Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Воронежская государственная технологическая академия
Кафедра информационных и управляющих систем
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
по курсу: Вычислительная математика. Численные методы
наименование дисциплины
на тему: «Интерполирование степенными многочленами»
Автор работы Свиридов Д.А. группа А – 062
подпись, дата инициалы, фамилия
Специальность 220301 « Автоматизация технологических процессов и производств »
наименование
Обозначение проекта (работы): ЛР – 02068108 – 220301 – 3 – 2008
Руководитель И.А. Хаустов
подпись, дата инициалы, фамилия
Работа защищена
дата оценка
Воронеж 2008
Цель работы: освоение приёмов и методов интерполирования табличных зависимостей степенными многочленами на ЭВМ.
Задание №1
1. Постановка задачи
Методом неопределенных коэффициентов осуществить интерполирование значений градуировочной таблицы, в которой отражена зависимость сопротивления от температуры (пункт 4.7, табл. 4). Для интерполирования использовать степенной полином. Метод решения системы линейных уравнений выбрать в соответствии с вариантом. Составить алгоритм и программу расчета коэффициентов интерполяционной зависимости. Определить значение сопротивления при заданной температуре.
|
Табличные зависимости |
Контрольная температура |
Метод решения системы линейных уравнений |
|||
|
i |
1 |
2 |
3 |
||
|
ti,ºC |
5 |
25 |
45 |
26 |
Крамера |
|
Ri,Oм |
100 |
105 |
111 |
2. Математическая модель
2.1. Исходные данные
ti,ºС – табличное значение i-ой температуры;
Ri,Ом – сопротивление, соответствующее i-ой температуре;
C – матрица коэффициентов, стоящих при неизвестных
в системе линейных уравнений;
С0, С1, С2 – матрицы коэффициентов, полученные из матрицы С
путём замены 1-го, 2-го и 3-го столбцов на вектор
соответственно;
m = 3 – количество данных;
a0, a1, a2 – неопределённые коэффициенты степенного многочлена
2-го порядка
tк = 26оС – контрольная температура;
Rк – искомое сопротивление, соответствующее контрольной
температуре.
2.2. Расчетные зависимости
При интерполировании многочленами число определяемых коэффициентов должно быть равно числу экспериментальных точек. Так как количество экспериментальных точек m=3, то и число определяемых коэффициентов равно 3. Порядок интерполяционного многочлена n = m-1, таким образом n = 2. Получаем систему уравнений относительно коэффициентов а0, а1 и а2:
Полученная система имеет единственное решение, поскольку определитель матрицы коэффициентов (определитель Вандермонда) отличен от «0».
Данную систему уравнений запишем в векторно-матричной форме:
или
Сформируем четыре матрицы: С, С0, С1, С2:
Осуществляем расчёт определителей матриц С, С0, С1 и С2, согласно правилу миноров:
ΔС = С11·(-1)1+1· (С22·С33 – С32·С23)+С12·(-1)1+2·(С21·С33 – С31·С23)+С13·(-1)1+3· (С21·С32 – С31·С22);
ΔС0 = С011·(-1)1+1· (С022·С033 – С032·С023)+С012·(-1)1+2 ·(С021·С033 – С031·С023)+
+С013·(-1)1+3· (С021·С032 – С031·С022);
ΔС1 = С111·(-1)1+1· (С122·С133 – С132·С123)+С112·(-1)1+2 (С121·С133 – С131·С123)+
+С113·(-1)1+3· (С121·С132 – С131·С122);
ΔС2 = С211·(-1)1+1· (С222·С233 – С232·С223)+С212·(-1)1+2·(С221·С233 – С231·С223)+
+С213·(-1)1+3· (С221·С232 – С231·С222).
Далее рассчитываем коэффициенты a0, a1 и a2:
.
Теперь, используя данные коэффициенты, получаем функцию R(t) = a0 + a1·x1 + a2·x2, подставляя в которую значение контрольной температуры tk мы получим искомое сопротивление Rk.
3. Выбор метода решения
Использование степенных многочленов является наиболее простым и удобным для решения не сложных инженерных задач, связанных с нахождением математических зависимостей, описывающих процесс на основании экспериментальных данных. Для решения системы линейных уравнений чаще всего используют методы Крамера, Гаусса, обращения матриц и д.р.
Решение данной задачи осуществляется с помощью линейного вычислительного процесса, и здесь я использую метод Крамера.
4. Алгоритм решения
5. Решение задачи в MathCAD
6. Результаты расчётов
Задание №2
1. Постановка задачи
Осуществить интерполирование табличной зависимости плотности жидкости от температуры (пункт 4.7, табл. 5).Для интерполирования использовать интерполяционный полином Лагранжа или интерполяционные формулы Ньютона (в соответствии с выбранным вариантом). Составить алгоритм и программу расчёта коэффициентов степенного полинома, используя формулы Лагранжа или Ньютона. Определить плотность жидкости при заданной температуре.
|
Вещество |
Табличные зависимости |
Заданная температура |
Метод интерполирования |
||||
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
|
Сероуглерод |
ti, ºC |
-20 |
20 |
60 |
100 |
53 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
|
ρ, кг/м3 |
1323 |
1263 |
1200 |
1125 |
2. Математическая модель
2.1 Исходные данные
ti,ºС – табличное значение i-ой температуры;
ρi, кг/м3 – плотность сероуглерода, соответствующая i-ой
температуре;
a0, a1, a2, а3 – неопределённые коэффициенты степенного многочлена
3-го порядка;
h, ºC – шаг интерполирования;
m = 4 – количество данных;
, , – конечные разности 1-го, 2-го и 3-го порядков
соответственно при вычислении коэффициентов в
интерполяционном многочлене Ньютона;
tз = 26оС – заданная температура;
ρк – искомая плотность, соответствующая заданной
температуре.
2.2. Расчётные зависимости
Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).
h = ti+1 – ti
Количество экспериментальных точек m = 4. Таким образом, порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n = 3.
Формула для n = 3 будет выглядеть следующим образом:
Вычислим конечные разности , , 1-го, 2-го и 3-го порядков соответственно:
При вычисленных значениях ,, и h мы можем определить конечный вид . А при известной , подставляя значение заданной температуры tk, находим искомую плотность, соответствующую заданной температуре: .
3. Выбор метода решения
4. Алгоритм решения
5. Решение задачи в MathCAD
2. Задаём начальные значения экспериментальных массивов согласно таблице 2:
таблица 1
3. Задаём значение заданной температуры, в которой надо найти значение
искомой функции:
4. Строим график экспериментальных значений (рис. 2).
рис. 2
5. Так как имеем четыре экспериментальные точки, в качестве интерполирующей
зависимости выберем степенной многочлен третьего порядка.
Вторая интерполяционная формула Ньютона для n=3 примет вид:
6. Вычислим конечные разности и шаг интерполирования, а затем определим
неизвестные неопределённые коэффициенты степенного многочлена.
6. Результаты расчётов
EMBED Equation.3
i = 1,
i ≤ 3,
i =i++
2
4
3
ti, Ri
ti,Ri
1
Начало
7
i
5
6
tк
EMBED Equation.3
7
9
11
12
Конец
Rк
а0, а1, а2
8
10
EMBED Equation.3
tк
7
7
4
i = 1,
i ≤ 4,
i =i++
2
На стр.9
3
ti, ρi
6
1
Начало
9
11
12
Конец
ρк
а0, а1, а2, а3
8
10
EMBED Equation.3
tз
i
5
6
tз
5
4
ti, ρi
EMBED Equation.3
Со стр.8
6