Воспользуемся приближением Пуассона (n – велико, р – мало) при λ = np = , тогда
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = .
Теперь по таблице распределения Пуассона имеем:
P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,0067 + 0, 0337 + 0, 0842 = 0,1246
Эти значения подчёркнуты в отрывке таблицы.
Значения функции Пуассона:.
|
m |
|
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
0 |
0,3679 |
0,1353 |
0,0498 |
0,0183 |
0,0067 |
0,0025 |
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
|
|
1 |
0,3679 |
0,2707 |
0,1494 |
0,0733 |
0,0337 |
0,0149 |
0,0064 |
0,0027 |
0,0011 |
|
|
2 |
0,1839 |
0,2707 |
0,2240 |
0,1465 |
0,0842 |
0,0446 |
0,0223 |
0,0107 |
0,0050 |
|
|
3 |
0,0613 |
0,1805 |
0,2240 |
0,1954 |
0,1404 |
0,0892 |
0,0521 |
0,0286 |
0,0150 |
|
|
4 |
0,0153 |
0,0902 |
0,1680 |
0,1954 |
0,1755 |
0,1339 |
0,0912 |
0,0572 |
0,0337 |
Итак, вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок равна 0,1246.
2. Например, если ДСВ Х подчиняется распределению Пуассона, то вероятность того, что Х примет значения от 8 до 12 включительно найдём по формуле
P(8X12) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12).
Теперь опишем ДСВ Х посредством НСВ Y, распределённой нормально с параметрами М(Y) = λ и D(Y) = λ. Тогда искомую вероятность можно будет найти как вероятность попадания нормально распределённой величины в заданный интервал P(7,5<X<12,5). Здесь 0,5 представляет собой поправку на непрерывность, т.к. ДСВ Х=8 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 7,5 – 8,5 на непрерывной кривой нормального распределения, а ДСВ Х=12 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 11,5 – 12,5 на непрерывной кривой нормального распределения.
3 вопрос. Производящая функция.
Функция , разложение которой по степеням z (где z – произвольный параметр) даёт в качестве коэффициентов вероятности значений СВ Х, называется производящей функцией для этой СВ.
Пример 4.
В билетном зале 3 кассы. Вероятность того, что с 12 часов до 13 они работают, соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7. Составьте закон распределения числа работающих касс в течение этого часа, и вычислите числовые характеристики этого распределения.
Решение:
СВ Х – число работающих касс в течение часа – может принимать значения 0, 1, 2, 3.
Вероятности успеха, т.е. того, что каждая из касс работает, по условию равны соответственно р1 = 0,9; р2 = 0,8; р3 = 0,7. Тогда вероятности того, что каждая из касс не будет работать, равны q1 = 0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3.
Распределение СВ Х можно получить через производящую функцию.
= (q1 + p1z)(q2 + p2z)(q3 + p3z) = (0,1 + 0,9z)(0,2 + 0,8z)(0,3 + 0,7z) =
= 0,504z3 + 0,398z2 + 0,092z + 0,006.
Каждый из 4-х полученных коэффициентов при zm (m = 0, 1, 2, 3) в функции выражает соответствующую вероятность P(X=m).
Тогда распределение СВ Х – числа работающих касс – следующее:
|
Число успехов, X=m (xi) |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Вероятности, Рn, m (pi) |
0,006 |
0,092 |
0,398 |
0,504 |
0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1
Найдем числовые характеристики этого распределения:
- Математическое ожидание:
кассы.
Т.е. из трёх касс в билетном зале в течение следующего часа будет работать в среднем 2,4 кассы.
- Дисперсия:
|
Д/з – решить эту задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Д/з – доказать, что формула Бернулли является частным случаем вычисления вероятностей Рn, m более общего способа через ПФ. См.: 2. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – С. 111 – 114. |
4 вопрос. Гипергеометрическое распределение
ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, min(n,M) с вероятностями
,
Вспомните уже знакомую вам схему невозвращённого шара:
N
М N-M
n
m n-m
Если по формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.
|
X=m (xi) |
Вероятности, Р(X=m) (pi) |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
… |
… |
|
m |
|
|
… |
… |
|
n |
|
|
Сумма |
1 |
Функция распределения F(x):
Математическое ожидание
Дисперсия:
- поправка на бесповторность выборки.
