Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос № 33. Методика изучения функций в курсе алгебры. Область определения, непрерывность, область значений.
Понятие непрерывности используется при построении графиков и способствует формированию понятия. Понятие непрерывности используется при изучении квадратного корня, при определении показательной функции, при рассмотрении графического метода решение уравнений и неравенств.
При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию, и схема изучения функции выглядит следующим образом:
Рассмотреть подводящую задачу;
Сформулировать определение функции;
Провести аналитическое исследование свойств функции;
Построить (на основе данных аналитического исследования) график функции; в целях более точного его построения составить таблицу " характерных" значений функции и построить соответствующие графики;
Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.
Замечание: Знакомя учащихся со свойствами функции, следует помнить, что не все из них являются достаточно наглядными, поэтому не всегда график функции может подсказать их ученику.
Вопрос № 34. Методика изучения функций в курсе алгебры. Периодичность, возрастание и убывание, экстремумы.
Вопрос 35. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.
в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем.
Теоремы о равносильности уравнений. Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на шести теоремах о равносильности (все они в той или иной мере вам известны). Первые три теоремы — «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение,равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение
Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений. Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).
Теорема 4. Если обе части уравнения f(х)=g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(х) = g(х);
б) нигде в этой области не обращается в 0 — то получится уравнение f(х) h(х) = g(х) h(х),равносильное данному.
Замечание 1. Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному: f(х)n = g (x)n .
Теорема 6. Если f(х) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение
равносильно уравнению f(х) = g(x).
2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие. В этом пункте мы ответим на второй вопрос: какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?
Частично ответ на этот вопрос связан с тремя последними теоремами. Можно сказать так: если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится уравнение-следствие.
Областью допустимых значений неравенства (ОДЗ) называется множество значений переменной, на котором обе части неравенства одновременно определены (имеют смысл). Таким образом, то есть пересечение множеств и
Вопрос№36. Функционально-графический метод решения уравнений. Аналитические методы решения уравнений
Общие методы решения уравнений
В зтом параграфе мы поговорим об общих идеях, на которых основано решение уравнений, о наиболее общих методах, используемых при решении уравнений любых видов.
1. Замена уравнения уравнением f(х) = g(х)
Этот метод мы применяли:
- при решении показательных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(х) =g(х);
- при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(х) = g(х);
- при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(х) = g(х).
Этот метод можно применять только в том случае, когда у = h(х) — монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Например, у = х7 возрастающая функция, поэтому от уравнения (2 2)7 =(5х-9)7 можно перейти к уравнению 2х+2 =5x-9, откуда находим . Расширения ОДЗ здесь не произошло, значит, это — равносильное преобразование уравнения.
Если у =h(х) — немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней. Нельзя, например, заменить уравнение (2х+2)4 =(5х-9)4 уравнением 2х+2 =5x-9, корнем которого, как мы видели выше, является
При этом переходе «потерялся» корень х = 1; проверьте: значение х = 1 удовлетворяет уравнению (2х+2)4 =(5х-9)4. Причина в том, что у=х4 — немонотонная функция. По той же причине нельзя переходить от уравнения sin17х = sin7х к уравнению 17х = 7х с единственным корнем х = 0. На самом деле, указанное тригонометрическое уравнение имеет бесконечное множество корней:
2. Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)g(х)h(х) =0 можно заменить совокупностью уравнений:
Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.