тематичних наук КИЇВ ~ Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафед
Работа добавлена на сайт samzan.net:
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ЧУМАЧЕНКО АРТЕМ ВАСИЛЬОВИЧ
УДК 538.9
ДОВГОХВИЛЬОВА АСИМПТОТИКА ФУНКЦІЙ ГРІНА
ТА ІНФРАЧЕРВОНІ РОЗБІЖНОСТІ У МІКРОСКОПІЧНІЙ
ТЕОРІЇ НАДПЛИННОСТІ БОЗЕ-РІДИНИ 4He
Спеціальність 01.04.02 –теоретична фізика
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
КИЇВ –
Дисертацією є рукопис
Робота виконана на кафедрі квантової теорії поля фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка
Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор
Вільчинський Станіслав Йосипович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри квантової теорії поля
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Пашицький Ернст Анатолійович,
Інститут фізики НАН України,
головний науковий співробітник
доктор фізико-математичних наук, професор
Ребенко Олексій Лукіч,
Інститут математики НАН України,
завідувач відділом математичної фізики
Захист відбудеться “25” грудня 2007 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, проспект Глушкова 2, корпус 1, фізичний факультет, ауд. 500.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий “22” листопада 2007 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук О.С.Свечнікова
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Проблема розбіжностей в рамках теорії збурень, які виникають при інтегруванні по області малих імпульсів та енергій віртуальних або реальних елементарних частинок (так звані інфрачервоні розбіжності) є серйозною проблемою не тільки сучасної квантової теорії поля, але й інших областей теоретичної фізики. Зокрема, з цією проблемою зіткнулась і сучасна мікроскопічна теорія такого унікального явища як надплинність квантової Бозе-рідини 4Не. Дослідження явища надплинності та побудова його мікроскопічної теорії проводиться вже протягом 80 років –з часу відкриття у 1938-1939 рр. Капіцею П.Л. цього унікального прояву квантових закономірностей на макроскопічному рівні у рідкому 4He. Але, незважаючи на проведений величезний обсяг експериментальних та теоретичних робіт, що дозволило досягнути високого рівня розуміння цього феномену, одна з основних задач –побудова з перших принципів самоузгодженої мікроскопічної теорії надплинності квантової Бозе-рідини 4Не, яка б описувала поведінку надплинної системи в усьому температурному інтервалі – від Т = 0 до температури фазового переходу , при якій надплинний стан руйнується, залишається незавершеною.
У 1946 році Боголюбов М.М. [1*] розробив метод діагоналізації багаточастинкового гамільтоніану для квантових систем із спонтанно порушеною симетрією і на основі ідеї про виділений Бозе-конденсат в рамках моделі слабонеідеального Бозе-газу вперше розвинув мікроскопічну теорію надплинності. Отримані у цій теорії результати (зокрема, квазічастинковий спектр елементарних збуджень) узгоджуються із феноменологічною теорією Ландау Л.Д. [2*] та частково збігаються з експериментальними даними [3*].
Теорія Боголюбова в подальшому була вдосконалена і в більшості розвинутих на її основі моделей надплинності за рахунок підбору варіаційних параметрів вдається отримати результати, які узгоджуються з експериментальними даними для тої чи іншої обмеженої області імпульсів спектру елементарних збуджень. Але ці моделі потребують cуттєвого удосконалення, оскільки експериментальні дані, отримані на протязі останнього десятиріччя (зокрема результати експериментів з квантового випаровування атомів гелію [4*]), свідчать про те, що доля одночастинкового конденсату у надплинному гелії не перевищує 7%, що протирічить умові слабкої неідеальності Бозе-газу, яка лежить в основі усіх боголюбівських моделей.
Беляєв С.Т. [5*] вперше застосував метод функцій Гріна для опису квантової Бозе-рідини на мікроскопічному рівні, і такий підхід було широко розвинуто в подальшому. Але мікроскопічна теорія надплинності, яка базується на методі функцій Гріна, потребує зручної процедури перенормування, оскільки метод Беляєва побудований на основі так званих “точних” ліній частинок, приводив до появи в теорії інфрачервоних розбіжностей, для усунення яких кожна окрема задача вимагала розвитку своїх асимптотичних методів.
Ідея застосування до опису надплинних систем перенормованої квантово-польової теорії збурень, яка була вперше запропонована Нєпомнящим А.А. та Нєпомнящим Ю.А. [6*], стала суттєвим кроком в напрямку побудови мікроскопічної теорії надплинності, вільної від інфрачервоних розбіжностей. Суть ідеї полягала у знаходженні такого способу підсумовування розбіжних діаграм, який би забезпечував загальну збіжність ряду теорії збурень у довгохвильовій області. Але, незважаючи на загальну правильність такого підходу, запропонований в [6*] метод є достатньо складним і вимагає вдосконалення.
Самоузгоджену мікроскопічну модель надплинної Бозе-рідини 4Не з подавленим за рахунок взаємодії одночастинковим конденсатом та інтенсивним парним конденсатом було побудовано для випадку нульової температури Пашицьким Е.А. і Вільчинським С.Й. [7*].
Вперше послідовну перенормовану теорію збурень розробив Попов В.М. [8*]. На основі методу розділення Фур’є-образу польових змінних на повільні та швидкі складові з наступним інтегруванням по швидким змінним він побудував ефективний функціонал квантовомеханічної дії. Багаточастинковий гамільтоніан, що відповідає такій дії, записаний у змінних амплітуди і фази, збігається з гідродинамічним гамільтоніаном Ландау. На основі такого функціоналу Попов побудував теорію збурень, що не містить інфрачервоних розбіжностей і застосував її до побудови мікроскопічної теорії Бозе-рідини 4Не. Отримані на основі такого методу довгохвильові асимптотики для так званих “гідродинамічних” функцій Гріна дають правильну акустичну характеристику спектру елементарних збуджень надплинної Бозе-рідини 4Не у довгохвильовій області, тобто при , де –швидкість першого звуку, а –імпульс квазічастинки. Основним недоліком теорії Попова є певна невизначеність параметру, що розділяє області між хвильовим (повільні змінні) та частинковим (швидкі змінні) представленнями бозонів і те, що асимптотики для функцій Гріна у такому підході було отримано у наближенні слабонеідеального Бозе-газу. До того ж у теорії Попова не є доведеною достатність врахування для опису довгохвильової поведінки надплинної Бозе-системи членів не вище третього порядку по польових змінних у ефективній квантовомеханічній дії.