Пример 5.
Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 12 человек, из которых 4 женщины, подавших заявление о приёме на работу в крупную фирму. Будут приняты только 5 человек.
Составьте ряд распределения числа женщин, среди лиц, занявших вакантные должности, и постройте его график.
Найдите числовые характеристики этого распределения.
Запишите функцию распределения и постройте её график.
Чему равна вероятность того, что менее 3-х женщин займут предложенные вакансии?
Решение:
СВ Х - число женщин, среди лиц, занявших вакантные должности – принимает значения 0, 1, 2, 3, 4.
Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.
Очевидно, что отбор кандидатов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.
Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – число женщин среди лиц, занявших вакантные должности - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
Изобразим ситуацию на схеме:
12 кандидатов
4 женщины 8 мужчин
5 вакансий
0 5
1 4
2 3
3 2
4 1
Составим ряд распределения.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле:
,
По условию задачи N=12, M=4, n=5, m=0, 1, 2, 3, 4
Занесем полученные результаты в таблицу:
|
Хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Рi |
0,0707 |
0,3535 |
0,4242 |
0,1414 |
0,0101 |
0,0707 + 0,3535 + 0,4242 + 0,1414 + 0,0101 = 0,9999 1.
График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины (полигон распределения вероятностей) изображен на рис 23
Рисунок 23.
Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .
Математическое ожидание определим 2-мя способами:
- как М(Х) ДСВ
- как М(Х) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону
женщин
Итак, среди случайно выбранных 5-х кандидатов можно ожидать появление в среднем 1,6667 женщин (точнее, менее двух).
Дисперсию определим:
- как D(X) ДСВ
- как D(X) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону
Среднее квадратическое отклонение
Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:
Рассчитаем значения F(х):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
|
Х |
x 0 |
0 < x 1 |
1 < x 2 |
2 < x 3 |
3 < x 4 |
x > 4 |
|
F(x) |
0 |
0,0707 |
0,4242 |
0,8484 |
0,9898 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 24).
Рисунок 24. Функция распределения вероятностей.
Определим вероятность того, что среди 5-х отобранных кандидатов на должности окажется меньше трёхх женщин. «Меньше трёх» - это «или ноль, или одна, или две».
Можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:
P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,0707 + 0,3535 + 0,4242 = 0,8484.
В таблицах приводятся вероятности Р(Х=m) (в таблицах p(x)) при различных значениях N, M (в таблицах k), m (в таблицах х) и n. Так же приводятся значения накопленных вероятностей гипергеометрического распределения (в таблицах P(x)), т.е. табулированы значения интегральной функции (функции распределения)
Ниже приведён отрывок из Приложения 8 (Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005).
В таблице подчёркнуты вероятности, имеющие отношение к нашему примеру.
Значения функций N
и P(x, N, n, k)=p(i, N, n, k) k n N-k
x n-x
|
n |
k |
x |
P(x) |
p(x) |
|
N=12 |
||||
|
5 |
1 |
0 |
0,5833 |
0,5833 |
|
5 |
1 |
1 |
1,0000 |
0,4167 |
|
5 |
2 |
0 |
0,3182 |
0,3182 |
|
5 |
2 |
1 |
0,8485 |
0,5303 |
|
5 |
2 |
2 |
1,0000 |
0,1515 |
|
5 |
3 |
0 |
0,1591 |
0,1591 |
|
5 |
3 |
1 |
0,6364 |
0,4773 |
|
5 |
3 |
2 |
0,9545 |
0,3182 |
|
5 |
3 |
3 |
1,0000 |
0,0455 |
|
5 |
4 |
0 |
0,0707 |
0,0707 |
|
5 |
4 |
1 |
0,4242 |
0,3535 |
|
5 |
4 |
2 |
0,8485 |
0,4242 |
|
5 |
4 |
3 |
0,9899 |
0,1414 |
|
5 |
4 |
4 |
1,0000 |
0,0101 |
|
5 |
5 |
0 |
0,0265 |
0,0265 |
|
5 |
5 |
1 |
0,2475 |
0,2210 |
|
5 |
5 |
2 |
0,6894 |
0,4419 |
|
5 |
5 |
3 |
0,9545 |
0,2651 |
|
5 |
5 |
4 |
0,9987 |
0,0442 |
|
5 |
5 |
5 |
1,0000 |
0,0013 |
Использование EXCEL для вычисления гипергеометрических вероятностей.
