Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Подстановкой из n чисел называется функция f которая определяет взаимно однозначное множество на себя.
Если в таблице, задающей подстановку переставить столбцы, то новая таблица задает ту же подстановку.
Четностью подстановки называется четность суммы числа инверсий в верхней и нижней строках таблицы, задающей подстановку.
Предложение: все таблицы, определяющие одну и ту же подстановку, имеют одинаковые четности.
При перестановке столбцов происходит изменение четности в верхней и нижней строках, сумма четности не меняется.
Перестановкой из n чисел называется запись этих чисел в произвольном порядке.
Две перестановки считаются равными, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.
Пары чисел из перестановки аi ak образуют инверсию, если при i<k , аi > ak.
Число пар перестановки, образующих инверсию называется числом инверсий перестановки. (Всего Сn2 перестановок)
Замена местами двух элементов перестановки называется транспозицией.
Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четное.
Любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную. Док-во: Предположим, что меняются местами 2 рядом стоящих числа. Если 2 числа образовывали инверсию в первой, то образуют и во второй перестановке.
Число инверсий в обеих перестановках различается на единицу. Перестановки имеют различные четности.
Определителем квадратной матрицы называется число |A|=det(A)=Σ±A[1|i1]A[2|i2]..A[n|in] Каждое слагаемое в формуле содержит представителя каждой строки и каждого столбца.
Свойства определителя n-ого порядка.
1.|A|=|AT| При транспонировании матрицы, определитель не меняется.
Пусть B=AT → B[i|j]=A[j|i] |B|=Σ± B[1|i1]..B[n|in]= Σ±A[i1|1]..A[in|n]→|B|=|A|
2.Если какая-то строка матрицы состоит из 0,то определитель =0. A[k|*]=0→|A|=0. Каждое слагаемое содержит элемент k-ой строки, поэтому все произведение=0.
3. A[k|*]→cA[k|*] = |A|→c|A|
4.Если в матрице поменять местами 2 строки, то определитель матрицы поменяет знак.
B[i|*]=A[i|*],i≠k,i≠j. B[k|*]=A[j|*] B[j|*]=A[k|*]
|B|=Σ± B[1|i1]..B[k|ik]..B[j|ij]..B[n|in]=Σ±A[1|i1]..A[j|ik]..A[k|ij]..A[n|in]= -Σ±A[1|i1]..A[j|ik].. A[k|ij]..A[n|in]= -|A|
5.Если в матрице есть 2 одинаковые строки, то ее определитель равен 0.
Поменяем местами равные строки |A|= -|A|→|A|=0
6. A[i|*]=A′[i|*]+A′′[i|*]. |A|= Σ±A[1|j1]..A[i|ji]..A[n|jn]= Σ±A[1|j1]..(A′[i|ii]+A′′[i|ii])..A[n|jn]= Σ±A[1|j1]..A′[i|ji]..A[n|jn]+ Σ±A[1|j1]..A′′[i|ji]..A[n|jn]
7.Если какая-то строка матрицы есть линейная комбинация остальных, то определитель=0. A[n|*]=ΣbkA[k|*]
8.Если к какой-то строке матрицы прибавить линейную комбинацию остальных, то определитель не меняется. A[n|*]→ A[n|*]+ΣbkA[k|*]
Определитель треугольной матрицы. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали нулевые. |A|=Σ±a1i1∙a2i2..anin=Σ±a1i1..an-1in-1∙ann=Σ±a1i1..an-1n-1∙ann=a11∙a22..ann Определитель = произведению диагональных элементов.
