Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос №1
Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства.
Набор элементов(а,b,c…) называется линейным пространством таких, что на них введены несколько операций(сложение а+b=c, умножение на число L*a=d)
Операции должны подчиняться след. аксиомам:
Вопрос №2
Арифметическое пространство. Линейные операции с арифметическими векторами
Если на плоскости ввести систему координат, каждому вектору будет соотв. пара чисел (координат вектора). — вектор а (а1;а2).
ОПР: Арифметическим и n-мерным вектором называется любая последовательность из n чисел (а1 … аn ) или вектор n с его координатами. (а1 … аn ) – координаты вектора.
ОПР: Суммой двух векторов называют вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Свойства: 1. a+b= b+a. 2. (a+ b)+ c= a+ (b+ c). 3. Нулевым вектором будет называться вектор, у которого все координаты – нули: a(0, …, 0)=0, a+ 0= a. 4. Вектор с координатами (-a1, -a2, …, -an) будет называться противоположным вектору а, а+ (-а)= 0.
ОПР: Под произведением вектора на число будем подразумевать вектор, координаты которого умножены на данное число. С * вектор а = (са1,са2,…,саn)
Свойства: 1. k(a+ b)= ka+ kb а и b векторы. 2. (k+m)a= ka+ ma a – вектор. 3. k(la)= (kl)a a – вектор. 5. 1a= a, a – вектор.
Вопрос №3
Матрицы. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрица –это набор чисел записанных в таблицу состоящую из m строк и n столбцов
Линейные операции над матрицами и их свойства:
Свойства умножения матрицы на число:
3. Перемножение матриц.
Число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго
Вопрос №4
Транспонирование матриц. Определитель и его свойства
Транспонированной матрицей назовем такую матрицу, у которой строки матрицы заменены на столбцы
Определителем матрицы называется число, которое получается при сложении произведений элементов матрицы, взятых либо с «+», либо с « - »
свойства:
Вопрос №5
Умножение матриц. Свойства умножения
Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В
Вопрос №6
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство.
1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому
2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:
.
Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,
=. Теорема доказана.
Вопрос №7
Линейная независимость элементов линейного пространства. Свойства линейной независимости
Набор элементов линейного пространства называется линейно-независимым, если из равенства нулю линейной комбинации следует, что она тривиальна
(Набор элементов линейного пространства называется лин-зав, если сущ нетривиальная лин.комб, равная нулю)
Cвойства:
1.Если среди элементов набора есть нулевой элемент пространства, то весь набор лин.зав
2. Если среди n-элементов есть m-зависимых, тогда весь набор зависим, следовательно, любое подмножество линейно-независим.множества набора лин-незав
Вопрос №8
Базис линейного пространства. Координаты элементов. Линейные операции
Набор элементов линейного пространства назыв. Базисом, если 1-эти элементы лин-незав, 2-любой элемент лин.пространства мб выражен их лин.комбинацией
Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.
Вопрос №9
СЛАУ. Решение системы. Виды систем
Системой линейных алгебраических уравнений порядка n называется выражение вида:
Решение СЛАУ:
СЛАУ имеет решение, если существует такой упорядоченный набор чисел Х, что при подставлении в систему он обращает все уравнения в тождества
Пример: A= X= B= A*X=B
Типы СЛАУ:
СЛАУ совместна, если она имеет хотя бы одно решение; не совместна, если решений нет
СЛАУ называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если решений бесконечно много
Вопрос №10
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
Рангом матрицы называется max количество лин-незав строк(столб) матрицы
Элементарные преобразования:
Вопрос №11
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем
Система уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы АВ равен рангу матрицы А.
Rang AB = Rang A
Вопрос №12
Геометрический вектор как элемент линейного пространства (линейные операции и их свойства)
Геометрический вектор – направленный отрезок.
Правило параллелограмма: суммой 2-ух вектором «а» и «в», имеющих общее начало, называется вектор «с», представляющий собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах «а» и «в».
Правило треугольника: суммой векторов «а» и «в» называется вектор «с», проведенный из начала вектора «а» в конец вектора «в».
Свойства векторов: 1. а+в = в+а – свойство коммуникативности
2. (а+в)+с = а+(в+с) – свойство ассоциативности
3. а *0 = а – закон поглощения нуля.
