У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Характеристическая матрица и характеристический многочлен Рассмотрим квадратную матрицу пго порядка-

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 20.2.2025

PAGE  13

Собственные значения и собственные векторы матрицы

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Основные вопросы:

  1.  Характеристическая матрица и характеристический многочлен
  2.  Собственные значения и собственные векторы матрицы
  3.  Нахождение собственных векторов

1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен

Рассмотрим квадратную матрицу  п-го порядка:

.     (1)

Умножим единичную матрицу того же порядка на число и вычтем её из матрицы А.

Определение.  Матрица вида

,    (2)

где λ − независимая переменная, называется характеристической матрицей для матрицы А.

Определение.  Определитель характеристической матрицы (2)

     (3)

называется характеристическим многочленом матрицы А.

Действительно, выражение (3) является многочленом относительно λ, в чём легко убедиться, вычислив определитель любым способом, например, разложением по первой строке. Степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, в данном случае эта степень равна n.

Определение. Следом матрицы А называется сумма её диагональных элементов:

.    (4)

Найдём характеристические многочлены для квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.

1. Для матрицы 2-го порядка

,

.   (5)

где , или  − величина определителя матрицы А.

2. Для матрицы 3-го порядка

,

.  (6)

Доказательство.  Разложим определитель по первой строке:

=

=

, ч.т.д.

В общем виде характеристический многочлен можно записать в виде:

.    (7)

Если положить λ = 0, то  есть свободный член многочлена, равный определителю матрицы А. Это видно и из формулы (2).

Пример 1. Найти характеристический многочлен матрицы  .

Решение.

.

Пример 2. Найти характеристический многочлен матрицы  .

Решение.  Характеристический многочлен найдём, разложив определитель по первой строке:

.

Проверим правильность вычисления коэффициентов по формуле (6):

.

;

.

2. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектора  и числа выполняется равенство

АХ = λХ.       (8)

Тогда вектор  называется собственным вектором матрицы А, а число называется собственным значением этой матрицы.

Определение. Уравнение  называется характеристическим уравнением.

Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.

Теорема 1. Собственные значения матрицы А   являются корнями характеристического многочлена .

Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.

Теорема 2.  Если – собственные значения матрицы А, то:

1)  

2)  

Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.

Теорема 3.  (Теорема Гамильтона – Кэли).

Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.

Пример 1.   Найти собственные значения матрицы  и проверить правильность решения по теореме 3.  Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.

Решение.  Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:

=0.

Корни квадратного уравнения: .

Сумма корней   ;  произведение корней .

Подставим матрицу А  в характеристический многочлен:

.

В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Пример 2. Показать, что матрица  является корнем своего характеристического многочлена.

Решение.   ;

(.

Найдём характеристический многочлен матрицы:

.

Вычислим   ,   для этого нужно найти

,      и   .

Тогда

.

3. Нахождение собственных векторов

Для нахождения собственных векторов преобразуем равенство (8)

АХ = λХ,

перепишем его в виде

АХ − λХ = 0, или   АХ − λЕХ = 0  

(А − λЕ)Х = 0.      (9)

Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае , где  – собственные значения, её главный определитель равен нулю (). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и :

   (10)

Подставляя поочерёдно значения , полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем  n  собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.

3.1. Случай

Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:

.    (11)

Восстановим систему уравнений:

     (12)

Это линейная однородная система. При  и  её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λЕ равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей   .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

.

Найдём собственные значения  λ, решая уравнение . Его корни λ1 = 6, λ2 = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

 и  .

Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.

1) При λ1 = 6 имеем систему , которая сводится к уравнению . Из уравнения следует: , или . В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ1 = 6, можно взять вектор . Подойдёт также любой вектор, кратный Х1, например,  или .

2) При λ2 = –1 система имеет вид , она приводится к одному уравнению  и . Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению  λ2 = –1,   (или любой вектор, кратный ему).

Ответ:   ,   ,   ,   .

3.1. Случай

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей   .

Решение.  Составим характеристическое уравнение

.

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:

;

.

Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения  λ1, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ1 = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность  (λ − 3), т. е.   .