Разложение определителя по строке. Теорема: для любой кв.матрицы справедливы формулы: |A|=ΣiA[i|j]Aij= ΣjA[i|j]Aij
Рассмотрим частный случай 1.(в последнее строке все столбцы нулевые кроме последнего)|A|= Σ±a1i1∙a2i2..anin=Σ±a1i1..an-1in-1∙ann= ann Σ±a1i1..an-1in-1= ann|A(n|n)|= annA(n|n)
2.(из матрицы A iый столбец перенесли в конец, получили матрицу B) |B|=aniBnn
|B|=(-1)n-i|A|=ani|A(n|i)| |A|= aniAni. (ani,an2..ann)=( ani,0..0)+(0,an2..0)+..(0,0..ann) |A|=ΣankAnk
1 1 … 1 Вычитая первый столбец из всех последующих получаем
Δ(x1,x2,…,xn)= x1 x2 … xn первую строку равную 1 0…0 все последущии х1п-1 …хпп-1-х1п-1
x1n-1 x2n-1… xnn-1 далее разложение по 1-ой строке после вычитаем из каждой строки предыдущую строку умноженную на x1 далеемы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца равный (x2-x1) общий множитель второго столбца x3-x1 и т.д.в рез-те получим Δ(x1,x2… xn)=(x2-x)(x3-x1)…(xn-x1)Δ(x2,x3…xn) со стоящим в правой части определителем поступим так же ,продолжая такие рассуждения далее окончательно получим исходный определитель det(A)=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xn-1) Определитель Вандермонта.
Обратная матрица Определение: Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если .
Из определения следует, что обратная матрица A будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Предложение Если матрица имеет обратную, то и .
Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей , то . , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .
Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .
Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда
и
Следовательно, .
Правило Крамера.
Пусть матричное уравнение AX = B
которое описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой
где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:
Доказательство теоремы разобъем на три части:
Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:
Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.
Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).
Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы
на столбец B.
Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:
Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,
Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения
влекут за собой матричное уравнение (1).
Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:
Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:
Согласно Лемме
|
|
где – дельта символ Кронекера.
Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:
Комплексные числа: Идея – определение новых объектов с помощью известных. Вещественные числа расположены на прямой. При переходе на плоскость получаем комплексные числа. Определение: Комплексным числом называется пара вещественных чисел z = (a,b). Число a = Re z называется вещественной частью, а b = Im z мнимой частью комплексного числа z .
Операции над комплексными числами: Комплексные числа z1 z2 равны Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Сложение: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. Число (0,0) обозначается через 0. Это нейтральный элемент. Проверяется, что сложение комплексных чисел обладает свойствами аналогичными свойствам сложения вещественных чисел. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – коммутативность; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – ассоциативность; 3. Z1 + 0 = z1 - существование нуля (нейтрального элемента) ;4. z + (−z) = 0 - существование противоположного элемента). Умножение: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Комплексное число z лежит на вещественной оси, если Imz = 0 . Результаты операций над такими числами совпадают с результатами операций над обычными вещественными числами. Умножение комплексных чисел обладает свойствами замкнутости, коммутативности и ассоциативности. Число (1,0) обозначается через 1. Оно является нейтральным элементом по умножению.Если a∈ R, z ∈C , то Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Определение Число (0,1) обозначается через i и называется мнимой единицей. В этих обозначениях получаем запись комплексного числа в алгебраической форме: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1. (a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a2+b2>0 (a+ib)(a-ib/a2+b2)=1.Число называется сопряженным к z, если Re =Re z ; Im =- Im z.
=+ ; = ; z=(a+ib)(a-ib)=a2+b2 Модулем числа z называется вещественное число | z |= . Справедлива формула | z|2 = z Из определения следует, что z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z-1=/|z|2 (1)
Тригонометрическая форма комплексного числа: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t)) (2) t-аргумент комплексного числа. Z1=z2 =>|z1|=|z2|
arg(z1)-arg(z2)=2пk.
Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)(1)
|z1z2|=|z1||z2|
Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)
Z!=0 z-1=/|z|2=1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))
=r(cos(t)-isin(t))
Определение: Корнем степени n из единицы называются решения уравнения zn=1Предложение . Имеется n различных корней степени n из единицы. Они записываются в виде z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 .Теорема. В множестве комплексных чисел уравнение всегда имеет n решений.Z=r(cos(t)+isin(t)); zn=rn(cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>zn=1 .Z-целые числа. K пренадлежит Z. k=2=E2=En-1En; En=1; En+p=Ep. Таким образом доказано, что решениями уравнения являются вершины правильного n-угольника, причем одна из вершин совпадает с 1.
