Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Криволинейное движение
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Мгновенным ускорением (или просто ускорением) a⃗ тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости. Направление вектора ускорения a⃗ в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости.
Часто оказывается удобным представлять ускорение a⃗ в виде суммы двух ускорений, одно из которых направленно вдоль вектора мгновенной скорости a⃗ τ, а второе по нормали к ней к центру кривизны траектории a⃗ n. Эти ускорения получили соответствующие названия: a⃗ τ -тангенциальное или касательное ускорение и a⃗ n нормальное или центростремительное.
Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
Движение по криволинейной траектории можно представить как совокупность движений по дугам окружностей, поэтому движение по окружности – принципиально важный тип криволинейного движения, изучив который, мы получаем возможность анализировать движение и по более сложным траекториям.
Основные характеристики движения по окружности:
Для равномерного движения по окружности V=const, a⃗ τ=0 вводятся дополнительно величины:
3. Период T – время одного оборота. [T]= с. Может быть рассчитан по формуле T=tN , где N – число оборотов, а t – время совершения этих оборотов.
4. Частота n или ν – число оборотов за единицу времени. [n]=c−1=Гц n=Nt=1T. Существует связь между радиусом, скоростью и периодом T=2πRV
Так как вектор скорости изменяется даже при равномерном движении по окружности, то всегда существует нормальное ускорение. Оно равно an=V2R.
5. Положение тела при движении по окружности удобнее описывать не в декартовых координатах, а с помощью радиуса и угла поворота φ относительно некоторого начального положения. Чтобы охарактеризовать быстроту изменения угловой координаты вводится угловая скорость ω=ΔφΔt=VR [ω]= рад/с, тогда an=ω2R
Задача 0
Из одной точки
Задача 1
Тело движется по окружности с постоянной скоростью 10 м/с. Определить изменение скорости тела за три четверти периода, полпериода и период.
Задача 2
С какой скоростью должен лететь спутник, чтобы всё время падая с g, двигаться по окружности? Радиус Земли 6400 км.
Задача 3
Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки, если ведро с глубины 10 м поднимается за 20 с?
Задача 4
В момент времени, когда скорость частицы равна 106 м/с, ее ускорение составляет 104 м/с2 и направлено под углом 30о к скорости. На сколько увеличится скорость за 10-2 с? На какой угол изменится направление скорости? Какова в этот момент угловая скорость вращения вектора скорости?
Задача 5
Точка начинает двигаться по окружности радиуса R с тангенциальным ускорением a. Как зависит от времени угол между векторами скорости и полного ускорения?
Задача 6
По вертикальной цилиндрической проволочной спирали с постоянной скоростью V соскальзывает бусинка. Определить ускорение бусинки, если радиус витков спирали равен R, а шаг спирали h.
Задача 7
Точка движется по окружности радиуса R с постоянным по модулю ускорением a. Какой путь пройдёт точка к моменту достижения максимальной скорости, если начальная скорость равна нулю?
Задача 8
Лошадь равномерно движется по окружности радиусом R. На расстояние r от центра окружности стоит человек. Найти максимальную скорость приближения лошади к человеку.
Задача 9
Вагон А движется по закруглению радиусом ОА = R, а вагон В — прямолинейно. Расстояние АВ также равно R, а скорость каждого вагона равна V. Найдите скорость вагона A относительно вагона B и скорость вагона B относительно вагона А в начальный момент времени.
Задачи
1. Длинный год
30.77 баллa
Направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением ее вращения вокруг Солнца. Каким было бы число дней в году N2, если бы Земля вращалась вокруг Солнца в противоположном направлении? Ответ дать в сутках. Считать, что сейчас год длиться ровно N1=365 дней.
Решение
Пусть центр Земли вращается с периодом T вокруг Солнца (T=1 год). Рассмотрим точку A на экваторе Земли, которая в свою очередь вращается вокруг земной оси с угловой скоростью ω. Назовем земными сутками интервал времени между двумя последовательными положениями Солнца, например, в зените. Если направления вращения совпадают, то за сутки точке А надо совершить полный оборот на 2π и небольшой дополнительный поворот на угол на который сместилась Земля относительно
Солнца 2πN1. В этом случае длительность суток будет TN1=2π−2πN1ω. Аналогично в случае вращения в противоположную сторону точке A надо будет совершать за сутки (другой длительности, более короткие) поворот на угол меньший чем 2π. TN2=2π+2πN2ω. Если разделим одно уравнение на другое, получим N2−N1=2, т.е. число дней в «длинном» году станет 367.
2. Крутится диск
15.38 баллa
Скорость точки A вращающегося диска равна V1=50 см/с, а скорость точки B, находящейся на L=10 см ближе к оси диска, равна V2=40 см/с. Определите период вращения диска. Ответ дать в секундах. Округлить до сотых.
Решение
Обозначим расстояние от оси до точки B за x. Тогда можно записать линейные скорости точек через угловую скорость и радиусы. V1=ω(L+x) и V2=ωx. Вычитая, получим ωL=V1−V2. С учетом T=2πω, окончательно
T=2πL(V1−V2)=6.28c
3. Боевой разворот
15.38 баллa
Три самолета выполняют разворот в горизонтальной плоскости, двигаясь равномерно по концентрическим окружностям на расстоянии s=60 м друг от друга. Ближайший к центру виража самолет движется по окружности R=600 м. Средний самолет движется со скоростью V=343 км/ч. Найти ускорение самолета, летящего по внешней траектории. Ответ дать в м/с2.
Решение
Угловая скорость среднего самолета равна ω=V2R+s. Но угловая скорость всех самолетов одинакова. Ускорение внешнего самолета можно найти через угловую скорость и радиус его траектории a=ω2(R+2s)=V2(R+2s)(R+s)2=15 м/c2
4. Относительный шар
23.08 баллa
Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси со скоростью ω=3 рад∗с−1. Шар А катится в направлении АО со скоростью V=7 м/с. Расстояние АО равно L=8 м (в данный момент). Найти скорость шара относительно платформы.
Решение
Будем искать абсолютную скорость шара в системе отсчета диска. Переносная скорость земной системы отсчета в том месте где сейчас находится шар Vпер=ωL=24 м/с. Скорость V – относительная скорость и направлена перпендикулярно переносной. По закону сложения скоростей, с учетом теоремы Пифагора имеем U=V2+ω2L2−−−−−−−−−√=25 м/с
5. Вентилятор
15.38 баллa
Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте υ0=900 об/мин. После выключения вентилятор вращается равнозамедленно, сделал до остановки N=75 оборотов. Сколько времени t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки? Ответ дать в секундах.
Найдем среднюю частоту вращения. С одной стороны νср=Nt.Но с другой νср=νначальная+νконечная2=ν02 = , так как движение равнозамедленное, а частота линейно связана с линейной скоростью!
t=2Nν0=10 c