Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 3. Линейные пространства
Определение 3.5.1. Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов e1, e2, …, en линеала L называется базисом линеала, если для каждого вектора x L найдутся вещественные числа i, i = 1, 2,…, n, что
x = .
Последнее равенство называют разложением вектора x по базису e1, e2, …, en.
На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве V 1 произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве V 2 упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в V 3 упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.
В пространстве R n векторы u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, un = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор x = (1, 2,…, n) R n представим в виде .
Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, получаем снова базис, но уже другой.
Определение 3.5.2. Числа 1, 2,…, n, фигурирующие в разложении элемента x линеала L по заданному базису e1, e2, …, en называются координатами данного вектора относительно рассматриваемого базиса.
Теорема 3.5.1. Координаты всякого элемента линеала L относительно заданного базиса определяются однозначно.
Доказательство. Допустим, что e1, e2, …, en — базис линеала L. Пусть для некоторого вектора x наряду с разложением x = существует еще и другое разложение x =. Но тогда справедливо равенство 0 =. Базисные элементы e1, e2, …, en линейно независимы, поэтому для всех i = 1, 2, …, n имеем i = i.
Теорема 3.5.2. При сложении элементов линеала L их координаты складываются, а при умножении вектора на вещественное число все его координаты умножаются на данное число.
Доказательство. Пусть элементы e1, e2, …, en образуют базис в L, x и y — произвольные элементы из L, λ — произвольное вещественное число, s = x + y, p = x.
Ясно, что x =, y =, s =, p =. Используя аксиомы 1 — 8 линеала L, получаем
s = x + y =+=,
p = x = λ() =.
В силу единственности разложения по базису имеем i = i + i , i = i, i = 1, 2,…, n.
Теорема 3.5.3. Если каждый из (n + 1) элементов y0, y1,…, yn линеала L представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов x1, x2,…, xn того же линеала, т. е.
yi = ,, (3.5.1)
то элементы y0, y1,…, yn линейно зависимы.
Доказательство см., например, учебник Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. «Геометрия».
Следствие 3.5.1. Любые (n + 1) векторов линейного пространства являются линейно зависимыми.
Доказательство. Возьмем произвольно векторы yk = (), . Поскольку u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, un = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис в пространстве , то для любого имеем
yk = . Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные (n + 1) векторов из линеала линейно зависимы.
Следствие 3.5.2. Любые два базиса линеала L содержат одно и то же число векторов.
Доказательство. Пусть e1, e2, …, en базис линеала L, а другой базис этого же линеала. Так как , причем e1, e2, …, en линейно независимы. В силу теоремы 3.5.3 — линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.
Определение 3.5.3. Линеал L называют n-мерным, если в нем существует базис, состоящий из n векторов.
Число n называют размерностью линеала L и обозначают dim(L) = n.
Таким образом, размерность пространства — это наибольшее число его линейно независимых элементов.
Если линеал L является n-мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение . Ясно, что dim(V 1) = 1 dim(V 2) = 2, dim(V 3) = 3.
Линеал , содержащий единственный нулевой элемент, является нуль–мерным.
Определение 3.5.4. Линеал L называется бесконечномерным, если для любого натурального числа N в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N элементов.
Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.
Теорема 3.5.4. Для того чтобы линеал L был n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала линейно независимая система, состоящая из n элементов, а всякая система, содержащая более n векторов, была бы линейно зависимой.
Доказательство. Необходимость. Если линеал является n –мерным, то в нем существует базис e1, e2,…, en, состоящий из n элементов. Произвольный вектор xj L, представим в виде линейной комбинации векторов e1, e2,…, en, поэтому любая совокупность более чем n элементов является линейно зависимой.
Достаточность. Пусть e1, e2,…, en линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор x L. По условию векторы e1, e2,…, en, x линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация α1e1 + α2e2 +…+ αnen + αx = 0, причем α 0. Но тогда x может быть разложен по e1, e2,…, en, т. е. эти элементы — базис линеала L.
В n-мерном линеале L всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала Ln единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.
Это утверждение не вытекает из аксиом 1° – 8° линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.
9°. (аксиома размерности). Линейное пространство L конечномерно и его размерность равна n.
При выполнении этой аксиомы из аксиом 1° – 8° очевидно вытекает сформулированное утверждение.
Вопросы и упражнения
1. Даны три вектора e1(1,2), e2(–3,1), e3(–3,–2). Найти координаты вектора 2e1 + e2 – 3e3.
Ответ: 1) (8,11);
2. Даны три вектора e1(1,1), e2(2,–1), e3(–4,–1). Найти числа такие, что .
Ответ: 1) , .
3. Проверить, что векторы e1(1,2), e2(–3,1) образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора e3(–2, 3) в этом базисе.
Ответ: 1) (1,1);
4. Даны три вектора e1(1,2,1), e2(–3,1,0), e3(–3,–2,–1). Найти координаты вектора 2e1 + e2 – 2e3.
Ответ: 1) (5,9,4);
5. Даны четыре вектора e1(1,1,1), e2(2,–1,1), e3(–4,–1,1), e4(0,0,4). Найти числа такие, что .
Ответ: 1) , , .
6. Даны три вектора e1(1,1), e2(–3,1), e3(–1,1). Образуют ли эти векторы базис?
Ответ: 1) нет, так как любые три вектора на плоскости линейно зависимы; 2) да, так как векторы неколлинеарны; 3) да, так как любой другой вектор на плоскости можно разложить по этим векторам; 4) нет, так как существуют векторы, которые нельзя разложить по данным векторам.
7. Даны четыре вектора e1(1,1,1), e2(–3,1,0), e3(–1,0,0), e4(0,1,1). Образуют ли эти векторы базис?