Корень n-ой степени из z0. Zk=Z0; Z0=0=>Z=0; Z 0!=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z0=r0(cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Zn=rn(cos(nt)+isin(nt))
rn=r0, nt-t0=2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z=(cos(( 2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)=(cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n))=Z 1 Ek ; z=z1Ek; Z1n=z0, k=0, n=1
Матрицы. Определение :Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, элементы которой являются вещественными или комплексными числами. Элементы матрицы имеют двойные индексы.
Если m = n , то это квадратная матрица порядка m , а элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.
Операции над матрицами: Определение: Две матрицы A,B называются
равными, если их размеры совпадают и A[i | j] = B[i | j],1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n
Сложение. Рассматриваются матрицы одного размера. Определение:C = A + B ⇔ C[i | j] = A[i | j] + B[i | j], ∀i, j Предложение . Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, существует нейтральный элемент и для каждой матрицы существует противоположный элемент.
Нейтральным элементом является нулевая матрица, все элементы которой равны 0. Она обозначается через Θ.
Умножение. Матрица A размера m × n обозначается через Amn. Определение: Сmk=AmnBnk
C[i/j]= Заметим, что в общем случае умножение не является коммутативным. Замкнутость справедлива для квадратной матрицы фиксированного размера. Пусть даны три матрицы Amn , Bnk , Ckr . Тогда (AB)C = A(BC). Если произведение 3 матриц существует, то оно является ассоциативным.
Символ Кронекера δij . Он равен 1, если индексы совпадают, и 0 иначе. Определение. Единичной матрицей In называется квадратная матрица порядка n , для которой выполнены равенства n In[ i | j] = δij Предложение. Справедливы равенства ImAmn=AmnIn=Amn
Сложение и умножение матриц связанно законами дистрибутивности. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)[i|j]===+
Транспонирование матрицы. Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы.
(A+B)Т=АТ+ВТ
(АВ)Т=ВТАТ;(AB)Т[i|j]=(AB)[j|i]= =(ВТАТ)[i|j]
Умножение матрицы на число. Произведение числа а на матрицу A mn называется новая матрица B[i|j]=aA[i|j]
1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;
A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)
Линейным пространством (L) над полем F называется множество векторов L={α,β..}
1.α+β=β+α(коммутативность) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(ассоциативность) 3.α+θ=α, α∙1=α(существование нейтрального) 4.α+(-α)=θ (существование противоположного)
a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Док-во {|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a и b>0, |a+b|=a+b,|a|=a,|b|=b.} aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα
Примером линейного пространства является множество матриц фиксированного размера с операциями сложения и умножения на число.
Система линейных векторов называется линейно зависимой, если 1.a1,a2..an≠0 2. a1α1,a2α2..anαn=θ Если система не является линейно зависимой, то она линейно независима. Рассмотрим 1. n=1 α1 завис. a1≠0, a1α1=θ, a1-1(a1α1)= a1-1∙θ=θ, (a1-1a1)α1=1∙α1=α1; 2. n=2 α1,α2 завис. a1≠0 ,a1α1+a2α2=θ ,α1= -a1-1a2α2=b2α2; 3.n≥2 α1..αn завис. a1≠0, α1=Σk=2nbkαk, 1α1- Σk=2nbkαk=θ, (1,b2..bn)≠0
Предложение: Система векторов, содержащая более чем 1 вектор линейно зависима ттогда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных.
Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Док-во: {α1..αn завис. Система: α1..αn;αn+1..αm, a1α1+..+anαn+0αn+1+..+0αm=θ, a1..an,0..0≠0.} Если система содержит нул.вектор, то она линейно зависима. Теорема о линейных пространствах: {Пусть даны 2 системы векторов α1..αm , β1..βn. Система векторов α выражается через β, если каждый вектор α есть линейная комбинация β αi= Σk=1naikβk , (α) { (β), (β) { (γ)→ (α) { (γ)} Теорема: Даны 2 системы векторов, при этом α независимая и , (α) { (β)→m≤n Докажем, α1..αm+1 β1..βm (α) { (β)→(α)завис. {Докажем методом индукции. m=1 : α1=a11β1, α2=a21β1. a11=0→ α1=θ. a11α2 – a21α1 = a11a21β1- a21a11β1=θ. α1= a11β1 +.. a1n-1βn-1 .. αn= an1β1 +.. ann-1βn-1 Если все коэффициенты =0 a11=a12=..=a1n-1=0→ α1=θ→ вся система линейно зависима. a1n-1≠0 α2′= α2 –с2α1=b21β1+..+b2n-2βn-2 , c2=a2n-1/ a1n-1 , α3′= α3 –с3α1.. αn′= αn –сnα1. По пред. индукции сущ-ет ненулевой набор чисел d2..dn: d2α2′+d3α3′+.. dnαn′=θ , d2(α2–с2α1)+d3(α3 –с3α1)+.. dn(αn –сnα1)=θ , (α) { (β), m>n →(α)завис. если (α) независ. →m≤n}
МЛНП-макс.лин.незвавис.подсистемы. Пусть дана система векторов α1..αn некоторой подсис. αi1..αin называется МЛНП, если 1. α1..αn независ.2. αi1..αir,αij завис. Каждый вектор системы есть линейная комбинация векторов МЛНП. { αi1..αir,αij завис. ai1αi1+.. airαir +aijαij =θ
ai1..air,aij≠0 если aij =0 → ai1αi1+.. airαir =θ ai1..air=0 противоречие aij ≠0 αij= aij-1(-ai1αi1-.. airαir) (α1..αn) { (αi1..αir)
Следствие: Любые 2 МЛНП из одной системы векторов содержат одинаковое число векторов (αi1..αir) { (αj1..αjk) , (αj1..αjk) { (αi1..αir) k≤r, r≤k →r=k Число векторов МЛНП называется рангом исходной системы. В случае линейного пространства( система векторов состоит из всех векторов пространства) МЛНП мб конечна или бесконечна. Рассматриваем конечный случай. Число векторов(ранг)- размерность линейного пространства. МЛНП-база. Пространство направленных отрезков. Два неколлинеарных вектора составляют базу в пространстве векторов на плоскости. α3= α1′+ α2′=a1α1+ a2α2 . 3 вектора линейно зависимые α3=a1α1+ a2α2 . Компланарность- 3 вектора параллельны одной плоскости α4= α4′+ α5′ , α4′=a1α1+ a2α2, α5′= a3α3 , α4= a1α1+ a2α2+ a3α3 . Пространство строк длины n. α=<a1…an> Предложение: Пространство строк длины n имеет размерность n. { ξ1=<1…0> ξ2=<0,1…0> .. ξn=<0…1> ,a1ξ1+ a2ξ2+.. anξn=θ=<0,..0> <a1,a2..an>→ a1=a2=..an=0 (линейная независимость) β=<b1,b2..bn> β= b1ξ1+ b2ξ2+.. bnξn →пространство строк длины n имеет размерность и n.
Ранг матрицы.
Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор
α{ β(выражается) и β{ α.
Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.
αi1, αi2,…, αir – МЛНП α , βi1, βi2,…, βik – МЛНП β , αi1, αi2,…, αir < β < βi1, βi2,…, βik → r<=k
Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.
Определение. Пусть дана матрица A=
αi=<ai1,ai2,…ain>
Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг
Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем , что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.
А’=
α’i=<a1n, ai2,…,ai1>
Линейно зависимы :
b1α1+ b2α2+…+ bmαm=θ, b1а11+b2a21+…+bmam1=0, b1α’1+ b2α’2+…+ bmα’m , b1а11+b2a21+…+bmam1=0
Основная теорема о рангах матрицы.
Ранг матрицы совпадает с максимальным порядком отличных от нуля миноров этой матрицы.
