Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №3.
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Постановка задачи. Задано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0. Решением уравнения является значение x*, такое, что f(x*)=0. Решить уравнение приближенным (итерационным) методом значит построить последовательность {xn} (n номер итерации, т.е. приближения к решению), сходящуюся к точному решению уравнения: Итерационный метод задается рекуррентной формулой, позволяющей определить последующее приближение по известным предыдущим. Итерационный процесс заканчивается, когда f(xn)<; или |xn-x*|<e, где точность метода, некоторое наперед заданное число. Перед тем, как начать решение уравнения итерационным методом, необходимо исследовать уравнение на наличие корней и для каждого из корней найти свой интервал изоляции [a,b], содержащего единственный корень уравнения. Условием того, что на отрезке [a,b] существует корень уравнения является f(a)f(b)<0.
Описание методов решения. Для исследования уравнения используют следующие методы: аналитический, графический и табличный. В настоящей работе функцию будем исследовать с помощью табличного и графического способа. После того, как интервалы изоляции построены, можно решить уравнение с помощью приведенных ниже методов.
1) Метод деления отрезка пополам. Определяем середину отрезка [a,b]: и проверяем, какому из двух отрезков (a,c) или (c,b) принадлежит искомый корень, т.е. проверяем: f(a) f(c)<0 либо f(c) f(b)<0. Концы нового отрезка, которому принадлежит корень, обозначаем a, b и повторяем процедуру до тех пор, пока не будет достигнуто условие сходимости итерационного процесса: |b-a|<e.
2) Метод Ньютона. Выберем начальное приближение x0[a,b]. Следующие итерации определяются по формуле .
3) Метод секущих. Выберем начальное приближение x0[a,b] и найдем x1 по одному из описанных выше методов. Можно также положить: x0=a, x1=b. Если две предыдущие итерации известны, cследующую находим по формуле.
4) Метод простой итерации. Приведем исходное уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации: x = (x), где, например, (x) = x f(x). Параметр подберем таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости метода: (x)<1 для всех x[a,b]. Выберем начальное приближение x0[a,b]. Следующие итерации находим по формуле: xk+1=(xk).
Формулировка задания.
|
№ |
Интервал изоляции |
Значение корня |
|
№ |
Интервал изоляции |
Значение корня |
Количество итераций |
Для какого-либо одного корня проследить изменение количества итераций, необходимых для решения уравнения с заданной точностью для = 0.01, = 0.001, = 0.0001. Результаты занести в Таблицу 3:
|
№ |
Точность |
Значение корня |
Количество итераций |
Варианты заданий.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|