У роботі Пістолесі Ф., Кастеллані К., Ді-Кастро К. і Стрінаті Г. (ПККС) [9*] на основі методу теорії ренорм-груп проведено послідовне перенормування стандартної квантовомеханічної дії для системи взаємодіючих бозонів та побудовано теорію збурень, вільну від інфрачервоних розбіжностей. При цьому не використовувалося припущення про слабкість взаємодії між бозонами. У роботі [9*] було отримано асимптотики для нормальної та аномальної функцій Гріна, але не було проведено розрахунків усіх двочастинкових функцій Гріна, та не отримано поправок від діаграм, які виникають у вищих порядках теорії збурень.
У даній дисертації на основі отриманих ПККС виразів для перенормованих функцій Гріна показано, що форма ефективної дії, вперше запропонованої Поповим, збігається з перенормованою на основі методу теорії ренорм-груп квантовомеханічною дією у так званій “фіксованій точці”. Зокрема ПККС було показано, що взаємодія у перенормованій за методом теорії ренорм-груп квантовомеханічній дії описується лише кубічним по польовим змінним доданком, а члени більш високого порядку зникають в результаті перенормування. Таким чином, отримана за методом теорії ренорм-груп квантовомеханічна дія, повністю збігається із записаною Поповим. На основі цього результату надзвичайно важливим є модифікація і подальший розвиток теорії Попова, а власне: отримання уточнених довгохвильових асимптотик “гідродинамічних” одночастинкових функцій Гріна без використання припущення про слабкість взаємодії між бозонами, а також розрахунку на основі цих функцій одночастинкових нормальних та аномальних функцій Гріна та дослідження їх довгохвильових асимптотик. Важливою задачею також є розрахунок таких характеристик сильновзаємодіючої Бозе-системи як розподіл частинок за імпульсами в основному стані та затухання спектру елементарних збуджень. Все це обумовлює актуальність задач, які були розв’язані у даній дисертації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках досліджень, які проводяться на кафедрі квантової теорії поля фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка по темі № 01БФ051-06 (номер держреєстрації 0106U006394).
Мета і задачі дослідження. Мета дослідження полягає у знаходженні та аналізі інфрачервоних асимптотик функцій Гріна та усуненні інфрачервоних розбіжностей з мікроскопічної теорії надплинної квантової Бозе-рідини 4He.
Задачі дослідження полягають у:
модифікації квантово-польової теорії збурень Попова на випадок сильновзаємодіючої Бозе-системи;
розрахунку інфрачервоних асимптотик гідродинамічних, нормальної і аномальної функцій Гріна, а також нормальної та аномальної власноенергетичних частин для сильновзаємодіючої Бозе-системи на основі модифікованої теорії збурень;
розрахунку у другому порядку модифікованої теорії збурень уявної частини спектру елементарних збуджень квантової Бозе-рідини 4He при малих значеннях енергії та імпульсу квазічастинок;
розрахунку суми діаграм вищих порядків модифікованої квантово-польової теорії збурень Попова і побудові на основі цього рівнянь типу кінетичних та знаходження розв’язків цих рівнянь;
розрахунку температурної залежності густини надплинної компоненти 4Не на основі моделі Пашицького-Вільчинського про когерентну структуру конденсату в надплинній Бозе-рідині 4Не з використанням результатів модифікованої теорії Попова.
Об’єктом дослідження є квантова Бозе-рідина 4He при близьких до нуля температурах та малих значеннях енергій та імпульсів квазічастинок.
Предметом дослідження є інфрачервоні розбіжності діаграм ряду теорії збурень для сильновзаємодіючої Бозе-системи.
Методами дослідження є метод функціонального інтегрування, метод функцій Гріна та методи регуляризації і перенормування в квантовій теорії поля.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в роботі вперше:
модифіковано квантово-польову теорію збурень Попова для випадку сильновзаємодіючої Бозе-системи [2];
на основі модифікованої квантово-польової теорії аналітично отримано інфрачервоні асимптотики одночастинкових та двочастинкових функцій Гріна у гідродинамічному і частинковому представленнях, а також розраховано відповідні вершинні частини для цих представлень [2];
розраховано аномальну власноенергетичну частину для сильновзаємодіючої Бозе-системи та показано, що в рамках модифікованої теорії ця величина логарифмічно прямує до нуля в довгохвильовій області [2];
на основі модифікованих функцій Гріна у другому порядку теорії збурень розраховано уявну частину спектру елементарних збуджень при малих значеннях енергії та імпульсу квазічастинок [3];
розраховано суму діаграм вищих порядків модифікованої квантово-польової теорії збурень та на основі методу, запропонованого Поповим, показано, що цей розрахунок зводиться до розв’язання рівнянь типу кінетичних [4];
на основі отриманих розв’язків рівнянь типу кінетичних розраховано температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків для сильновзаємодіючої Бозе-системи [4];
на основі результатів модифікованої квантово-польової теорії та моделі про когерентну структуру конденсату надплинної Бозе-рідини 4Не, яку запропонували Пашицький Е.А. і Вільчинський С.Й., розраховано температурну залежність густини надплинної компоненти Бозе-рідини 4Не.
Наукове та практичне значення роботи полягає у тому, що отримані результати узагальнюють та розвивають існуючі на даний час моделі мікроскопічної теорії надплинності квантової Бозе-рідини 4Не. Розроблений у роботі підхід може бути використаний як основа для побудови завершеної мікроскопічної теорії надплинності Бозе-рідин в інтервалі температур від нульової до температури фазового переходу.
Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, положення і висновки, що виносяться на захист, отримані за участю здобувача. Публікацій [1,4] були підготовлені разом з науковим керівником, публікація [2] була підготовлена сумісно з науковим керівником і доктором Вейраухом М. (Фізико-технічний інститут, Брауншвайг, Німеччина). Робота [3] була підготована автором самостійно.
У роботі [2] постановка задачі належить Вільчинському С.Й. і Вейрауху М. За участю автора запропоновано ідею модифікації квантово-польової теорії збурень Попова для випадку сильновзаємодіючої Бозе-системи і проведено аналітичний розрахунок довгохвильових асимптотик модифікованих одночастинкових та двочастинкових функцій Гріна, а також проведено розрахунок відповідних власноенергетичних частин та вершинних функцій у різних представленнях.
У роботі [4] постановка задачі належить Вільчинському С.Й. За участю автора отримано та розв’язано рівняння типу кінетичних, необхідні для знаходження суми діаграм вищих порядків модифікованої теорії збурень Попова і розраховано температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків, які визначаються розв’язками рівнянь типу кінетичних. У роботі [1] постановка задачі належить Вільчинському С.Й. Автором проведено чисельний розрахунок температурної залежності густини надплинної компоненти 4Не.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на 3-ій Міжнародній конференції “Фізика рідкого стану: сучасні проблеми” (Київ, 27-31 травня 2005 р.); науковій школі “Quantum Phase Transitions and Non-Equilibrium Phenomena in Cold Atomic Gases” (Трієст, Італія 11-22 липня 2005 р.); 12-тій міжнародній конференції “Phonons 2007” (Париж, Франція 15-20 липня, 2007 р.); робота також обговорювалася на наукових семінарах теоретичного відділу Physicalish-Thechische Bundesanstalt (PTB) (Брауншвайг, Німеччина), на семінарах кафедри квантової теорії поля Київського національного університету імені Тараса Шевченка та на семінарі Інституту теоретичної фізики НАН України імені М.М.Боголюбова.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 4 статтях [1-4] у наукових фахових виданнях та додатково висвітлено у матеріалах міжнародних конференцій і шкіл [5-7].
Структура дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 87 найменувань. Робота написана на 102 сторінках машинописного тексту, містить 8 рисунків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі обґрунтована актуальність обраної теми, сформульована мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів і коротко викладено зміст розділів дисертації.
В першому розділі “Огляд літератури” проведено аналіз публікацій, присвячених проблемі побудови мікроскопічної теорії надплинності на основі методів квантової теорії поля, а також наведено огляд існуючих методів подолання проблеми розбіжності діаграм ряду теорії збурень при малих значеннях енергії та імпульсу частинок. Проведено порівняння і проаналізовано переваги та недоліки цих методів з акцентуванням уваги на поведінці аномальної власноенергетичної частини в околі нуля енергії та імпульсу.
Багаточастинкова квантово-польова теорія збурень у застосуванні до Бозе-систем вперше була розроблена Беляєвим С.Т. [5*]. Оскільки Бозе-конденсат діє як резервуар, з якого частинки можуть виходити або в якому зникати, у такому підході було зручно ввести “аномальні” функції Гріна для того, щоб описати ці процеси. Завдяки цьому стандартне рівняння Дайсона для функцій Гріна набуває матричної форми
(1)
де і – матриці, елементами яких є функції Гріна і власноенергетичні частини відповідно, –діагональна матриця вільних (незбурених) функцій Гріна. Діагональні елементи матриці відповідають нормальним функціям Гріна та , що описують процеси взаємодії надконденсатних частинок, а недіагональні елементи відповідають аномальним функціям Гріна та , що описують взаємодію частинок із конденсатом.
Система рівнянь (1) може бути розв’язана відносно функцій та , знайдені розв’язки утримують в якості параметрів нормальну та аномальну власноенергетичні частини, які в свою чергу можуть бути розраховані на основі теорії збурень. Отримані у першому порядку теорії збурень власноенергетичні частини визначають нормальну та аномальну функції Гріна, а також спектр квазічастинкових збуджень, який виявляється ідентичним до розрахованого Боголюбовим. При цьому аномальна власноенергетична частина задається співвідношенням , де – густина конденсату, а – Фур’є-компонента потенціалу парної взаємодії між бозонами.
Припускаючи аналітичність поведінки власноенергетичних частин і при малих значеннях енергії та імпульсу, Абрикосов А.А., Горьков Л.П. і Дзялошинський І.Е. [10*] на основі рівнянь Бєляєва отримали інфрачервоні асимптотики для нормальної та аномальної функцій Гріна. Зокрема, для нормальної функції Гріна було отримано вираз:
(2)
де і є константами, які виражаються через похідні від власноенергетичних частин при ; –хімічний потенціал, а –частота (енергія) системи. У рівності (2) швидкість звуку ~, що навіть для слабонеідеального газу приводить до нерівності .
Врахування поправок другого порядку теорії збурень приводить до появи розбіжних при малих значеннях енергії та імпульсу діаграм; приклад такої діаграми наведено на Рис. 1.
Рис. 1. Розбіжна при малих значеннях енергії та імпульсу діаграма, отримана другому порядку стандартної неперенормованої теорії збурень ( –чотириімпульс)
Застосування наближених методів для подолання проблеми інфрачервоних розбіжностей таких, наприклад, як виділення збіжних підпослідовностей з загального ряду теорії збурень (драбинкове наближення, використане Беляєвим, та ін.), не дає задовільних результатів; до того ж основною проблемою при такому підході є саме знаходження малих параметрів, що визначають такі підпослідовності.