Определим два других корня из уравнения . По теореме Виета получим следующие два корня: λ2 = 6,  λ3 = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.

1) При λ1 = 3 имеем однородную систему уравнений

или

Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду

~  ~ .

Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:

.

Решая эту систему, находим . Положим , тогда получим собственный вектор  , соответствующий собственному значению λ1=3.

2) При  λ2 = 6 имеем систему уравнений

.

Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду

~  ~ .

Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:

.

Пусть  , тогда  ,  . Собственный вектор  .

3) Точно так же находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ3 = –2.

Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:

,

,

.

Ответ:   λ1 = 3,  λ2 = 6,  λ3 = –2,       ,   ,   .

4. Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:

4.   ;  5. ; 6. ;

7.   ; 8. ; 9. ;

10.  ;   11. ; 12. .

Ответы к задачам 4 – 12:

4.   ,  ,  .

5.   ,  ,  .

6.   ,  ,  .

7. ,  ,  ,  .

8. ,  ,  ,  .

9. ,  ,  ,  .

10.   ,  ,  ,  .

11.   ,  ,  ,  .

12.  ,

      ,  ,  .

II. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

> restart:

Зададим матрицу и определим её тип.

> restart:

> with(linalg): with(LinearAlgebra):

Найдём характеристическую матрицу:

Характеристический многочлен:

Найдём следы двух матриц: 

4

Найдём её собственные значения и собственные векторы:

> eigenvalues(B);

> eigenvectors(B);

Здесь 5 – первое собственное значение кратности 1. В фигурных скобках находится соответствующий собственный вектор (2,1). Соответственно -1 – это второе собственное значение кратности 1, соответствующий собственный вектор (-1,1).

Зададим другую матрицу.

Проделайте с ней те же вычисления.

Теперь зададим матрицу 3-го порядка.

>

Разложим характеристический многочлен на множители:

Видно, что корнями являются числа 1 (два раза, т.е. кратность этого корня 2) и 2 (кратностью 1). Найдём собственные значения матрицы М, которые и являются корнями характеристического многочлена. Для этого решим уравнение =0:

Можно задать корни в виде списка:

Найдём собственные векторы матрицы М:

Выведен список l, первым элементом которого является столбец собственных значений, а вторым – матрица, строки которой представляют собой соответствующие собственные векторы. Выделим элементы этого списка.

Теперь выделим строки матрицы:

Задание 1. Проделайте те же действия над матрицей .

ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕОРЕМ 2 И 3

1) Проверим выполнение теоремы 2, т.е. убедимся в том, что сумма собственных значений матрицы М равна её следу, а их произведение равно определителю этой матрицы.

4

2

2) Проверим выполнение теоремы 3 (теоремы Гамильтона-Кэли), т.е. убедимся в том, что квадратная матрица М является корнем своего характеристического многочлена. Подставим матрицу М в многочлен ст.

Для формирования свободного члена зададим единичную матрицу и умножим её на -2. 

Найдём квадрат матрицы М:

Теперь найдём куб:

Составим многочлен в точке М и убедимся в том, что он равен нулю (нулевой матрице).

ЗАДАНИЯ.

Найти характеристические матрицы и многочлены следующих матриц:

6) ;    9) ;    12) .

Вычислить их собственные значения и собственные векторы. Проверить выполнение теорем 2 и 3.




1. это биологически активные вещества синтезируемые эндокринными структурами и способные регулировать проце
2. тема знаний о политике и полит
3. За рампой из белых гиацинтов на фоне тяжелых складок одноцветной ткани внезапно возникая из тени затаи
4. Основы маркетинга ГОС 2000 Для студентов всех форм обучения специальности 08011165 Маркетинг 061500
5. льислама Ибн Таймийи да помилует его Аллах является фундаментальной работой по изложению основ нашей рели
6. Поэтические игры с пустотой московского концептуализма эксперименты ДА Пригова
7. Е
8. 1991 года гр проживающую в нашем доме в кВ
9. х роках На момент Жовтневої революції 1917 р
10. СЕВЕРООСЕТИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Федерального агентства по здравоохранению и соц