Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
4.1 Постановка задачи
Задача интерполирования функций состоит в следующем.
На отрезке заданы точек , ,…, , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции в этих точках:
, , …, .
Необходимо построить функцию (интерполирующая функция), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и функция , т.е. такую, что:
, , …, . (4.1)
Геометрически это означает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек , (рис. (4.1).
Рис.4.1 Задача интерполяции
Задача построения такой функции называется задачей интерполирования. Таким образом, задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в нескольких точках отрезка восстановить её значения в остальных точках этого отрезка.
Задача интерполирования используется в следующих случаях:
1) функция задана таблично, а необходимо вычислять её значения в узлах, отличных от узлов интерполирования;
2) известно аналитическое представление функции , но вычисление каждого значения функции требует большого числа вычислений.
Приближенное восстановление функции по формуле называется интерполяцией функции .
В такой общей постановке задача интерполяции может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако задача интерполяции становится однозначной, если вместо произвольной функции искать полином степени не выше n
,
удовлетворяющий условиям (4.1), т.е. такой, что
, , …, .
Полученная интерполяционная формула обычно используется для приближенного вычисления значений данной функции для значений аргумента x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции . При этом различают интерполирование в узком смысле, когда , т.е. значение x является промежуточным между и , и экстраполирование, когда . Далее под интерполированием будем подразумевать как первую, так и вторую операции.
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются общей формулой, которая называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке даны различных значений аргумента , ,…, и известны для функции соответствующие значения
, , …, .
Необходимо построить полином степени не выше n, принимающий в заданных узлах те же значения, что и функция , т.е. такой, что
, . (4.2)
Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить полином в виде линейной комбинации значений функции в узлах интерполирования:
=, (4.3)
где - полином степени , удовлетворяющий условиям:
.
Построим сначала полином .
Так как искомый полином обращается в нуль в точках , ,…,,, …, , то он имеет вид
=, (4.4)
где - постоянный коэффициент.
Полагая в формуле (4.4) и учитывая, что , получим:
.
Отсюда следует:
.
Подставив это значение в формулу (4.4), получим:
=.
Подставив полученное выражение для в формулу (4.3), получим полином , удовлетворяющий условиям , :
=. (4.5)
Данный полином удовлетворяет предъявляемым требованиям:
1) степень построенного полинома не выше ;
2) , .
Формула (4.5) представляет собой интерполяционную формулу Лагранжа.
Докажем единственность полинома Лагранжа.
Предположим противное.
Пусть – полином, отличный от , степени не выше n и такой, что , .
Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в точках , , ,…, , т.е.:
.
Формула Лагранжа может быть записана в более сжатом виде.
Введём обозначение:
.
Дифференцируя по это произведение, получим:
.
Вычислим значение при , , получим:
.
Внося выражения для и в формулу (4.5), получим:
.
Следует отметить, что формула Лагранжа в отличие от других интерполяционных методов содержит явно .
Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.
Пусть . Тогда формула Лагранжа представляет собой уравнение прямой
,
проходящей через две заданные точки:
.
При получим уравнение параболы , проходящей через три точки:
.
В предыдущих пунктах мы построили интерполирующий полином Лагранжа , принимающий в точках , , ,…, заданные значения:
, , …, .
Рассмотрим вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции в других точках, т.е. как велик остаточный член:
.
Наложим на функцию дополнительные ограничения. Предположим, что в рассматриваемой области изменения x, содержащей узлы интерполирования , , ,…, , функция имеет все производные , ,…, до -го порядка включительно.
Можно доказать, что:
, (4.6)
где – некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования и . Формула (4.6) справедлива для всех точек отрезка , в том числе, и для узлов интерполирования.
Пусть
.
Тогда мы получим следующую оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:
,
где .
4.4 Формула Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполирования
Пусть точки , ,…, - равноотстоящие, т.е. , .
Для функции известны значения , .
Для данной системы точек полином Лагранжа в общем случае имеет такой вид:
.
Преобразуем данное выражение для случая равноотстоящих узлов.
Введём следующие обозначения:
.
Тогда ; ; и т.д.
Получим выражение для :
= =
== ,
где
Учитывая, что ; ,…,, получим выражение для :
= =
==.
Следовательно, полином Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполирования имеет следующий вид:
= .