Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 14
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу
Механика жидкости и газа
Раздел 7: ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
ЖИДКОСТИ
Подраздел 7.2: Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости
для студентов дневного отделения
механико-математического факультета
г. Ростов-на-Дону
2010
Методические указания разработаны доктором технических наук, профессором А.И. Сноповым.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической компьютерной гидроаэродинамики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол № ______ от _______________ 2010 г.
В данном подразделе излагаются постановки задач и методы их решений для случаев движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Принимается, что жидкость безграничная и на бесконечности покоится, а тело в ней одно. Такая постановка задачи имеет смысл и для случаев, когда другие тела, находящиеся в жидкости и граница области, занятой жидкостью, отстоят достаточно далеко от тела и не оказывают существенного влияния на движение жидкости вблизи тела. Принимается, что движение жидкости, порожденное телом, безвихревое, т.е. потенциальное.
Как известно, движение тела можно рассматривать как состоящее из поступательного движения, характеризуемого движением полюса этого тела, и вращательного движения вокруг полюса. При движении тела в системе отсчета, связанной с неподвижным пространством, угловая скорость вращения тела является функцией времени, а радиусы – векторы точек его поверхности являются не только функциями времени, но и координат точек этой поверхности. Поэтому граничное условие на поверхности тела необходимо выполнять для каждого момента времени, определяя к тому же уравнение поверхности тела для каждого момента времени, чтобы найти соответствующие значения векторов . Это весьма сложная задача. Ее можно несколько упростить, если ввести в рассмотрение систему координат, жестко связанную с телом, начало которой совмещено с полюсом тела. Так как время t в потенциал скорости входит как параметр, то совершенно безразлично, в какой системе координат отыскивается этот потенциал, и поэтому всегда можно мыслить, что в данный момент времени эта, жестко связанная с телом система координат, совпадает с некоторой неподвижной системой координат. При этом учитываем, что вид уравнения Лапласа сохраняется в любой неподвижной системе координат, а если жидкость на бесконечности покоится, то она покоится в любой неподвижной системе координат.
7.2.1 Постановка задачи о движении твердого тела в жидкости
Будем исходить из допущений, что жидкость идеальная, несжимаемая и безграничная, а массовые силы потенциальные, и что тело начало свое движение из состояния покоя в покоящейся жидкости. При такой постановке задачи вихрей в жидкости нет, так как выполнены все условия теоремы Лагранжа о сохранении безвихревых течений жидкости. Это позволяет ввести в рассмотрение потенциал скоростей для потока жидкости, порожденного движением тела
(7.51)
где потенциал должен удовлетворять трехмерному уравнению Лапласа
(7.52)
и соответствующим граничным условиям, вытекающим из постановки задачи,
0 при ??| = (7.53)
где S – поверхность движущегося тела, – скорость соответствующей точки поверхности тела, в которой выполняется это условие непроницания жидкости через поверхность тела, = = - единичный вектор внешней нормали к поверхности тела в этой же точке.
Абсолютная скорость точки тела, принадлежащей его поверхности, может быть определена по кинематической формуле Эйлера
= ,
где = (U, U, U), вектор абсолютной мгновенной скорости полюса Р, = (U, U, U) – вектор абсолютной мгновенной угловой скорости вращения тела, - радиус-вектор этой точки, откладываемый от полюса Р.
При этом имеем
= | + |
| = |+
Введем обозначения: = , где = ,
= = .
Условие на поверхности тела теперь можно представить так
= (7.54)
В системе координат, жестко связанной с телом, параметры зависят только от координат точек поверхности тела, а величины (проекции векторов абсолютной скорости полюса тела и абсолютной угловой скорости тела на подвижные оси координат) являются, в общем случае, только функциями времени.
7.2.2. Метод Кирхгофа
При построении функции в системе координат, жестко связанной с телом, воспользуемся методом Кирхгофа. Представим функцию в виде следующей суммы
= , (7.55)
где функции удовлетворяют уравнению Лапласа
= 0
и граничным условиям
0 при
| = , (k = 1, 2,…,6) (7.56)
При этом уравнения и граничные условия исходной задачи будут полностью удовлетворены.
Таким образом, задача построения функции свелась в шести задачам Неймана с неизменными во времени граничными условиями.
7.2.3. Формулы для вычисления воздействия жидкости на тело
После того как потенциал найден, можно определить давления в жидкости по формуле
(7.57)
следующей из интеграла Лагранжа-Коши ( [ ]), и вычислить силовое воздействие жидкости на тело (главный вектор и главный момент этих сил давлений), используя формулы
= , = (7.58)
Однако прямое использование формулы (7.56) при вычислении этих интегралов нецелесообразно, так как величинам и можно дать более наглядное и удобное для вычислений представление через функцию .
Возьмем некоторую произвольную замкнутую неподвижную геометрическую поверхность , полностью охватывающую тело, и рассмотрим материальный объем жидкости, заключенный в момент времени t между поверхностями и S. Применим к нему теоремы о количестве движения и о моменте количества движения. Внешними силами, действующими на этот материальный объем, являются объемные силы тяжести, определяемые как , и поверхностные силы, действующие по поверхности со стороны жидкости, не включенной в рассматриваемый материальный объем, и имеющие главный вектор = и главный момент = , а также силы, действующие на жидкость со стороны тела и имеющие, очевидно, главный вектор (-) и главный момент (-). Пусть количество движения этого материального объема равно , а момент его количества движения относительно точки O – .
Соответствующие общие теоремы механики (о количестве движения и о моменте количества движения механической системы) запишутся так
d/dt = - + ,
d/dt = - +
Отсюда находим
= - d/dt + , = - d/dt +
Изменения за промежуток времени dt количества движения и момента количества движения выбранного материального объема происходят за счет того, что за этот промежуток несколько изменилось поле скоростей в контрольном объеме, а также за счет вытекания через поверхность . части жидкости, принадлежащей материальному объему.
Количество движения и момент количества движения материального объема определяются по формулам
= , =
Следовательно,
d = +
где - локальная производная по времени.
При этом формулы для воздействия жидкости на тело принимают вид
= - - + ,
= - - +
На основании формулы Грина интегралы по объему можно преобразовать к интегралам по поверхностям, ограничивающим объем, так как скорость -вектор потенциальный, а= -, где V потенциальная энергия поля силы тяжести. Имеем, учитывая, что в переменных Лагранжа область неизменна
= = =
= ( - ) = -
(знак “минус” перед вторым интегралом взят потому, что во втором интеграле – внутренняя нормаль по отношению к материальному объему тела, ограниченного поверхностью S, а не внешняя, как принимается в формуле Грина).