Док-во: предположим, что в матрице имеется минор n-го порядка не равный нулю, а все его более высокие миноры нулевые. Доказать, что ранг матрицы равен n.
Переставляя строки и столбцы, можем переместить этот минор в левый верхний угол.
D=≠0
Докажем, что первые r строк линейно независимы и что любая другая строка линейная комбинация этих r строк: если бы первые r строк были линейно зависимы, то какая то строка была линейной комбинацией остальных, тоже самое было бы справедливо для выделенного минора и он равнялся 0.
Докажем, что любая строка есть линейная комбинация этих строк:
α1=<ai1,ai2,…,air>
Составим определитель (добавим i-тую строку) D1= 1<=j<=r
Если j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0
Если i>r, то минор r+1 порядка и равен 0.
D1=0=a1j(-1)r+2 D1(1|r+1)+a2j(-1)r+3D1(2|r+1)+…+aij(-1)2r+2D (D≠0)
aij=(a1j(-1)r+2 D1(1|r+1)+a2j(-1)r+3D1(2|r+1)+…)
Вся i-тая строка есть линейная комбинация первых r строк
Следствие.1) При транспонировании матрицы ранг не меняется (Ранг матрицы можно определять ка по строкам , так и по столбцам 2)Определитель квадратной матрицы равен 0, тогда и только тогда, когда какая-то строка матрицы является линейной комбинацией остальных. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя квадратной матрицы)
Доказательство. Дана матрица А n×n. |A|=0
Если |A|=0, то максимальный порядок не равных нулю миноров меньше n. Из основной теоремы следует, что rank(A)<n.Значит, строки матрицы линейно зависимы и определитель равен 0.
Ранг произведения матриц.
Ранг произведения матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.
rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))
Доказательство. Пусть C=AB. Из операции перемножения вытекает, что каждый столбец матрицы C[*,j] есть линейная комбинация ∑А[*,k].
C[*,j]=∑A[*,k]B[k,j]→ rank(C)<=rank(A) – из основной теоремы о линейных пространствах
СТ=АТBТ→ rank(C)=rank(CT) <=rank(BТ)=rank(B)
α1, α2,…, αn { β1, β2,…,βn
rank(α)<=rank(β) Значит rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))
Следствие. Пусть С=АВ, если |A|≠0, то rank(C)=rank(B)
Доказательство:
rank(C)<=rank(B) B=A-1C rank(B)<=rank(C)
Значит, rank(B)=rank(C)
Аналогично, если |B|≠0 , то rank(B)=rank(A)
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квази-треугольной форме. Ранг квази-треугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,...,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).
К элементарным преобразованиям относят следующие:
1) перестановки строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.
АХ=В (1) A m*n X n*1 B m*1
Система называется однородной, если матрица В=Θ
АХ= Θ (2)
Если к системе (2) применима правило Крамера, то эта система имеет только нулевое решение.