Розбіжні діаграми можна усунути з теорії при правильно вгаданому виборі порядку підсумовування підпослідовностей діаграм теорії збурень. Використовуючи цю ідею, НН отримали співвідношення у яких розбіжні діаграми скорочуються в усіх порядках теорії збурень. Одним з важливих результатів цього розрахунку є те, що у довгохвильовій границі поведінка аномальної власноенергетичної частини виявилася неаналітичною при (в подальшому ),
(3)
де та – довжина порядку міжатомної відстані [6*] (тут і далі використовуємо систему одиниць де та ). З нього випливає, що функції Гріна і є неаналітичними при , а також те, що аномальна власноенергетична частина ; з першого погляду це суперечить результатам теорії Беляєва, але НН показали, що спектр елементарних збуджень при залишається акустичним, незважаючи на неаналітичну поведінку аномальної власноенергетичної частини . При цьому параметр співпадає із швидкістю першого звуку.
Занулення аномальної власноенергетичної частини при нульових значеннях енергії та імпульсу є не лише математичним результатом, але має фізичну природу пов’язану з нестійкістю фазових флуктуацій, на яку вказали Паташинський А.З. і Покровський В.Л. [11*] при дослідженні спонтанно намагнічених систем. В рамках моделі спонтанного порушення симетрії занулення узгоджується з загальною концепцією згідно якій розбіжності, що виникають у поперечних кореляційних функціях, пов’язані з голдстоунівською модою (в даному випадку фононів з нульовою ефективною масою), а внаслідок неперервності процесу спонтанного порушення симетрії генерується логарифмічна розбіжність поздовжніх пропагаторів. З цієї точки зору сингулярна поведінка функцій Гріна в нулі енергії та імпульсу, а також занулення аномальної власноенергетичної частини є безпосередніми наслідками появи голдстоунівської моди. Аналогічний результат щодо розбіжності аномальної власноенергетичної частини був отриманий Поповим В.М. і Середняковим А.В. [12*].
В другому розділі “Інфрачервона поведінка функцій Гріна сильновзаємодіючої Бозе-системи” [2] досліджується асимптотична структура одночастинкових та двочастинкових функцій Гріна.
У першому підрозділі другого розділу викладено основні положення методу функціонального інтегрування при побудові теорії збурень та описано процедуру отримання аналітичних виразів для одночастинкових функцій Гріна та різних вершинних частин. У другому підрозділі описано метод отримання тотожностей Уорда, які є математичним вираженням симетрії квантовомеханічної дії та представляють собою співвідношення між вершинними частинами різної складності (з різною кількістю ліній, приєднаних до вершини). У третьому підрозділі проведено модифікацію гідродинамічної теорії збурень Попова для випадку сильновзаємодіючої Бозе-системи. Метод Попова основано на розділенні Фур’є-компонент бозонного поля на швидкі і повільні відносно деякого фіксованого імпульсу . Після інтегрування по швидким змінним можна отримати функціонал –так звану “гідродинамічну” дію, що залежить лише від повільних змінних. Теорія збурень, побудована на основі такого функціоналу, у тривимірному просторі є вільною від інфрачервоних розбіжностей.
Виявляється зручним виразити дію в термінах модуля і фази польових змінних , оскільки Фур’є-образ ефективної дії в цих змінних має суттєво простіший у порівнянні з іншими представленнями вигляд:
(4)
Де , –густина конденсату, що визначається з умови , –тиск системи, – об’єм системи, –чотириімпульс, – швидкість першого звуку, – мацубарівська частота, – парне додатнє число, а – обернена температура. Коефіцієнти , , і є термодинамічними похідними від тиску по хімічному потенціалу і густині конденсату . Кубічний член (останній доданок у виразі (4)) розглядається як збурення; урахування цього доданку веде до появи уявної частини в спектрі елементарних збуджень. Квадратична частина дії (4) визначає незбурені функції Гріна
(5)
тут
(6)
Перші два доданки у (6) є нелінійною поправкою до спектру елементарних збуджень і ними можна знехтувати при малих значеннях . Вираз
(7)
є квадратом швидкості першого звуку. Використовуючи співвідношення
(8)
що визначає так звану “конденсатну” стисливість і є величиною, яка не змінюється при перенормуванні [9*], у дисертації отримані функції Гріна, які залежать лише від фізичних параметрів Бозе-системи, таких як швидкість звуку, повна густина Бозе-системи та обернена “конденсатна” стисливість. Використовуючи ці співвідношення, отримаємо наступну матрицю гідродинамічних кореляційних функцій:
(9)
Функція , яка визначає поздовжню моду, є скінченною при , а інші функції Гріна та , що визначають поперечну та перехресну моди є інфрачервоно розбіжними через виродження Бозе-системи у поперечному “ - ” – напрямку внаслідок появи голдстоунівської моди. У четвертому підрозділі другого розділу наведено результати аналітичних розрахунків довгохвильових асимптотик нормальної та аномальної функцій Гріна. Отримано при аналітичні вирази для вершинних частин та функцій Гріна для так званого “l-t” – представлення, коли польові змінні для системи з Бозе-конденсатом записуються у вигляді
(10)
а відповідні довгохвильові асимптотики функцій Гріна у такому представленні задаються наступними співвідношеннями ( ):
(11)
Вирази (11) повністю збігаються з отриманими ПККС на основі теорії ренорм-груп [9*]. Кореляційні функції (11) є інфрачервоно розбіжними при . Поздовжній пропагатор, що за логікою має бути скінченним, оскільки описує так звані масові коливання, стає розбіжним через вплив фазових флуктуацій. У тривимірному випадку ця розбіжність є логарифмічною.
На основі функцій Гріна (11) з використанням співвідношення (10) отримано вирази для асимптотик нормальної G11 та аномальної G12 функцій Гріна. Нехтуючи членами, скінченними у довгохвильовій області (другий доданок у правій частині рівності (9)), отримаємо:
(12)
З виразів (13) слідує, що окрім сильно розбіжних при малих значеннях енергії та імпульсу доданків ~ функції Гріна утримують слаборозбіжні логарифмічні доданки. Розрахунок інфрачервоних асимптотик власноенергетичних частин та показує, що саме ці логарифмічні доданки дають основний вклад в асимптотику:
(13)
У рівностях (12) при можна знехтувати логарифмічними доданками по відношенню до членів і тоді, якщо хімічний потенціал , отримуємо вирази для функцій Гріна, що відповідають наближенню Боголюбова [1*, 9*].