Удобно рассчитывать гипергеометрические вероятности с помощью встроенной в EXCEL функции ГИПЕРГЕОМЕТ со следующими характеристиками:
ГИПЕРГЕОМЕТ (пример_s; размер_выборки; ген_совокупность_s; размер_ген_совокупности), где
пример_s – количество успешных испытаний в выборке m;
размер_выборки – разиер выборки n;
ген_совокупность_s – количество успешных испытаний в генеральной совокупности M;
размер_ген_совокупности – размер генеральной совокупности N.
Например, на рисунке 25 показана функция ГИПЕРГЕОМЕТ для вычисления вероятности того, что среди отобранных 5-ти человек на вакантные должности не будет ни одной женщины, т.е. Х=0. В ячейке А1 содержится формула =ГИПЕРГЕОМЕТ(0;5;4;12) с результатом 0,070707071
Рисунок 25.
На рисунках 26 – 29 показаны функции ГИПЕРГЕОМЕТ для вычисления вероятностей того, что среди 5-ти человек будут ровно 1 (рис. 26), 2 (рис. 27), 3 (рис. 28) и 4 (рис. 29) женщины.
Рисунок 26.
Рисунок 27.
Рисунок 28.
Рисунок 29.
1. Вообще при достаточно большой величине N () и малом объёме выборки n (когда ) можно показать, что функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биномиального закона .
5 вопрос. Равномерное распределение.
НСВ имеет равномерное распределение вероятностей в промежутке [a; b], если в этом промежутке плотность распределения СВ постоянна, а вне его равна 0, т.е.
Функция распределения
Графики f(x) и F(x):
|
f(x) c 0 a b x |
F(x) 1 0 a b x |
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
6 вопрос. Нормальное распределение
НСВ X имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятностей f(x) имеет вид:
М(х)=а
D(х) = σ2
4° Функция f(x) имеет в точке х=а максимум, равный
5° График функции f(x) симметричен относительно прямой х=а:
|
f(x) а х |
6° Нормальная кривая в точках имеет перегиб. Координаты точек перегиба:
|
f(x)
а - σ а а + σ х |
Влияние параметров а и а на форму нормальной кривой:
σ3 > σ2 > σ1: ; σ1 = 1; σ2 = 2; σ3 =3
Нормированная кривая нормального распределения φ0(x)
Если в выражение, которым задается f(x) подставить а=0 и σ=1, то вместо имеем:
График функции φо(х) и ее свойства:
|
φо(х) 0,3989 0 х |
1° φ0 (- х)= φо (х).
2° При х→ ± ∞ значение функции стремится к нулю.
3° При всех |Х|>5 можно считать, что функция φо(х)=0.
4° При х=0 функция φо (х) принимает максимальное значение, равное 0,3989.
5° Функция φ0(х) табулирована.
Интегральная функция нормального распределения FH(x)
Если СВ Х N(а; σ), то FH(x) определяется несобственным интегралом вида:
График этой функции имеет вид:
FH(x)
1
0,5
а х
Функция Лапласа (интеграл вероятности) Фо(х)
1° Ф0(-х)= - Фо(х).
2° При х=0 функция принимает нулевое значение.
3° Максимальное значение функции Фо(х) стремится к 0,5, а минимальное к –0,5.
4° Функция Фо(х) табулирована.
Взаимосвязь Fh(х) и Ф0(х):
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
P(α<XH<β)=FH(β)-FH(α)
P(α<XH<β)=0,5+Ф0-0,5-Ф0 = Ф0 - Ф0
Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания
δ=tσ
P(|Хн -а|< tδ)≈2Ф0 (t)
t = 1 → Р(|ХН - а| <σ) ≈2Ф0(1) ≈ 0,6827
При t = 2 → P(|ХН - а| < 2σ) ≈ 2Ф0(2) ≈0,9545
t = 3 → P(|XH - а|) < 3σ) ≈2Ф0(3) ≈ 0,9973
С вероятностью близкой к единице (равной 2Ф0(3) ≈ 0,9973) нормально распределенная СВ Х удовлетворяет неравенству: а - 3σ < XH < а + 3σ