Разностью векторов «а» и «в» называется вектор «с», который в сумме с вектором «в» дает вектор «а»
Произведением вектора «а» на число λ называется вектор «в», коллинеарным вектору «а», имеющий длину |в|=λ*|а|, и совпадающий по направлению с вектором «а», если λ положительная, и имеющий противоположное направление с вектором «а», если λ отрицательная.
Вопрос №13
Коллинеарность векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности
Если 2 вектора лежат на 1 прямой или на параллельных прямых, то они называются коллинеарными.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = ( x, y, z ) и b = ( u, v, w ) :
Вопрос №14
Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности
Вектора называются компланарными, если они лежат на 1 плоскости или на параллельных плоскостях.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = ( x, y, z ), b = ( u, v, w ) и c = ( p, q, r ) :
Вопрос №15
Базис на прямой, на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в ортонормированном базисе
Базис на плоскости и в пространстве:
Координаты вектора в ортонормированном базисе – это алгебраические проекции вектора на соответствующие оси
Вопрос №16
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Угол между векторами
Скалярным произведением векторов «а» и «в» называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
а*в = |а| * |в| * cosФ - угол между векторами «а» и «в»
Свойства:
Для вычисления cos угла между векторами:
x*y=|x| * |y| cosФ
cosФ =
Вопрос №17
Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов
Скалярным произведением векторов «а» и «в» называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
а*в = |а| * |в| * cosФ - угол между векторами «а» и «в»
Необходимое и дост усл:
Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .
Доказательство.
Пусть векторы и перпендикулярны. Докажем выполнение равенства .
По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы и перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, , что и требовалось доказать.
Переходим ко второй части доказательства.
Теперь считаем, что . Докажем, что векторы и перпендикулярны.
Так как векторы и ненулевые, то из равенства следует, что . Таким образом, косинус угла между векторами и равен нулю, следовательно, угол равен , что указывает на перпендикулярность векторов и .
Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.
Вопрос №18
Скалярное произведение векторов в ортнонормированном пространстве. Длина вектора
Скалярным произведением векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат
Длина вектора – это расстояние между точками а и b.
Вопрос №19
Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости
Вопрос №20
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве
Вопрос №21
Плоскость. Взаимное расположение плоскостей
Вопрос №22
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая и плоскость в пространство могут:
На рис. 30 изображены все эти возможности.
В случае а) прямая b параллельна плоскости: b || .
В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.
В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .
Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости .
Вопрос №23
Способы задания множества. Множество и подмножество. Объединение множеств и его свойства
Множество А называют подмножеством В, если любой элемент А принадлежит В.
Вопрос №24
Множество. Пересечение множеств и его свойства. Числовые множества
Множеством элементов называется совокупность, отличающаяся друг от друга, но с другой стороны отличающихся от всех остальных элементов
Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
Множество А называют подмножеством В, если любой элемент А принадлежит В.
Вопрос №25
Множества на числовой прямой. Окрестность тоски, б – окрестность точки, окрестность бесконечно удаленной точки
Вопрос №26
Предел функции одной переменной. Графическое представление
Вопрос №27
Теорема об арифметических действиях над функциями, имеющими конечный предел
Пусть есть 2 ф-ции, имеющие конечн. предел в точке Х0, тогда предел суммы равен сумме пределов, множитель (константу) можно выносить за знак предела, предел произведения = произведению пределов, предел частного равен = частному пределов, если в знаменателе не 0.
Вопрос №28
Предел функции одной переменной. Теорема о единственности предела
Функция не может иметь в одной точке два различных предела.
Вопрос №29
Предел функции одной переменной. Теорема о сжатой переменной
f(x) , g(x) , φ(x) Ǝ O(Xo) : x O(Xo)
f(x) ≤ g(x) ≤ φ(x) = = A , A < ∞ => Ǝ = A
Если функции по бокам имеют одинаковый предел, то функция в середине имеет такой же предел.