Ответ: 1) нет, так как любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы; 2) да, так как векторы некомпланарны; 3) да, так как любой другой вектор в пространстве можно разложить по этим векторам; 4) нет, так как существуют векторы, которые нельзя разложить по данным векторам.
Пусть — произвольная i-я строка матрицы . Каждая строка является элементом линеала , поэтому если число строк в матрице , то строки линейно зависимы. С другой стороны, очевидно, что среди существует ровно строк, являющихся линейно независимыми, по которым можно разложить остальные (n – k) строк.
Определение 3.6.1. Указанная совокупность k строк называется строчечным базисом, а число k — строчечным рангом матрицы.
Если матрица , где , то в ней существует не более p линейно независимых столбцов. Среди столбцов имеется ровно линейно независимых, по которым можно разложить любой из остальных столбцов.
Определение 3.6.2. Указанная совокупность m столбцов называется столбцовым базисом, а число m — столбцовым рангом матрицы S.
Теорема 3.6.1. Строчечный (столбцовый) ранг любой матрицы не зависит от выбора строчечного (столбцового) базиса.
Доказательство. Проведем доказательство для строчечного базиса. Пусть и два разных строчечных базиса одной и той же матрицы. Предположим, что . Поскольку базис, то строки , можно разложить по этому базису, т. е. , . Так как линейно независимы, то в соответствии с теоремой 3.5.3 строки линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает, что . Аналогично показывается, что k не может быть больше r, поэтому .
Пусть дана прямоугольная матрица , . Допустим, что строчечный ранг этой матрицы равен k. Без ограничения общности можно считать, что первые k строк образуют базис, а любая другая строка матрицы A представима в виде их линейной комбинации, т. е.
, . (3.6.1)
Из первых k строк матрицы A построим вспомогательную матрицу , где , . Пусть — j-й столбец матрицы .
Лемма 3.6.1. Если для некоторых чисел справедливо равенство , то .
Доказательство. Пусть , тогда произведение определяет j-ю компоненту столбца . Из равенства следует, что первые k компонент указанного столбца по построению матрицы равны нулю, т. е. , . Тогда для любого в силу (3.6.1) имеем
.
Теорема 3.6.2. Строчечный ранг любой матрицы равен ее столбцовому рангу.
Доказательство. Допустим, что столбцовый базис матрицы состоит из первых столбцов . Так как , то . Столбцы образуют базис, поэтому для любого имеем . Следовательно, справедливо равенство . Тогда в силу леммы 3.6.1 имеем , отсюда следует, что есть столбцовый базис матрицы A. Поскольку имеем неравенство , то столбцовый ранг не превосходит строчечный. Аналогичные рассуждения относительно строчечного базиса приводят к выводу, что . Следовательно, строчечный ранг матрицы совпадает со столбцовым рангом.
Определение 3.6.3. Общее значение столбцового и строчечного ранга называется рангом матрицы А и обозначается .
Теорема 3.6.3. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Достаточность. Пусть , следовательно, строки матрицы A линейно зависимы. Поэтому в соответствии с теоремой 3.3.1, по крайней мере, одну из них можно разложить по оставшимся строкам. Без ограничения общности будем считать, что . Определитель не изменяется, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на заданное число. Следовательно,
.
Необходимость. Доказательство проведем методом математической индукции по числу n. При имеем , т. е. — линейно зависимая строка. Допустим, что теорема доказана для , докажем ее для случая .
Пусть . Построим вспомогательные строки, считая :
, …, .
Тогда
,
следовательно,
.
По индукционному предположению , т. е. строки , …, линейно зависимы. Но тогда линейно зависимыми являются , следовательно, существуют числа не равные нулю одновременно, что . Поэтому справедливо соотношение
,
отсюда следует линейная зависимость строк , т. е. .
Теорема 3.6.4. Ранг матрицы равен наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.
Доказательство. Допустим, что . Тогда в матрице A существует ровно k линейно независимых строк, образующих строчечный базис, и k линейно независимых столбцов, составляющих столбцовый базис. Поэтому минор k-го порядка, построенный на указанных строках и столбцах, очевидно, не равен нулю. При этом все миноры порядка k + 1 и выше (если таковые имеются) будут равны нулю, как содержащие линейно зависимые строки и линейно зависимые столбцы.
Лемма 3.6.2. Ранг произведения двух матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.
Доказательство. Пусть
, .
Произведение
,
следовательно, каждый столбец произведения есть линейная комбинация столбцов матрицы A, поэтому . Аналогично, имеем
,
отсюда каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы , т. е. .
Лемма 3.6.3. Для произвольной невырожденной матрицы и любой матрицы A справедливо равенство .
Доказательство. Если матрица , то в силу леммы 3.6.2 . Так как матрица по условию является невырожденной, то существует обратная матрица . Умножим матрицу C справа на , получаем , следовательно, . Таким образом, справедливо равенство .
Вопросы и упражнения
1. Как изменится ранг матрицы, если к ней приписать две строки?
Ответ: 1) ранг не изменится; 2) увеличится на единицу; 3) увеличится на два; 4) не изменится, либо увеличится на единицу или два.
2. Доказать, что ранг суммы двух матриц не превосходит ранга каждого слагаемого.
3. Найти строчечный и столбцовый базис матрицы A:
a) ; б) .
Ответ: а) любые две строки образуют строчечный базис; столбцовый базис образуют: первый и второй столбцы, второй и третий столбцы; б) строчечный базис образуют, например, первая и вторая строки, а столбцовый базис, например, четвертый и пятый столбцы.
4. Вычислить ранг матрицы:
а); б).
Ответ: а) 4; б) 2.