У п’ятому підрозділі другого розділу на основі розрахованої у попередньому підрозділі нормальної функції Гріна отримано розподіл квазічастинок за імпульсами в основному стані. Використовуючи відому формулу
(14)
при Т = 0 отримаємо наступне співвідношення:
(15)
Для температур Т > c|q| співвідношення (14) набуває вигляду:
(16)
Формули (15) та (16) узгоджуються з відповідними співвідношеннями, отриманими у іншому підході Пітаєвським Л.П. [13*].
У шостому підрозділі другого розділу розраховані асимптотичні вирази для двочастинкових функцій Гріна. Використовуючи співвідношення
(17)
яке виражає двочастинкові кореляційні функції через одночастинкові та відповідні вершинні частини, які можна знайти використовуючи тотожності Уорда, було розраховано корелятори “густина-густина” , “густина-потік” та “потік-потік” :
(18)
Знайдені вирази задовільняють закону збереження струмів (потоків)
(19)
Отримані вирази не містять логарифмічних поправок і є скінченними при – у відповідності з тим, що кожен з цих виразів характеризує певний скінченний фізичний параметр досліджуваної системи. Наведені співвідношення збігаються з кореляторами, отриманими Гаворет Д. і Нозьер П. [14*].
У кінці другого розділу приведено висновки та обговорення результатів.
В третьому розділі “Розрахунок затухання спектру елементарних збуджень сильновзаємодіючої Бозе-системи” [3], враховуючи кубічний доданок у квантовомеханічній дії (4), у другому порядку теорії збурень на основі гідродинамічних функцій Гріна (9) проведено аналітичний розрахунок уявної частини спектру елементарних збуджень. Відсутність у виразі для дії доданків четвертого порядку ( та ін.) при доведена ПККС на основі теорії ренорм груп.
В першому підрозділі третього розділу виведено рівняння для знаходження спектру елементарних збуджень на основі модифікованих функцій Гріна. Це рівняння отримується шляхом підстановки у матричне рівняння функцій Гріна (9):
(20)
Уявні частини розв’язків отриманого рівняння визначаються наступним співвідношенням
(21)
У другому підрозділі третього розділу на основі діаграм другого порядку теорії збурень, зображених на Рис. 2, розраховані уявні та дійсні частини власноенергетичних частин , і , які входять в рівняння (21).
Рис. 2. Діаграми a, b і c другого порядку теорії збурень відповідають внескам
о компоненти власноенергетичної матриці , а діаграми d і e
відповідно внесками до компонент і
Діаграми типу а не дають вкладу до власноенергетичних частин через те, що елементарні вершинні функції у таких діаграмах рівні нулю. Розраховуючи вклади інших діаграм, зображених на Рис. 2, отримаємо вирази для дійсних та уявних частин , і . Після підстановки цих виразів у (21) вибираємо розв’язок, який описує затухання фононної частини спектру елементарних збуджень:
(22)
де
(23)
При переході у виразі (22) до наближення слабонеідеального газу отримуємо вираз, який збігається з результатом Попова [8*], а при Т = 0 вираз для
переходить у результат, отриманий Беляєвим [5*].
В четвертому розділі: “Кінетичні рівняння і температурні залежності густин Бозе-конденсату та надплинної компоненти Бозе-рідини 4He” проведено розрахунки поправок до власноенергетичних частин від вищих порядків модифікованої теорії збурень і показано, що ці розрахунки зводяться до розв’язку рівнянь типу кінетичних. На основі розв’язків цих рівнянь отримані температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків [4], а також проведено чисельні розрахунки температурних залежностей густин надплинної компоненти та одночастинкового Бозе-конденсату на основі моделі Пашицького-Вільчинського [15*] з використанням отриманих у даній дисертаційній роботі результатів модифікованої теорії Попова.
В першому підрозділі четвертого розділу проведено сумування діаграм вищих порядків теорії збурень, що можуть бути представлені як розв’язки рівнянь типу кінетичних [8*]. Схематично діаграмні рівняння показано на Рис. 3.
Рис. 3. Діаграмні рівності для власноенергетичних частин та повної вершинної частини D [8*]
Перше з рівнянь виражає власноенергетичну частину через –внесок від діаграм, у яких неможливо відірвати “вхід” діаграми від “виходу” шляхом розриву двох ліній, та повну вершинну частину . Друге рівняння на Рис. 3 є рівнянням Дайсона для повної вершинної частини і визначає наближення для чотирьохполюсника . Конкретизувати наведену схему можна після проведення сумування по всіх можливих комбінаціях функцій Гріна та , що представлені неперервними лініями, та напрямках кожної з ліній у діаграмі. Вершинні частини розрізнятимуться в залежності від типу приєднаних внутрішніх ліній. Всього буде шість різних вершинних частин:
(24)
Тут перші два індекси вказують на те, які лінії приєднано до внутрішнього входу вершинної частини, останній індекс вказує на тип зовнішньої лінії.
Вказані рівняння можуть бути зведені до рівнянь типу кінетичних. Кожна з вершинних частин залежить від двох дискретних частот – та . Сумування по внутрішній частоті можна провести шляхом інтегрування у комплексній площині . Для цього необхідно зробити аналітичне продовження , після чого функції визначаються на комплексній -площині з розрізами . Рівняння для вершинних функцій при цьому перетворюються на рівняння для значень функцій на границях розрізів . Позначимо через значення функцій на зовнішніх берегах розрізів , а через – значення функцій на внутрішніх берегах . Було показано, що лише рівняння для внутрішніх значень вершинних функцій є нетривіальними. Записуючи ці рівняння у явному вигляді і проводячи інтегрування по енергетичній змінній було показано, що вершинні функції входять до рівнянь у комбінаціях
(25)
де (26)
а функції h і g задовільняють наступним рівнянням:
(27)
де через та позначено вирази
(28)
тут та .