Опр. Общим решением системы (2) нзв. Х(Р₁,...,Р n) и обладающий следующими свойствами :
Предложение: сумма 2ух решений системы (2) явл решением этой системы. Умножив произведение решений системы (2) на число, получим то же самое решение системы
АХ₁=Θ АХ₂= ΘАХ₁+ АХ₂=Θ
А(bX₁)=(Ab)X₁=b(AX₁)=Θ, rank(A) = r
можно предположить, что первые r строк матрицы А линейно-независимы, то все остальные строки явл линейной комбинацией остальных строк. Все уравнения с номерами больше чем r, явл следствием первых r уравнений. Ранг- максим. число линейно-независимых строк, все остальные явл зависимыми от первых. Вместо исх системы (2) получаем новую систему
a₁₁x₁+…+а₁ᵣxᵣ+a₁ᵣ+1xr+1+a1nxn=0
(3) a21x1+…+а2rxr+a2 r+1xr+1+a2nxn=0
ar1x1+….+arrxr+…arnxn=0
в первой было m уравнений,а в(3) r
Ar представили в блочном виде, Ar=(A1,A2)
A1= r×к >> A2= ) r×(n-r)
Вектор х разобъём на 2 части Х=) >> x1=r×1 >> x2=(n-r)×r >> (A1|A2)()=Θ
Система (4)- краткая запись A1X1+A2X2=Θ >> A1X1=-A2X2 (5) >> |A1|≠0
1 шаг - нашли ранг (из всех уравнений берём только r), 2 шаг-преобразовали в (5)
Теорема: Пусть дана однородная система уравнений (2),если ранг матрицы равен r, то общее решение системы имеет вид X(P1,…Pn-r)= P1Z1+P2Z2+…+Pn-rZn-r
Построение решения: если в системе (5) в качестве вектора х2 взять любой вектор длины n-r, то решая систему (5) по правилу Крамера мы находим вектор х0, и составляя из них хon=)
D (n-r)×(n-r) , |D|≠0, AX1=-A2D[*|i], i=1,…,n-r
Yi () было доказано, что любая линейная комбинация решений однородной системы явл решением той же самой системы
Y= (2) решение системы (1)
Док-ть, что любое решение можно представить в этом виде
[Пусть z-любое решение AZ=Θ Z=()
1часть имеет длину r, 2 часть имеет длину (n-r)
A1Z1=-A2Z2
По построению определитель матр D≠0, значит его столбцы матр В линейно-независимы, следовательно столбцы образуют базу в пространстве столбцов длины (n-r), значит вектор z2 можно представить как Z2=
cj - коэффициент разложения по базе
вектор W=Z- каждый из векторов, есть решение системы (1)
AW=Θ
A1W1=-A2W2
W2=Z2-, поэтому W2=Θ, значит A1W1=Θ, а к системе применим правило Крамера(решение нулевое), поэтому W=Θ,есть линейная комбинация
Любое решение системы(1) представимо в виде(2) ]
Число Yi- совпадает с числом столбцов в В. В формуле (2) число слагаемых =(n-r),а сами решения Yi нзв фундаментальными решениями bi-степени свободы. При практическом построении фунд решений обычно в качестве матр D выбирают единичную матрицу порядка n-r
Общее решение неоднородных систем
Неоднородная система AX=B(3) B≠Θ
Однородная система всегда имеет хотябы одно решение(нулевое), неоднородная система может не иметь решений
Теорема Кронекера-Капелли: неоднородная система (3) явл совместной тогда и только тогда, когда выполнено условие (4)
Rank(A)=rank(A|B) (4)
A=(A[*|1],А[*|2]…A[*|n])
A|B=(A[*|1],…A[*|n],В)
Предположим, что (3) имеет решение, существует хт=<x1,…,xn> при подстановке хт в (3) получим тождество AX=X1[*|1]+…+A[*|n]=B(5)
Из формулы (5) следует,что столбцы матрицы А и расширенной матрицы образуют эквивалентные системы.Каждый вектор А можно выразить через А|B .было доказано,что ранги эквивал систем совпадают, поэтому из существования решения вытекает формула (4). 2 часть док-ва: предположим,что имеет место равенство(4). Докажем существование решений.пусть обе матр имеют общий ранг r rank(A)=rank(A|B)=r, это означает,что в матрице А существует МЛНП состоящая из r столбцов.можем считать,что это первые r столбцов.Рассмотрим расширенную матрицу.её ранг r,в эту матрицу уже входят r лин.независ столбцов.Это означает.что они образуют МЛНП расширенной матрицы,поэтому столбец В есть лин комбинация x1 A[*|1],…X1A[*|r] из последнего равенства вытекает,что х1,х2…хn,0,…,0 есть решение системы (3)
Теорема: общее решение системы (3) имеет вид:X(P1,…,Pk)=X0+Y(P1,…,Pk) (6)
X0-частное решение
Y(P1,…,Pk)= , k=n-r, r-ранг матр А и A|B
Докажем, что (6) даёт общее решение
1)A(X0+Y())=AX0+AY()=B+Θ=B-при любом наборе получ решение
2)если z-решение,то AZ=B , A(Z-X0)=B-B=Θ, поэтому z-x0 – решение однор системы.а любое решение однор системы представимо в виде
Z-X0=Y , Z=X0+Y) если система однор, то решения всегда есть(2),если не однородна, то надо выяснить совместна или нет (4)
Теорема. (Свойства скалярного произведения.)