Аналогично получаем, учитывая, что в переменных Лагранжа = ,
= = =
=(-)=-
Имеем также
= - = -+
= - = - +
Таким образом, можем записать, что
- - =
--=
Интегралы по упрощаются в силу интеграла Лагранжа – Коши (7.57). Имеем
- - =
(7.59)
- - =
=
Вид контрольной поверхности произвольный, а значения левых частей уравнений (7.58) от вида контрольной поверхности не зависят. Очевидно, что
где поверхность также полностью охватывает тело. В качестве поверхности примем сферу большого радиуса R.
Учитываем, что скорости, порожденные движущимся телом в жидкости, убывают с удалением от тела так же, как от диполя, т.е. не хуже, чем R, что следует из результатов проведенного нами моделирования воздействия тел на жидкость системами источников. Поэтому интегралы по поверхности убывают с ростом радиуса сферы не хуже, чем R. Интегралы же по поверхности от R не зависят, однако их значения, как это следует из приведенной оценки, могут стать меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа. Следовательно, интегралы по , стоящие в правых частях уравнений (7.58) равны нулю, что позволяет записать формулы для и , содержащие интегралы только по поверхности тела S.
Прежде чем записать соответствующие формулы, удобно в уравнениях (7.58) заменить частные производные по времени на полные производные, так как интегралы по поверхности тела S являются функциями только времени (по координатам произведено интегрирование) и преобразовать интегралы по поверхности S, содержащие потенциальную энергию массовых сил V, в объемные, воспользовавшись формулами Остроградского. Имеем
= = - = - =
= = -
= - =
где m = = - масса жидкости в объеме, вытесненном телом,
- радиус-вектор геометрического центра тяжести тела, - сила Архимеда, действующая на тело со стороны жидкости.
Теперь можно дать такое представление для векторов и
= + (7.60)
= +
7.2.4 Векторные уравнения движения тела в жидкости.
При постановке задачи о движение тела в жидкости было сделано предположение, что на бесконечности жидкость покоится. Это означает, что предполагается наличие некоторой инерциальной системе координат, в которой изучается абсолютное движение жидкости и тела. Для исследования движения тела можно использовать неподвижную систему координат и применить теоремы о количестве движения и о моменте количества движения механической системы, вычисляемом относительно некоторой неподвижной точки O.
=+ М+
= + (М) +
где вектор определяет положение центра тяжести тела в текущий момент времени, а верхним индексом е помечены векторы внешнего силового воздействия на тело помимо жидкости.
Эти уравнения, учитывая формулы (7.59), принимают вид
( - ) = + М + (7.61)
( - ) = + (М) +
Введем обозначения:
=
- вектор присоединенного кинетического момента тела
Уравнения движения можно записать так
= + (М - m) (
(7.62)
= + (М -m)
Следовательно, уравнениям движения тела в жидкости можно придать вид уравнений движения тела в пустоте, если к обычным количеству движения тела и его кинетическому моменту добавить соответственно присоединенные количество движения и кинетический момент, отражающие влияние на движение тела движения жидкости, порожденного самим телом
7.2.5. Уравнения Лагранжа 2 рода, описывающие движение системы тело- жидкость. Присоединенные массы
-этом, что проекции абсолютной скорости полюсатела на неподвижные оси определяются по формулам
, ,
=декартовы координаты полюса тела
а проекции вектора угловой скорости на подвижные оси, жестко связанные с телом, определяются по кинематическим формулам Эйлера
где
- углы Эйлера, определяющие положение тела в неподвижных осях
Кинетическая энергия системы тело-жидкость
Кинетическая энергия системы тело-жидкость равна сумме кинетических энергий тела и жидкости
,
где - кинетическая энергия тела, кинетическая энергия жидкости.
Для вычисления кинетической энергии тела воспользуемся формулой
=.
Используя формулу Эйлера для скоростей точек твердого тела, можно записать
= = ++
Учитываем, что = М, где М – масса тела. При этом для вычисления смешанного произведения векторов, входящего в выражение для кинетической энергии тела, можно записать
==M=
=
Используя известную формулу теоретической механики для кинетической энергии твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, нетрудно установить что
где - компоненты тензора инерции тела для полюса P.
Таким образом, для кинетической энергии твердого тела, движущегося в жидкости, можно записать формулу
+
+
которую можно представить в таком компактном виде
,
Удобно ввести матрицу коэффициентов этой квадратичной формы
=
из которой следует, что
===M, = , = , =
===0, , , ==0,
, ,
= =0, , , =0, , , ,
, , , , , ,
, , , ,
Для вычисления кинетической энергии жидкости, порожденной движущимся в ней телом, можем записать
После преобразования подынтегральной функции имеем
,
так как потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа .
Вычислим сперва, пользуясь формулой Грина [Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике, стр. 173], кинетическую энергию конечного объема жидкости , заключенной между поверхностью тела S и неподвижной контрольной поверхностью . Имеем
=
В качестве контрольной поверхности принимаем сферу радиуса R с центром в полюсе тела. При больших R с ростом R функция убывает не медленнее, чем R и поэтому подынтегральная функция в интеграле по поверхности убывает не медленнее, чем R, а сам интеграл убывает не медленнее, чем R. Устремив R к бесконечности, устанавливаем, что кинетическая энергия всего безграничного объема жидкости, порожденная движущимся телом, может быть вычислена по формуле
(7.68)
Учитывая вид функции (7.55) и формулу (7.68) для кинетической энергии жидкости получаем представление в виде квадратичной формы
(7.69)
коэффициенты которой вычисляются по формуле
=
и называются коэффициентами присоединенных масс.
Полная кинетическая энергия системы тело-жидкость равна сумме соответствующих кинетических энергий и равна
где ..
Потенциальная энергия системы тело-жидкость
Потенциальная энергия системы тело-жидкость равна сумме потенциальных энергий тела и жидкости. Если имеется неподвижная система координат (), ось которой направлена вертикально вверх, то потенциальная энергия тела определится весом тела и уровнем поднятия его центра тяжести над плоскостью = 0
Так как телом вытеснена часть жидкости, то переменная часть потенциальной энергии жидкости убавилась на величину потенциальной энергии этой части жидкости, значение которой равно
,
где - координата центра тяжести объема тела, m – масса вытесненной телом жидкости.
Полная переменная часть потенциальной энергии системы тело-жидкость равна
Найдем выражение для потенциальной энергии системы в подвижных осях. Уччитываем, что вектор положения точки С, в общем случае имеет такое представление в неподвижных осях
Для того, чтобы найти векторное представление для положения центра масс в подвижных осях обратимся к рис. , из которого следует, что положение точки С относительно полюса О определяется вектором
В подвижных осях, связанных с телом, вектор имеет представление
В общем случае центры масс тела (точка С ) и его объема(точка F ) не совпадают. По аналогии с предыдущими формулами можно записать
Подчеркнем, что абсолютное движение тела в жидкости изучается п подвижной системе координат, жестко связанной с телом.