Формально за своїм виглядом рівняння (27) є лінеаризованими кінетичними рівняннями, в яких та відіграють роль інтегралів зіткнень, а неоднорідні члени , є інтегралами руху, які є ортогональними до інтегралів зіткнень з вагою
(29)
Рівняння (27) розв’язуються методом Чепмена-Енскога-Гільберта [16*].
У першому (акустичному) наближенні розв’язки рівнянь можна представити у вигляді лінійних комбінацій інтегралів руху:
(30)
де використане позначення
(31)
На основі цих розв’язків можна розрахувати нові власноенергетичні частини та . Підставляючи отримані вирази для власноенергетичних частин у рівняння (21), яке визначає спектр елементарних збуджень, та розв’язуючи його з використанням експериментально встановленого при співвідношення між швидкостями першого та другого звуків, отримуємо температурні поправки до швидкостей звуків:
(32)
Тут ; –густина нормальної компоненти.
У другому підрозділі четвертого розділу проведено розрахунок температурної залежності густини надплинної компоненти на основі моделі про когерентну структуру конденсату у надплинній Бозе-рідині 4Не, запропонованої Пашицьким Е.А. і Вільчинським С.Й. [15*]. Температурна залежність густини надплинної компоненти у цій моделі визначається співвідношеннями [15*]
(33)
де
(34)
тут – Фур’є-образ перенормованого за рахунок багаточастинкових ефектів парного потенціалу взаємодії [15*]. У моделі Пашицького-Вільчинського для розрахунку температурних залежностей використовувалися модельні потенціали (твердих або напівпрозорих сфер). Для конкретних обчислень у даній роботі використано потенціал Азіза, який відповідає реальній взаємодії між атомами 4Не [17*], та отримані на основі розв’язків рівнянь типу кінетичних вирази (32) для швидкостей першого та другого звуків.
Обчислена у даній роботі температурна залежність надплинної компоненти на основі (33) та температурна залежність отримана Пашицьким Е.А. і Вільчинським С.Й. приведені на Рис. 3. Для порівняння на цьому ж графіку приведено результат отриманий Гінзбургом В. Л. [18*] та експериментальні дані, отримані Андронікашвілі Е.Л. [19*].
f1S /f1
Рис. 3. Температурні залежності густини надплинної компоненти Бозе-рідини 4Не отримані: Пашицьким Е.А. і Вільчинським С.Й. (крива 1); в даній роботі згідно (33) для наступних значень коефіцієнтів: A12=65 K, B12=1,4 K, D12=2,5 K, (крива 2); експериментальні дані отримані Андронікашвілі Е.Л. [19*] (крива 3); результат отриманий Гінзбургом В.Л. [18*] (крива 4)
ВИСНОВКИ
Мікроскопічна квантово-польова теорія, яка описує квантову Бозе-рідину 4Не, в довгохвильовій області має проблеми, пов’язані з інфрачервоними розбіжностями діаграм рядів теорії збурень. Усунення цих розбіжностей із теорії вимагає побудови перенормованої теорії збурень. Така теорія для сильновзаємодіючої Бозе-системи була побудована ПККС на основі теорії ренорм-груп та Поповим В.М. для слабовзаємодіючої Бозе-системи.
У дисертаційній роботі проведено узагальнення теорії Попова на випадок сильновзаємодіючих Бозе-систем, отримано нові та підтверджено вже існуючі результати, зокрема показано, що основні результати мікроскопічної теорії надплинності, отримані на основі теорії ренорм-груп, збігаються з результатами теорії Попова. Також показано, що ефективний функціонал дії, отриманий Поповим для малих значень енергії та імпульсу квазічастинок, є згідно теорії ПККС квантовомеханічною дією у так званій “фіксованій точці”.
На основі модифікованої теорії Попова отримано асимптотичні вирази для “гідродинамічних”, нормальної та аномальної функцій Гріна, а також відповідні вершинні частини і показано, що довгохвильова частина спектру елементарних збуджень для сильновзаємодіючої системи при малих значеннях енергії та імпульсу має акустичний характер, , де –гідродинамічна швидкість першого звуку.
На основі модифікованої теорії Попова отримано інфрачервоні асимптотики двочастинкових функцій Гріна, а також розподіли частинок за імпульсами у границях T << c|q| та T >> c|q|. Отримані результати збігаються з аналогічними розподілами, розрахованими за допомогою інших методів.
Ефективна перенормована дія Попова крім квадратичних по польовим змінним членів містить кубічний доданок, що описує взаємодію між полями. Врахування кубічного доданку дає можливість розрахувати уявну частину спектру елементарних збуджень, що і було зроблено у даній роботі. Також було показано, що після переходу до моделі слабонеідеального Бозе-газу, отриманий вираз збігається із виразом, отриманим Поповим, а при нульовій температурі збігається із результатом Бєляєва.
На основі методу Попова, який дозволяє звести розрахунок суми діаграм типу драбинкових вищих порядків теорії збурень до знаходження розв’язків рівнянь типу кінетичних, отримані температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків, що дало змогу провести розрахунок температурної залежності густини надплинної компоненти на основі моделі Пашицького Е.А. і Вільчинського С.Й. Отримані температурні залежності в області температур добре узгоджуються з експериментальними даними. При існує розбіжність з експериментальною кривою, яка обумовлена тим, що у використаній при розрахунку моделі враховано вклад лише від одного типу колективних збуджень –фононів і не враховано вклад від ротонних збуджень, які відіграють важливу роль в цьому температурному інтервалі.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Chumachenko A., Vilchynskyy S. Study of the temperature dependence of single particle and pair coherent condensate densities for the Bose-liquid with the depleted single-particle Bose-Einstein condensate at // Journal of Molecular Liquids. – 2006. – Vol. 124. –P. 72-77.
Chumachenko A., Vilchynskyy S. and Weyrauch M. Infrared behavior of the response of strongly interacting Bose systems // Journal of Physical Studies. – 2007. –Vol. 11, № 2. – P. 200-209.
Чумаченко А.В. До розрахунку уявної частини спектра елементарних збуджень сильновзаємодіючої Бозе-системи // Укр. Фіз. Журн. – 2007. –Т. 52, № 7. – С. 709-716.