Доказательство: = A , A < ∞
∀ ℇ > 0 Ǝ > 0 ∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| < δ
| f(x) – A | < ℇ преобразуем - ℇ < f(x) – A < ℇ
= A , A< ∞
∀ ℇ > 0 Ǝ ´ > 0 : ∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| < ´
| φ(x) – A | < ℇ преобразуем -ℇ < φ(x) – A < ℇ Получилось 2 дельта окрестность одной точки
Для всякого ℇ > 0 нашлась такая O (
∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| <
-ℇ < g(x) < ℇ => -ℇ < f(x) – A < ℇ => | g(x) – A | < ℇ , что и т.д.
Вопрос №30
Предел функции одной переменной. Теорема о предельном переходе в неравенстве
= A , A< ∞ = B
Ǝ O (Xo) ; ∀ x ∈ O (Xo) f(x) < g(x) => A< B
Доказательство: Пусть f(x) < g(x) , A>B (от противного)
Рассмотрим = A - B> 0
F(x) – g(x) < 0 в O(Xo) <0 (по теореме о стабилизации знака)
А>B –противоречие => A<B
Вопрос №31
Бесконечно малые. Свойства бесконечно малых
Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х0 принадл. R U ±∞, если
= 0
Свойства бмв:
Вопрос №32
Бесконечно малые. Эквивалентные БМ. Теорема об эквивалентных БМ
Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х0 принадл. R U ±∞, если
= 0
Эквивалентные БМ:
Две БМ эквивалентны, если их предел = 1
Теорема об эквивалентности БМ
Вопрос №33
Последовательность. Предел последовательности. Число е.
Последовательность – это функция натурального аргумента
Вопрос №34
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Пусть х измеряется в радианах, тогда = 1
Док-во: Для выполнения доказательства проверим функцию под знаком lim на четность.
(четная)
Т.к. функция является четной, то доказательство выполняется в I четверти, с использованием окружности единичного радиуса.
Sin x === =
Tg x ===
SΔ AOC < S сек AOC < SΔAOD
SΔ AOC = * OA = sin x *1 =
SΔ AOD = *OA =
S сек AOC = =
π/2
D
C
X
0 x B A
OA = 1
До множим все три части двойного неравенства на 2:
Sin x < x <
Поделим все 3 части на sin x: и поскольку sin x в I четверти «+», то знаки двойного неравенства сохранятся
1<
1<
Выполним предельный переход в точу 0:
1 <
Т.к. нет такой величины, которая одновременно была бы и больше и меньше 1, то естественно, что первый замечательный lim =1
Ч.т.д.
2-ой замечательный предел n = e
N=1 (1+)1 = 2
N=2 (1+)2 = 2, 25
N=3 (1+)3 = 2, 35
n→∞ e = 2,71826…
Вопрос №35
Теорема о связи функции, имеющей конечный предел и БМ
Вопрос №36
БМ и ББ. Теорема о связи ББ и БМ
Бесконечно малая и бесконечно большая величины:
Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х0 принадл. R U ±∞, если
= 0
Функция f(x) называется бесконечно большой величиной в точке х0 принадл. R U ±∞, если = ∞
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин:
1. Пусть f(x) является бмв в точке х0, тогда является ббв в этой точке
Вопрос №38
Непрерывность числовой ф-ии одной переменной в точке. Точки разрыва, классификация точек разрыва
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 ,если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.
|
Точки разрыва функции |
|||||||||||||
|
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. |
Вопрос №39
Непрерывность ф-ии на отрезке. Теоремы Коши о непрерывных функциях (без доказательства)
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
Теорема Коши:если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B,то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B.
Вопрос №40
Производная функции в точке. Геометрическая интерпретация производной
Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0
Геом.смысл: Значение производной в точке равно tg угла наклона касательной, проведенной к функции в этой точке
Вопрос №41
Производная функции в точке. Механическая интерпретация производной
Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0
Механический смысл:
Пусть некоторая точка движется вдоль прямой не обязательно с постоянной скоростью. Тогда пройденное расстояние измеряется по закону S = S(t)
Необходимо вычислить скорость в момент времени t0
V(t0) - ?
Vср =
Естественно полагать, что предельной формой Vср при Δt→0 является скорость в момент времени t0
V(t0) = = S`(t0)
Механический смысл производной – производная от закона S(t) = S
Вопрос №42
Производная функции в точке. Эластичность ф-ии
Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0
Вопрос №43
Дифференцируемые функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Вопрос №44
Дифференцируемые функции одной переменной. Дифференциал функции одной переменной. Непрерывность дифференцируемой ф-ии
Вопрос №45
Производная ф-ии в точке. Правила дифференцирования
Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0.