Положение тела относительно неподвижного пространства определяется вектором
где - координаты полюся тела, и тремя углами Эйлера, которые принимаем за обобщенные координаты
- угол собственного вращения,
- угол прецессии,
-угол нутации
Абсолютная скорость полюса определяется по формуле
Для вычисления кинетической энергии тела надо знать проекции вектора скорости поюся на подвижные оси, для чего необходимо совершить переходот пнеподвижных осей к подвижным, что достаточно затруднительно. Можно поступить так.Учитываем, что имеет место равенство
Дифференцируя это равенство по времени получаем
Вектор можно записать в проекциях на подвижные оси
Учитывая, что оси подвижные, можем записать
Раскрывая векторное произведение , входящее в последнюю формулу, можем записать
Принимаем координаты начала неподвижной системы за обобщенные координаты, положив
Используя формулы Эйлера, можем записать
Функция Лагранжа для рассматриваемой системы теперь может быть записана в виде .
Согласно принятым обозначениям имеем
,
, ,
Согласно кинематическим формулам Эйлера и принятым обозначениям
, ,
О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ШАРА В ЖИДКОСТИ
Снопов А.И.
Южный Федеральный университет
Россия
TO THE MOTION OF THE HAVY sphere IN the fluide
Snopov A.I.
В курсах лекций по гидродинамике, читаемых в вузах, исследование движения шара в идеальной несжимаемой жидкости представлено лишь для частных случаев, когда отсутствует силовое поле, а центр масс шара совпадает с его геометрическим центром..[1, 2, 3]. В книге [4] рассмотрен случай вертикального движения в жидкости свободного тяжелого шара.
Ниже излагается обобщенное решение для произвольных начальных условий динамической задачи о движении в безграничной жидкости (при ) шара радиуса а, центр тяжести которого совпадает с его центром. Принимается, что поле скоростей в жидкости безвихревое (), а потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа ( -оператор Лапласа). Положение центра шара А в некоторой неподвижной системе координат в любой момент времени определяется радиусом-вектором а его скорость – вектором . В начальный момент времени принимается
, (1)
где векторы и считаются заданными.
Так как принимается, что жидкость идеальная, то вращение шара в ней, если оно имеет место, никак не влияет на ее движение и поэтому на поверхности шара S достаточно выполнять условия непроницания
, где . (2)
Для точки жидкости, положение которой определено радиусом-вектором , принимаем , . В соответствии с работой [5] потенциал поля скоростей и скорости, порожденные в жидкости движущимся шаром, определяются по формулам
, (3)
где .
В этом случае систему жидкость-шар можно рассматривать как систему с тремя степенями свободы, которым ставятся в соответствие координаты центра шара. Функция Лагранжа такой системы , где и соответственно ее кинетическая и потенциальная энергии. При этом
(4)
Учитываем, что , . Так как течение жидкости принято потенциальным, то . Поэтому имеет место равенство и интеграл в выражении ( 4) принимает вид
С помощью формулы Остроградского-Гаусса последний интеграл преобразуется в поверхностный (- вешняя по отношению к жидкости нормаль к поверхности )
При этом выражение (4) для кинетической энергии системы записывается так
В соответствии с формулами (3) на поверхности шара имеем
,
При этом
Для вычисления последнего интеграла принимаем . Следовательно
Поэтому
(5)
Переменная часть потенциальной энергии системы равна
(6)
где -потенциальная энергия шара, - для жидкости
Если принять в декартовых координатах , , то функция Лагранжа рассматриваемой системы может быть вычислена по формуле
(7)
Так как , , , то уравнения Лагранжа второго рода ( ) принимают вид
(8)
из которых следует векторное уравнение
решение которого, удовлетворяющее условиям (1), определяет траекторию центра шара
(9)
Как следует из последней формулы, центр шара в общем случае движется по параболе, лежащей в плоскости, построенной на векторах и , если их начала совместить с начальным положением центра шара, Эта плоскость расположена вертикально, так как содержит в себе вектор ускорения свободного падения .
При шар движется прямолинейно с постоянной скоростью.
При шар ускоренно всплывает, а при шар ускоренно тонет.
При движении шар испытывает динамическое сопротивление
(10)
которое можно определить на основе теоремы о количестве движения из уравнения
Существенно, что это сопротивление направлено не против скорости, а против ускорения земного тяготения, когда шар тонет, и сонаправлено с ним, когда шар всплывает.
Движение шара в жидкости
В качестве примера рассмотрим движение шара в жидкости. Так как вращение шара не вызывает никакого движения идеальной жидкости и , то согласно формуле (7.15)[ ] потенциал скоростей, порожденных в жидкости движением шара, принимает вид
(7.65)
где a –радиус шара, =- скорость центра шара, - проекции этой скорости на соответствующие координатные оси, R – расстояние от центра шара до заданной точки потока.
В системе координат, связанной с центром сферы, потенциалы , являющиеся коэффициентами квадратичной формы, имеют вид
где m = 1, 2, 3, R- проекция на декартову ось x. вектора , проведенного из центра шара в данную точку потока.
Для нормали к сфере можно записать равенство , = /R. Следовательно, на поверхности сферы и = (последнее следует из граничных условий для функций ). Так как на сфере R = a, то для коэффициентов присоединенных масс можно записать формулу
= = , m, k = 1,2,3
Для вычисления этих интегралов удобно воспользоваться сферическими координатами, связанными с центром шара. Учитывая, что
x = asincos, x = asinsin, x = acos, dS =asindd.
= sincos, = sinsin, = cos,
нетрудно найти, что = 0 при k m и при k, m > 3. Имеем также
===a =
При этом функция Лагранжа принимает вид
+
Ограничимся исследованием случая, когда центры тяжести шара и вытесненной им жидкости совпадают с центром сферы (), а масса шара распределена центрально симметрично по его объему. При этом
===M, ===,
а все остальные компоненты матрицы коэффициентов инерции шара будут равны нулю. В этом случае
где , ,
,
Уравнения Лагранжа, описывающие движение центра масс шара, принимают вид
,
где масса жидкости, вытесненная шаром.
Если ввести векторную координату центра тяжести шара и вектор силы тяжести, , то все три уравнения движения центра шара можно записать в виде одного векторного уравнения
Решение этого уравнения легко получается и имеет вид
,
где .
При этом = = m, где m –масса жидкости в объеме шара.
С другой стороны векторное уравнение движения центра шара в соответствии с формулой ( ) можно записать так
(M + m) = + (М - m)
Из этого уравнения следует, что при условиях, что сила тяжести шара уравновешена силой Архимеда (М = m), а скорость движения шара постоянная (), = 0, что означает, что шар не испытывает никакого сопротивления со стороны идеальной безграничной жидкости, если он в ней движется с постоянной скоростью (парадокс Даламбера-Эйлера)
Как видно, при М > m шар тонет с ускорением [(М – m)/(M + m)], а при М < m шар всплывает с ускорением [(m-M)/(M + m)] , а его центр описывает параболические траектории и когда шар тонет и когда всплывает.