Вільчинський С.Й., Чумаченко А.В. Метод континуального інтегрування при отриманні низькочастотної асимптотики функцій Гріна для сильновзаємодіючої Бозе-системи // Вісник Київського університету. Сер: фіз.-мат. науки. –, № 1. –С. 332-335.
Chumachenko A. The temperature dependence of the viscosities of the normal and the superfluid component of the Bose-liquid 4He on the basis of the model of superfluid state with depressed single-particle Bose-Einstein condensate // Abstr. School on Quantum Phase Transitions and Non-Equilibrium Phenomena in Cold Atomic Gases, Trieste, Italy 2005. – P. 301.
Chumachenko A. Study of the temperature dependence of the viscosity of the superfluid component of the Bose-liquid 4He on the basis of the model of superfluid state with depressed single-particle Bose-Einstein condensate // Abstr. 3rd International Conference PLMMP, Kyiv 2005. – P. 229.
Chumachenko A., Vilchinskyy S., Weyrauch M. Ifrared behavior of the response of strongly interacting Bose systems // Abstr. 12th international Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter “Phonons 2007”, France, Paris 2007. – P. 156.
Список цитованої літератури
1*. Боголюбов Н.Н. К теории сверхтекучести //Изв. АН СССР. –1947. – Серия «Физика» – Т. 11. – С. 77-90.
2*. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия II //ЖЭТФ. –. –Т. 11. –С. 592.
3*. Pearce J.V., Azuah R.T., Faak B. at all. High-resolution measurements of excitations in superfluid 4He beyond the roton //Journal Physics: Condensed Matter. –. Vol. 13, № 20. –P. 4421-4436.
4*. Wyatt A.F.G. Evidence for a Bose-Einstein condensate in liquid 4He from quantum evaporation //Nature. –. –Vol. 391. –P. 56-59.
5*. Беляев С.Т. Применение методов квантовой теории поля к системе Бозе-частиц// ЖЭТФ. –. –Т. 34, вып. 2. –С. 417-432.
6*. Непомнящий Ю.А., Непомнящий А.А. Инфракрасная расходимость в полевой теории Бозе-системы с конденсатом // ЖЭТФ. –. –Т. 75, вып. 3(9). – С. 976-992.
7*. Pashitskii E.A., Mashkevich S.V., Vilchynskyy S.I. On the Structure of the Superfluid State and Quasiparticle Spectrum in a Bose Liquid with a Suppressed Bose–Einstein Condensate //Journal of Low Temperature Physics. –. –Vol. 134,№ 3-4. –P. 851-879.
8*. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. –М. 1976. –с.
9*. Pistolesi F., Castellani C., Di Castro C., Strinati G.C. Renormalization-group approach to the infrared behavior of a zero-temperature Bose system // Physical Review B. –. –Vol. 69. –P. 024513.
10*. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М: Физматгиз, 1962. –11*. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов // Наука. –М., 1982.
11*. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов // Наука. –М., 1982.
12*. Попов В.Н., Середняков А.В. Форма низкочастотной асимптотики собственноэнергетических частей сверхтекучей Бозе-системы при // ЖЭТФ. –. –Т. 77. –С. 377-382.
13*. Giorgini S., Pitaevskii L., Stringari S. Bose-Einstein condensation, phase fluctuations, and two-phonon effects in superfluid 4He // Physical Review B. –. –Vol. 46, № 10. –P. 6374-6381.
14*. Gavoret J., Nozieres P. Structure of the Perturbation Expansion for the Bose Liquid at Zero Temperature // Annals of Physics. –. –Vol. 28. –P. 349-399.
15*. Пашицкий Э.А., Вильчинский С.И. О структуре сверхтекучей компоненты и спектре элементарных возбуждений в квантовой Бозе-жидкости 4Не // Физика низких температур – 2001. –Т. 27, № 3. –C. 253-267.
16*. Chapman S. and Cowling T. G. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases // Cambrige University Press. –. –p.
17*. Aziz R.A., Nain V.P.S., Earley J.S., Taylor W.L. and McConville G.T. Interatomic potential for 4He// Journal Chemical Physics. –. –Vol.70. –P. 1488-1509.
18*. Гинзбург В.Л., Собянин А.А. Сверхтекучесть гелия ІІ вблизи -точки // Успехи Физических Наук. –. –Т. 120. –С. 153-164.
19*. Андроникашвили Э.Л. Непосредственное наблюдение двух типов движения в гелии II // ЖЭТФ. –. –Т. 16, вып. 9. –С. 780-786.
АНОТАЦІЯ
Чумаченко А.В. Довгохвильова асимптотика функцій Гріна та інфра-червоні розбіжності у мікроскопічній теорії надплинності Бозе-рідини 4He. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 –теоретична фізика. –Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.
У дисертаційній роботі проведено узагальнення квантово-польової теорії збурень Попова, у якій відсутні інфрачервоні розбіжності, на випадок сильновзаємо-діючих Бозе-систем. На основі результатів, отриманих методом теорії ренорм-груп, показано, що ефективний функціонал Попова для малих значень енергії та імпульсу квазічастинок є перенормованою квантовомеханічною дією у так званій “фіксованій точці”. На основі модифікованої теорії Попова отримано інфрачервоні асимптотики одночастинкових гідродинамічних, нормальної та аномальної функцій Гріна, а також двочастинкових функцій Гріна. Розраховано інфрачервоні асимптотики для нормальної та аномальної власноенергетичних частин. Знайдено розподіли квазічастинок за імпульсами у границях T << c|q| та T >> c|q|. У другому порядку модифікованої теорії збурень Попова розраховано уявну частину спектру елементарних збуджень у довгохвильовій області. Проведено розрахунки поправок до власноенергетичних частин від вищих порядків модифікованої теорії збурень, які було зведено до розв’язку рівнянь типу кінетичних. На основі розв’язків цих рівнянь отримані температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків та проведено в рамках моделі Пашицького Е.А. і Вільчинського С.Й. розрахунок температурної залежності густини надплинної компоненти Бозе-рідини 4Не.
