У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Пусть ' какаялибо прямая в пространстве точка ' некоторая точка этой прямой вектор ' вектор параллель

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 3.2.2025

6. Прямая в пространстве, Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.

1. Пусть  – какая-либо прямая в пространстве, точка  – некоторая точка этой прямой, вектор  – вектор, параллельный прямой  (направляющий вектор прямой ) (рис.1).  Тогда  когда векторы  и  коллинеарны:  (1).

Таким образом, чтобы задать прямую , достаточно задать одну точку и направляющий вектор . прямую заданную точкой и вектором будем обозначать .

Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой  и значениями параметра . Параметр   является координатой точки  в системе координат  на прямой .

Возьмем какую-либо аффинную систему координат  в пространстве, и пусть относительно ее точки  и  имеют координаты: , . Вектор разложим по векторам базиса : . Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим:

Обратно, (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют прямую  в пространстве. Они называются параметрическими уравнениями прямой.

2. Если , то, исключая  из уравнений (2), получим: .

Если одна из координат направляющего вектора  прямой  равна нулю, например , то   .

В этом случае прямая  параллельна плоскости (в частности,).. Действительно, пусть , тогда . Так как , то  (рис. 2).

           Если две координаты направляющего вектора  прямой  равны нулю, например , то  и . В этом случае прямая , в частности, . Уравнения (3), (3’), (3”) называются каноническими уравнениями прямой.   

3. Прямая будет определена, если задать две ее различные точки  и . Вектор  служит направляющим вектором этой прямой. Если точки  и  имеют координаты: , , то    и уравнение прямой  можно записать в виде (2):

4. Прямая d может быть задана как линия пересечения двух плоскостей  и . Пусть в аффинной системе координат   плоскости  и  определяются уравнениями:    (4) и ранг=2 (условие пересечения плоскостей  и ). Система уравнений (4) определяет прямую . Координаты x, y, z точки  являются решением системы уравнений (4). 

Если x0, y0, z0 – какое-либо решение системы (4), то эта система равносильна системе уравнений   (4’). Общее решение системы (4’) имеет вид:   Отсюда       (5)

Уравнения (5)являются параметрическими уравнениями прямой .

Направляющий вектор  прямой имеет координаты: (определенные с точностью до общего множителя ). В прямоугольной системе координат , где , - векторы нормалей плоскостей  и  соответственно (рис. 3).

Угол между двумя прямыми

Пусть каждая из прямых  и   задана точкой и направляющим вектором, при этом ,

                          относительно прямоугольной системы координат .

Угол между прямыми  и  в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящими через одну точку. Его величина может быть найдена как величина угла между направляющими векторами данных прямых по формуле: . Отсюда следует, что .

Взаимное расположение двух прямых

Пусть имеем две прямые  и  , каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами ,

                                                               относительно аффинной системы координат  (рис. 4). Очевидно, что прямые  и  лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. , или в координатной форме . Отсюда следует, что прямые  и  скрещиваются  когда .

Пусть прямые  и  лежат в одной плоскости . Тогда эти прямые либо пересекаются, либо параллельны:

  1.  ,  и пересекаются   - неколлинеарны (не параллельны) ранг ;
  2.  ,  параллельны   - коллинеарны  ранг .

Если при этом , то неколлинеарны ранг =2. Если  =, то - коллинеарны ранг =1.

Угол между прямой  и плоскостью

Углом между прямой  и неперпендикулярной к ней плоскостью  называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией  на плоскость .

Пусть уравнения (1) и (2) определяют прямую  и неперпендикулярную к ней плоскость  относительно прямоугольной системы координат . Обозначим через  острый угол между прямой  и ее ортогональной проекцией  на плоскость ; , где  - направляющий вектор прямой ,  - вектор нормали плоскости (рис. 5).

Если угол  острый, то =.

Если угол  тупой, то =.

Т.о., . Поэтому  .

Нахождение точки пресечения прямой и плоскости

Пусть имеем прямую , заданную уравнениями  и плоскость , заданную уравнением  относительно аффинной системы координат . Будем искать общие точки прямой  и плоскости . Для этого нужно решить систему уравнений (1), (2). Заменяя  в уравнении (2) по формулам (1), получим: (3).

Здесь возможны следующие случаи:

1) система уравнений (1), (2) имеет единственное решениекогда уравнение (3) имеет единственное решение  когда  (4).следовательно, условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой и плоскости .

В прямоугольной системе координат  оно имеет простой геометрический смысл: скалярное произведение  направляющего вектора  прямой d и вектора нормали  плоскости П отлично от нуля  векторы  не ортогональны.

        В частности, прямая d перпендикулярна плоскости П когда векторы  коллинеарны, т.е. когда ранг = 1;

2) система уравнений (1), (2) не имеет решений, когда уравнение (3) не имеет решений, т.е. когда

                                             

Условия (5) являются необходимыми и достаточными условиями того, что dØ.

       В прямоугольной системе координат они означают, что

3) система уравнений (1), (2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяется любым значением t, т.е. когда

                                               (6)

Следовательно, условия (6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости П.

В прямоугольной системе координат они означают, что    

Из соотношений (5), (6) заключаем, что .




1. Пинскдрев 1 Организационноэкономическая характеристика предприятия
2. ООКБ 2 Медчасть 2 этаж ООКБ 2- В этом кабинете всё не совсем нормально кабинет по площади занимае
3. Если бы я мог заказать эпитафию на свою могилу то не желал бы ничего другого кроме надписи- Этот Одиночка
4. тема наказаний выглядела следующим образом- смертная казнь в 60 случаях телесные наказания тюремное заключ
5. Гелиоцентрическая модель мира Н
6. Магнолія плюс а-я 2623 м.html
7. Тема- Решение практических ситуаций с использованием Трудового кодекса РФ Цель- Научиться применять ТК РФ
8. Поэзия Булата Окуджавы
9. Реферат по философии Преподаватель Ростошинский 1999 год Фридрих Ницше- опыт критики христианства
10. Исполнительное производство