1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
, .
2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:
или или .
3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
.
4). .
Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.
Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)
1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:
, .
2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
, , .
Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:
.
Второе свойство доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате множества векторов :
,
т.е. , .
Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:
1) , ;
2) , , .
Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.
В силу коммутативности, скалярное произведение какфункция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:
3) , ;
4) , , .
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими словами, пусть , . Тогда
. (1)
Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть . Тогда .
Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :
,
откуда и следует доказываемая формула.
Следствие доказано.
Следствие 2. Пусть , . Тогда
.
Доказательство. Очевидно.
Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) , где -- угол между a и b и, если , то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
1. Векторное произведение антикоммутативно, то есть
В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.
Доказательство. Пусть , . Нужно показать, что . Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что . Если , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: или . Пусть вектор совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, .
2.Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные.
Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда , или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.
3. Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство .
Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.
Пусть , a, b -- неколлинеарные, , . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,
то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, .
4. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть .
5. Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,
Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле
Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.
Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.
6. Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторыa, b, c, что .
Доказательство. Пусть a и b -- любые неколлинеарные векторы, . Тогда вектор , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы и c -- неколлинеарные, поэтому . Поэтому . Получили, что .
Свойства смешанного произведения:
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
Доказательство. По определению . В силу свойства скалярного произведения тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
8°
9°
10° Тождество Якоби:
Система координат.
Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд)
и базис в пр-ве векторов.
Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя
пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка
пересечения прямых, а базисные векторы имеют
единичную длину и //ны соответ. прямым. Если
выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.:
это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку,
подсчитанные в выбранной базе.
ОР = aα + bβ
α
β O Р
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Ax + By + Cz = D
(X-Xo)/a = (Y-Yo)/b = (Z-Zo)/c
ν
α
(ν, α) = 0 [ //на или лежит]
(ν, α) ≠ 0 [пересекает в 1ой точке]
(ν, α) = 0 & Axo + Byo + Czo = D [прямая лежит в пл-ти]
1.Пересекает
от канонического ур-я прямой переходим в парам-е:
A(xo + ta) + B(yo + tb) + C(zo + tc) = D
находим to и подставим в кон-ое ур-е прямой:
t(aA + bB + cC) = F
Уравнение прямой в пространстве
α P0 OP = OP0 + tα – УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ВЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
OP (X, Y, Z), OP0(X0, Y0, Z0), α(a1, a2, a3)
Р X = X0 + ta1, Y = Y0 + ta2, Z= Z0 + ta3 - В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
О X- X0/a1 = Y-Y0/ a2 = Z-Z0/ a3 – УРАВНЕНИЕ В КАКОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Y-Y0/ a3 = Z-Z0/ a3, X-X0/ a1 = Z – Z0 /a3 – УСЛОВИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КОТОРЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ОСЯМ OX И OY
Расстояние от точки до прямой в пр-ве.
Р через Q проводим пл-ть перпендикулярную прямой
α
Q
О
P α d |[PQ , α]| = |PQ|*|α|*sinα^PQ расстояние от Q до прямой
Q
O
1ый способ:
Р (1,2,3) α (1,0,-1) Q (3,-2,1)
Проведем через Q пл-ть, ортогональной α→
(x-3)*1 – (z-1) = 0
Найти точки пер-ия пл-ти и прямой
Х = 1 + t y = 2 z = 3 – t // P + αt
1 + t – 3 – (3 – t – 1) = 0
2t – 4 = 0
t = 2
P1 (3, 2, 1) точка пер-ия пл-ти и прямой
|QP1| - искомый
d = √0 + 16 + 0 = 4
2ой способ:
PQ→ (2, -4, -2)
E1 E2 E3
[PQ→, α] = 2 -4 -2 = E1 * 4 – E2 * 0 + E3 * 4
1 0 -1
|[PQ→, α]| = 4√2
|α| = √2
d = 4√2 / √2 = 4
Уравнение плоскости в пространстве
По определению уравнение плоскости в пространстве задаётся точкой P и парой неколлинеарных векторов α||плоскости и β || плоскости.