Ключові слова: інфрачервоні розбіжності, гідродинамічне наближення, спектр елементарних збуджень, надплинність.
АНОТАЦИЯ
Чумаченко А.В. Длинноволновая асимптотика функций Грина и инфракрасные расходимости в микроскопической теории сверхтекучести Бозе-жидкости 4He. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 –теоретическая физика. –Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.
В диссертационной работе проведено обобщение квантово-полевой теории возмущений Попова, не содержащей инфракрасных расходимостей, на случай сильновзаимодействующих Бозе-систем. На основе результатов, полученных методом теории ренорм-груп, показано, что эффективный функционал Попова для малых значений энергии и импульса частиц является перенормированным квантовомеханическим действием в так называемой “фиксированной точке”. На основе модифицированной теории Попова получены инфракрасные асимптотики для гидродинамических, нормальной и аномальной функций Грина, а также двухчастичных функций Грина. Получены инфракрасные асимптотики для нормальной и аномальной собстевенноэнергетических частей. Получены распределения квазичастиц по импульсам в границах T << c|q| и T >> c|q|. Во втором порядке модифицированной теории возмущений Попова расчитана мнимая часть спектра елементарных возбуждений в длинноволновой области. Проведены расчеты поправок к собственноэнергетическим частям от высших порядков теории возмущений, что было сведено к решению уравнений типа кинетических. На основе решений этих уравнений получены температурные поправки к скоростям первого и второго звуков и проведен в рамках модели Пашицкого Э.А. и Вильчинского С.И. численный расчет температурной зависимости плотности сверхтекучей компоненты Бозе-жидкости 4Не.
Ключевые слова: инфракрасные расходимости, гидродинамическое приближение, спектр элементарных возбуждений, сверхтекучесть.
ABSTRACT
Chumachenko A. V. Long-wave asymptotics of the Green’s functions and infrared divergencies in the microscopic theory of superfluidity of Bose liquid 4He. – Manuscript.
Thesis for Doctor of Philosophy degree (Candidate of sciense in Physics and Mathematics) in speciality 01.04.02 –theoretical physics. –National Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 2007.
This thesis concerns the problem of the infrared divergences which appears in the microscopic field theory of strongly interacting Bose system. This calls for a systematic renormalization, which has been performed recently by Pistoleci F., Castellani C., Di Kastro C., Strinati G. In this thesis were shown that the essential results of this procedure are equivalent to obtained using the Popov’s hydrodynamic approach modified for the case of strongly interacting Bose system. This shows that Popov’s approach correctly identifies the infrared fixed point of the renormalized effective action.
Using the modified Popov’s approach the infrared asymptotic of single particle hydrodynamic, normal and anomalous Green’s functions were calculated. It was shown that the transverse correlation function shows a “physical” divergence in the infrared, which is due to a Goldstone mode related to massless phase fluctuations. The logarithmic divergence exhibited by the longitudinal correlation function in long wavelength limit may be unexpected at first, since the longitudinal correlations are determined primarily by a massive mode. This logarithmic divergence stems from phase fluctuations as well, which contribute to the longitudinal response in second order. These features can be understood physically using the picture of symmetry breaking as discussed by Patashinskii A. and Pokrovskii V. in an analogous magnetic system. Technically, the observed divergences of the correlation functions are directly related to the vanishing of anomalous selfenergy part at zero momentum and energy. More precisely, anomalous selfenergy vanishes non-analytically with an infinite slope at zero momentum. This is a very important fact, which precludes an expansion of the correlation functions around zero energy and momenta.
The modified hydrodynamic formalism was applied in order to find expressions for the density-density response as well as the density-current response, which are infrared finite. Obtained expressions are in agreement with the results obtained by Gavoret J. and Nozieres P.
The quasi-particle density for T >> c|q| and T << c|q| was also calculated. Obtained formulas agrees with results obtained by Giorgini S., Pitaevskii L. and Stringari S.
The hydrodynamic action proposed by Popov contains a cubic term in the phonon fields. This term, which resembles the residual interaction of the quasi-particles, describes quasi-particle decay. In this thesis this residual interaction were used in order to calculate the quasiparticle decay at small energy and momenta in second order perturbation theory. In the low density limit obtained expressions agrees with Popov’s result and at zero temperature it coincide with Beliaev’s result.
As it was shown by Popov calculation of high order diagrams can be reduced to the solution of the kinetic type equations. Using this method the temperature corrections for the velocities of the first and second sounds for strongly correlated Bose system was calculates.
Using the results of modified Popov theory and the model proposed by E.Pashitskii and S.Vilchinskyy the temperature dependence of the density of superfluid component of Bose liquid 4He was calculated.
Key words: infrared divergences, hydrodynamic approximation, elementary excitation spectrum, superfluidity.
2. Задачи службы маркетинга в процессе организации создания нового товара
3. а участковой медсестрой б зав
4. журналистка скандальной газеты в каких местах только не побывала
5. 282 Понятие бесконечной числовой последовательности.
6. СТАН ПРОМИСЛОВОСТІ ТА СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА УКРАЇНИ НА ПОЧАТКУ ХХ ст
7. С.62 Злоякісні герміногенні пухлини ' типові дизонтогенетичні солідні новоутворення дитячого віку
8. Организация культурно-досуговой деятельности детей в Ясногорском сельском Доме культуры
9. Реферат- Патологія печінки
10. Технико-экономическое обоснование реализации проекта на примере Московского Городского Фонда молодежи
11. Компютерні віруси Класифікація
12. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ И ЕГО ВЫРАЗИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
13. Особенности расселения населения на планете
14. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора педагогічних наук КИЇВ ~ Д
15. Буденный, Семен Михайлович
16. Л. Коршико
17. Д ОКУ Магистр Направление Административноправовое П
18. Курсовая работа- Особенности предоставления услуг на авиатранспорте
19. Бухгалтерский учет анализ и аудит Дисциплина.html
20. О гражданской обороне