Случай поступательного движения тела в жидкости
Если тело движется в жидкости поступательно, то = 0, U = 0 при
k > 3., r = const, а кинетическая энергия жидкости будет представлена квадратичной формой в трехмерном пространстве
T =
Поверхность Т = const является эллипсоидом (эллипсоидом энергии жидкости), так как скорость тела конечна. Вид этого эллипсоида определяется только формой тела.
В соответствии с формулой ( ) вектор B является градиентом функции T (B = ) и поэтому он ортогонален к поверхности T = const. Tак как в рассматриваемом случае B = Q, то и вектор присоединенного количества движения жидкости Q, ортогонален к эллипсоиду энергии. У эллипсоида энергии главные оси также ортогональны к его поверхности. В главных осях эллипсоид энергии (как и всякий эллипсоид) можно представить в виде
v+ v+ v = const
где корни характеристического уравнения || = 0
Если тело движется в жидкости поступательно с постоянной скоростью v, направленной вдоль одной их главных осей эллипсоида энергии жидкости, то его количество движения можно представить в виде Q = Mv, а присоединенное количество движения в виде вектора Q = v, где - соответствующий корень характеристического уравнения. Уравнение поступательного движения тела примет вид
(M + )v = + (М - m)
Если вес тела уравновешен силой Архимеда (М = m) и v = const, то = 0. Это означает, что тело не испытывает силового сопротивления со стороны безграничной идеальной жидкости, если оно движется поступательно с постоянной скоростью, направленной вдоль одной из главных осей эллипсоида энергии жидкости (парадокс Даламбера-Эйлера). Этого нельзя сказать в общем случае о моментном сопротивлении со стороны жидкости, которое должно быть уравновешено парой сил, приложенной к телу и обеспечивающей его чисто поступательное движение.
Заметим, что из механики известно, что для тела можно построить эллипсоид энергии тела, который соответствует кинетической энергии вращательного движения тела вокруг некоторой точки и форма которого определяется моментами инерции тела, зависящими не только от формы самого тела, но и от распределения масс в теле. Этот эллипсоид энергии отличен от эллипсоида энергии жидкости, порожденной движением этого тела, и в общем случае он не имеет с ним даже общих главных направлений.
Элементы теории поверхностных волн
Под волновым движением жидкостей и газов обычно подразумевают
неустановившиеся движения этих сред в окрестности некоторого равновесного положения. В случаях несжимаемых жидкостей постоянной плотности большое внимание уделяется гравитационным волнам, сопровождающимся изменением вида свободной поверхности во время движения. Такие волны наблюдаются в водоемах, реках и резервуарах (озера, моря, океаны, баки с неполным заполнением жидкостью в самолетах, ракетах, кораблях, танкерах, цистернах и т.п.)
Краевые условия
На :
На S (F(x,y,z,t)=0):
(кинематическое условие)
(динамическое условие)
Представляем функцию F(x,y,z,t)=0 в таком виде
тогда
.
и кинематическое условие принимает вид
Давление атмосферы записываем так
Для жидкости справедлив интеграл Лагранжа-Коши . Он должен выполняться и на свободной поверхности
Введем новый потенциал скоростей
В дальнейшем “звездочку” у функции опускаем. Пусть - свободная поверхность жидкости в равновесном положении, - свободная поверхность жидкости при волнении. В силу несжимаемости жидкости должно выполняться равенство
Функция наряду с функцией является искомой функцией координат и времени.
Линеаризация постановки задачи
Возможны случаи, когда при одних и тех же координатах функция неоднозначная, что затрудняет постановку и решение задачи (см. рис. ). Значительные упрощения возможны, если принять
Отбрасывая малые второго прядка в уравнении Лагранжа-Коши, получаем условие, которое надо выполнять на свободной поверхности
Если переменное двление задано, то имеем задачу о вынужденных колебаниях жидкости. Если же =0, то имеем задачу о свободных колебаниях жидкости.
Ограничимся исследованием случаев малых свободных колебаний жидкости Тогда имеем такую постановку задачи.
Решить уравнение
при условиях
На :
На S (F(x,y,z,t)=0)-кинематическое условие ( ) принимает вид
А интеграл Лагранжа –Коши () после упрощений дает динамическое условие на свободной поверхности
Из последних двух уравнений следует
при
Упрощение граничных условий
Сносим граничные условия с неизвестной поверхности на плоскость
В этом случае имеем задачу. Найти решение уравнения
При условиях
На :
на S (при z=0) :
В такой постановке время t является параметром. Зависимость потенциала от времени можно постулировать (задавать заранее). При этом вид свободной поверхности определяется из интеграла Лагранжа –коши по формуле
В качестве начальных условий (так как в постановку задачи входят вторые производные по времени) надо задать два начальных условия: начальное поле скоростей и начальный вид свободной поверхности. Так как течение потенциальное, то достаточно задать начальное значение потенциала скорости и начальный вид свободной поверхности
, ( )
где - заданная непрерывная и дважды дифференцируемая функция координат в области, занятой жидкостью., удовлетворяющая уравнению Лапласа, а , -заданная непрерывная и дифференцируемая по координатам функция, удовлетворяющая интегральному условию ().
Замечание: Начальные условия не задаются, если движение жидкости является периодическим по времени.
Периодические поверхностные волны
Рассмотрим задачу о периодических волнах малой амплитуды на поверхности жидкости постоянной конечной глубины h . Принимаем, для упрощения задачи, что течение плоскопараллельное? и выбираем так систему координат, чтобы все гидродинамические функции не зависели от координаты y. При этом , . В линейной постановке задача сводится к поиску периодических по времени t и координате x решений двумерного уравнения Лапласа
удовлетворяющих краевым условиям:
при (на свободной поверхности) и при (условие непроницания на дне)
Решений уравнения (), удовлетворяющих краевым условиям () бесконечно много. Учитывая, что тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими своих аргументов без особого труда можем установить, что решениями задачи могут быть функции
,,
если функцию и параметры k и определить так, чтобы удовлетворялось уравнение Лапласа () и краевые условия (). Параметр
в силу однородности краевой задачи остается произвольным.
Проведем необходимые действия с функцией . Имеем
Полученное равенство будет всегда выполнено, если приравнять нулю содержимое в квадратных скобках, что приводит к дифференциальному уравнению для определения функции
Решение полученного уравнения удобно представить через гиперболические функции в таком виде
При этом
Выполнение краевого условия () дает
Откуда находим
Таким образом, можем записать, что
,
Выполняем условие () при z=0
из которого следует, что
()
Теперь можно установить вид свободной поверхности в соответствии с формулами ()
и ()
При больших h (h>>1) можем записать
Введем обозначение
Очевидно, что является амплитудой волны
Длину волны определим так. Положим
Решение этого уравнения дает величину длины волны
Период колебаний определится из равенства
Точки пересечения свободной поверхности с плоскостью =0 определяются из равенства
И остаются неизменными во все время движения. Их называют узлами
Из равенства () можно найти потенциал скоростей, выраженным через амплитуду волны
Так как скорости частиц жидкости определяются через производные от потенциала в фиксированный момент времени, то можно записать
Если использовать связи () и ()
то из уравнения () будет следовать связь между длиной волны и периодом ее колебаний
Откуда имеем
ПрИ
При
Траектории частиц определяются путем интегрирования уравнений
Из которых следует, с учетом (), система уравнений, определяющая траектории частиц жидкости при стоячих волнах
Прогрессивные волны
Рассмотрим потенциал скоростей в виде суммы потенциалов, описывающих стоячие волны
где
,
Имеем
Подстановкой этой функции в уравнение () и соотвтетствующие граничные условия () можно убедиться, что все они будут удовлетворены. Найдем вид свободной поверхности в соответствии с формулой ()
Горбы волны имеют координаты
Скорость их перемещения в пространстве равна и из предыдущей формулы следует, что
Учитывая значение Т ( ), имеем
Для больших глубин
В случаях мелкой воды, когда в формулеможно положить и тогда cкорость перемещения волны равна и не зависит от длины волны.
Цунами.
Для очень длинных волн( волн цунами) скорости их перемещения могут быть очень большими, как у самолета.
:=10000; h:=10 м км/час
:=10000; h:=100: м км/час
h:=1000 м с км/час
h:=10000 м км/час
:=100000; h:=10 м км/час
:=100000; h:=100 м км/час
:=100000; h:=1000 м км/час
:=100000; h:=10000 м км/час
Траектории частиц жидкости в прогрессивных волнах.Дрейф частиц.
Интегрирование этих уравнений дает траектории частиц, имевших в начальный момент времени координаты . Ниже (рис. ) приводятся траектории частиц жидкости , имевших в начальный момент времени координаты для волы длиной м, и амплитудой м, для случаев глубоководья ( м) и мелководья (м), .Как видим, скорость дрейфа частиц на мелководье значительно большая, чем на глубоководье.
Рис. Траектории приповерхностных частиц в прогрессивной волне
Maple- программа расчета дрейфа частицы жидкости в прогрессивной волне
> restart;
> l:=100;hi:=arctan(1.)*4;h:=1000:
> g:=9.81; a:= 2.5:k:=2*hi/l;
> sigma:=sqrt(k*g*tanh(k*h));
> b:=a*g*k/sigma;
> with(DEtools):
> sys := {diff(x(t), t) = b*cos(k*x(t)-sigma*t)*cosh(k*(h+z(t)))/cosh(k*h),diff(z(t),t) = b*sin(k*x(t)-sigma*t)*sinh(k*(h+z(t)))/cosh(k*h)};
DEplot(sys,[x(t),z(t)],t=0..30,[[x(0)=0,z(0)=0]],x=-1..10,z=-5..0.1,numpoints=2000,linecolor=black,thickness=1);
Энергия прогрессивных волн
=
- потенциальная энергия покоя жидкости в рассматриваемом объеме,
- потенциальная энергия движущейся жидкости в рассматриваемом объеме
На единицу длины волны приходится энергии Е* -
Перенос энергии прогрессивной волной
Рассмотрим работу сил давлений на границе ВС выделенного объема жидкости за промежуток времени dt. На каждый элемент этой границы площадью dz действует сила давления ()dz, мощность которой равна ()dz.
За время dt эта сила совершает работу , равную ()dz dt.За время Т волна полностью переходит через плоскость ВС, эта сила совершает работу, равную
.
Давление можно определить из линеаризированного интеграла Лагранжа-Коши
где
Работа всех сил давлений, действующих на границу ВС, равна
А=
А=
А=
При больших глубинах
Волна, обладающая энергией и скоростью распространения с, за время T перемещается на расстояние . За это же время силы давлений совершают работу, равную половине энергии волны , что свидетельствует о том, что энергия волны переносится в два раза медленнее, чем сама волна распространяется, т.е со скоростью U= c/2
Работа в единицу времени (Мощность) равна
W=
. Следовательно, на глубокой воде энергия прогрессивной волны, приходящаяся на единицу длины волны , переносится со скоростью U= .
На создание волны с амплитудой а необходимо путем приложения сил давлений к воде совершать работу, которая превращается в энергию волны. Такое наблюдается при движении корабля.
Если корабль идет со скоростью с и при этом образует волны амплитуды а, то работа силы сопротивления движению корабля W* в единицу времени (мощность корабельного двигателя) определяется половиной энергии волн, образующихся за кораблем в единицу времени.
W* =
Неодномерные безвихревые течения идеального газа
В случае неодномерного безвихревого течения газа поле скоростей является потенциальным и существует потенциал скоростей
,
где время играет роль параметра.
Как показано в [ ] , потенциал скоростей в потоке газа должен удовлетворять следующему уравнению
В случаях, когда поток газа установившийся, уравнение принимает вид
Учитывая, что
предыдущее уравнение можно переписать в таком виде
Где - символ Кронекера.
Это уравнение является квазилинейным относительно вторых производных о потенциала . Как известно из теории дифференциальных уравнений, поведение решения такого уравнения существенно зависит от знака его дискриминанта , по которому определяется тип уравнения
Вычисления дают
Где - местное число Маха.
Если , что имеет место для дозвуковых потоков (), то уравнение () -эллиптического типа, если , что возможно для сверхзвуковых потоков (), то уравнение () имеет гиперболический тип, случаям () отвечают зоны перехода потока от дозвукового к сверхзвуковым, или обратно, В этих случаях уравнение () имеет параболический тип. Как было выяснено ранее, переходы от сверхзвуковых потоков к дозвуковым обычно сопровождаются образованием скачков уплотнения, на которых терпят разрыв гидродинамические функции, не говоря уже об их производных. Потенциальные течения предполагают непрерывность потенциалов скоростей, самих скоростей и их производных. Следовательно, для иследования потоков газа, в которых имеются поверхности сильно разрыва, использование допущения о потенциальности течения представляется недопустимым, особенно в сверхзвуковых зонах.
В теории самолетов и ракет обычно исходят из принципа наименьших энергетических потерь
(наименьшего сопротивления), что в сверхзвуковых потоках достигается за счет снижения интенсивности ударных волн, т.е. за счет образования слабых ударных волн (акустических волн),
В этих случаях ударные волны моделируются акустическими волнами, на которых скорости не претерпевают разрыва, а терпят разрыв только производные от скорости по координатам.
Такие поверхности слабого разрыва могут возникать в газах не только при установившихся сверхзвуковых течениях, но и при дозвуковых неустановившихся течениях. Оказывается, что поверхности слабого разрыва являются характеристическими поверхностями (характеристиками) уравнений движения идеальных газов. Перейдем к изучению этого вопроса
Характеристики уравнений газовой динамики . Общий случай
Рассмотрим систему уравнений газовой динамики в предположении адиабатичности потока.
Имеем уравнения
Последнее уравнение можно представить в таком виде
Или
Или
Или
Учитываем, что
И преобразуем уравнение () к виду
Теперь в декартовых координатах систему () можно представить в таком виде
Существенную роль в исследовании решений этой системы уравнений играет метод характеристик. Он связан с понятием решения задачи Коши для этой системы нелинейных уравнений первого порядка в частных производных, которая формулируется следующим образом.
Пусть задана некоторая поверхность
Необходимо найти решение системы уравнений () в окрестности поверхности , если на этой поверхности заданы значения всех газодинамических функций (.
Для решения этой задачи удобно перейти к новым независимым переменным, положив
,
В новых переменных уравнение поверхности описывается уравнением .
В новых переменных постановка задачи упрощается, так как можно считать заданными значения гидродинамических функций при .т.е. считать известными функции
Решение задачи Коши в окрестности поверхности сводится к отысканию производных от искомых функций по всем переменным, пользуясь заданными значениями () и уравнениями (). Производные по переменным от функций можно найти, однако по переменной производные не могут быть найдены, так как не входит эти функции от не зависят. Здесь надо обратиться к уравнениям (), чтобы найти производные по .
Учитываем, что
, ,
,
,
Подставляем эти выражения в уравнения ( )и оставляем в левых частях только члены, содержащие множителями производные по «z с чертой», а все остальные величины переносим вправо, так как принимаем их значения известными. В связи с громоздкостью записи их не пишем. Имеем
или
Введем обозначение
Получили систему пяти линейных алгебраических неоднородных (есть ненулевые правые части) уравнений. Для того, чтобы эта система была разрешимой, надо, чтобы ее главный определитель был отличен от нуля. В противном случае имеем дело отсутствием решения, или его неединственностью, что зависит от вида правых частей этих уравнений. Итак, для определения характеристик системы уравнений необходимо выполнение равенства нулю главного определителя системы, составленного из коэффициентов при искомых величинах
Необходимым условием существования характеристики является
Это возможно либо при
A=0
( тройной корень)
либо при
Выясним физический смысл этих условий. Обратим внимание на то, что полученные условия определяют некоторые дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять характеристические поверхности
Если уравнение характеристической поверхности, то частные производные
вычисленные в точке этой поверхности определяют компоненты вектор нормали к ней в этой точке. При этом единичный вектор нормали определяется по формуле
,
где,
Введем понятие скорости перемещения точки характеристической поверхности. как чисто геометрического объекта. Пусть за время поверхность переместилась в новое положение. Установим соответствие точек поверхностей следующим образом. Проводим в точке поверхности ( ) нормаль к ней до пересечения в точке с поверхностью в новом ее положении . Рассматриваем векторный отрезок этой нормали
,
По построению
Из сравнения последних двух формул следует, что
,
Скорости перемещения точки характеристической поверхности.
Введем понятие скорости перемещения точки характеристической поверхности. как чисто геометрического объекта. Пусть за время поверхность переместилась в новое положение.
. Назовем скоростью перемещения характеристической поверхности в данной точке вектор, определяемый по формуле
при
где
- при ( )
называется величиной переносной скорости характеристической поверхности в точке В. Найдем эту скорость.
Учитываем, что координаты точки удовлетворяют уравнению характеристической поверхности в момент времени . Поэтому имеет место равенство
Считая малым, разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (x,y,z,t) и ограничимся первыми членами этого разложения. Имеем
( )
Учитываем, что =0 и формулы ().
Делим обе части равенства () на , получаем
Или
Переходя к пределу при и учитывая, что можем записать такое равенство
Так как , то получаем равенство
Откуда следует, что скорость перемещения точек характеристической поверхности определяется по формуле
Теперь можно прояснить физический смысл условий, которые должны выполняться на характеристиках.
Условие () дает
Если разделить обе части последнего уравнения на , то получим равенство
Откуда следует, что
Как следует из последнего равенства соответствующая ему характеристическая поверхность перемещается в пространстве вместе с частицами, и ее скорость распространения по газу (относительная скорость ), обозначаемая как (), равна нулю. Иначе говоря, могут существовать такие характеристические поверхности, для которых частицы газа, находящиеся на них, во все время движения остаются на них Этот случай не интересен.
Значительно важнее случай характеристической поверхности, когда имеет место равенство
из которого следует, что возможны такие характеристические поверхности, которые определяюся уравнениями
Полученные два уравнения можно рассматривать как дифференциальные уравнения характеристик двух типов в зависимости от знака правой части
Геометрическую интерпретацию эти характеристика можно дать, если уравнения ( ) путем деления на
преобразовать к виду
()
Так как , где - скорость распространения характеристической поверхности по газу, то равенство () означает, что , т.е., что характеристические поверхности указанных двух типов распространяются по газу со скоростью звука в двух противоположных направлениях. Они идентичны звуковым волнам, как поверхности слабого разрыва.
В случае установившегося движения время явно не входит в уравнения, описывающие течение газа. Очевидно, оно не входит и в уравнения характеристик, что означает, что и характеристики не перемещаются в пространстве, но распространяются по газу. При этом из равенства () следует, что в установившемся потоке характеристики существуют только при при условии
которое может быть выполнено только при сверхзвуковой скорости потока в рассматриваемой области , так как всегда .
Как отмечалось ранее, неединственность решения задачи Коши связана с необходимостью выполнения и равенства нулю и других определителей системы уравнений () как алгебраических, для определения производных по в данной точке четырехмерного, в общем случае , пространства и трехмерного, в случае стационарного течения, пространства. Наиболее “простыми”представляются двумерные плоские и осесимметричные сверхзвуковые течения газа
Двумерные сверхзвуковые установившиеся течения газа
а) плоские сверхзвуковые течения
Система , описывающая сверхзвуковой изэнтропический установившийся поток содержит четыре уравнения: три дифференциальных (два уравнения движения и уравнение неразрывности) и уравнение состояния.
Эти уравнения содержат четыре неизвестных (две компоненты скорости, плотность и давление ). Если из уравнений движения найти производные от давлений и подставить их значения в уравнение неразрывности, то получим дифференциальное уравнение, в котором будет только скорость. К этому уравнению можно добавить уравнения для вихрей в жидкости, получим систему двух дифференциальных уравнений для определения скорости в потоке жидкости. Запишем их так
Учитываем, что ,Имеем
Имеем
Или
(-+(-(+)=0
Добавим к этому уравнению еще одно уравнение, определяющее связь скоростей с вихрем скорости
Характеристические поверхности в плоском установившемся течении течении газа в разрешенном относительно координаты изображаются плоскими кривыми
Или
=()
В задаче Коши на этой линии задаются (считаются известными ) функции
и что можно записать так
(,()), - известные функции
Необходимо найти производные по координатам от этих функций на кривой
=()
,,,
Делаем замену переменных, полагаем
=,
При этом имеем на характеристике
,
что дает
Если рассматривать значение функции, заданной на характеристике, как сложную функцию одного переменного
Аналогично
а также
Поэтому на характеристике можно записать для производных по такие выражения
,
Эти замечания позволяют найти уравнения характеристик н уравнений (), преобразовав их с помощью формул ()) к виду
()(-+(-(+)=0
Так как принято, что значения скоростей на характеристике известно, то надо принять, что известно и производные этих. величин вдоль характеристик. Поэтому в уравнениях ()перенесем эти производные в правые части уравнений ( ). Имеем
()(-+(-()=(-
Запишем эту систему уравнений так
Для существования характеристики необходимо, чтобы определители этой системы равнялись нулю. Имеем
При этом автоматически выполняется условие .
Вычисляем определители. Имеем
Это уравнение удобно записать так
Решение этого уравнения
или
Если поле скоростей считать известным, то из последней формулы следует, что вся область течения газа заполнена характеристиками, заданными обыкновенными дифференциальными уравнениями . Причем через каждую точку проходит вдве характеристики. Одну из них, отвечающую знаку “плюс” в формуле () ,называют характеристикой первого семейства, “минусу” – второго семейства.
Условие () приводит к уравнению
[-
или
Или
-
или
()
Это дифференциальные уравнения для компонент скорости, выполняющееся вдоль характеристик при заданной завихренности потока. на первой характеристике (ей отвечает верхний знак в уравнении () и на второй характеристике ( ей отвечает нижний знак в уравнении)
Или
Или
Но по теореме Виетта , поэтому
Следовательно, равенство примет вид
При отсутствии вихрей (=0) уравнение можно записать так
Отсюда следует, учитывая обозначения (), что на характеристиках первого семейства должно выполняться равенства
Что означает, что характеристика первого семейства в плоскости годографа скорости ортогональна характеристике второго семейства в точке, через которую проходит соответствующая ей частица газа.. И наоборот.
Если рассмотреть обе характеристики в плоскости течения, то скорость потока рассматриваемой точке сверхзвуковая и, как показано только что , вектор скорости ортогонален одновременно к обеим характеристикам. Но, как было установлено в общем случае стационарного сверхзвукового потока , для любой характеристики имеет место равенство
()
Если и углы наклона скорости к соответствующим характеристикам, то имеют место равенства
Откуда следует, что
где угол Маха, так как ударная характеристика – ударная волна бесконечно малой интенсивности., и в окрестности рассматриваемой точки она аппроксимируется косым скачком уплотнения.
Следовательно, скорость потока направлена к характеристикам везде под углом Маха. Из равенства () получаем, что
Поэтому
, ,
Если ввести угол наклона вектора скорости к оси Ох , то можно записать
,
При этом
Подставим эти выражения в уравнения характеристик в плоскости годографа скорости. Получим
при
характеристика 1-го семейства в плоскости годографа скорости
характеристика 2-го семейства в плоскости годографа скорости
при
Учитываем, что
находим
И ли
Или
Откуда следует
где верхний знак отвечает характеристике первого семейсва,а нижний –второго.
Здесь
Использоваие скоростного параметра М неудобно, так как скорость звука в газе зависит сама от скорости потока (от температуры, которая зависит от скорости потока). Удобно использовать понятие критической скорости потока , которая определяется из условия, что в критической точке
.
Чтобы найти связь числа Маха со скоростным параметром обратимся к интегралу Бернулли
Из которого следует
Или
где =
Из последнего уравнения находим
Следовательно
Преобразуем уравнение (0) к виду
Что дает
С учетом () имеем
Вычисления интеграла дают
где
Эти кривые – эпициклоиды.
Обратимся к равенству ().Имеем
Имеем
Поэтому можно записать
Известно, что
Поэтому
И формулу () можно записать так
Из этой формулы следует, что когда =соnst то и = соnst и и . Следовательно, характеристики в плоскости течения будут прямолинейными, так как уравнения характеристик в плоскости течения легко интегрируются и приводят к уравнениям типа
С другой стороны, уравнение () свиджетельствует о том, что на характеристиках имеется связь между углом поворота потока и углом Маха, т. е. скоростью потока. В частности, если еслисверхзвуковой поток ограничен твердой стенкой, то каждой точке стенки отвечает определенная скорость потока. и поэтому всем точкам стенки отвечает одна и та же эпициклоида
Течение Прандтля Майера . Обтекание угла, большего 180 градусов.
Уравнения для потенциала скорости при малых возмущениях
Пусть в безграничном установившемся потоке газа со скоростью находится тело , порождающие в потоке малые возмущения скорости по сравнению с величиной скорости на бесконечности. Направим вдоль потока на бесконечности ось х-ов декартовой системы координат.
Принимаем
,
При этом , ,
Допускаем, что в потоке нет вихрей. Тогда можем принять
,
Обращаемся уравнению для потенциала скорости
Оно приобретает вид
Считая производные от по координатам малыми величинами по сравнению с о скорсостью потока на бесконечности и оставляя в уравнении величины первого порядка относительно этих производных, записываем уравнение для потенциала возмущенных скоростей
В силу того, что , можем записать уравнение для потенциала скоростей потока при наличии малых возмущений в потоке
Это уравнение несправедливо в случаях, когда . Это случай околозвуковой (трансзвуковой)аэродинамики и подлежит особому исследованию. Ограничимся случаями, когда
во всем потоке
Обозначим . уравнение приобретает вид
Это уравнение при можно свести к уравнению Лапласа, если совершить заменц переменных , положив
В новых переменных имеем уравнение Лапласа, которым описываются течения несжимаемой жидкости..
В курсе лекйий по динамике идеальной несжимаемой жидкости широко использовался метод источников и стоков, основанный на использовании простейших потенциалов, описывающих плоские и пространственные потоки порожденные источником, стоком, системами источников и стоков в потоках жидкости.
В частности, использовался потенциал источника вида
Где - мощность источника (при - источник)
Если вернуться к исходным переменным, то будем иметь решение уравнения ( )
Этот потенциал можно назвать потенциалом точечного источника в газе., расположенного в точке ().
В теории продольного обтекания осесимметричных тел использовался метод источников, которые располагались на оси потока. Аналогично поступают и для случая газа.