Правила дифференцирования:
(U(x) / V(x))` =
Вопрос №46
Производная ф-ии в точке. Дифференцирование сложной функции
Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0.
Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
|
(f(f(t)))' = f'(x)f'(t). |
(3) |
Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). ПриращениюD x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):
D y =f'(x)D x +a (D x) D x,
где limD x® 0a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t № 0, будем иметь:
D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.
Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что
limD t® 0D x/D t = f'(t).
Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при Dt® 0. Следовательно, limD t® 0a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).
Вопрос №47
Производные и дифференциалы высших порядков
Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка.
d2y= d(dy)
Диф. 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.
d2y = d(dn-1y)
d2y = d(f`(x))`d(x) = d*(f`(x))`dx = (f`(x))`dxdx = f``(x)dx2
Вторая производная – это производная от первой производной:
f``(x) =
Если функция n раз дифференцируема на каком либо промежутке Х то можно записать:
F(x) принадл. D(n) (x)
Вопрос №48
Теорема Ферма
Теорема: Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает своего наименьшего или наибольшего значения в точке х0, то производная функция этой точки = 0.
Δy = f(x0+Δx) – f(x0) ≥ 0 =>
≥ 0 (x>0) или
≤ 0 (x<0)
Т.к. функция дифференцируема на промежутке Х то значение производной не зависит от направления:
=
f`(x0) = 0
Док-во:
y
f(x0+Δx)
Х
0 Х0 х0+Δх
Вопрос №49
Теорема Коши. Правило Лопиталя (без док-ва)
Теорема: Пусть функция y = f(x) удовлетворяет след.условиям:
а так же существует функция g(x), которой удовлетвор. тем же условиям, а так же её производная ≠0 . тогда существует точка £ из промежутка (a;b) такая, что:
Док-во:
F(x) = f(x) - (g(x) – g(a))
Проверим, выполняются ли условия для новой функции:
F(a) = f(a)
F(b) = f(b) = ( g(b) – g(b))
F(b) = f(a)
По теореме Ролля найдем хотя бы 1 точку, где F`(x) = 0:
F`(£) = 0
F`(x) = f`(x) =
F`(£) =
F`( =
Поделив обе части на нулевую производную g в точке £ получаем доказываемое равенство.
Правило Лопиталя:
Предел отношения двух бмв или ббв равно приделу отношения их производных, если последний существует:
Вопрос №50
Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений
Теорема Лагранжа:
Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям:
тогда найдется хотя бы одна точка £ принадл. (a;b) такая что:
f`(£) =
Найдется хотя бы 1 точка, в которой касательная, проведенная к графику будет || к хорде , проведенная от начальной к конечной точке на этом промежутке.
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
.
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Вопрос №51
Возрастание и убывание ф-ии. Признак монотонности ф-ии
Признак монотонности функций
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).
Вопрос №52
Дифференцируемые ф-ии одной переменной. Условие постоянства ф-ии в области
Функция одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно
при этом число неизбежно равно производной
Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке.
Условие постоянствa функции
Пусть производная функции равна нулю на некотором промежутке. Тогда эта функция постоянна на этом промежутке.
Теорема обобщается на случай функции нескольких переменных. Если все частные производные функции тождественно равны нулю в некоторой области, на которой определена эта функция, она постоянна в этой области.
Вопрос №53
Экстремумы ф-ии. Достаточное условие экстремума
Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.
Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.
Достаточное условие:
Если при переходе через точку х0 первая производная меняет знак с «+» на «-» то в точке х0 максимум, а если с «-» на «+» о в точке х0 минимум.
Вопрос №54
Экстремумы ф-ии. Необходимое условие экстремума
Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.
Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.
Необходимое условие:
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Вопрос №55
Точка перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба
Точка перегиба графика непрерывной функции называется точка, которая разделяет интервалы выпуклости вверх и вниз.
Достаточное условие перегиба:
Если вторая производная дважды дифферен. функции при переходе через точку х0 меняет свой знак, то эта точка - точка перегиба
Вопрос №56
Направление выпуклости графика ф-ии. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)
Достаточное условие: если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .