Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6. Прямая в пространстве, Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.
1. Пусть – какая-либо прямая в пространстве, точка – некоторая точка этой прямой, вектор – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой ) (рис.1). Тогда когда векторы и коллинеарны: (1).
Таким образом, чтобы задать прямую , достаточно задать одну точку и направляющий вектор . прямую заданную точкой и вектором будем обозначать .
Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и значениями параметра . Параметр является координатой точки в системе координат на прямой .
Возьмем какую-либо аффинную систему координат в пространстве, и пусть относительно ее точки и имеют координаты: , . Вектор разложим по векторам базиса : . Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим:
Обратно, (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют прямую в пространстве. Они называются параметрическими уравнениями прямой.
2. Если , то, исключая из уравнений (2), получим: .
Если одна из координат направляющего вектора прямой равна нулю, например , то .
В этом случае прямая параллельна плоскости (в частности,).. Действительно, пусть , тогда . Так как , то (рис. 2).
Если две координаты направляющего вектора прямой равны нулю, например , то и . В этом случае прямая , в частности, . Уравнения (3), (3’), (3”) называются каноническими уравнениями прямой.
3. Прямая будет определена, если задать две ее различные точки и . Вектор служит направляющим вектором этой прямой. Если точки и имеют координаты: , , то и уравнение прямой можно записать в виде (2):
4. Прямая d может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и . Пусть в аффинной системе координат плоскости и определяются уравнениями: (4) и ранг=2 (условие пересечения плоскостей и ). Система уравнений (4) определяет прямую . Координаты x, y, z точки являются решением системы уравнений (4).
Если x0, y0, z0 – какое-либо решение системы (4), то эта система равносильна системе уравнений (4’). Общее решение системы (4’) имеет вид: Отсюда (5)
Уравнения (5)являются параметрическими уравнениями прямой .
Направляющий вектор прямой имеет координаты: (определенные с точностью до общего множителя ). В прямоугольной системе координат , где , - векторы нормалей плоскостей и соответственно (рис. 3).
Угол между двумя прямыми
Пусть каждая из прямых и задана точкой и направляющим вектором, при этом ,
относительно прямоугольной системы координат .
Угол между прямыми и в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящими через одну точку. Его величина может быть найдена как величина угла между направляющими векторами данных прямых по формуле: . Отсюда следует, что .
Взаимное расположение двух прямых
Пусть имеем две прямые и , каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами ,
относительно аффинной системы координат (рис. 4). Очевидно, что прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. , или в координатной форме . Отсюда следует, что прямые и скрещиваются когда .
Пусть прямые и лежат в одной плоскости . Тогда эти прямые либо пересекаются, либо параллельны:
Если при этом , то неколлинеарны ранг =2. Если =, то - коллинеарны ранг =1.
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и неперпендикулярной к ней плоскостью называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость .
Пусть уравнения (1) и (2) определяют прямую и неперпендикулярную к ней плоскость относительно прямоугольной системы координат . Обозначим через острый угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость ; , где - направляющий вектор прямой , - вектор нормали плоскости (рис. 5).
Если угол острый, то =.
Если угол тупой, то =.
Т.о., . Поэтому .
Нахождение точки пресечения прямой и плоскости
Пусть имеем прямую , заданную уравнениями и плоскость , заданную уравнением относительно аффинной системы координат . Будем искать общие точки прямой и плоскости . Для этого нужно решить систему уравнений (1), (2). Заменяя в уравнении (2) по формулам (1), получим: (3).
Здесь возможны следующие случаи:
1) система уравнений (1), (2) имеет единственное решениекогда уравнение (3) имеет единственное решение когда (4).следовательно, условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой и плоскости .
В прямоугольной системе координат оно имеет простой геометрический смысл: скалярное произведение направляющего вектора прямой d и вектора нормали плоскости П отлично от нуля векторы не ортогональны.
В частности, прямая d перпендикулярна плоскости П когда векторы коллинеарны, т.е. когда ранг = 1;
2) система уравнений (1), (2) не имеет решений, когда уравнение (3) не имеет решений, т.е. когда
Условия (5) являются необходимыми и достаточными условиями того, что dØ.
В прямоугольной системе координат они означают, что
3) система уравнений (1), (2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяется любым значением t, т.е. когда
(6)
Следовательно, условия (6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости П.
В прямоугольной системе координат они означают, что
Из соотношений (5), (6) заключаем, что .