Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 13
Собственные значения и собственные векторы матрицы
I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Основные вопросы:
1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен
Рассмотрим квадратную матрицу п-го порядка:
. (1)
Умножим единичную матрицу того же порядка на число и вычтем её из матрицы А.
Определение. Матрица вида
, (2)
где λ − независимая переменная, называется характеристической матрицей для матрицы А.
Определение. Определитель характеристической матрицы (2)
(3)
называется характеристическим многочленом матрицы А.
Действительно, выражение (3) является многочленом относительно λ, в чём легко убедиться, вычислив определитель любым способом, например, разложением по первой строке. Степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, в данном случае эта степень равна n.
Определение. Следом матрицы А называется сумма её диагональных элементов:
. (4)
Найдём характеристические многочлены для квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.
1. Для матрицы 2-го порядка
,
. (5)
где , или − величина определителя матрицы А.
2. Для матрицы 3-го порядка
,
. (6)
Доказательство. Разложим определитель по первой строке:
=
=
, ч.т.д.
В общем виде характеристический многочлен можно записать в виде:
. (7)
Если положить λ = 0, то есть свободный член многочлена, равный определителю матрицы А. Это видно и из формулы (2).
Пример 1. Найти характеристический многочлен матрицы .
Решение.
.
Пример 2. Найти характеристический многочлен матрицы .
Решение. Характеристический многочлен найдём, разложив определитель по первой строке:
.
Проверим правильность вычисления коэффициентов по формуле (6):
.
;
.
2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектора и числа выполняется равенство
АХ = λХ. (8)
Тогда вектор называется собственным вектором матрицы А, а число называется собственным значением этой матрицы.
Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением.
Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.
Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического многочлена .
Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.
Теорема 2. Если – собственные значения матрицы А, то:
1)
2)
Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.
Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).
Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.
Пример 1. Найти собственные значения матрицы и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.
Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:
=0.
Корни квадратного уравнения: .
Сумма корней ; произведение корней .
Подставим матрицу А в характеристический многочлен:
.
В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 2. Показать, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Решение. ;
(.
Найдём характеристический многочлен матрицы:
.
Вычислим , для этого нужно найти
, и .
Тогда
.
3. Нахождение собственных векторов
Для нахождения собственных векторов преобразуем равенство (8)
АХ = λХ,
перепишем его в виде
АХ − λХ = 0, или АХ − λЕХ = 0
(А − λЕ)Х = 0. (9)
Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае , где – собственные значения, её главный определитель равен нулю (). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и :
(10)
Подставляя поочерёдно значения , полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем n собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.
3.1. Случай
Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:
. (11)
Восстановим систему уравнений:
(12)
Это линейная однородная система. При и её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λЕ равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
Решение. Составим характеристическое уравнение:
.
Найдём собственные значения λ, решая уравнение . Его корни λ1 = 6, λ2 = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений
и .
Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.
1) При λ1 = 6 имеем систему , которая сводится к уравнению . Из уравнения следует: , или . В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ1 = 6, можно взять вектор . Подойдёт также любой вектор, кратный Х1, например, или .
2) При λ2 = –1 система имеет вид , она приводится к одному уравнению и . Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению λ2 = –1, (или любой вектор, кратный ему).
Ответ: , , , .
3.1. Случай
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
Решение. Составим характеристическое уравнение
.
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:
;
.
Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения λ1, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ1 = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность (λ − 3), т. е. .
Определим два других корня из уравнения . По теореме Виета получим следующие два корня: λ2 = 6, λ3 = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.
1) При λ1 = 3 имеем однородную систему уравнений
или
Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду
~ ~ .
Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:
.
Решая эту систему, находим . Положим , тогда получим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ1=3.
2) При λ2 = 6 имеем систему уравнений
.
Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду
~ ~ .
Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:
.
Пусть , тогда , . Собственный вектор .
3) Точно так же находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ3 = –2.
Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:
,
,
.
Ответ: λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = –2, , , .
4. Задачи для самостоятельного решения
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. .
Ответы к задачам 4 – 12:
4. , , .
5. , , .
6. , , .
7. , , , .
8. , , , .
9. , , , .
10. , , , .
11. , , , .
12. ,
, , .
II. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
> restart:
Зададим матрицу и определим её тип.
> restart:
> with(linalg): with(LinearAlgebra):
Найдём характеристическую матрицу:
Характеристический многочлен:
Найдём следы двух матриц:
4
Найдём её собственные значения и собственные векторы:
> eigenvalues(B);
> eigenvectors(B);
Здесь 5 – первое собственное значение кратности 1. В фигурных скобках находится соответствующий собственный вектор (2,1). Соответственно -1 – это второе собственное значение кратности 1, соответствующий собственный вектор (-1,1).
Зададим другую матрицу.
Проделайте с ней те же вычисления.
Теперь зададим матрицу 3-го порядка.
>
Разложим характеристический многочлен на множители:
Видно, что корнями являются числа 1 (два раза, т.е. кратность этого корня 2) и 2 (кратностью 1). Найдём собственные значения матрицы М, которые и являются корнями характеристического многочлена. Для этого решим уравнение =0:
Можно задать корни в виде списка:
Найдём собственные векторы матрицы М:
Выведен список l, первым элементом которого является столбец собственных значений, а вторым – матрица, строки которой представляют собой соответствующие собственные векторы. Выделим элементы этого списка.
Теперь выделим строки матрицы:
Задание 1. Проделайте те же действия над матрицей .
ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕОРЕМ 2 И 3
1) Проверим выполнение теоремы 2, т.е. убедимся в том, что сумма собственных значений матрицы М равна её следу, а их произведение равно определителю этой матрицы.
4
2
2) Проверим выполнение теоремы 3 (теоремы Гамильтона-Кэли), т.е. убедимся в том, что квадратная матрица М является корнем своего характеристического многочлена. Подставим матрицу М в многочлен ст.
Для формирования свободного члена зададим единичную матрицу и умножим её на -2.
Найдём квадрат матрицы М:
Теперь найдём куб:
Составим многочлен в точке М и убедимся в том, что он равен нулю (нулевой матрице).
ЗАДАНИЯ.
Найти характеристические матрицы и многочлены следующих матриц:
6) ; 9) ; 12) .
Вычислить их собственные значения и собственные векторы. Проверить выполнение теорем 2 и 3.