--PP0=Uα+Ʋβ (1) P(x,y,z)
--P0P=--OP---OP0 α(a1,a2,a3)
--OP=--OP0+Uα+Ʋβ (1|) β(b1,b2,b3)
x=x0+Ua1+Ʋb1 Уравнение плоскости в параметрической форме
y=y0+Ua2+Ʋb2 (2)
z=z0+Ua3+Ʋb3
(--P0P,α,β)=0
x-x0 y-y0 z-z0 Уравнение плоскости проходящей через точку ||-но 2-м
a1 a2 a3 =0 (3) векторам, если векторы коллинеарны , то 0=0.
b1 b2 b3
Расстояние от точки до плоскости
Q Предположим, что |j| = 1, (OP, j) = |OP|* cos (j ^ OP) = d;
j d – расстояние от точки до прямой, d>=0
пусть OP (x, y), j(cost, sint) тогда x*cost + ysint – d=0 (2)
P Ax+By+C=0, где Ax+By+C / √A2 + B2 = 0 и C/ √ A2 + B2 >=0
(OQ , j) = |OQ|* cos (j^OQ), где (j^OQ) – d = расстояние до прямой.
Если в уравнение (2) подставить координаты произвольной точки плоскости то модуль полученного числа – расстояние от точки до прямой.
Уравнение плоскости в нормальной форме
Для плоскости все рассуждения аналогичны предыдущим
Ax + By + Cz + D/ √A2 + B2 + C2 = 0 (3)
Ax0 + By0 + Cz0 - D/ √A2 + B2 + C2 = расстояние от точки до плоскости
Уравнение прямой на плоскости
Прямая на плоскости определяется любой свободной точкой и вектором – α параллельным этой прямой.
т.P- опорная точка
вектор –α – направленный вектор.
--OP ---OX=--tα //t-любое ≠0. —XP||--α
--OX=--OP+tα (2)
Ур-ие (2) – уравнение прямой в параметрической форме (в векторной форме)
--OX=<x,y> x=x0+ta (3) Основное уравнение прямой в координатах (параметричекое)
--OP=<x0,y0> y=y0+tb
α=<a,b>
Исключим параметр t из уравнения (3)=>(x-x0)/a=(y-y0)/b (4) каноническое уравнение
В уравнении (4), если в знаменателе есть 0 то из уравнения (3)=> , что и в числителе должен быть 0
Пусть выбрана система координат рассмотрим множество точек таких, что координаты которых удовлетворят уравнению Ах+Ву=С (5) условие для уравнения (5) А2+В2>0
Если (5) рассматривать как неоднородную систему , то общее решение системы (5) имеет вид :
Х=Х0+сi уi X0-Опорная точка у-направляющий вектор
То похоже на уравнение (2), которая обозначает прямую => уравнение (5) определяет прямую , называют уравнением прямой в общем виде.
Расстояние от точки до прямой на плоскости
<=Очевидное решение |ν|=1
(--OP,ν)=|OP|cos(OP^ν)=d
(1)
Ур-ие (1) - уравнение прямой в нормальной форме –OP(x,y)
ν (cos(t),sin(n))
xcos(t)+ysin(t)-d=0 (2) если прямая проходит не через начало координат d≥0
(Ax+By-C)/+-√(A2+B2)=0 C/+-√(A2+b2)≥0
(--OQ, ν)=|--OQ|cos(ν^OQ)
|(--OQ, ν)-d|-расстояние до прямой
Если в уравнение (2) подставить координаты произвольной точки плоскости, то модуль полученного числа – расстояние от точки до прямой.