по теме Предел последовательности Числовая последовательность
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Вопросы к коллоквиуму №2 по теме
«Предел последовательности»
- Числовая последовательность. Способы задания, примеры.
- Определение предела числовой последовательности, его геометрический смысл. Сходящаяся и расходящаяся последовательности. Примеры.
- Теорема о связи сходимости и ограниченности последовательности.
- Теорема о единственности предела последовательности.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой.
- Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную.
- Алгебраические действия над пределами последовательностей (сумма, разность, произведение, частное).
- Предельный переход в неравенстве.
- Теорема о сжатой переменной.
- Теорема о сходимости монотонно возрастающей (убывающей) последовательности.
- Число е как замечательный предел .
Контрольные вопросы и задания к коллоквиуму по теме
«Предел последовательности»
1. Каждое из утверждений запишите в предельной форме:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
2. Запишите с помощью кванторов следующие высказывания:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
3. Дана последовательность . Известно, что для любого существует номер n0 такой, что для номеров n>n0 выполняется неравенство . Cледует ли из этого, что ?
4. Приведите примеры последовательностей, сходящихся к числу 2 и при этом:
1) возрастающих; 2) убывающих; 3) немонотонных.
5. Укажите истинные утверждения:
- если последовательность монотонно убывает и ограничена, то она имеет предел;
- если последовательность не монотонна, то она не имеет предела;
- если последовательность не имеет предела, то она не монотонна и не ограничена;
- если последовательность сходится, то она ограничена;
- если последовательность имеет предел, то она монотонна и ограничена;
- если последовательность не ограничена, то она расходится.
6. Приведите примеры последовательностей, обладающих набором свойств:
- ограничена, сходится, монотонна;
- ограничена, сходится, немонотонна;
- ограничена, расходится, немонотонна;
- не ограничена, расходится, монотонна;
- не ограничена, расходится, немонотонна.
7. Укажите набор свойств, которыми не может обладать ни одна последовательность:
- ограничена, сходится, монотонна;
- не ограничена, сходится, монотонна;
- не ограничена, расходится, монотонна;
- ограничена, расходится, монотонна.
Ответ обоснуйте.
- Последовательность имеет предел, а последовательность не имеет предела. Могут ли иметь пределы последовательности и ? Приведите примеры.
- Приведите примеры, когда последовательности и не имеют предела, а последовательности ( ) имеют предел.
- Пусть , а последовательность - произвольная. Следует ли отсюда, что ? Приведите примеры.
- Докажите различными способами следующие утверждения:
- Последовательность – бесконечно малая.
- Последовательность – убывающая.
- Число 2 есть точная верхняя граница последовательности .
- Последовательность – бесконечно малая, а последовательность - бесконечно большая.
- Укажите ошибку в следующих рассуждениях и приведите правильное решение:
- .
- .
- .
- .