Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет 42. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц в внешнем потенциальном поле.
Барометрическая формула.Возьмем произвольную цилиндрическую колонну газа с площадью сечения S и высотой h. Тогда вес выделенного объема газа будет равен
где ρ означает плотность газа. Плотность газа будет выражаться следующей формулой:
Теперь представим такую колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh (рисунок 1). Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину
Мы поставили здесь знак минус, поскольку давление должно уменьшаться с увеличением высоты.
Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы выразить плотность ρ через давление P:
Здесь T − абсолютная температура, R − универсальная газовая постоянная, M − молярная масса. Отсюда следует, что плотность определяется формулой
Подставляя это в дифференциальное соотношение для dP, находим:
В результате мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее давление газа P как функциювысоты h. Интегрирование приводит к следующему уравнению:
Избавляясь от логарифмов, получаем так называемую барометрическую формулу
Константа C определяется из начального условия P(h = 0) = P0, где P0 − это среднее атмосферное давление над уровнем моря. Таким образом, зависимость атмосферного давления от высоты выражается формулой:
Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях тепловогоравновесия.Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия.При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.
Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:
|
|
(1) |
(1) |
где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h.
Так как а , то можно представить в виде
|
|
(2) |
С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U, то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:
|
|
(3) |
– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.
Распределение частиц по объёму в потенциальном поле описывается распределением Больцмана. Закон задает число частиц находящихся в пространстве в интервалах от до , от до , от до , т.е. в элементарном объёме .
Закон Больцмана имеет вид:
,
где – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле. Постоянная определяется из условия нормировки, где – объём, занимаемый газом, – полное число частиц в этом объёме, – концентрация частиц. Больцман доказал, что соотношение (3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.