Важно отметить, что этой формулой пользуются и в случае обтекания осесимметричных тел сверхзвуковым потоком, когда . Используется только область конуса (конуса Маха)
внутри которого подкоренное выражение в формуле () имеет положительное значение.
В случае плоского течения газа С.А. Чаплыгин в начале прошлого века предложил такую замену переменных в уравнениях движения газа, которая приводит непосредственно к линейному уравнению для потенциала скоростей при установившемся течении.
В случае плоского течения газа С.А. Чаплыгин в начале прошлого века предложил такую замену переменных в уравнениях движения газа, которая приводит непосредственно к линейному уравнению для потенциала скоростей при установившемся течении.
Уравнения Чаплыгина
Рассматриваем установившееся, безвихревое, плоское течение идеального баротропного газа. За исходные уравнения принимаем уравнение отсутствия вихрей, уравнение неразрывности, уравнение баротропности и интеграл Бернулли, который, определяет зависимость плотности газа от величины скорости потока газа.Запишем первые два уравнения
Уравнение отсутствия вихрей выполняется тождественно, если ввести в рассмотение потенциал скоростей потока по формулам
Уравнение неразрывности выполняется тождественно, если ввести в рассмотрение функцию тока по формулам
,
что дает
Между функциями и имеется связь
Из этих двух уравнений можно исключить, например , и получит уравнение для , которое, очевидно, будет частным случаем общего уравнения для потенциала скоростей (), когда течение установившееся и плоское (см. уравнение ())
Существенным недостатком этого уравнения является его кубическая нелинейность ( функция входят тройными произведениями
(,2)
что существенно затрудняет построение аналитических решений уравнения ().
С.В.Чаплыгин в начале прошлого века предложил в качестве независимых координат использовать переменные и , а в качестве искомых функций - или .Это преобразование удобно выполнить следующим образом. Запишем равенства
,
С использованием формул () и () образуем систему уравнений
Умножим второе уравнение на мнимую единицу и введем комплексную координату и комплексную скорость
,
Складывая левые и правые части уравнений, находим
Или, учитывая формулы (), можем записать
Отсюда находим
Ф ункции и рассматриваем как функции переменныx и . При этом имеем
Или
Левая часть полученного равенства есть полный дифференциал функции . Поэтому необходимо, чтобы и правая часть равенства была полным дифференциалом, что возможно только в случае, когда
Вычислив необходимые производные, получаем равенство
Так как вторые производные функций и , входящие в левые и правые части последнего равенства взаимно уничтожаются., взаимно уничтожаются, получается равенство
Равенства мнимых b вещественных частей этого уравнения дает систему цравнений, связывающую производные функций и ,
Эту систему (уравнений Чаплыгина) можно записать так
Исалючая перекрестным дифференцирований из полученной системы уравнений фунуцию , получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения фунции тока
Аналогично может быть получено уравнение для потенциала скоростей. Обычно это уравнение используется для решения задач о дозвуковых течениях газа в теории крыла самолета и других задачах.
Некоторые весьма интересные задачи можно исследовать и на основе уравнения в дифференциалах
Вихрь в плоском течении газа
Пусть
,
тогда уравнение в дифференциалах () примет вид
Или
Интегрирование этого уравнения дает
Обозначим
,
Из равенства (0 следует
)
Отсюда следует, что скорость в потоке газа распределена по закону
А скорость частицы газа, имеющей координаты направлена к радиусу вектору точки под углом
Это означает, что все частицы газа совершают вращательные движения по часовой стрелке по окружностям со скоростями, обратно пропорциональности удалению от их общего центра. Такое движение с циркуляцией в несжимаемой жидкости порождалось точечным вихрем. При этом их скорости определялись по формуле . В рассматриваемом случае циркуляция скорости равна . Существенное отличие этого решения для газа заключается в том , что оно не имеет силы в конечной окрестности центра вихря. Последнее связано с тем, что даже в случаях вакуума скорость частиц газа не может превысить . Следовательно, движение возможно лишь вне зоны, ограниченной окружностью радиуса . В реальных случаях, например, связанных с вихревыми движениями в атмосфере, представленной решение с определенной степенью точности описывает движение в торнадо, смерчах, В них никогда не достигается разрежение до вакуума. Обычно в центральной области торнадо образуется зона застоя воздуха- «глаз торнадо».
Более детальные теоретические исследования торнадо в атмосфере были проведены на кафедре теоретической гидроаэромеханики РГУ в 1999 г. Бондарчуком А.А., в его студенческом исследовании на 3 -м – курсе на основе полных уравнений Навье-Стокса для вязкого газа с учетом силы тяжести и тепловых процессов в атмосфере.
Обтекание профиля крыла самолета с двумя острыми кромками сверхзвуковым потоком.
ЛИТЕРАТУРА
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. Наука. 1987. 840 с.
Кочин Н.Е. Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М. Физматгиз. т.т. 1, 2. 1963.
Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. Л. ЛГУ. 1978. 295 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидромеханика. М. Наука, 1986. 730 с.
Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика жидкости и газа». Раздел 1: «Кинематика жидкости». Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 1997. 35 с.
Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика жидкости и газа». Раздел 2: «Основные математические модели жидких сред». Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 1997. 35 с.
Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика жидкости и газа». Раздел 4: «Общие вопросы гидромеханики идеальной жидкости». Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 1999. 29 с.
Снопов А.И Методические указания к курсу «Механика жидкости и газа». Раздел 7. пространственные течения идеальной несжимаемой жидкости, Подраздел 7.1 Основы исследования пространственных течений идеальной несжимаемой жидкости. Ростов-на-Дону. УПЛ РГУ. 2006,. 29 с.. 30
Вид документа: статья в сериальном издании
ISSN: 0022-1120
Автор(ы): Roper S. M., Lister J. R.
Заглавие: Возбуждаемое плавучестью распространение трещины от источника повышенного давления
Оригинальное заглавие: Buoyancy-driven crack propagation from an over-pressured source
Язык: Англ.
Код страны: GB
Источник: J. Fluid Mech., 2005, т.536, стр.79-98
Ключевые слова: смазка жидкостная; трещины
Реферат: Исследуется распространение заполненной жидкостью трещины от источника повышенного давления в полубесконечное однородное упругое тело. Жидкость легче тела и движется за счет гидростатического давления. Для описания ее течения используется теория смазки, в которой давление жидкости определяется упругой деформацией тела из-за наличия трещины. Получены численные результаты для эволюции формы трещины и скорости ее распространения. Обсуждаются геологические применения результатов к заполненным магмой трещинам мантии Земли
А
x
С
О
y
О
С
А
В
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2
1
С
В
А
В
СА
D
x
z
z
x
EMBED Equation.3
S
Рис.
O
P
C
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3